DOMA´CI ZADATAK - KORENOVANJE

DOMAĆI ZADATAK - KORENOVANJE
√
4
1. m 3√ m 2 · 3√ m 3 4√ m : 4√ √ 3
m 18 , m > 0.
√
3
2. x 2√ √
x −1 · 3
x −1√ √
x · 3
x −1√ x √ √
x ·
√x 3 2 x √ x −1 , x > 0.
√
5
3. x 4 3√ 3√ x 2 · x 4√ x 5 : 5√ √ 12
x 41 , x > 0.
4. Uporediti brojeve: a)
5. Izračunati :
9
√
11 −
√
2
i
6
3 − √ 3 ; b) √ 7 + √ 10 i √ 3 + √ 19.
a) √ 14 + 7 √ 3 + √ 14 − 7 √ 3 ; b) √ 35 − 12 √ 6 + √ 21 − 12 √ 3 + √ 57 − 40 √ 2;
c)
√| 70 √ 2 − 123 | − √ 70 √ √ √
√
2 + 123 ; d) 3 847
6 +
27
√6 +
3 847
−
27 ;
√ √
e) 13 + 30 2 + √ 9 + 4 √ √ √ √2 √√ √2 √√
2 ; f) + 2 2 − 1+ − 2 2 − 1 .
6. Pojednostaviti izraze :
a) 3√ 38 + 17 √ 5 + 3√ 38 − 17 √ 5 ; b) 9√ 38 + 17 √ 5 + 9√ 38 − 17 √ 5
7. Izračunati √ a 2 + b 2 , ab i a + b ako je
a = 4 − √ 10 + 2 √ √
5 i b = 4 + √ 10 + 2 √ 5 .
8. Odrediti prvih 2005 cifara iza decimalnog zareza broja √ 0, 99 . . . 99
} {{ }
2005
( a + 2
√
2a
−
) √ √
a 2 a − 2
9. a) √ + 2a + 2 a − √ ·
;
2a a + 2
b) (√ a − √ b) 3 + 2 √ a 3 + b √ b
a √ a + b √ + 3√ ab − 3b
, a > 0, b > 0 ;
b
a − b
√ √ √ √ ( √ √ x + y − 1 x − y y y
c)
x + √ +
xy 2 √ xy x − √ xy + x + √ xy
10. Izračunati vrednost izraza:
a 3 2 + b 3 2
a)
: a− 2 3 · 3√ a − b
(a 2 − ab) 2 3 a √ a − b √ za a = 1, 2 i b = 3 5
b
;
b) A −1 − 11
12 A za A = (1 − 0, 5 · 3− 1 2 ) −1 ;
c) (16 − x 2 ) 0,5 za x = (10 + 2 · 5 1 2 ) 0,5 ;
d) (1 − ax)(1 + ax) −1 (1 + bx) 1 2 (1 − bx)
− 1 2 ako je
x = a −1 · √(2a
− b)b −1 i 0 < a < b < 2a .
e) x + √ x 2 − 1
x − √ x 2 − 1 , gde je x = 2−1 (a + a −1 ) , a ≠ 0.
1
)
, x > 0, y > 0

11. Uprostiti izraze:
{[ ( √ ) ]
2 · 4
xy −2
a) √ √ + 1 ·
x − y
12.
b)
(
c)
[
(a + 3√ a 2 x) : (x + 3√ ax 2 ) − 1
3√ √ a −
3
x
1
√ a −
√
a − b
+
4 · √xy } 1
2
x + y + 2 · √xy
)
1
√ √ :
a + a + b
] 6
− 3√ 1 ; x
(
1 +
√
a + b
a − b
1
d)
a 1 4 + a 1 8 + 1 + 1
a 1 4 − a 1 8 + 1 − 2a 1 4 − 2
a 1 2 − a 1 4 + 1 , a > 0.
⎛ ⎛(
) ⎞
3
−
y 1 3
− ⎝
72 − 9y
: ⎝
4 + y 1 3
+ 1⎞ 1 4
⎠⎠
2 − y 1 3 8 2 − y 1 3
, x > 0 , y > 0;
)
, a > b > 0 ;
13. Izračunati vrednost izraza 25 4√ 2 + 2 √ √ √
5 2
√ √ 250 + 5
4
8 − 5 + √ 5 + 2 2
√
14. Dokazati
3
4√
5 − 3 + 2
√
5
4√
5 + 3 − 2
√
5
=
4√
5 + 1
4√
5 − 1
15. Odrediti interval u kome je funkcija konstantna:
a) y = √ 3x − 2 + √ 3x + 7 − 6 √ 3x − 2 ;
b) y = √ 4 − 5x + √ 53 − 14 √ 4 − 5x − 5x.
16. Izračunati ⎛√vrednost izraza 2x 2 + 2x 3 + 1, ako je
x = 1 ⎝
23 + √ √
513 23 − √ ⎞
513
3
+ 3 − 1⎠.
3 4
4
17. Redukovati sledeće izraze:
a) 5 √ √
ax 2 y 2 − 12
y ax2 y 4 + x√ 8 ax4 y 2 , a > 0, xy ≠ 0.
(
a √ b + b √ a + 1
b) √ √ − a√ b + b √ )
a − 1
√ √ · a + 2√ ab + b − 1
a + b − 1 a + b + 1 2( √ a + √ , a > 0, b > 0;
b)
√
(1 − x 2 ) − ( )
1
2 + 1 1 − x
1
c)
:
(1 + x) − 1 2 + (1 − x) 1 2 x − 2 +(x+1) x + 1 + 4
x 2 − 4x − 5
x 2 − 3x − 4
x ≠ ±1, x ≠ 0, x ≠ 4;
18. Ako je ax 3 = by 3 = cz 3 i x −1 + y −1 + z −1 = 1, onda je
3
√
ax2 + by 2 + cz 2 = 3√ a + 3√ b + 3√ c . Dokazati .
1
19. Razlomak
(n + 1) √ n + n √ predstaviti kao razliku dva redukovana
n + 1
razlomka. Primenom dobijene jednakosti izračunati sumu :
1
S =
2 √ 1 + 1 √ 2 + 1
3 √ 2 + 2 √ 3 + . . . + 1
100 √ 99 + 99 √ 100
20. a) Dokazati da je broj x 0 = 3√ a + √ a 2 − 1 + 3√ a − √ a 2 − 1 rešenje
jednačine x 3 − 3x − 2a = 0 ;
2

) dokazati da je broj y 0 = 3√ √ √ √
3
5 + 2 − 5 − 2 rešenje jednačine
y 3 − 5y 2 + 4 = 0 ;
c) Dokazati da su rešenja jednačine x 2 − 2( √ 3 + 1)x + 4 √ √
3 = 0 data
izrazima x 1,2 = 3 + √ 13 + √ √
48 ± 5 − √ 13 + √ 48 .
√
√
4√ √√ √
8 + 2 − 1 −
4√ √
8 − 2 − 1
21. Izračunati A =
√ √
4√ √
8 − 2 + 1
√
22. Ako je x 2 + 3√ √
x 4 y 2 + y 2 + 3√ x 2 y 4 = a, tada je 3√ x 2 + √ y 2 = 3√ a 2 .
Dokazati.
23. Da li je broj (1 + 5√ 3 − 5√ 9) 3
2 − 5√ 27
racionalan? Obrazložiti odgovor.
24. Dati su realni brojevi x i y, takvi da je x √ 1 + y 2 + y √ 1 + x 2 = √ 2002.
Koliko je −xy − √ (1 + x 2 )(1 + y 2 )?
25. Dokazati da je broj ( 6√ 8 √ 5 + 16 + √ √
5 + 1)·√ √
5 − 1 ceo i izračunati
ga.
26. Dokazati da je broj A = ( 6√ 9 + 4 √ 5 + 3√ 2 + √ 5) · 3√ 2 − √ 5 ceo i naći
njegovu vrednost.
1
27. Da li je broj
2 √ 1 + 1 √ 2 + 1
3 √ 2 + 2 √ 3 + 1
4 √ 3 + 3 √ 4 +· · ·+ 1
9 √ 8 + 8 √ 9
racionalan ili iracionalan? Odgovor obrazložiti.
28. Dokazati da je 3√ 3 + 3√ 3 + 3√ 3 − 3√ 3 < 2 3√ 3
29. a)
√
Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi :
√
n + n2 − 1 = √ 1
2
( √ n + 1 + √ n − 1 )
b) odrediti n ∈ N za koje je
√
1
√ √
1 + 12 − 1 + 1
√ √
2 + 22 − 1 +. . .+ 1
2
√ √
n + n2 − 1 = 2 (√ 101+9)
30. Ako je f(x) =
1
√
3 (x + 1)2 + 3√ x 2 − 1 + 3√ (x − 1) 2
izračunati zbir f(1) + f(2) + . . . + f(2003) .
3