Matematicke metode fizike II - akademska 2012/2013.g. - PMF

Posljedice Cauchy – Riemannovih uvjeta
Realni i imaginarni dio analitičke funkcije kompleksne promjenljive
su harmonijske funkcije, tj svaki zadovoljava Laplaceovu
jednačinu:
△u(x, y) = 0, △v(x, y) = 0.
△ = ∂2
∂x 2 + ∂2
∂y 2
Krive u(x, y) = C i v(x, y) = C
se sjeku pod pravim uglom.
Primjer:f (z) = z 3
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 1 / 8

Konformno preslikavanje
|f ′ (z)|– faktor istezanja pri preslikavanju.
arg f ′ (z) – ugao rotacije pri preslikavanju.
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 2 / 8

Konformno preslikavanje
Primjer: preslikavanje
globus –> ravna mapa
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 3 / 8

Singularne tačke
Tačke u kompleksnoj ravni u kojima funkcija f (z) nije analitička
jesu singularne tačke.
Izolovani singularitet u z o ako je funkcija f (z) analitička u svim
tačkama neke okoline tačke z o , osim u tački z o .
Singularna tačka z o jeste pol n-tog reda funkcije f (z) ako se u
njoj funkcija f (z) može napisati kao
f (z) =
g(z)
(z − z o ) n , n ∈ N,
gdje je g(z) analitička u nekoj okolini tačke z o i g(z o ) ≠ 0.
lim [(z − z o ) n f (z)] = a, a ∈ C/{0}. (∗)
z→z o
Ako ne postoji konačan n takav da (∗) bude zadovoljena, funkcija
f (z) u tački z o ima esencijalni singularitet.
Otklonjivi singularitet: ako postoji lim
z→zo
f (z).
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 4 / 8

Neke definicije
Kriva odre ¯dena sa z = z(t) = x(t) + iy(t), gdje su x i y realne
neprekidne funkcije realne promjenljive t na segmentu [a, b] zove
se neprekidna kriva.
Neprekidna kriva z = z(t), t ∈ [a, b], zove se Jordanova (prosta)
kriva ako različitim vrijednostima t 1 , t 2 ∈ [a, b] parametara t
odgovaraju različite tačke z 1 (t), z 2 (t).
Neprekidna kriva koja se od Jordanove krive razlikuje samo po
tom što je z(b) = z(a), naziva se zatvorena Jordanova kriva.
Jordanova ili zatvorena Jordanova kriva z = z(t), t ∈ [a, b] naziva
se glatkom ako su izvodi ẋ i ẏ neprekidne f-je na segmentu [a, b] i
ako je na tom segmentu ẋ 2 + ẏ 2 > 0.
Jordanova ili zatvorena Jordanova kriva naziva se dio po dio
glatkom krivom ako se sastoji od konačnog broja glatkih krivih
spojenih kraj sa krajem.
Glatka kriva ili dio po dio glatka kriva kratko se zove kontura.
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 5 / 8

Integrali u kompleksnoj ravni
∫
Integral neprekidne funkcije f (z) duž konture C u kompleksnoj ravni
C
f (z)dz se može eksplicitno prikazati kao suma integrala realnih
promjenljivih
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
f (z)dz = (u+iv)(dx +idy) = udx − vdy +i udy +i vdx.
C
C
C C
C
C
Ako je kontura C Jordanova kriva data sa z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b],
onda se ∫ C
može jednostavno izračunati kao
∫ b
a
∫ b ∫ b ∫ b
uẋdt − vẏdt + i uẏdt + i vẋdt.
a
a
a
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 6 / 8

Neki topološki pojmovi
Zatvorena Jordanova kriva Γ dijeli ravan na dvije otvorene oblasti i
ona je njihova zajednička granica. Jedna od ovih oblasti je
ograničena i zove se unutrašnja u odnosu na datu krivu (int Γ ), a
druga je neograničena i naziva se spoljašnja u odnosu na datu
krivu (ext Γ ).
z − ravan = Γ ∪ int Γ ∪ ext Γ.
Oblast G je jednostruko (prosto) povezana ako za svaku
zatvorenu Jordanovu krivu Γ ⊂ G važi int Γ ⊂ G. Ostale oblasti
su višestruko povezane.
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 7 / 8

Cauchyjev teorem
Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i
neka je Γ zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je
∮
f (z)dz = 0.
Γ
Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć
Greenove formule:
∮
∫∫ ( ∂Q
P(x, y)dx + Q(x, y)dy =
∂x − ∂P )
dxdy
∂y
Γ
int Γ
i Cauchy– Riemannovih uvjeta.
(Matematičke metode fizike II) 2. predavanje 8 / 8