Rekurzivne relacije - FESB
Rekurzivne relacije - FESB
Rekurzivne relacije - FESB
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
5. REKURZIVNE RELACIJE<br />
5.1 Fibonaccijev slijed (niz)<br />
Primjer rekurzivnih relacija:<br />
Svaki par zecica-zec dobiva tijekom svakog sljedećeg<br />
mjeseca par mladih: zecicu i zeca.<br />
Pitanje: Ako je na pocetku bio samo jedan par f 0 = 1;<br />
koliko će parova f n biti nakon n mjeseci?<br />
Rješenje je jednoznacno odre ¯deno nizom prirodnih<br />
brojeva (f n ) ; n = 0; 1; 2; :: koji je dan rekurzivnom<br />
relacijom<br />
f n = f n 1 + f n 2 ; n = 2; 3; ::<br />
gdje je f 0 = 1 i f 1 = 1:<br />
Denicija Fibonaccijev slijed (niz) (F n ) denira se<br />
pocetnim vrijednostima F 0 = 0 i F 1 = 1 i rekurzivnom<br />
relacijom<br />
F n = F n 1 + F n 2 ; n = 2; 3; ::: .<br />
Propozicija 1 (A. de Moivre) Za Fibonaccijev slijed<br />
(F n ) vrijedi "zatvorena formula"<br />
"<br />
F n = p 1 1 + p ! n p ! n #<br />
5 1 5<br />
; n = 0; 1; 2; ::: .<br />
5 2<br />
2
Napomena: Moe se pokazati (iz zatvorene formule)<br />
da je<br />
lim<br />
n!1<br />
F n+1<br />
F n<br />
= 1 + p 5<br />
2<br />
1:618:<br />
Ovaj broj naziva se zlatni prerez (boanski omjer).<br />
Posljedica 1 Broj F n u Fibonaccijevom slijedu jednak<br />
je cijelom broju koji je nablii broju p<br />
1+ 1<br />
p n<br />
5<br />
5<br />
: Slijed<br />
(F n ) ima eksponencijalni rast.<br />
5.1 Linearne rekurzivne <strong>relacije</strong><br />
Opći oblik linearne rekurzivne <strong>relacije</strong> reda r je<br />
a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + ::: + c r a n r + f (n) ; n r;<br />
(1)<br />
gdje su c 1 ; c 2 ; :::; c r zadani realni ili kompleksni brojevi<br />
i c r 6= 0; a f : fr; r + 1; :::g ! R (ili C).<br />
Ovdje je n ti clan rekurzivno odre ¯den vrijednostima<br />
predhodnih clanova a n 1 ; a n 2 ; ::: ; a n r .<br />
Cilj: Riješiti (1) po a n ; tj. uz zadane pocetne vrijednosti<br />
a 0 ; a 1 ; ::: ; a r 1 naći a n eksplicitno kao funkciju od n<br />
(zatvorenu formu).<br />
2
Linearne homogene rekurzivne <strong>relacije</strong> s konstantnim<br />
koecijentima<br />
Rekurzivna relacija (1) je homogena ako je f (n) 0<br />
za sve n. Dakle, imamo<br />
a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + ::: + c r a n r ; n r: (2)<br />
Propozicija 2 Ako za dva slijeda (a 0 n) i (a 00 n) ; n 0<br />
vrijedi rekurzivna relacija (2), onda vrijedi i za njihovu<br />
linearnu kombinaciju (a 0 n + a 00 n) ; gdje su ; 2 R<br />
(ili C) bilo koji skalari.<br />
Rješenje od (2) traimo u obliku:<br />
a n = x n ;<br />
Eulerova supstitucija:<br />
Uvrštavanjem u (2) za x 6= 0 dobivamo<br />
x n = c 1 x n 1 + c 2 x n 2 + ::: + c r x n r ; n r;<br />
što povlaci (dijeljenjem s x n r 6= 0)<br />
x r c 1 x r 1 c 2 x r 2 ::: c r = 0: (3)<br />
Po Osnovnom teoremu algebre karakteristicna jednadba<br />
(3) ima u skupu kompleksnih brojeva r korijena<br />
x 1 ; x 2 ; :::; x r (neki mogu biti me ¯dusobno jednaki).<br />
Zbog pretpostavke c r 6= 0 niti jedan x i nije 0.
Razlikujemo dva slucaja:<br />
1. Slucaj r razlicitih korijena karakteristicne jednadbe<br />
Teorem 1 Neka su svi korijeni x 1 ; x 2 ; :::; x r karakteristicne<br />
jednadbe me ¯dusobno razliciti. Tada je opće<br />
rješenje linearne homogene rekurzivne <strong>relacije</strong> s konstantnim<br />
koecijentima jednako linearnoj kombinaciji<br />
a n = 1 x n 1 + 2 x n 2 + ::: + r x n r; n = 0; 1; 2; ::: (4)<br />
gdje su 1 ; 2 ; :::; r bilo koji kompleksni brojevi.<br />
2. Slucaj kada postoje višestruki korijeni karakteristicne<br />
jednadbe<br />
Lema1 Ako je kompleksni broj x 0 k struki korijen<br />
polinoma P (x) ; onda je on (k 1) struki korijen<br />
derivacije P 0 (x) :<br />
Propozicija 3 Ako je kompleksni broj x 0 k struki korijen<br />
karakteristicne jednadbe (3), onda svaki od k<br />
sljedova<br />
a n = x n 0; a n = nx n 0; :::; a n = n k 1 x n 0;<br />
predstavlja rješenje rekurzivne <strong>relacije</strong> (2):
Teorem 2 Neka su x 1 ; x 2 ; :::; x m svi razliciti korijeni<br />
karakteristicne jednadbe kratnosti k 1 , k 2 ; :::k m :<br />
Rješenje a (i)<br />
n od (2); koje odgovara korijenu x i kratnosti<br />
k i ; je linearna kombinacija k i sljedova<br />
a (i)<br />
n<br />
= (i)<br />
1 xn i + (i)<br />
2 nxn i +:::+ (i)<br />
k i<br />
n k i 1 x n i ; n = 0; 1; 2; :::;<br />
pri cemu su (i)<br />
1 ; (i) 2 ; :::; (i)<br />
k i<br />
Opće rješenje je dano sa<br />
a n = a (1)<br />
n<br />
kompleksni koecijenti.<br />
+ ::: + a (m)<br />
n : (5)<br />
(ovdje imamo ukupno r = k 1 + k 2 + ::: + k m slobodnih<br />
koecijenata).<br />
Linearne nehomogene rekurzivne <strong>relacije</strong> s konstantnim<br />
koecijentima<br />
Opći oblik je<br />
a n = c 1 a n 1 + c 2 a n 2 + ::: + c r a n r + f (n) ; n r;<br />
(6)<br />
gdje su c 1 ; c 2 ; :::; c r zadani realni ili kompleksni brojevi<br />
i c r 6= 0; a f : fr; r + 1; :::g ! R (ili C).
Propozicija 4. Neka je<br />
a (0)<br />
n<br />
<br />
opće rješenje pripadne<br />
homogene rekurzivne <strong>relacije</strong> je dano Teoremom 2.<br />
Ako znamo neko patikularno rješenje od (6)<br />
a (p)<br />
n<br />
onda je opće rješenje nehomogene rekurzivne<br />
<strong>relacije</strong> (6) dano sa<br />
a n = a (0)<br />
n<br />
+ a (p)<br />
n : (7)<br />
Napomena: Općenito nalaenje partikularnog<br />
rješenja je općenito komplicirano, ali u nekim slucajevima<br />
postoje recepti. Evo nekih:<br />
f (n)<br />
C (const:)<br />
A<br />
Cn<br />
An + B<br />
P k (n)<br />
Q k (n)<br />
C n<br />
A n<br />
C n cos n + D n sin n A n cos n + B n sin n<br />
a (p)<br />
n<br />
Primjedba: Ako je f (n) = C n i x = korijen<br />
karakteristicne jednadbe, onda partikularno rješenje<br />
ne moemo traiti u obliku a (p)<br />
n = A n :
5.2 Primjeri<br />
Primjer 1 Dana je rekurzivna relacija<br />
a n = 6a n 1 9a n 2 + 2n; n 2<br />
uz pocetni uvjet a 0 = 1; a 1 = 2:<br />
Primjer 2 Dana je rekurzivna relacija<br />
a n = a n 1 + n 1; n 1<br />
uz pocetni uvjet a 0 = 0:<br />
Primjer 3 Hanojske kule.<br />
Imamo n kolutova s rupom u sredini, svi razlicitih<br />
polumjera i na ravnoj podlozi zabodena tri štapića;<br />
Svi kolutovi su nanizani na jedan štapić tako da<br />
je kolut s većim polumjerom uvijek ispod onog s<br />
manjim polumjerom;<br />
Cilj: Prenijeti sve kolutove (jedan po jedan) na drugi<br />
štapić tako da ni u jednom trenutku ne bude onaj s<br />
većim polumjerom ispod onog s manjim. Pri tome<br />
svaki od štapića moemo koristiti za privremeno<br />
smještanje kolutova;<br />
Pitanje: Koliki je najmanji broj prijenosa a n potreban<br />
da se svih n kolutova prenese s prvog na drugi<br />
štapić?
Induktivni opis:<br />
Za n = 1 (jedan kolut) imamo samo jedan prijenos<br />
a 1 = 1;<br />
Pretpostavimo da znamo prenijeti n kolutova<br />
(imamo a n prijenosa).<br />
Za prijenos n + 1 koluta imamo sljedeće:<br />
- prenesemo n kolutova na drugi štapić (ukupno a n<br />
prijenosa);<br />
- prenosimo najveći kolut na treći štapić (ukupno 1<br />
prijenos);<br />
- prenesemo n kolutova s drugog na drugi štapić<br />
(ukupno a n prijenosa).<br />
Dakle, vrijedi<br />
a n+1 = 2a n + 1; a 1 = 1<br />
Rješenje je:<br />
a n = 2 n<br />
1; n 2 N<br />
Napomena: Zapravo imamo<br />
a n+1 2a n + 1:<br />
Ali budući je<br />
a n+1 2a n + 1<br />
imamo jednakost.