Kwadratury numeryczne - Instytut Metod Komputerowych w ...

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Kwadratury numeryczne
Kwadraturami numerycznymi nazywamy wzory służące do przybliżonego wyznaczania wartości
całek oznaczonych w obszarze jedno lub wielo wymiarowym. Obliczanie całek oznaczonych w obszarze
wielowymiarowym sprowadza się do wielokrotnego zastosowania kwadratur dla obszaru
jednowymiarowego. Idea postępowania przy całkowaniu numerycznym jest zawsze taka sama, a
mianowicie zastępujemy funkcję podcałkową funkcją łatwą do scałkowania analitycznego (wielomian)
w drodze interpolacji, a następnie funkcję interpolującą całkujemy ściśle (analitycznie). W
rezultacie otrzymujemy wzór numerycznego całkowania.
W zależności od sposobu postępowania przy wyborze położeń węzłów interpolacji w przedziale
całkowania możemy mieć do czynienia z kwadraturami z:
• zamkniętymi końcami (końce przedziału całkowania wchodzą do wzorów), a węzły są rozmieszczone
równomiernie w całym przedziale całkowania,
• otwartymi końcami (końce przedziału całkowania nie wchodzą do wzorów), a węzły są
rozmieszczone w przedziale całkowania nierównomiernie, tak aby zminimalizować błąd
kwadratury.
Przykładem kwadratur pierwszego typu są kwadratury Newtona-Cotesa, a kwadratur drugiego typu
kwadratury Gaussa.
Na początek rozważmy wyprowadzenie kilku pierwszych kwadratur typu Newtona. Zgodnie z
uwagami zapisanymi powyżej, operację wyznaczania całki:
b
∫ F( x)dx
, (1)
przeprowadzimy dwuetapowo. Najpierw dokonamy interpolacji funkcji ( x)
a
F wielomianem Lagrange’a
stosownego stopnia (oznaczonego dalej jako n ), a następnie funkcję interpolującą scałkujemy.
Wzory ogólne w takim przypadku przyjmują następującą postać:
b
( n
( x) ≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∑
j=
0
n
( n
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∫ F ∑ j ∫
a
F
n
j=
0
j
b
a
j
j
⋅dx
. (2)
Po analitycznym wykonaniu całkowania (2) 2 , dla konkretnej wartości n , pamiętając o równomiernym
rozmieszczeniu węzłów, otrzymamy ogólny wzór całkowania numerycznego całkujący ściśle
wielomiany stopnia n . Podamy teraz kilka pierwszych kwadratur typu Newtona:
• interpolacja wielomianowa stopnia 0 ( n = 0 ), czyli funkcją stałą:
b
n = 0 → F
( 0
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∫ F ∑ j ∫
a
0
j=
0
( 0
( x) ≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
b
a
∑
j=
0
j
0
j
⋅dx
=
j
( b − a)
1
⋅ F
( x )
0
, (3)
1

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
• interpolacja wielomianowa stopnia 1 ( n = 1), czyli funkcją liniową:
b
n = 1 → F
() 1
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L ( x)
∫ F ∑ j ∫
a
1
j=
0
b
a
() 1
( x) ≅ F( x ) ⋅ L ( x)
j
1
∑
j=
0
⋅dx
=
j
j
( b − a)
2
⋅
[ F( x ) + F( x )]
• interpolacja wielomianowa stopnia 2 ( n = 2 ), czyli funkcją kwadratową:
b
( 2
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∫ F ∑ j ∫
a
2
j=
0
n = 2 → F
b
a
j
( 2
( x) ≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
⋅dx
=
2
∑ j
j=
0
( b − a)
6
⋅
j
0
[ F( x ) + 4⋅
F( x ) + F( x )]
• interpolacja wielomianowa stopnia 3 ( n = 3), czyli funkcją trzeciego stopnia:
b
( 3
( x) ⋅dx
≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∫ F ∑ j ∫
a
3
j=
0
b
a
n = 3 → F
j
⋅dx
=
3
( 3
( x) ≅ F( x ) ⋅ L )
( x)
∑
j=
0
( b − a)
8
⋅
j
j
0
[ F( x ) + 3⋅
F( x ) + 3⋅
F( x ) + F( x )]
0
1
1
1
2
, (4)
2
, (5)
3
, (6)
Kwadratury te noszą kolejno nazwy wzorów prostokątów, trapezów, Simpsona i Newtona. Dokładność
kwadratury można podnieść zwiększając dokładność interpolacji (patrz rozdział poświęcony
interpolacji). W szczególności jest to możliwe przy rezygnacji z warunku równomiernego rozmieszczenia
węzłów interpolacji. I tak, jeżeli węzły interpolacji zostaną przyjęte w miejscach zerowych
wielomianów Legendre’a, będziemy mieli do czynienia z kwadraturami typu Gaussa – Legendre’a.
Ponieważ wielomiany Legendre’a podobnie jak wielomiany Czebyszewa (patrz rozdział
Interpolacja) mają wszystkie miejsca zerowe w przedziale [ − 1,1]
, to standardowo wzory te są podawane
dla takiego właśnie przedziału, i wówczas wyglądają następująco:
gdzie
1
∫
−1
F
n
( ξ ) ⋅ dξ = ∑w
j
⋅ F( ξ j
)
j=
0
, (7)
w
j
oznaczają wagi, a ξ
j
węzły kwadratury. Jeżeli całkowanie ma być dokonane w dowolnym
przedziale [ a, b]
konieczna jest zmiana zmiennych:
co prowadzi do:
b
∫
a
F
b − a
2
a + b b − a
x = + ξ ⋅
[ a,
b] [ −1,1]
2 2
2⋅
x − a − b
[ a , b]
ξ =
[ −1,1]
b − a
( x) ⋅dx
= ⋅ F x( ξ )
1
∫
n
b − a
( ) ⋅dξ
= ⋅∑w
j
⋅ F( x( ξ
j
))
2
−1 j=
0
, (8)
. (9)
Po przyjęciu położeń węzłów wartości wag wyznacza się w taki sposób, aby kwadratura dawała
ścisłe wyniki dla jednomianów możliwie najwyższego stopnia. Ponieważ operacja taka jest dość
żmudna i musi być wykonana z dużą dokładnością, praktyczniej jest korzystać z wartości tablico-
2

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
wych. Tablice takie można znaleźć w każdym podręczniku dotyczącym metod numerycznych. Tutaj
przytoczymy współczynniki wybranych kwadratur za [ 1 ].
Tablica 1. Kwadratury Gaussa rzędu 1 do 9
n
i
ξ
= −ξ
( n)
( n)
i n−i+
1
( n)
( n)
w
i
= wn−i
+ 1
1 1 0,0000000000 2,0000000000
2 1 0,5773502692 1,0000000000
3
1 0,7745966692 0,5555555556
2 0,0000000000 0,8888888889
4
1 0,8611363116 0,3478548451
2 0,3399810436 0,6521451549
5
1
2
3
0,9061798459
0,5384693101
0,0000000000
0,2369268851
0,4786286705
0,5688888889
Wyznaczenie wartości wag i położeń węzłów jest również możliwe wprost z warunku ścisłego całkowania
jednomianów możliwie najwyższego stopnia. Warunek ten pozwala zapisać tyle równań
nieliniowych (10), ile jest niewiadomych (wag i położeń węzłów). Niestety ten sposób postępowania,
pomimo, że najprostszy koncepcyjnie jest też najbardziej żmudny numerycznie, gdyż prowadzi
do układu nieliniowych równań algebraicznych, który musi być rozwiązany z dużą dokładnością,
ponieważ dokładność ta decyduje o jakości uzyskanych wyników całkowania.
1
∫
−1
x
k
1
⋅dx
= ⋅ x
k + 1
1
k+
1
−1
1
= ⋅
k + 1
n
k+
1
[ 1−
( −1)
] = ∑
j=
0
w ⋅ x
j
k
j
. (10)
I tak na przykład rozpisując stosowne zależności dla trójpunktowej kwadratury Gaussa, która prowadzi
do wzorów numerycznego całkowania ścisłych dla wielomianów do stopnia piątego włącznie
otrzymujemy następujący układ sześciu nieliniowych równań algebraicznych:
∫
∫
∫
∫
1
∫
−1
1
2
−1
1
−1
1
4
−1
1
x
−1
1
∫
−1
x ⋅dx
=
1⋅dx
= x
⋅dx
=
3
x ⋅dx
=
x
⋅dx
=
5
x ⋅dx
=
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
⋅ x
⋅ x
⋅ x
⋅ x
⋅ x
1
−1
2
1
−1
3
1
−1
4
1
5
1
−1
−1
6
1
−1
= w
0
= w
= w
0
= w
= w
0
0
= w
⋅1+
w ⋅1+
w
0
0
⋅ x
⋅ x
2
0
⋅ x
⋅ x
0
3
0
4
0
⋅ x
5
0
1
+ w ⋅ x
1
+ w ⋅ x
1
+ w ⋅ x
1
+ w ⋅ x
1
+ w ⋅ x
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
2
⋅1
= 2
+ w
2
+ w
2
+ w
+ w
2
+ w
⋅ x
2
2
2
⋅ x
2
2
⋅ x
⋅ x
3
2
4
2
⋅ x
5
2
= 0
=
= 0
=
2
3
2
5
= 0
. (11)
Ze wzorów (10) bądź (11) można natomiast natychmiast wywnioskować, że w przedziale [ − 1,1]
węzły i wagi są rozmieszczone symetrycznie względem punktu 0 , co wprost zostało wykorzystane
przy konstruowaniu Tablicy 1.
1 J.Szmelter – Metody komputerowe w mechanice, PWN 1980
3

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Możliwości podnoszenia dokładności kwadratury wiążą się oczywiście z:
• zwiększaniem liczby węzłów w przedziale całkowania (podnoszenie stopnia wielomianu interpolującego);
istotnym ograniczeniem jest tu występowanie efektu Rungego (patrz Interpolacja),
powodujące, że do praktycznego stosowania nadają się wyłącznie kwadratury
względnie niskiego (nie wyżej niż czwarty do siódmego) stopnia;
• wykorzystaniem addytywności całki, podzieleniem przedziału całkowania na wiele części i
stosowanie w każdej z nich kwadratury niskiego rzędu (tak zwane kwadratury złożone).
Dla praktycznego prześledzenia sposobu postępowania przy numerycznym obliczaniu całek wyznaczymy
wartość wyrażenia:
4
∫
1
ln
4
( ) ⋅ dx = ( x ⋅ln(
x)
− x) = 2. 545177
x , (11)
korzystając z różnych kwadratur. I tak kolejno korzystając ze wzorów (3)-(6) otrzymujemy odpowiednio
dla kwadratur typu Newtona:
4
∫
1
4−1
⎪ ( ln(1,0) + ln(4,0) ) ⋅
2
⎨
4−1
⎪ ( ln(1,0) + 4⋅ln(2,5)
+ ln(4,0) ) ⋅
6
⎪( ln(1,0) + 3⋅ln(2,0)
+ 3⋅ln(3,0)
+ ln(4,0) )
⎩
1
3
⎧
ln(1,0) ⋅
1
= 0,000000
⎪
= 2,079442
ln( x ) ⋅ dx =
, (12)
= 2,525729
4
⋅
4−1
8
= 2,535590
a dla kwadratur typu Gaussa po dokonaniu transformacji (8) 1 na położeniach węzłów danych w Ta-
1 ,4 :
blicy 1 w celu sprowadzenia ich do przedziału [ ]
otrzymujemy ostatecznie:
4
∫
1
⎧
x
x
x
x
(1)
(2)
(3)
(4)
:
{
x
(1)
1
⎧x
: ⎨
⎩x
⎧ x
⎪
: ⎨x
⎪
⎩x
⎧x1
⎪
x2
: ⎨
⎪x3
⎪
⎩x4
(4)
(4)
(4)
(4)
=
(2)
1
(2)
2
(3)
1
(3)
2
(3)
3
1+
4
2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
1+
4
2
+ 0,000000⋅
1+
4
2
− 0,577350⋅
+ 0,577350⋅
− 0,774596⋅
+ 0,000000⋅
+ 0,774596⋅
− 0,861136⋅
− 0,339981⋅
+ 0,339981⋅
+ 0,861136⋅
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
4−1
2
= 2,500000
= 1,633974
= 3,366025
= 1,338105
= 2,500000
= 3,661895
= 1,208296
= 1,990028
= 3,009972
= 3,791704
⎪
(2) (2) (2) (2) 4−1
( ln( x1
) ⋅ w1
+ ln( x2
) ⋅ w2
) ⋅
2
⎨
(3) (3) (3) (3) (3) (3) 4−1
⎪ ( ln( x1
) ⋅ w1
+ ln( x2
) ⋅ w2
+ ln( x3
) ⋅ w3
) ⋅
2
(4) (4) (4) (4) (4) (4) (4) (4)
⎪( ln( x ) ⋅ w + ln( x ) ⋅ w + ln( x ) ⋅ w + ln( x ) ⋅ w )
⎩
ln( x
) ⋅ w
, (13)
= 2,748872
= 2,557122
ln( x ) ⋅dx
=
.(14)
= 2,546084
1
1
2
2
(1)
1
(1)
1
3
⋅
4−1
2
3
4
4
⋅
4−1
2
= 2.545254
Zestawmy tak obliczone wartości całki w tablicy w celu porównania dokładności uzyskanych wyników.
W kolejnych kolumnach Tablicy 2 przedstawiono liczbę węzłów kwadratury n , wyniki całkowania
kwadraturą typu Newtona i Gaussa oraz błąd względny procentowy tych wyników obliczony
w stosunku do wartości analitycznej całki.

Tablica 2. Wyniki całkowania numerycznego
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
n
Kwadratura
Błąd
Newtona Gaussa Newton Gauss
1 0,000000 2,748872 100,000% 8,003%
2 2,079442 2,557122 18,298% 0,469%
3 2,525729 2,546084 0,764% 0,036%
4 2,535590 2,545254 0,377% 0,003%
Jak widać w każdym przypadku przy porównywalnym nakładzie pracy (liczba obliczeń wartości
funkcji podcałkowej) zastosowanie kwadratury Gaussa prowadzi do znacząco (od 12 do ponad 120
razy) dokładniejszych wyników.
Rozważmy jeszcze kwestię kwadratur złożonych. Jak już zostało to zaznaczone powyżej, w ich
konstrukcji wykorzystujemy addytywność całki, która oznacza, że całkę po pewnym przedziale
możemy zastąpić sumą całek po przedziałach których suma daje przedział wyjściowy, czyli:
gdzie oczywiście
b
m−1
pi
1 + 1
∫ f x)
⋅dx
= ∫ f ( x)
⋅dx
+ ∑ ∫ f ( x)
⋅ dx + ∫
a
p
( f ( x)
⋅dx
, (15)
a < p < ... < p < ... < p
1 i m
< .
a
b
i=
1 p
W przypadku kwadratur typu Newtona przy stałej długości przedziału całkowania [ ]
p
i, p i +1
równej
h dla (16) i (17), 2 ⋅h
dla (18) i 3 ⋅h
dla (19) ( h oznacza tu odległość pomiędzy węzłami kwadratury)
postępowanie powyższe prowadzi do wzorów:
• interpolacja wielomianowa stopnia 0 ( n = 0 ), czyli funkcją stałą:
b
∫
a
F
h
1
( x) ⋅dx
≅ ⋅∑
F( a + h⋅i)
• interpolacja wielomianowa stopnia 1 ( n = 1), czyli funkcją liniową:
b
1⋅
h
2
⎡
⎢
⎣
m
i=
0
m−1
⎤
∫ F( x) ⋅ dx ≅ ⋅ F( a) + 2⋅∑ F(
a + h⋅i)
+ F( b)
⎥ ⎦
a
• interpolacja wielomianowa stopnia 2 ( n = 2 ), czyli funkcją kwadratową:
b
∫
a
F
2⋅h
6
⎡
⎢
⎣
m−1
( x) ⋅dx
≅ ⋅ F( a) + 4⋅
∑ F( a + h⋅i) + 2⋅
∑ F(
a + h⋅i)
+ F( b)
i=
1,3,...
i
i=
1
b
p
m
m−2
i=
2,4,...
, (16)
• interpolacja wielomianowa stopnia 3 ( n = 3), czyli funkcją trzeciego stopnia:
b
∫
a
F
3⋅
h
8
⎡
⎢
⎣
m−2
, (17)
( x) ⋅ dx ≅ ⋅ F( a) + 3⋅
∑ F( a + h⋅i) + 2⋅
∑ F( a + h⋅i) + 3⋅
∑ F( a + h⋅i) + F( b)
i=
1,4,...
m−3
i=
3,6,...
m−1
i=
2,5,...
⎥ ⎦
⎤
, (18)
⎥ ⎦
⎤
, (19)
Postępowanie to w przypadku kwadratur typu Gaussa jest równoznaczne z zastosowaniem prostej
kwadratury odpowiedniego rzędu do każdego podprzedziału z osobna i zsumowaniem tak uzyskanych
wyników.
Dla zorientowania się, jaki jest wpływ gęstości podziału przedziału całkowania na dokładność wyniku
finalnego rozwiążemy zadanie (11) tak dobierając liczbę podprzedziałów całkowania o jednakowej
długości w każdej z metod, aby wynik finalny uzyskać z błędem względnym procentowym
nie przekraczającym 0,003%. Wyniki tych obliczeń przedstawiono w Tablicy 3.
5

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Tablica 3. Porównanie efektywności metod całkowania
n
Newton
Gauss
h ile całka błąd h ile całka błąd
1 0,00011 26850 2,545100 0,003% 0,05000 60 2,545255 0,003%
2 0,03488 87 2,545101 0,003% 0,60000 10 2,545230 0,002%
3 0,30000 11 2,545098 0,003% 1,50000 6 2,545224 0,002%
4 0,20000 13 2,545142 0,003% 3,00000 4 2,545254 0,003%
W kolejnych kolumnach tablicy, dla obydwu metod całkowania, przedstawiono długość pojedynczego
przedziału całkowania (h), całkowitą liczbę punktów, w których należało obliczyć wartość
funkcji podcałkowej (ile), obliczoną wartość całki (całka) oraz błąd względny procentowy uzyskanego
wyniku w stosunku do wartości ścisłej (błąd).
Ponieważ zasadniczym czynnikiem wpływającym na czas całkowania jest liczba obliczeń wartości
funkcji podcałkowej, zgodnie z oczekiwaniem okazało się, że najbardziej efektywna z rozważanych
powyżej jest czteropunktowa kwadratura Gaussa.
Problemem z którym spotykamy się dość często przy numerycznym całkowaniu jest problem granic
niewłaściwych (czyli w − ∞ lub + ∞ ). Możemy sobie z nim poradzić na dwa sposoby:
• przez odpowiednią zmianę zmiennych (typu x =
1
t ):
b
∫
a
1
a
1 ⎛1⎞
f ( x)
⋅dx
= ∫ ⋅ f ⎜ ⎟⋅dt
; (20)
2
1 t ⎝ t ⎠
b
• zastosowanie kwadratur specjalnych:
∞
∫
0
∞
∫
x
0
∞
∫
α
−∞
(1 − x)
e
α
⋅e
−x
−x
2
⋅ f ( x)
⋅dx
=
⋅(1
+ x)
⋅ f ( x)
⋅dx
=
β
∑
n
∑
j=
1
n
j=
1
⋅ f ( x)
⋅dx
=
w ⋅ f ( x )
j
j
w ⋅ f ( x )
n
∑
j=
1
j
j
j
w ⋅ f ( x )
j
, (21)
kwadratury te noszą odpowiednio nazwy Gaussa–Laguerre’a, Gaussa–Hermita i Gaussa–
Jacobiego.
Stosując kwadratury te należy pamiętać o tym, że ich współczynniki (położenia węzłów i wagi) są
określone i mogą być używane jedynie wówczas gdy przedział całkowania i funkcja podcałkowa
mają postać dokładnie taką jak we wzorach (21).
W przypadku osobliwości całkowalnej (np. typu (22) ) powinniśmy najpierw przez odpowiednią
zmianę zmiennych pozbyć się osobliwości i dopiero wtedy zastosować którąś z standardowych
kwadratur.
1
( x − a)
Stosowne wzory przedstawiono poniżej:
γ
,
0 ≤ γ < 1
. (22)
b
∫
a
x − a = t
1−γ
( b−a)
1
f ( x)
⋅dx
= ⋅
−
∫ t
1 γ
0
1−
1
γ
1−
1
γ
⋅ f ( t
1−
1
γ
+ a)
⋅dt
. (23)
6

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Rozpatrzmy takie postępowanie na bardzo prostym przykładzie:
4
2
⎧ x = t ⎫
⎩dx
= 2⋅t
⋅ dt⎭
2
∫ ⋅ dx = ⎨ ⎬ = 2⋅∫cos(
t ) ⋅
0
cos( x)
x
2
0
dt
. (24)
W przypadku całkowania w obszarze dwuwymiarowym korzystamy z twierdzenia, że całkowanie w
takim obszarze po powierzchni czworokąta D może być zastąpione całkowaniem po powierzchni
obszaru wzorcowego (kwadrat ∆ ). Warunkiem poprawności tego postępowania jest skonstruowanie
odwzorowania, w którym obszar D jest przedstawiony jako obraz obszaru ∆ . Stosowne odwzorowanie
można zbudować posługując się wielomianami interpolacyjnymi Lagrange’a w dwóch
wymiarach (patrz rozdział dotyczący interpolacji, wzory (68) i następne, w których elementem
wzorcowym jest obszar ∆ , a wzory transformacyjne x = u( ξ,
η)
i y = v( ξ,
η)
mają postać (69)).
Wówczas, jeżeli tylko spełniona jest zależność:
dla każdego punktu obszaru ∆ , to prawdziwy jest wzór:
∫∫
D
∂u(
ξ,
η)
∂u(
ξ,
η)
∂ξ ∂η
J =
≠ 0 , (25)
∂v(
ξ,
η)
∂v(
ξ,
η)
∂ξ ∂η
∫∫
∆
( u( ξ,
η) , v( ξ,
η)
)
f ( x,
y)
⋅dxdy
= f
⋅ J ⋅dξdη
, (26)
i wtedy całkę w dwóch wymiarach można obliczyć jako złożenie dwóch całek w jednym wymiarze,
co ostatecznie prowadzi do zależności:
∫∫
D
f
N N
x y
( x y) ⋅dxdy
= w ⋅ w ⋅ F( x( ξ , η ),
y( ξ , η
)
∑∑
, , (27)
j = 1j
= 1
x
y
j
x
j
y
j
x
j
y
j
x
j
y
gdzie:
F
∂x
∂x
4
4
⎛
⎞ ∂ξ ∂η
, ⋅ yi
⎟⋅ , (28)
⎝ i= 1
i=
1 ⎠ ∂y
∂y
∂ξ ∂η
( ξ η) = f ⎜∑
Ni( ξ,
η) ⋅ xi
, ∑ Ni( ξ,
η)
(patrz wzory (69) w rozdziale dotyczącym interpolacji).
Warto zauważyć, że ze wzorów (27) wynika możliwość całkowania w kierunkach ξ i η przy użyciu
kwadratur różnego rzędu (z różną dokładnością). Postępowanie takie może być uzasadnione w
przypadku rozwiązywania zadań, w których zmienne podstawowe mają różny charakter (np. przestrzeń
i czas).
Podaną procedurę można łatwo uogólnić na przypadki całkowania w obszarze trój i więcej wymiarowym.
7