Metody numeryczne cz. 10 - Instytut Metod Komputerowych w ...

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Równania różniczkowe zwyczajne
W najprostszym przypadku poszukujemy funkcji jednej zmiennej rzeczywistej x w postaci:
y( x)
której pochodna y' ( x)
ma spełniać równanie dane jako:
y ( x) f ( x,
y( x)
)
lub w skrócie:
y = , (1)
' = , (2)
( x y)
y '= f , . (3)
W ogólności tak postawiony problem ma nieskończenie wiele rozwiązań, spomiędzy których wybieramy
rozwiązanie szczególne, spełniające dodatkowy warunek, zwany warunkiem początkowym
– poszukujemy takiej funkcji (1), która dla danego x
0
spełnia:
Zadanie (2), (4) można uogólnić na przypadki:
• układu n równań różniczkowych zwyczajnych:
'
⎧ y1
⎪ '
y2
⎨
⎪
⎪ '
⎩yn
y ( x 0
) = y0
; (4)
( x) = f1( x,
y1( x) , y2( x) ,..., yi
( x) ,..., yn( x)
)
( x) = f ( x,
y ( x) , y ( x) ,..., y ( x) ,..., y ( x)
)
2
( x) = f ( x,
y ( x) , y ( x) ,..., y ( x) ,..., y ( x)
)
n
1
1
2
M
2
i
i
n
n
, (5)
n nieznanych funkcji rzeczywistych y i
( x),
i = 1,2,..., i,...,
n zmiennej rzeczywistej x z warunkiem
początkowym:
y
y
y
1
2
( x0
)
( x )
0
M
= y
= y
10
20
( x0
) =
0
n
y n
• równania różniczkowego rzędu wyższego niż pierwszy:
y
( )
( m ) ' ''
( m−1
( x) f x,
y( x) , y ( x) , y ( x) ,..., y )
( x)
; (6)
= , (7)
jednej funkcji rzeczywistej (1) z warunkiem początkowym:
'
' ''
'' ( m−1
( ) ( ) ( ) ) ( m−1)
x = y , y x = y , y x = y ,..., y ( x ) = y
y . (8)
0
0
0
0
0
Przypadek drugi z rozważanych powyżej zawsze można sprowadzić do przypadku pierwszego poprzez
ciąg podstawień:
z
m
z
z
( x) = y( x)
'
( x) = y ( x)
1
2
M
( m−1
( x) = y )
( x)
⇒
'
z
m
'
z
1
'
z
0
( x) = z2( x)
( x) = z ( x)
2
M
'
zm−
1( x) = zm( x)
( x) = f ( x z ( x) , z ( x) ,..., z ( x)
)
3
,
1 2
0
m
0
. (9)
1

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
Ze względu na sposób postępowania numerycznego, metody rozwiązania problemu (2) z warunkiem
(4) można podzielić na dwie kategorie:
• metody jednokrokowe (znane również pod nazwą samostartujących), należą tu na przykład
metoda Eulera, bądź metody typu Rungego – Kutty,
• metody wielokrokowe (znane także jako metody typu predyktor – korektor), do których należą
np. metody Adamsa – Bashforda (predyktor) i Adamsa – Moultona (korektor).
Metody jednokrokowe można zapisać przy pomocy następujących wzorów:
⎛
s
⎞
ki
= f
⎜ xn
+ h ⋅αi, yn
+ h ⋅∑βij
⋅ k
j
⎟ , (10)
⎝
j=
1 ⎠
s
y
n+ 1
= yn
+ h ⋅∑
wi
⋅ ki
, wi
≥ 0 , (11)
i=
1
wynikających z rozwinięcia poszukiwanej funkcji (1) w otoczeniu punktu y n
w szereg Taylora.
Konkretne wartości współczynników w
i
, α
i
i β
ij
w przypadku metod jawnych, dla których musi
być spełniony warunek s ≤ i we wzorze (10), przedstawiają się następująco:
• dla metody Eulera w = 1
1 , α = 0 , β = 0
1 11
y
k
n+
1
=
, czyli:
( x y )
1
f
n,
= y
n
n
+ h⋅k
1
; (12)
• dla metody Rungego – Kutty II rzędu w = 1
0 , w = 1,
α = 0 , 1
2 1
α
2
=
2
, β = 11
0 i 1
β
22
=
2
, czyli:
k
2
y
=
n+
1
f
k1
= f ( xn,
yn
)
1
1
( xn
+
2
⋅h,
yn
+
2
⋅h
⋅k1
)
y + h⋅( 0⋅k
+ 1⋅k
)
=
n
1
2
; (13)
1
1
1
1
• dla metody Rungego – Kutty IV rzędu w
1
=
6
, w
2
=
3
, w
3
=
3
, w
4
=
6
, α = 1
0 , 1
α
2
=
2
,
1
α
3
=
2
, α = 4
1 , β = 0 , 1
1
11
β
22
=
2
, β
33
=
2
i β = 44
1 czyli:
y
n+
1
k
k
2
3
= y
=
k
n
=
4
f
f
=
+ h
k1
= f ( xn,
yn
)
1
1
( xn
+
2
⋅ h,
yn
+
2
⋅ h⋅
k1)
1
1
( xn
+
2
⋅h,
yn
+
2
⋅h⋅k2
)
f ( xn
+ h,
yn
+ h⋅k3)
1 1 1 1
⋅( ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
)
We wzorach (13) i (14) wszystkie współczynniki β
ij
, dla których
6
1
3
2
3
3
6
4
. (14)
i ≠ j , są równe zeru.
ść
Metoda Eulera jest metodą rzędu pierwszego, czyli różnica pomiędzy ścisłą yn
+ 1
a przybliżoną y
n+ 1
wartością rozwiązania w kolejnym punkcie x
n+ 1
zmienia się z pierwszą potęgą h . W metodzie
Rungego – Kutty II rzędu różnica ta zmienia się z drugą, w metodzie IV rzędu z czwartą potęgą h .
Dla ilustracji toku postępowania przy rozwiązywaniu problemu początkowego każdą z wymienionych
powyżej metod, zastosujmy je do wykonania trzech kolejnych kroków w poszukiwaniu numerycznego
rozwiązania zadania:
2

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
dz 3⋅
z − 5
= , (15)
dt t + 1
przy warunku początkowym:
t
0
= 2,0
, z0
= z( t0
) = 2, 0 , (16)
1
z krokiem ∆t = h =
2
. Problem ten ma rozwiązanie ścisłe w postaci funkcji z () t danej wzorem:
k
k
( )
+1 5
()
3 z = t
ść t + . (17)
81 3
Metoda Eulera
Iteracja pierwsza:
3⋅
z0
+ 5 3⋅
2,000000 − 5
f
0
= f ( t0,
z0
) = =
= 0, 333333 , (18)
t + 1 2,000 + 1
0
z = z + h⋅
f = 2,000000 + 0,500⋅0,333333
2,166667 . (19)
1 0 0
=
Iteracja druga:
3⋅
z1
+ 5 3⋅2,166667
− 5
f
1
= f ( t1,
z1
) = =
= 0, 428571 , (20)
t + 1 2,500 + 1
1
z = z + h ⋅ f = 2,166667 + 0,500⋅0,428571
2,380952 . (21)
2 1 1
=
Iteracja trzecia:
3⋅
z2
+ 5 3⋅2,380952
− 5
f
2
= f ( t2,
z2
) = =
= 0, 535714 , (22)
t + 1 3,000 + 1
2
z = z + h⋅
f = 2,380952 + 0,500⋅0,535714
2,648810 . (23)
3 2 2
=
{} 1
= f ( t , z )
1
1
( t + ⋅h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 1
{} 1
2
=
f
0
2
0
k
2
1
1
Metoda Rungego – Kutty II rzędu
0
0
3⋅
=
{} 1
Iteracja pierwsza:
3⋅
z0
− 5
= =
t + 1
0
1 {} 1
( z + ⋅h⋅k
) − 5 3⋅( 2,000000+
0,5⋅0,500⋅0,333333)
0
t
0
+
2
1
2
1
⋅h
+ 1
3⋅2,000000−5
2,000+
1
=
= 0,333333
2,000+
0,5⋅0,500+
1
−5
= 0,384615
, (24)
z = z + h⋅k
= 2,000000 + 0,500⋅384615
2,192308 . (25)
1 0 2
=
{} 2
= f ( t , z )
1
1
( t + ⋅ h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 2
{} 2
2
=
f
1
2
1
2
k
1
1
1
1
3⋅
=
{} 2
Iteracja druga:
3⋅
z1
− 5
= =
t + 1
1
{} 2
( z1
+ ) 1
2
⋅h⋅k1
− 5 3⋅( 2,192308+
0,5⋅0,500⋅0,450549) −5
=
= 0, 510623
t
1
+
1
2
⋅h
+ 1
3⋅2,192308−5
2,500+
1
= 0,450549
2,500+
0,5⋅0,500+
1
, (26)
z = z + h⋅k
= 2,192308 + 0,500⋅0,510623
2,447619 . (27)
2 1 2
=
3

k
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
{} 3
= f ( t , z )
1
1
( t + ⋅h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 3
{} 3
2
k
k
k
k
k
k
=
f
2
2
2
k
2
1
1
2
2
3⋅
=
{} 3
Iteracja trzecia:
3⋅
z2
− 5
= =
t + 1
2
1 {} 3
( z + ⋅h⋅k
) − 5 3⋅( 2,447619+
0,5⋅0,500⋅0,585714)
2
t
2
+
2
1
2
1
⋅h
+ 1
3⋅2,447619−5
3,000+
1
4
=
= 0,585714
3,000+
0,5⋅0,500+
1
−5
= 0,654622
, (28)
z = z + h⋅k
= 2,447619 + 0,500⋅0,654622
2,774930 . (29)
3 2 2
=
{} 1
= f ( t , z )
1
1
( t + ⋅h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 1
{} 1
2
1
1
( t + ⋅h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 1
{} 1
3
=
=
k
f
f
( t + h,
z + h⋅k
)
{} 1
{} 1
4
0
0
=
f
2
2
0
0
0
1
0
=
k
2
2
1
z = z
0
1
2
3
+ h⋅
Metoda Rungego – Kutty IV rzędu
0
0
3⋅
=
3⋅
=
3⋅
=
2,000000 + 0,500 ⋅
Iteracja pierwsza:
3⋅
z0
− 5
= =
t + 1
0
1 {} 1
( z + ⋅h⋅k
) − 5 3⋅( 2,000000+
0,5⋅0,500⋅0,333333)
0
t
⋅h
+ 1
0
1 {} 1
( z + ⋅h⋅k
) − 5 3⋅( 2,000000+
0,5⋅0,500⋅0,384615)
0
t
⋅h
+ 1
0
{} 1
( z + h⋅k
) − 5 3⋅( 2,000000+
0,500⋅0,396450)
0
t
0
+
+
2
2
1
2
1
2
3
+ h + 1
1
2
3⋅2,000000−5
2,000+
1
1 {} 1 1 { 1} 1 { 1} 1 { 1}
( ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
)
6
1
=
=
=
= 0,333333
2,000+
0,5⋅0,500+
1
2,000+
0,5⋅0,500+
1
2,000+
0,500+
1
−5
1
( ⋅0,333333+
1⋅0,384615+
1⋅0,396450+
1⋅0,455621) = 2, 195924
6
{} 2
= f ( t , z )
1
1
( t + ⋅ h,
z + ⋅ h⋅
k )
{} 2
{} 2
2
1
1
( t + ⋅ h,
z + ⋅ h⋅
k )
{} 2
{} 2
3
=
=
k
( t + h,
z + h⋅
k )
{} 2
{} 2
4
f
f
1
1
=
f
2
2
1
1
1
1
1
=
2
2
k
0
1
z = z
1
2
3
+ h⋅
1
1
3⋅
=
3⋅
=
3⋅
=
2,195924 + 0,500 ⋅
3
2
3
3
Iteracja druga:
3⋅
z1
− 5
= =
t + 1
3
3
6
1
1 {} 2
( z + ⋅ h⋅
k ) − 5 3⋅( 2,195924+
0,5⋅0,500⋅0,453649)
1
⋅ h + 1
1
1 {} 2
( z + ⋅ h⋅
k ) − 5 3⋅( 2,195924+
0,5⋅0,500⋅0,514135)
1
⋅ h + 1
1
{} 2
( z + h⋅k
) − 5 3⋅( 2,195924+
0,500⋅0,526233)
1
t
t
1
2
+
2
+
1
2
1
2
3
t + h + 1
1
2
4
3⋅2,195924−5
2,500+
1
1 {} 1 1 { 1} 1 { 1} 1 { 1}
( ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
)
6
1
=
=
=
6
=
= 0,453649
2,500+
0,5⋅0,500+
1
2,500+
0,5⋅0,500+
1
2,500+
0,500+
1
−5
1
( ⋅0,453649+
1⋅0,514135+
1⋅0,526233+
1⋅0,594280) = 2, 456646
6
{} 3
= f ( t , z )
1
1
( t + ⋅h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 3
{} 3
2
1
1
( t + ⋅h,
z + ⋅h⋅k
)
{} 3
{} 3
3
=
=
k
( t + h,
z + h⋅k
)
{} 3
{} 3
4
f
f
2
2
=
f
2
2
2
2
2
2
k
2
2
1
1
2
3
2
2
3⋅
=
3⋅
=
3⋅
=
3
2
3
3
3
Iteracja trzecia:
3⋅
z2
− 5
= =
t + 1
3
6
4
2
1 {} 3
( z + ⋅h⋅k
) − 5 3⋅( 2,456646+
0,5⋅0,500⋅0,592484)
2
⋅h
+ 1
2
1 {} 3
( z + ⋅h⋅k
) − 5 3⋅( 2,456646+
0,5⋅0,500⋅0,662188)
2
⋅h
+ 1
2
{} 3
( z + h⋅k
) − 5 3⋅( 2,456646+
0,500⋅0,674489)
2
t
t
t
2
+
+
2
2
1
2
1
2
3
+ h + 1
1
2
3⋅2,456646−5
3,000+
1
=
=
=
6
=
= 0,592484
3,000+
0,5⋅0,500+
1
3,000+
0,5⋅0,500+
1
3,000+
0,500+
1
−5
−5
−5
= 0,384615
= 0,396450
= 0,455621
−5
−5
, (30)
. (31)
= 0,514135
= 0,526233
= 0,594280
−5
−5
, (32)
. (33)
= 0,662188
= 0,674489
= 0,751483
, (34)

z = z
1
=
0
+ h⋅
2,456646 + 0,500 ⋅
Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
1 {} 1 1 { 1} 1 { 1} 1 { 1}
( ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
+ ⋅k
) =
6
1
1
( ⋅0,592484+
1⋅0,662188+
1⋅0,674489+
1⋅0,751483) = 2, 791423
6
3
2
3
3
3
3
6
4
6
. (35)
W tablicach 1 i 2 zestawiono błąd bezwzględny i błąd względny procentowy popełnione przy obliczaniu
wartości funkcji z () t w punkcie t = 3, 500 przedstawionymi powyżej metodami przy różnych
długościach kroku ∆ t . Wartość rozwiązania analitycznego w tym punkcie, użyta do wyznaczenia
błędów bezwzględnego (błąd 1) i względnego procentowego (błąd 2) przedstawionych w kolumnach
4 i 5 tablicy, jest równa z ( 3 ,500) = 2, 791667
ść
.
Tablica 1. Błąd rozwiązania przybliżonego w zależności od długości kroku obliczeń.
Krok Metoda Wartość Błąd 1 Błąd 2 [%] Lof
Euler 2,648810 0,142857 5,117265 3
0,5000 Runge-Kutta II 2,774930 0,016737 0,599534 6
Runge-Kutta IV 2,791423 0,000244 0,008740 12
0,0500
0,0050
0,0005
Euler 2,773488 0,018178 0,651160 30
Runge-Kutta II 2,791455 0,000212 0,007594 60
Runge-Kutta IV 2,791667 0,000000 0,000001 120
Euler 2,789798 0,001869 0,066953 300
Runge-Kutta II 2,791665 0,000002 0,000078 600
Runge-Kutta IV 2,791667 0,000000 0,000000 1200
Euler 2,791479 0,000187 0,006714 3000
Runge-Kutta II 2,791667 0,000000 0,000000 6000
Runge-Kutta IV 2,791667 0,000000 0,000000 12000
W ostatniej kolumnie tablicy 1 (Lof) przedstawiono liczbę obliczeń wartości funkcji stojącej po
prawej stronie równania (15) koniecznych do wyznaczenia rozwiązania zapisanego w kolumnie
trzeciej.
Jak wynika z powyższej tablicy dziesięciokrotne zmniejszenie długości kroku całkowania powoduje
zmniejszenie błędu względnego rozwiązania w metodzie Eulera około dziesięć razy, w metodzie
Rungego – Kutty II rzędu około sto razy i w metodzie Rungego – Kutty IV rzędu około dziesięć tysięcy
razy. Jest to zgodne z stwierdzeniem dotyczącym rzędu każdej z rozważanych metod, zawartym
na stronie drugiej.
Wyznaczenie wartości rozwiązania przybliżonego w kolejnym punkcie wymaga jednokrotnego obliczenia
prawej strony równania (2) w wypadku stosowania metody Eulera, dwukrotnego dla metody
Rungego – Kutty II rzędu i czterokrotnego dla metody Rungego – Kutty IV rzędu. W realnych
zadaniach obliczanie prawej strony równania (2) jest najbardziej czasochłonną czynnością w każdej
iteracji. Wobec tego, aby metoda Rungego – Kutty II rzędu była konkurencyjna w stosunku do metody
Eulera, musi dawać wyniki takiej samej dokładności przy dwukrotnie dłuższym kroku obliczeń,
a metoda Rungego – Kutty IV rzędu przy czterokrotnie dłuższym. Jak widać z tablicy 1 (wiersze
11, 6 i 4) warunki te są spełnione z naddatkiem, gdyż uzyskanie wyniku porównywalnego z
wynikiem uzyskanym w trzech krokach metodą Rungego – Kutty IV rzędu (wiersz czwarty tablicy)
kosztem dwunastokrotnego obliczenia prawej strony (15) wymaga wykonania około 30 kroków metodą
Rungego – Kutty II rzędu (wiersz szósty tablicy) czyli sześćdziesięciokrotnego obliczenia
prawej strony (15) i 3000 kroków metodą Eulera (wiersz jedenasty tablicy) czyli obliczenia prawej
strony (15) trzy tysiące razy. Tak więc, spośród trzech prezentowanych metod metoda Rungego –
Kutty IV rzędu jest najbardziej efektywna w zastosowaniach praktycznych.
5

Michał Pazdanowski
Instytut Technologii Informacyjnych w Inżynierii Lądowej
Wydział Inżynierii Lądowej
Politechnika Krakowska
8
7
6
e
rk2
rk4
5
an
4
3
2
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
Rys. 1 Rozwiązanie problemu początkowego (15), (16) w przedziale metodami Eulera (e), Rungego
– Kutty II rzędu (rk2) i Rungego – Kutty IV rzędu (rk4) z krokiem . Dla porównania na
wykresie naniesiono również wartości analityczne rozwiązania (an).
W metodach wielokrokowych typu Adamsa – Bashforda i Adamsa – Moultona
t
6