tymczasowy link do wykładu - Instytut Metod Komputerowych w ...

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
– PROBLEM POCZĄTKOWY
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
Budownictwo, studia I stopnia, semestr III
Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
Ewa Pabisek
Adam Wosatko
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Równania różniczkowe zwyczajne
Równanie o postaci ogólnej:
gdzie
F ( x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y n ) = 0,
y (k) ≡ d k y(x)
d x k , k = 1, 2, . . . , n,
w którym jako niewiadoma występuje funkcja tylko jednej zmiennej niezależnej
y(x) oraz niektóre (albo wszystkie) jej pochodne y (k) (x), 0 < k n
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.
(1)
Oprócz pojedynczych równań występują również układy takich równań:
F 1 ( x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y n ) = 0,
F 2 ( x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y n ) = 0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
F n ( x, y, y ′ , y ′′ , . . . , y n ) = 0.
(2)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Równania różniczkowe zwyczajne
Pojedyncze równania różniczkowe (lub ich układy) opisują różne zjawiska
i procesy zachodzące w modelach fizycznych. Mimo tej różnorodności
występują tylko dwa zasadnicze rodzaje problemów:
1 problem początkowy,
2 problem brzegowy.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Pojedyncze równanie różniczkowe pierwszego rzędu
d y
= f (x, y(x)), x ∈ [a, b]. (3)
d x
Będziemy poszukiwać jego rozwiązania y(x) spełniającego warunek
początkowy
y(x 0 ) = y 0 . x 0 ∈ [a, b], (4)
który określa współrzędne tzw. punktu początkowego P(x 0 , y 0 ) na
płaszczyźnie 0xy , przez który ma przechodzić krzywa reprezentująca
poszukiwane rozwiązanie.
Numeryczne rozwiązywanie równania różniczkowego (3) z warunkiem
początkowym (4) polega na generowaniu ciągu punktów o współrzędnych
(x j , y j ), j = 1, 2, . . . na płaszczyźnie 0xy, startując z punktu
początkowego (x 0 , y 0 ).
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Rozwiązanie równania różniczkowego – rodzina funkcji
Na rysunku przedstawiono jednoparametrową rodzinę funkcji y(x)
spełniających warunek (3), ale niekoniecznie warunek (4).
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody jednokrokowe
Metoda Eulera
Metoda Eulera jest zaliczana z jednej strony do najprostszych, ale z
drugiej strony najmniej dokładnych spośród omawianych metod.
Iteracyjny algorytm tej metody jest oparty na następujacej formule
rekurencyjnej
y k+1 = y k + h · f (x k , y k ), x k+1 = x k + h, k = 0, 1, · · · (5)
w której x k , y k są współrzędnymi generowanych punktów, a h
przyjętym krokiem całkowania.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Eulera
Ilustracja graficzna
y k+1 = y k + h · f (x k , y k ), x k+1 = x k + h, k = 0, 1, · · ·
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Eulera – przykład
Rozwiązać równanie różniczkowe:
dy
dx = x 2 − 4 · x + 3, x 0 = 0.0, y 0 = 1.0 x ∈ [0.0, 4.0].
Obowiązują wzory:
y k+1 = y k + h · f (x k , y k ), x k+1 = x k + h, k = 0, 1, · · ·
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Eulera – przykład
Porównanie wyników numerycznych
Rozwiązanie y(x)
k x k ścisłe lsode Euler
1 0.0 1.0000000 1.0000000 1.0000000
2 0.2666667 1.6640988 1.6640988 1.7500000
3 0.5333333 2.0816790 2.0816791 2.2511111
4 0.8000000 2.2906667 2.2906667 2.5388889
5 1.0666667 2.3289877 2.3289877 2.6488889
6 1.3333333 2.2345679 2.2345679 2.6166667
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 3.4666667 1.2516543 1.2516544 1.5055556
15 3.7333333 1.6692346 1.6692346 1.7933333
16 4.0 2.3333333 2.3333334 2.2944444
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Runge-Kutty II rzędu
Istnieje cała rodzina metod o rosnącej dokładności obliczeń. W tej
rodzinie metoda Eulera stanowi metodę R-K rzędu I.
Pomysł zastosowany w metodach Runge-Kutty polega na obliczaniu
wartości f (x, y) w pewnych szczególnie dobranych punktach leżących w
pobliżu krzywej rozwiązania w przedziale (x n , x n + h) i na utworzeniu
takiej kombinacji tych wartości, która z dobrą dokładnością daje przyrost
y n+1 − y n .
Metoda Runge-Kutty II rzędu jest jednym z kolejnych wariantów (po
metodzie R-K I czyli metodzie Eulera).
Metoda ta funkcjonuje według następujacej formuły:
k 1 = h · f (x k , y k ),
k 2 = h · f (x k + h, y k + k 1 ),
(6)
y k+1 = y k + 1 2 · (k 1 + k 2 ).
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Runge-Kutty IV rzędu
Najbardziej znana metoda Runge-Kutty jest określona poniższymi
wzorami:
k 1 = h · f (x k , y k ),
k 2 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 1),
k 3 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 2),
(7)
k 4 = h · f (x k + h, y k + k 3 ),
y k+1 = y k + 1 6 · (k 1 + 2 · k 2 + 2 · k 3 + k 4 ).
i nazywa się metodą Runge-Kutty IV rzędu.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Runge-Kutty – postać ogólna
Ogólna postać wzorów dla metod Rungego-Kutty dowolnego rzędu
jest następująca:
gdzie:
y k+1 = y k + (A 1 k 1 + A 2 k 2 + · · · + A m k m ) = y k +
k 1 = h · f ( x k , y k
)
,
m∑
A i k i , (8)
i=1
k 2 = h · f ( x k + a 2 h, y k + b 21 k 1
)
,
k 3 = h · f ( x k + a 3 h, y i + (b 31 k 1 + b 32 k 2 ) ) ,
.
k i = h · f ( x k + a i h, y k + i−1 ∑ )
b ij k j
Występujące we wzorach (9) A i , a i , b ij są pewnymi stałymi
liczbowymi, znanymi z literatury.
j=1
(9)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Runge-Kutty III rzędu
Przykład algorytmu
Metoda Runge-Kutty III rzędu:
k 1 = h · f ( x k , y k
)
,
k 2 = h · f ( x k + 1 3 h, y k + 1 3 k 1)
,
k 3 = h · f ( x k + 2 3 h, y k + 2 3 k 2)
,
y k+1 = y k + ( 1
4 k 1 + 3 4 k 3)
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metoda Runge-Kutty III rzędu - Przykład
Przykład:
Obliczyć metodą Eulera wartość funkcji y(0.9) dla problemu
początkowego:
y ′ = x + y, y(0) = 0.
Obliczenia wykonać dla h = 0.3.
k 1 = h · f ( x k , y k
)
,
k 2 = h · f ( x k + 1 3 h, y k + 1 3 k 1)
,
k 3 = h · f ( x k + 2 3 h, y k + 2 3 k 2)
,
y k+1 = y k + 1 4 · (k
1 + 3k 3
)
.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody jednokrokowe
klasyczna Eulera:
k 1 = h · f (x k , y k )
y k+1 = y k + k 1
polepszona Eulera:
k 1 = h · f (x k , y k )
k 2 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 1)
y k+1 = y k + k 2
Runge-Kutty – II rzędu:
k 1 = h · f (x k , y k )
k 2 = h · f (x k + h, y k + k 1 )
y k+1 = y k + 1 2 (k 1 + k 2 )
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody jednokrokowe
Runge-Kutty typu 1 – III rzędu:
k 1 = h · f (x k , y k )
k 2 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 1)
k 3 = h · f (x k + h, y k − k 1 + 2k 2 )
y k+1 = y k + 1 6 (k 1 + 4k 2 + k 3 )
Runge-Kutty typu 2 – III rzędu:
k 1 = h · f (x k , y k )
k 2 = h · f (x k + 1 3 h, y k + 1 3 k 1)
k 3 = h · f (x k + 2 3 h, y k + 2 3 k 2)
y k+1 = y k + 1 4 (k 1 + 3k 3 )
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody jednokrokowe
klasyczna Runge-Kutty – IV rzędu:
k 1 = h · f (x k , y k ) k 2 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 1)
k 3 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 2)
k 4 = h · f (x k + h, y k + k 3 )
y k+1 = y k + 1 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )
Runge-Kutty – formuła 3/8:
k 1 = h · f (x k , y k ) k 2 = h · f (x k + 1 3 h, y k + 1 3 k 1)
k 3 = h · f (x k + 2 3 h, y k − 1 3 k 1 + k 2 )
k 4 = h · f (x k + h, y k + k 1 − k 2 + k 3 )
y k+1 = y k + 1 8 (k 1 + 3k 2 + 3k 3 + k 4 )
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody jednokrokowe
England I:
k 1 = h · f (x k , y k ) k 2 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 1)
k 3 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 4 k 1 + 1 4 k 2)
k 4 = h · f (x k + h, y k − k 2 + 2k 3 )
y k+1 = y k + 1 6 (k 1 + 4k 3 + k 4 )
Runge-Kutty-Gilla:
k 1 = h · f (x k , y k ) k 2 = h · f (x k + 1 2 h, y k + 1 2 k 1)
k 3 = h · f (x k + 1 √
2 − 1
2 h, y k + k 1 + 1 − √ 2
k 2 )
√
2 2
2
k 4 = h · f (x k + h, y k −
2 k 2 + 2 + √ 2
k 3 )
2
y k+1 = y k + 1 6 (k 1 + (2 − √ 2)k 2 + (2 + √ 2)k 3 + k 4 )
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody wielokrokowe
Metody wielokrokowe charakteryzują sie tym, że do wykonania jednego
kroku obliczeń wykorzystywane są przybliżenia obliczone w kilku
kolejnych, bezpośrednio poprzedzających krokach. W metodach tych
funkcję podcałkową interpolujemy odpowiednim wielomianem, a
następnie całkujemy ten wielomian.
W ten sposób otrzymujemy dwie rodziny metod:
algorytm metody jawnej (Adamsa-Bashfortha)
y k+1 = y k + h
n∑
β kj f k−j , (10)
j=0
algorytm metody niejawnej (Adamsa-Moultona).
y k+1 = y k + h
β kj i β ⋆ kj
są współczynnikami liczbowymi.
n∑
βkjf ⋆ k−j+1 (11)
j=0
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody wielokrokowe
y k+1 = y k + h
n∑
j=0
β ⋆ kjf k−j+1
Powyższe równanie można przedstawić w postaci:
y k+1 = y k + h
n∑
βkjf ⋆ k−j + hβ0 ⋆ f k+1 . (12)
j=0
To oznacza, że poszukiwane y k+1 jest rozwiązaniem równania
nieliniowego:
y k+1 = c k + hβ ⋆ 0 f k+1 . (13)
W związku z tym prowadzenie obliczeń za pomocą metody niejawnej
jest bardziej czasochłonne.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody wielokrokowe
Przykłady metod jawnych
Jednokrokowa metoda Adamsa-Bashfortha:
y k+1 = y k + hf k (14)
Dwukrokowa metoda Adamsa-Bashfortha:
y k+1 = y k + h )
(3f k − f k−1
2
Trzykrokowa metoda Adamsa-Bashfortha:
y k+1 = y k + h )
(23f k − 16f k−1 + 5f k−2
12
Czterokrokowa metoda Adamsa-Bashfortha:
y k+1 = y k + h )
(55f k − 59f k−1 + 37f k−2 − 9f k−3
24
(15)
(16)
(17)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody wielokrokowe
Przykłady metod niejawnych
Jednokrokowa metoda Adamsa-Moultona:
y k+1 = y k + 1 2 h (
f k + f k+1
), (18)
nosi nazwę metody trapezów.
Metoda ta może też mieć postać:
y k+1 = y k + hf k+1 (19)
i wówczas nazywa się wsteczną metodą Eulera.
Dwukrokowa metoda Adamsa-Moultona:
y k+1 = y k + h )
(5f k+1 + 8f k − f k−1
12
Trzykrokowa metoda Adamsa-Moultona:
y k+1 = y k + h )
(9f k+1 + 19f k − 5f k−1 + f k−2
24
(20)
(21)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Metody typu predyktor-korektor
Jednym ze sposobów realizacji metody wielokrokowej niejawnej jest
algorytm nazywany predyktor-korektor.
1 W każdym kroku pierwszym etapem jest tzw. predykcja, czyli
obliczanie przybliżenia początkowego za pomocą metody jawnej.
2 Drugim etapem obliczeń jest tzw. korekcja, tzn. dokonanie kilku
iteracji za pomocą metody niejawnej, które mają na celu
skorygowanie wartości obliczonego przybliżenia początkowego.
Przykład zastosowania wzorów:
1 Predyktorem może być jednokrokowa metoda Adamsa-Bashfortha:
y k+1 = y k + hf k .
2 Korektorem może być jednokrokowa metoda Adamsa-Moultona:
y k+1 = y k + hf k+1 .
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Rozwiązywanie układów równań pierwszego rzędu
Rozważmy np. równanie:
y ′′′ = f (x, y, y ′ , y ′′ ) (22)
z warunkami początkowymi: y(x 0 ) = y 0 , y ′ (x 0 ) = y ′ 0 , y ′′ (x 0 ) = y ′′
0 .
Możemy zastąpić równanie (22) układem
y ′ = u,
u ′ = v,
v ′ = f (x, y, u, v).
z warunkami początkowymi:
u 0 = y ′ 0 , v 0 = y ′′
0 , y = y 0.
(23)
Każde równanie wyższego rzędu niż jeden można zastąpić układem
równań rzędu pierwszego.
Każdy układ równań różniczkowych zawierający równania rzędu
wyższego niż jeden można również zastąpić
układem równań rzędu pierwszego.
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Rozwiązywanie układów równań pierwszego rzędu
Rozważmy układ równań rzędu pierwszego, o którym zakładamy, że
sprowadzony jest do postaci:
dy 1
dx = f 1(x, y 1 , · · · , y n )
dy 2
dx = f 2(x, y 1 , · · · , y n )
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
(24)
dy n
dx = f n(x, y 1 , · · · , y n )
Po wprowadzeniu zapisu wektorowego y(x) będzie wektorem o składowych
y 1 (x), y 2 (x), · · · , y n (x) , a F(y, x) funkcją wektorową, której składowymi są
funkcje f 1 (x, y 1 , y 2 , · · · , y n ), · · · , f n (x, y 1 , y 2 , · · · , y n ) .
Układ (24) można zapisać krótko:
dy
dx
a warunki początkowe reprezentuje wektor y 0 .
= F(x, y) (25)
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY

Równanie drugiego rzędu – przykład
Równanie ugięcia belki wspornikowej
Wyznaczyć linię ugięcia belki wspornikowej:
Rozwiązanie
Linię ugięcia belki opisuje równanie różniczkowe drugiego rzędu, dla
znanego rozkładu momentu zginającego:
d 2 v(x)
dx 2
= − M(x)
E · I .
Warunki brzegowe: v(x 0 = 0) = 0, v ′ (x 0 = 0) = 0.
Moment zginający: M(x) = − 1 2 · p y · (L − x) 2 .
Równanie ugięcia belki wspornikowej sprowadzamy do układu równań:
v ′ = ϕ ϕ ′ = 1 2 ·
p y
E · I
· (L − x)2
MATEMATYKA STOSOWANA I METODY NUMERYCZNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE – PROBLEM POCZĄTKOWY