2УДК 621.3.01Статистическая радиотехника: Учебное пособие для решения задач ивыполнения лабораторных работ. Для студентов специальностей: 160905.65«Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования», 200101.65«Приборостроение», 210302.65 «Радиотехника», 210304.65«Радиоэлектронные системы»; направления 210300.62 «Радиотехника»;направления 200100.62 «Приборостроение».Учебное пособие для решения задач и выполнения лабораторных работсодержит перечень задач, указания для выполнения расчетно-графическогозадания, лабораторных работ, выполняемых по курсу «Статистическаярадиотехника» с целью закрепления теоретических сведений, полученных врамках лекционного курса и при самостоятельном изучении. В пособииприводятся примеры решения и оформления задач.Приведены лабораторные работы по следующим разделам курса:«Вероятностные характеристики случайных сигналов», «Корреляционнаятеория случайных процессов», «Корреляционная теория случайныхпроцессов». В описаниях работ приводятся необходимые теоретическиесведения, домашние задания, контрольные вопросы, рекомендуемые длязащиты лабораторных работ, приводится список литературы.

3СОДЕРЖАНИЕВведение 41. Указания для решения задач 5Раздел 1.Основные понятия и основные законы теории вероятностей…… 7Раздел 2. Случайные величины……………………………………………….. 10Раздел 3. Случайные процессы………………………………………………... 19Раздел 4. Элементы теории массового обслуживания………………………. 24Раздел 5. Воздействие случайных процессов на линейные системы и линейные 29устройства…………………………………………………………...2 Указания для выполнения практических работ 382.1 Алгоритм подготовки к выполнению и защите лабораторных работ 382.2 Содержание работ 402.2.1. Расчетно-графическое задание«Моделирование случайных процессов» 402.2.2. Лабораторная работа«Исследование законов распределения случайных процессов» 452.2.3. Лабораторная работа«Преобразование случайных сигналов в нелинейных цепях» 49ПриложенияПриложение 1 59Приложение 2 60Приложение 3 65Приложение 4 67

4ВведениеУчебное пособие для решения задач и выполнения лабораторных работсодержит перечень задач, указания для выполнения расчетно-графическогозадания, лабораторных работ, выполняемых по курсу «Статистическаярадиотехника» с целью закрепления теоретических сведений, полученных врамках лекционного курса и при самостоятельном изучении.Учебное пособие состоит из двух разделов. В первом разделе приведенперечень задач для самостоятельного решения по различным разделам курса,представлена инструкция по выбору соответствующего варианта длястудентов. В пособии приводятся примеры решения и оформления задач.Во втором разделе приведены лабораторные работы по следующимразделам курса: «Вероятностные характеристики случайных сигналов»,«Корреляционная теория случайных процессов», «Корреляционная теорияслучайных процессов». В описаниях работ приводятся необходимыетеоретические сведения, домашние задания, контрольные вопросы,рекомендуемые для защиты лабораторных работ, приводится списоклитературы. Для самостоятельной подготовки к выполнению и «защите»работ приведен алгоритм выполнения лабораторных работ.

6Последний номер зачетной книжкиТаблица 2.НомерНомера задачварианта1 1.1 1.16 2.1 2.16 2.31 2.46 3.1 3.16 4.1 4.16 5.1 5.162 1.2 1.17 2.2 2.17 2.32 2.47 3.2 3.17 4.2 4.17 5.2 5.173 1.3 1.18 2.3 2.18 2.33 2.48 3.3 3.18 4.3 4.18 5.3 5.184 1.4 1.19 2.4 2.19 2.34 2.49 3.4 3.19 4.4 4.19 5.5 5.195 1.5 1.20 2.5 2.20 2.35 2.50 3.5 3.20 4.5 4.20 5.5 5.206 1.6 1.1 2.6 2.21 2.36 2.51 3.6 3.21 4.6 4.1 5.6 5.217 1.7 1.2 2.7 2.22 2.37 2.52 3.7 3.22 4.7 4.2 5.7 5.228 1.8 1.3 2.8 2.23 2.38 2.53 3.8 3.23 4.8 4.3 5.8 5.239 1.9 1.4 2.9 2.24 2.39 2.54 3.9 3.24 4.9 4.4 5.9 5.2410 1.10 1.5 2.10 2.25 2.40 2.55 3.10 3.25 4.10 4.5 5.10 5.2511 1.11 1.6 2.11 2.26 2.41 2.56 3.11 3.26 4.11 4.6 5.11 5.2612 1.12 1.7 2.12 2.27 2.42 2.57 3.12 3.27 4.12 4.7 5.12 5.2713 1.13 1.8 2.13 2.28 2.43 2.1 3.13 3.28 4.13 4.8 5.13 5.2814 1.14 1.9 2.14 2.29 2.44 2.2 3.14 3.29 4.14 4.9 5.15 5.2915 1.15 1.10 2.15 2.30 2.45 2.3 3.15 3.30 4.15 4.10 5.15 5.1

7РАЗДЕЛ 1.ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ТЕОРИИВЕРОЯТНОСТЕЙЗадача 1.1. В урне 6 белых и 6 черных шаров. Из урны наугад вынимают 6шаров. Какова вероятность того, что 2 из них будут белыми и 4 – черными?Задача 1.2. В урне a белых b черных шаров. Из урны вынимаются два шара.Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.Задача 1.3. Из группы в 9 карточек, перенумерованных последовательно от1 до 9, извлекают наугад две карточки. Найти вероятность того, что на карточкахбудут написаны только нечетные числа.Задача 1.4. На ста карточках написаны натуральные числа от единицы доста. Две из этих карточек вынимаются наугад. Какова вероятность того, чтопроизведение чисел, написанных на этих карточках, будет нечетным числом?Задача 1.5. На десяти из двадцати карточек написана цифра 1, а наостальных десяти – цифра 0. Пять карточек вынимают наугад. Найти вероятностьтого, что на двух карточках будет стоять цифра 1, а на трех – цифра 0(безразлично в каком порядке).Задача 1.6. В партии из 100 изделий 5 изделий бракованных. Каковавероятность того, что из 10 наугад выбранных изделий число бракованныхокажется:а) равным двум?б) не больше одного?Задача 1.7. На пяти карточках написаны цифры 1, 2, 3, 4 и 5. Две из этихкарточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются в порядке

появления. Найти вероятность того, что полученное двухзначное число будетчетным.Задача 1.8. Телефонный номер состоит из пяти цифр.Определить вероятность того, что при наборе номера наугад:а) все цифры его будут различными;б) все цифры будут одинаковыми;в) номер начнется цифрой 2;г) номер будет заканчиваться цифрами 46;д) сумма цифр будет равняться 43.8Задача 1.9. Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и потомунабирает ее наудачу.а) Определить вероятность p того, что ему придется звонить не более чем втри места;б) как изменится вероятность, если известно, что последняя цифранечетная?Задача 1.10. На отрезок AB длиной 10 см наугад бросают точку М, причемвероятность попадания точки в какой-либо подынтервал отрезка AB не зависит отего положения внутри AB и пропорциональна его длине. Какова вероятность того,что площадь квадрата, построенного на АМ, будет меньше 64 см 2 и больше 25см 2 ?Задача 1.11. На отрезок АВ длиной бросают наудачу точку М, причемвероятность попадания точки в какой-либо отрезок, внутренний по отношению кАВ, не зависит от его положения внутри АВ и пропорциональна его длине. Каковавероятность того, что площадь прямоугольника со сторонами АМ и МВ окажетсяменьше , где ?Задача 1.12. На одной дорожке магнитофонной ленты длиной 200 мзаписано сообщение на интервале 20 м, на второй независимо от первой записаноаналогичное сообщение. Определить вероятность p того, что в интервале от 60 до85 м будет непрерывная запись, если начала обоих сообщений равновозможны влюбой точке от 0 до 180 м.Задача 1.13. Спутник Земли движется по орбите, которая заключена междусеверной и южной широты. Считая падение спутника в любую точкуповерхности Земли между указанными параллелями равновозможным,определить вероятность p того, что спутник упадет выше северной широты.Задача 1.14. Три урны имеют следующий состав шаров: первая и вторая по2 белых и 3 черных, третья – 4 белых и 1 черный. Из одной урны (неизвестно

какой) взят наудачу шар, оказавшийся белым. Какова вероятность, что повторноеизвлечение шара из той же урны даст опять белый шар, если:а) первый вынутый шар возвращен в урну перед вторым извлечением?б) первый вынутый шар не возвращен в урну?Задача 1.15. Первое орудие 4-орудийной батареи пристреляно так, чтовероятность попадания равна 0,3, остальным трем орудиям соответствуетвероятность попадания 0,2. Для поражения цели достаточно одного попадания.а) Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в результате чего цельбыла поражена. Какова вероятность, что первое орудие стреляло?б) Одно из орудий произвело два выстрела, в результате чего цель былапоражена. Какова вероятность, что стреляло первое орудие?Задача 1.16. Производится бомбометание по трем складам боеприпасов,причем сбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; вовторой 0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются всетри. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.Задача 1.17. Круговая мишень (Рисунок 1.1) состоитиз трех зон: . Вероятность попадания в первуюзону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,15, в третью0,17. Найти вероятность промаха.9Рисунок 1.1Задача 1.18. Пункт А нужно связать с 10 абонентами пункта В. Каждыйабонент в среднем занимает линию 12 минут в час. Вызовы любых двух абонентовнезависимы. Какое минимальное количество каналов необходимо для того, чтобы свероятностью 0,99 в любой момент обслужить всех абонентов?Задача 1.19. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают шар и,вернув его обратно, тщательно перемешивают шары, после чего вынимают второйшар.Найти вероятность того, что:а) оба шара белые;б) первый извлеченный шар белый, а второй – черный;в) первый извлеченный шар черный, а второй – белый;г) оба шара черные.

Задача 1.20. В урне 4 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают один задругим два шара и вынутый шар обратно не возвращают.Найти вероятность того, что:а) оба шара белые;б) первый извлеченный шар белый, а второй – черный;в) первый извлеченный шар черный, а второй – белый;г) оба шара черные.10РАЗДЕЛ 2.СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫЗадача 2.1. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попаданияв мишень равна 0,3. Случайная величина Х – число попаданий. Построить рядраспределения и многоугольник распределения величины Х.Задача 2.2. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятностьпопадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. За каждое попаданиестрелку засчитывается 5 очков. Построить ряд распределения числа выбитыхочков.Задача 2.3. Стрелок ведет стрельбу по мишени до первого попадания, имеябоезапас 4 патрона. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6.Построить ряд и начертить многоугольник распределения боезапаса, оставшегосянеизрасходованным.Задача 2.4. Производится один выстрел по мишени. Вероятность попаданияравна 0,3. Построить функцию распределения числа попаданий.Задача 2.5. Производится 4 выстрела по мишени, вероятность попаданияпри каждом выстреле равна 0,3. Построить функцию распределения числапопаданий.Задача 2.6. Из группы в четыре карточки, на которых написаны цифры 1, 2,3 и 4, извлекают по одной карточке, причем извлеченную карточку возвращаютобратно. Найти закон распределения случайной величины Х, равной сумме чисел,написанных на вынутых карточках при двухкратном извлечении последних.Задача 2.7. Вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает вмишень, равна ч. Стрелок стреляет три раза. Найти закон распределения числапопаданий.Задача 2.8. Случайная величина X имеет экспоненциальную плотностьраспределения вероятностей:где a и b — постоянные.а) Найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные а и b.

б) Найти распределение F(x) случайной величины X.в) Построить графики W(x) и F(x) для случая а =1.Задача 2.9. Случайная величина X имеет плотность вероятности Коши11где c и d — постоянные.а) Найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные с и d.б) Найти функцию распределения F(x) случайной величины X.в)Построить графики W(x) и F(x) для случая d = 1.Задача 2.10. Зная, что плотность вероятности W(x) случайной величины Xопределена с помощью равенстваНайти коэффициент и интегральную функцию распределения.Определить вероятность попадания в интервал .Задача 2.11. График дифференциального закона распределения случайнойвеличины X изображен на рисунке 2.1 (закон Симпсона). Найти интегральныйзакон распределения.W(x)1-1 0 1 xРисунок 2.1Задача 2.12. Точку бросают наудачу внутрь круга радиуса R. Вероятность еепопадания в любую область, расположенную внутри круга, пропорциональнаплощади этой области. Найти законы распределения (дифференциальный иинтегральный) расстояния точки до центра круга.Задача 2.13. На отрезок АВ длиной а наугад бросают точку М, причемвероятность попадания этой точки в любой отрезок, лежащий целиком внутри АВ,зависит только от длины этого отрезка и пропорциональна ему. Найти законраспределения (дифференциальный и интегральный) площади прямоугольника со

сторонами АМ и МВ. Какова вероятность того, что площадь прямоугольникабудет меньше ?Задача 2.14. Найти и построить кривую плотности вероятностей и функциюраспределения случайной величины X, если известно, что она подчиненаравномерному закону распределения вероятностей со средним значением 5 истандартным отклонением .Задача 2.15. Производятся два независимых измерения случайной величиныX, плотность вероятностей которой12Определить вероятность Р того, что наибольшее из двух измеренных значенийбудет лежать в пределах интервала .Задача 2.16. Спусковая схема срабатывает при поступлении на ее входнапряжения свыше двух вольт. Определить вероятность срабатывания схемы отнапряжения X с плотностью вероятностейЗадача 2.17. Дальность R, на которой радиолокационная станция обнаруживаетсамолет, является случайной величиной с плотностью вероятностейКакова вероятность того, что самолет будет обнаружен до того, какдостигнет дальности ?Задача 2.18. Сообщение передается последовательностью амплитудномодулированныхимпульсов с заданным шагом квантования ( — наименьшаяразность между двумя импульсами).На сообщение накладываются шумы, распределенные по закону РелеяЕсли мгновенное значение шумов превышает половину шага квантования , топри передаче сообщения возникает ошибка.Найти, при каком минимально допустимом шаге квантования вероятностьошибки из-за шумов не превышает 0,1.Задача 2.19. Два приемника сети оповещения работают на общий усилительсовпадений (см. рисунок22).

13X1(t)Приемник I Ограничитель I Триггер IУсилительсовпаденийПриемник IIX2(t)Ограничитель IIТриггер IIРисунок 2.2Собственные шумы приемников I и II независимы и распределены понормальному закону.; .Уровни ограничения ограничителей выбраны равными; ,т. е. сигналы на входах триггеров (а следовательно, и на входах усилителясовпадений) появляются в том случае, если сигналы на выходах приемников в 2,7раза превышают эффективное значение собственных шумов приемников.Какова вероятность того, что на выходе усилителя совпадений появитсяложный сигнал тревоги, обусловленный собственными шумами приемников?Задача 2.20. На телефонной станции в течение определенного часа днявозникает в среднем п вызовов. Какова вероятность:а) что в течение промежутка времени t (некоторая доля часа) возникнетровно т вызовов?б) ...хотя бы один вызов?в) что две телефонистки с одинаковой нагрузкой (у каждой в среднем пвызовов в час) окажутся перегруженными вызовами в течение небольшогопромежутка времени t, если каждая из них может в этот промежуток обслужитьне более k вызовов?Задача 2.21. Производятся 6 выстрелов по цели. Зная, что вероятностьпопадания в цель при одном выстреле равна , найти вероятность трехпопаданий.Задача 2.22. Случайная величина К подчинена биномиальному законураспределения вероятностей, причем среднее значение , дисперсия.Определить вероятность Р того, что при однократном измерении этойвеличины результат измерения будет лежать в пределах от k=3 до k=5.Задача 2.23. Орудие делает 6 выстрелов по цели, вероятность попадания вкоторую при одном выстреле равна . Зная, что для разрушения объектадостаточно, двух попаданий, найти вероятность Р того, что объект будетразрушен.

14Задача 2.24. Завод выпускает в среднем 99,9% доброкачественных и 0,1%бракованных изделий. Какова вероятность того, что среди наугад взятых 1000изделий:а) одно окажется бракованным?б) два будут бракованными?в) число бракованных будет больше 3?Задача 2.25. Даны 1000 позиций, на каждой из которых может появиться 0или 1, причем появление 0 (или 1) на какой-либо позиции не зависит от того, чтопроисходит на других. Вероятности появления 1 или 0 (па любой позиции) равнысоответственно 0,001 и 0,999. Производится испытание, в результате которого все1000 позиций заполняются нулями и единицами. Найти вероятность того, что наданных позициях:а) не будет ни одной единицы;б) будет точно одна единица;в) будет не меньше трех единиц.Задача 2.26. Случайная величина X подчинена закону Пуассона с параметром. Доказать, что и .Задача 2.27. Случайная величина X подчиняется закону Пуассона спараметром . Пользуясь таблицами значений функции Пуассона и интегральнойфункции Пуассона, найти вероятности следующих событий:а) , если ;б) , если ;в) , если ;г) , если ;д) , если .Задача 2.28. Радиоаппаратура за 10000 часов работы в среднем выходит изстроя 10 раз. Определить вероятность Q выхода из строя радиоаппаратуры за 100часов работы.Задача 2.29. Устройство состоит из 1000 ламп, каждая из которых может свероятностью 0,0004 выйти из строя в течение определенного промежуткавремени. Какова вероятность того, что в течение этого промежутка времени:а) ни одна из ламп не выйдет из строя?б) из строя выйдет не менее 2 ламп?Задача 2.30. Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. Вероятностьотказа одного элемента в течение одного года работы равна 0,001 и не зависит отсостояния других элементов. Какова вероятность отказа двух и вероятностьотказа не менее двух элементов за год?

15Задача 2.31. Аппаратура содержит 2000 одинаково надежных элементов,вероятность отказа для каждого из них равна q = 0,0005. Какова вероятностьотказа аппаратуры, если он наступает при отказе хотя бы одного из элементов?Задача 2.32. В цифровой вычислительной машине имеют место сбои,приводящие к ошибкам. В среднем за 10 часов работы бывает одна ошибка.Какова вероятность того, что расчет окажется неправильным, если:а) задача решалась в течение 1 часа?б) задача решалась в течение 10 часов?Задача 2.33. Средняя продолжительность безотказной работы устройстваравна 1000 часам. Какова вероятность того, что за время t = 2000 часов будет неболее 3 отказов?Задача 2.34. Вероятность позвонить любому абоненту на коммутатор втечение часа равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Каковавероятность, что в течение часа позвонит 4 абонента?Задача 2.35. В течение часа коммутатор получает в среднем 60 вызовов.Какова вероятность того, что за время 30 сек, в течение которых телефонисткаотлучилась, не будет ни одного вызова?Задача2.36. Плотность вероятностей случайной величины XОпределить величину С; найти математическое ожидание и дисперсиюслучайной величины X.Задача 2.37. Плотность вероятности случайной величины X равна 0, прих < 0 и при х > 0.Определить:а) медиану и вероятное отклонение X;б) среднее, значение и дисперсию X.Задача 2.38. Случайные величины X и Y независимы и распределены позакону Коши. Доказать, что их сумма также распределена по закону Коши.Задача 2.39. Случайные величины X и Y связаны зависимостьюплотность вероятностей W(y) величины Y, если известно, что плотностьвероятностей величины X.. Найти

Задача 2.40. Каждая из случайных величин X и Y распределена равномерно винтервале [0; а].Найти плотности вероятности:а) случайной величины ;б) случайной величины .Задача 2.41. Плотность вероятности двумерной случайной величиныравна .а) Определить коэффициент .б) Найти вероятность неравенства .в) Найти вероятность неравенства .Задача 2.42. Двумерная случайная величина подчиняется законураспределения с плотностью вероятности .а) Определить коэффициент .б) Найти радиус круга с центром в начале координат, вероятность попаданияв который равна р.16Задача 2.43. Двумерная случайная величинавероятности, равную , где и .имеет плотностьНа плоскости построен эллипс, центр которого находится в началекоординат и полуоси которого (расположенные соответственно по оси абсцисс иоси ординат) относятся, как .Определить полуоси эллипса, если вероятность попадания в него точкиравна р.Задача 2.44. Двумерная случайная величинавероятностиимеет плотностьа) Найти коэффициент .б) Найти вероятность попадания в квадрат, .в) Составить интегральную функцию распределения величины .г) Определить законы распределения одномерных величин и . Являютсяли эти величины зависимыми?Задача 2.45. Система двух случайных величинраспределения с плотностьюподчинена законуНайти функцию распределения F(x, у). Определить вероятность попаданияслучайной точки в квадрат , .

17Задача 2.46. Двумерная случайная величина равномернораспределена в прямоугольнике, ограниченном прямыми.Составить:а) дифференциальный и интегральный законы распределения двумернойслучайной величины ;б) законы распределения одномерных случайных величин и .Задача 2.47. Двумерная случайная величина подчиняетсянормальному закону с плотностью вероятностиНайти законы распределения полярного радиуса-вектора R и полярного угласлучайной точки с координатами и ..Задача 2.48. Зная, что двумерная случайная величиназакону распределения Коши с плотностью вероятностиподчиненанайти плотность вероятности случайной величины .Задача 2.49. Плотность вероятности системыимеет видОпределить, зависимы или независимы случайные величины и .Задача 2.50. В процессе прицеливания пятно, изображающее цель, все времяудерживается в пределах экрана радиолокатора. Экран представляет собой круг kрадиусом R. Пятно занимает на экране случайное положение с постояннойплотностью вероятности. Найти среднее расстояние от пятна до центра экрана.Задача 2.51. Доказать, что если случайные величины и связанылинейной функциональной зависимостью,то их коэффициент корреляции равен +1 или -1, смотря по знаку коэффициента а.Задача 2.52. Плотность вероятности двумерной случайной величиныравна внутри квадрата и 0 вне его. Найти коэффициенткорреляции величии и .Задача 2.53. Показать, что случайные величиныи

некоррелированы, если некоррелированы случайные величины и ( , , и –неслучайные величины).Задача 2.54. Найти коэффициент корреляции между случайнымивеличинами и , если величина подчиняется закону равнойплотности вероятности в интервале .Задача 2.55. Найти коэффициент корреляции между случайными величинамии ,если случайная величина равномерно распределена в интервале .Задача 2.56. Доказать, что если случайные величины X и Y связанысоотношением,где а — неслучайный множитель, то их характеристические функциисвязаны соотношением.Задача 2.57. Найти характеристическую функцию случайной величины,имеющей плотностью вероятности функцию18

19РАЗДЕЛ 3.СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫЗадача 3.1. Найти одномерную характеристическую функцию нормальногопроцесса , имеющего плотность вероятности.Задача 3.2. Найти плотность вероятности случайного сигналав котором случайные функции и предполагаются независимыми водин и тот же момент времени, причем случайная фаза считаетсяраспределенной равномерно на интервале , а амплитуда имеетплотность вероятности .Задача 3.3. Найти плотность вероятности случайного сигнала ,указанного в предыдущей задаче, в том частном случае, когдаЗадача 3.4. Найти плотность вероятности гармонического колебанияимеющего постоянными амплитуду и частоту , но случайную начальнуюфазу, распределенную равномерно на интервале .Задача 3.5. Найти плотность вероятности суммыдвухнезависимых случайных процессов и , каждый из которых распределенравномерно:если .

20Задача 3.6. Найти плотность вероятности суммы, двухнезависимых случайных процессов и , плотности вероятностейкоторыхЗадача 3.7. Найти плотность вероятности разностислучайных процессов и , указанных в предыдущей задаче.Задача 3.8. Вычислить плотность вероятности суммыдвух независимых случайных процессов: гармонического колебанияс равномерно распределенной случайной фазой на интервале инормального стационарного шума с нулевым средним значением идисперсиейЗадача 3.9. Найти плотность вероятности случайного процессагде и имеет заданную плотность вероятностиЗадача 3.10. Имеются два нормально распределенных независимыхслучайных процессаимеющих одинаковые дисперсиино разные средние значения и . Найти плотность вероятности случайногопроцессаЗадача 3.11. Пусть имеется сумма двух гармонических колебаний иквазигармонического шумаДисперсия квазигармонического шума равна .Используя результат решения предыдущей задачи, найти плотность вероятностиогибающейЗадача 3.12. Найти общую формулу для одномерных моментов нормальногостационарного процесса с нулевым средним значением и дисперсией .Задача 3.13. Вычислить дисперсию случайного процесса Винера

21где– стационарный белый шум с функцией корреляцииЗадача 3.14. Вычислить дисперсию случайного процесса ,21аспределеного по закону РелеяЗадача 3.15. По известным вероятностным характеристикам системы nслучайных функцийопределить среднее значение и функциюкорреляции случайного процессаЗадача 3.16. Проверить, выполняются ли условия стационарности вшироком смысле для случайной функции временигде и – случайные величины, удовлетворяющие условиямЗадача 3.17. Определить, при каких условиях случайный процессгде– неслучайные, стационарен и нестационарен в узком смысле.Задача 3.18. Случайные величины А и Ф независимы. Среднее значение идисперсия первой из них равны соответственно 0 и ; вторая подчиняется законуравномерного распределения на интервалеДоказать, что случайный процессстационарен ( – неслучайная величина).Задача 3.19. Определить при каких условиях случайный процессгде – постоянные, – шум, стационарен в узком смысле.Задача 3.20. Имеется стационарный случайный процесс с нулевымсредним значением и функцией корреляции. Выполняется ли длятакого процесса условие эргодичности?Задача 3.21. Найти функцию корреляции сигнала

где – стационарный случайный процесс с известной функцией корреляции; и – постоянные величины, а – случайная начальная фаза,равномерно распределенная на интервале и не зависящая от .Задача 3.22. Случайный процесс имеет функцию корреляциинайти корреляционную функцию процессаЗадача 3.23. По известной функции корреляции стационарногослучайного процесса определить функцию корреляции процесса22Задача 3.24. Найти физическую спектральную плотность случайногопроцессагде – стационарный белый шум с функцией корреляции , –постоянная амплитуда, а – случайная начальная фаза, равномернораспределенная на интервале .Задача 3.25. Найти энергетический спектр случайного процесса с функциейкорреляции.Задача 3.26. Пусть стационарный нормальный шумспектральную плотность в низкочастотной полосе шириной Fимеет равномернуюДоказать, что значения случайной функции в точках отсчета, отстоящихдруг от друга на интервал временигдестатически независимы.Задача 3.27. Показать, что для нормального стационарного шумаограниченным, но неравномерным спектром видасзначения в точках отсчета зависимы.

Задача 3.28. Найти спектральную плотность случайного процесса сфункцией корреляции23Задача 3.29. Пусть случайные стационарные процессы и имеютнепрерывный спектр и .Доказать, чтоГде и – спектральные плотности данных процессов.Задача 3.30. Пусть– стационарный случайный процесс иГде и – ограниченная и абсолютно интегрируемая наположительной полуоси функция. Найти среднее значение, корреляционнуюфункцию и дисперсию процесса . Показать, что при больших процессблизок к некоторому стационарному процессу, и найти характеристики этогопроцесса.

24РАЗДЕЛ 4.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯЗадача 4.1. Телефонная станция обслуживает N абонентов, которыепользуются телефоном одинаково часто и в течение часа производят λ разговоровсо средней продолжительностью разговора в часа.Доказать, что асимптотической формулой для вероятностиодновременного разговора ровно m абонентов при возрастающем общем числеабонентов служит закон Пуассона ( и λ – постоянно).Примеры:1. λ =120; m= 0, 1, 2,…, 6, 7.2. λ =120. Какова вероятность одновременного разговора не более чемсеми абонентов?3. λ =600. Какова вероятность одновременного разговора не менее чемпятнадцати абонентов?... трех абонентов?... тридцати абонентов?Задача 4.2. Найти асимптотическую формулу для вероятности потеривызова при возрастающем общем числе абонентов ( и λ – постоянно).Примеры:1. λ =120, , . Какова вероятность потери вызова?2. Сколько процентов вызовов будет потеряно, если группа в линийобслуживает λ =240 разговоров в час?3. Каково минимальное число линий, которое должна иметь группа линий,обслуживающая в среднем λ =240 разговоров в час (при часа),чтобы вероятность потери вызова не превосходила 0,005?... непревосходила 0,001?... не превосходила 0,01?4. Каково максимальное число абонентов, которое может обслуживатьгруппа в 10 линий, если каждый абонент производит в среднем тривызова в час со средней продолжительностью разговора в полторыминуты и если вероятность потери вызова не должна превосходить0,001?Задача 4.3. В результате статической обработки промежутков междузаявками в потоке получены оценки для математического ожидания и дисперсиивеличины T:

25Заменить этот поток нормированным потоком Эрланга с теми жехарактеристиками.Задача 4.4. Для простейшего потока число требований в промежуткевремени t распределено по закону Пуассона с параметром λ:а) определить при каком значении t вероятность получения в течениепромежутка времени длительностью t точно k требований достигает наибольшегозначения;б) построить зависимость при λ=1 иЗадача 4.5. Поток требований состоит из заявок на обслуживание станков.Станок остановился – поступила заявка на обслуживание, которое состоит вустранении причин остановки станка.Считая поток требований простейшим, а среднее число станков, требующихобслуживания за час, равным трем, определить:а) вероятность того, что за час потребуют обслуживания k станков;б) вероятность остановки станков за 1 час прив) вероятность того, что за 10 минут остановится больше чем один станок,если среднее время обслуживания одного станка составляет 10 минут.Задача 4.6. В результате анализа работы системы обслуживаниявыяснилось, что функция распределения времени обслуживания имеетвидгде – время в минутах.Определить:а) вероятность того, что время обслуживания не превзойдет 10 минут;б) среднее время обслуживания одного требования;в) вероятность того, что за это время обслуживание очередного требованиябудет закончено.Задача 4.7. Время обслуживания системы подчиняется показательномузакону, при котором функция распределения времени обслуживания имеетвидВычислить среднее время обслуживания и нарисовать графикипоказательного закона распределения приЗадача 4.8. Число элементов электронной машины, выходящих из строя занекоторый период, подчинено закону Пуассона с параметром . Длительность

надежней. В среднем, из общего их числа за 100 часов портится один, т.е.Предположим, что общая стоимость всех элементов первого типасоставляет a, общая стоимость всех элементов второго типа b, а потери за часпростоя машины равны c.Считая, что выход из строя одного элемента машины равносилен выходу изстроя всей машины, поток требований – простейший, время устранениянеисправности (время обслуживания) подчинено показательному закону, причемсреднее время обслуживания составляет 2 часа, определить, при какомсоотношении a, b и c монтаж машины на более надежных элементах окупится втечение 1000 часов работы машины?Задача 4.13. Какой надежностью должны обладать элементы, из которыхмонтируется электронная машина, для того, чтобы надежность всей машиныимела величину P=0,999, если среднее время обслуживания машины(время устранения неисправности) составляет 2 часа.Задача 4.14. Автоматическая телефонная станция имеет 4 линии связи. Настанцию поступает простейший поток заявок с плотностью λ=3 (вызова вминуту). Вызов, поступивший в момент, когда все линии заняты, получает отказ(предполагается, что вторичные вызовы абонентов, получивших отказ, ненарушают пуассоновского характера потока заявок). Средняя длительностьразговора 2 минуты.Найти:а) вероятность отказа ;б) среднюю долю времени , в течение которой телефонная станциявообще не загружена.Задача 4.15. Станция наведения истребителей имеет 3 канала. Каждый каналможет одновременно наводить один истребитель на одну цель. Среднее времянаведениямин. Поток целей – простейший, с плотностью λ=1,5(самолетов в минуту). Станцию можно считать «системой с отказами», так какцель, по которой наведение не началось в момент, когда она вошла в зонудействия истребителей, вообще остается не атакованной. Среднее времянаведения истребителя на цель 2 мин. Найти среднюю долю целей, проходящихчерез зону действия не обстрелянными.Задача 4.16. Узел связи обслуживает 1000 абонентов. Каждый из абонентовв среднем занимает линию связи в течение 6 минут за час. Требуется определить,какое число каналов N надо иметь, чтобы исключить длительные ожидания(вероятность того, что максимальное число одновременно поступивших вызововпревысит число каналов, не должна превышать 0,3%).27

Задача 4.17. В системе с одним каналом обслуживания число требований ичисло обслуженных заявок в единицу времени подчиняется закону распределенияПуассона. Среднее число заявок в 1 минуту λ=9,8, а среднее число обслуженныхзаявок в 1 минуту .Определить:1) вероятность того, что система находится в действии;2) математическое ожидание длины очереди;3) вероятности того, что очередь состоит из 0, 1, 2 и т.д. объектов;4) среднеквадратичное значение ;5) вероятность того, что вновь поступившему требованию совсем непридется ждать;6) среднее время ожидания .Задача 4.18. В информационную логическую машину поступаетнепрерывный поток сообщений. Конструкция машины такова, что она можетодновременно обрабатывать только одно сообщение. Если в момент поступленияочередного сообщения машина занята обработкой ранее поступившегосообщения, то новое сообщение записывается в буферную память и ждет, покабудет закончена обработка предыдущего. Информация, которая содержится вкаждом сообщении, теряет свою ценность через 2 минуты после его получения.Предположим, что среднее число сообщений в минуту равно 10, весь потоксообщений является простейшим, в среднем за минуту машина обрабатывает 20сообщений, а время обработки как случайная величина подчиненопоказательному закону.Определить вероятность Р того, что поступившее сообщение не будетсвоевременно обработано и, следовательно, потеряно.Задача 4.19. Автотранспортная контора, в которой имеется 5 машин,работающих круглосуточно, принимает заявки на срочную доставку грузов.Поток заявок – простейший, причем в среднем в час поступает одна заявка. Времяобслуживания подчинено показательному закону. Среднее время, затрачиваемоена удовлетворение одной заявки, равно 1 часу.Если число принятых и ожидающих удовлетворения заявок стало равным10, то контора прекращает прием заявок до тех пор, пока не будет обслужена,хотя бы одна очередная заявка.Определить:1) вероятность Р того, что все машины будут заняты;2) среднюю длину очереди .Задача 4.20. На станцию текущего ремонта автомашин поступаетпростейший поток заявок с плотностью λ=0,5 (машины в час). Имеется однопомещение для ремонта. Во дворе станции могут одновременно находиться,ожидая очереди, не более трех машин.28

29Среднее время ремонта одной машины(часа).Определить:а) пропускную способность системы;б) среднее время простоя станции;в) на сколько изменятся эти характеристики, если оборудовать второепомещение для ремонта.РАЗДЕЛ 5.ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИНЕЙНЫЕСИСТЕМЫ И ЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВАЗадача 5.1. На вход дифференцирующего устройства поступает случайныйпроцесс с математическим ожиданием и корреляционнойфункциейгде – постоянная дисперсия случайного процесса . Определитьматематическое ожидание и дисперсию на выходе системы.Задача 5.2. Работа линейной динамической системы описывается линейнымдифференциальным уравнением первого порядкаНа вход системы поступает стационарный случайный процессматематическим ожиданием и корреляционной функциейсгде – положительный коэффициент. Найти математическое ожидание , идисперсию на выходе системы.Задача 5.3. Найти спектральную плотность напряжения собственноготеплового шума на параллельной цепочке RC (рисунок 5.1) и построить графикзависимости от величины R для трех частот:при С=100 пФ. Вычислить дисперсию напряженияшума в полосе частот и показать, что она равна kT/C во всей полосе частот.ξ(t)R C ξ(t) C η(t)Рисунок 5.1 Рисунок 5.2

30Задача 5.4. На конденсатор С действует флуктуационный ток ,представляющий собой белый шум с функцией корреляции .Найти дисперсию напряжения на конденсаторе (рисунок 5.2).Задача 5.5. На цепочку RC (рисунок 5.3) воздействует белый шум ,имеющий среднее значение и функцию корреляцииОпределить среднее значение и функцию корреляции напряженияемкости С.наξ(t)i(t)RCη(t)Рисунок 5.3Задача 5.6. Для уменьшения уровня шума в усилителе используетсяинтегрирующая цепочка RC (рисунок 5.3).Предполагая, что входной сигнал есть белый шум с энергетическим спектром, определить, при какой наименьшей постояннойвремени RC цепочки действующее значение шума на выходе не превысит 50 мв.Задача 5.7. На вход цепочки RC (рисунок 5.4) воздействует ограниченныйпо полосе шум , энергетический спектр которогоНайти энергетический спектр процессана выходе цепочки.Cξ(t)R1R2η(t)Рисунок 5.4Задача 5.8. На цепочку RC (рисунок 5.3) воздействует стационарный шумс нулевым средним значением и функцией корреляцииОпределить функцию корреляции напряжения на емкости С.Задача 5.9. На цепь, составленную из последовательно соединенныхиндуктивности L и сопротивления R (рисунок 5.5), воздействует флуктуационноенапряжение , представляющее белый шум со спектральной плотностью

31Найти спектральную плотность напряжения шума на сопротивлении R ифункцию корреляции .ξ(t)LRη(t)Рисунок 5.5Задача 5.10. На вход цепи, изображенной на рисунке 5.6, воздействует белыйшум со спектральной плотностью . Найти спектральнуюплотность, автокорреляционную функцию и среднеквадратичное значениевыходного напряжения .ξ(t)R1LR2η(t)Рисунок 5.6Задача 5.11. На колебательный контур с передаточной функциейвоздействует случайный процессгде– отрезок (импульс) квазигармонического шума длительностьюСо средним значениеми функцией корреляцииа– стационарный белый шум с функцией корреляции.Определить:а) корреляционную функцию процесса на выходе контура;б) отношение сигнал/шум в конце импульсагде – дисперсия составляющей выходного случайного процесса ,обусловленная воздействием процесса ,– дисперсия выходного шума.Задача 5.12. Решить задачу 11 при условии, что.

32Задача 5.13. Решить задачу 11 при условии, что.Задача 5.14. На вход линейного нешумящего четырехполюсника спередаточной функцией , модуль которой определяется соотношениемвоздействует собственный шум параллельного колебательного контура срезонансной частотой (рисунок 5.7). Вычислить дисперсию напряженияна выходе четырехполюсника в зависимости от его полосы пропускания.LCξ(t)η(t)RРисунок 5.7Задача 5.15. На вход безынерционного однополупериодного линейногодетектора с характеристикойвоздействует стационарный нормальный шум с нулевым среднимзначением, функцией корреляциии равномерной спектральнойплотностью в полосе частот от до .Определить:а) среднее значение ;б) функцию корреляции ;в) спектральную плотность . Нарисовать график .Задача 5.16. На вход безынерционного двухполупериодного линейногодетектора с характеристикойвоздействует стационарный нормальный шум с нулевым среднимзначением, функцией корреляциии равномернойспектральной плотностью в полосе частот от до .Определить:а) математическое ожидание процесса на выходе детектора;б) функцию корреляции ;

Величины и равномерно распределены в интервале, а величины и в интервале , гдеи – положительное число.Пусть – сумма токов, протекающих через оба прибора в момент времени. Определить среднее значение, корреляционную функцию и дисперсиюпроцесса .Задача 5.22. Электрическая цепь состоит из источника постоянногонапряжения Е и прибора.Прибор может быть включен или выключен только в моменты времени, где ; – неслучайная положительная величина; –случайная величина, не зависящая от и подчиненная закону равномерногораспределения на интервале .Вероятность того, что прибор включен или выключен в интервале времени oтдо . равна 1/2 для всех k.Пусть – напряжение на зажимах прибора в момент . Найти среднеезначение и корреляционную функцию процесса , установить егостационарность и определить его спектральную плотность.34Задача 5.23. Сохраняя условие задачи 8, показать, что процесс стремится кбелому шуму, если в и .Задача 5.24. Определить среднее значение, корреляционную функцию испектральную платность тока в цепи, рассмотренной в задаче 8, еслииндуктивность и активное сопротивление прибора равны соответственно L и R, аемкостным током можно пренебречь.Задача 5.25. На вход перемножителя (рисунок 6.1) воздействуют стационарныеслучайные процессы и с энергетическими спектрами и, соответственно равными (рисунок 6.2).Определить энергетический спектрслучайного процесса

35на выходе перемножителя.ξ1(t)ξ2(t)хη(t)S1(ω)N1-ω1 ω1 ω-ω1-Δ/2 -ω1+Δ/2 0S2(ω) ω1-Δ/2N2ω1+Δ/2-ω2 ω2ω-ω2-Δ/2 -ω2+Δ/2 0 ω2-Δ/2 ω2+Δ/2Рисунок 6.1 и 6.2 соответственноЗадача 5.26. На приемное устройство, схема которого изображена на рисунке6.3, воздействует стационарный белый шум , спектральная плотностькоторого. Полагая, что передаточная функция линейной системыа импульсная переходная функция G(t) фильтра RCξ(t) Линейная y(t)=Y(t)cos(ω0t+Φ)Двухстороннийz(t)=Y 2 (t) u(t)квадр. детекторФильтр RCсистемаогибающейРисунок 6.3Определить:а) плотность вероятности процесса на выходе двухстороннегоквадратичного детектора огибающей;б) среднее значение процесса ;в) функцию корреляции и дисперсию ;г) среднее значение процесса на выходе фильтра RC;д) функцию корреляции и дисперсию на выходе фильтра RC.Задача 5.27. На приемное устройство, схема которого изображена на рисунке6.3, воздействует случайный процессгде – стационарный белый шум со спектральной плотностью , а– квазигармонический шумс нулевым средним значением и функцией корреляцииПередаточная функция линейной системы, как и в задаче 12, имеет вид

Определить плотность вероятности процесса , его среднеезначение и функцию корреляции для .Задача 5.28. На синхронный детектор (СД) (рисунок 6.4) воздействует суммасигнала и шумагде сигнал– модулированное по случайному законугармоническое колебание, причем – независимый от стационарныйузкополосный случайный процесс со спектральной плотностью36– стационарный шум с нулевым математическим ожиданием и спектральнойплотностьюСигнал местного гетеродинагде – постоянная.Фильтром на выходе СД служит идеальный фильтр нижних частот,пропускающий без изменения частотыи полностью подавляющий всеостальные частоты.x(t)Умножительy(t)=x(t)L(t)Фильтрнижних частотz(t)L(t)ГетеродинРисунок 6.4Найти отношение сигнал/шум на выходе фильтра нижних частот, выразивего через отношение мощностей сигнала и шума на входе.Задача 5.29. На приемник (рисунок 6.5) воздействует сигналгде – стационарный нормальный случайный процесс с нулевымматематическим ожиданием и спектральной плотностью

37x(t)Смесительξ(t) Полосовой η(t) Квадратичное ξ(t) Фильтр y(t)фильтрустройство нижних частотГетеродинРисунок 6.5Сигнал на выходе смесителя равен:где – периодическая функция времени, изображенная на рисунке 6.6.g(t)π/2-5π/2 -3π/2 -π/2 0 π/2 3π/2ω0tω0=5ω0/4Рисунок 6.6Передаточные функции полосового фильтра и фильтра нижних частотсоответственно равны:Найти:а) спектральную плотность сигнала на выходе смесителя;б) спектральную плотность сигнала на выходе фильтра нижнихчастот;в) математическое ожидание и дисперсию отклика фильтра нижнихчастот.

382. УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ2.1. Алгоритм подготовки к выполнению и защите лабораторных работПодготовку к выполнению и защите лабораторных работ дисциплины«Статистическая радиотехника» необходимо вести, придерживаясьнижеследующего порядка.1. Первоначально студенту требуется ознакомиться с целью работы.Используя приведенные основные обозначения, расчетные формулы иобозначения выполнить все пункты домашнего задания, указанного вметодических указаниях по лабораторному практикуму.1.1. Ознакомиться с содержанием предстоящей лабораторной работы,вопросами теоретического курса, предшествующими этой работе, полабораторному практикуму. При этом следует уяснить цель и объемэксперимента и выделить теоретические положения, знание которыхнеобходимо как для выполнения лабораторной работы, так и для пониманиялабораторных наблюдений.1.2 Пользуясь конспектом лекций и рекомендованной литературой,следует усвоить основные теоретические сведения, методику и техникуизмерений, которые необходимо выполнить в данной работе. При этомрекомендуется обратить внимание на допущения и упрощения, которые былиприняты при теоретическом рассмотрении соответствующих процессов,явлений, характеристик и т.п. Это поможет понять возможные расхождения стеорией результатов проводимых в лаборатории экспериментов.1.3. Продумать условия проведения лабораторного эксперимента всоответствии с описанием: наличие готовой лабораторной установки илинеобходимость ее сборки, предписанные пределы изменения тех или иныхпараметров, ожидаемые пределы изменения наблюдаемых в эксперименте

39величин и т.д.1.4. Детально изучить схему лабораторной установки, приведенную вописании. При этом надо обратить внимание на аппаратуру, которая будетиспользована во время работы, правила ее эксплуатации. (Непонятныевопросы выяснить у преподавателя накануне занятия).1.5. Продумать методику лабораторного эксперимента на основании«хода работы», представленного в пособии по лабораторным работам. Приэтом необходимо обратить внимание на последовательность операции вэксперименте, на последовательность необходимых наблюдений и наподлежащие фиксации результата эксперимента.1.6. Мысленно "провести" лабораторный эксперимент, полагая, что отначала и до конца надо самому производить все необходимые операции инаблюдения.1.7. Проделать технические расчеты и построить графики согласнодомашнему заданию.1.8. Заготовить бланк лабораторного отчета. В этом бланке надозаписать наименование, цель и краткое содержание работы, начертить схемулабораторной установки и привести необходимые предварительные данные всоответствии с заданием на лабораторную работу. Кроме того, в бланке надозаготовить соответствующие таблицы для записи протокола лабораторногоэксперимента. Форму таблиц для протокола целесообразно заготовить снекоторым запасом: если, например, для построения некоторой исследуемойхарактеристики требуется до десяти точек, предусмотрите в таблице местодля записи результатов не десяти, а двадцати измерений. Это нужно, вопервых,потому, что некоторые измерения могут оказаться ошибочными и ихпридется повторить. Во-вторых, по ходу эксперимента или построенияграфика исследуемой характеристики может потребоваться снятиедополнительных точек, например, в области экстремальных значенийхарактеристик или за пределами исследуемого диапазона.1.9. Подготовить ответы на вопросы, по основным обозначениям,расчетным формулам и обозначениям, приведенным к данной работе.1.10. Для подготовки к получению разрешения – «допуска» квыполнению лабораторной работы необходимо оформить краткий конспект,где отметить для себя цель работы, основные теоретические данные, схемуизмерительной установки и кратко законспектировать ответы на вопросы,указанные в пособии. Предполагается, что во время получения «допуска»при ответах на вопросы преподавателя студенты могут пользоваться этимиконспектами. Использование других источников во время получения«допуска» запрещается.1.11. Записать вопросы, которые остались не понятыми в ходеподготовки.Подготовку к лабораторным занятиям студент может считатьзаконченной, если он имеет ясное представление о том, что делать, какделать и что он ожидает получить в результате эксперимента.

402. После выполнения лабораторной работы на аудиторных занятияхстудент оформляет отчет, ознакомившись с требованиями содержание отчетапо работе, заносит результаты домашних расчетов и данные практическойработы (самостоятельная работа). В отношении оформления отчета стоитотметить следующее. Отчет оформляется в электронном виде один на всюкоманду. В отчете должны быть отражены цели и задачи работы, схемаизмерительной установки, ход работы, результаты работы и выводы. Каждыйиз разделов должен содержать заголовок, набранный жирным шрифтом.Раздел «Ход работы» следует сопровождать необходимыми комментариями.При составлении отчета рекомендуется:2.1. Сосредоточить основное внимание на анализе полученныхзависимостей, их объяснении и практических выводах. Выводы полабораторному эксперименту необходимо делать самостоятельно. В отчетеможно отразить мнения всех членов команды. Разумеется, эти выводы недолжны противоречить друг другу. В выводах можно выразить своикритические замечания по методам измерений и расчетам исследуемыхзависимостей и величин.2.2. Не загромождать отчет многочисленными таблицами ипояснениями, взятыми из учебника. Указать, что исследовалось, методизмерения, метод расчета, привести сопоставление результатов расчета иэксперимента в виде графиков.2.3. В отчеты по работам, включающим теоретические расчеты,вписывают необходимые расчеты по формулам с указанием размерностивсех входящих в используемую формулу физических величин. По каждой изформул числовой расчет должен быть произведен отдельно, остальныерезультаты расчета, если это необходимо, заносятся в таблицу вокончательном виде.2.4. Теоретически рассчитанные графики при сравнении их сэкспериментальными оформляют либо другим цветом, либо тем же цветом,что и экспериментальный график, но линией другого типа (пунктир, штрихпунктир,двойной штрих-пунктир и т.д.).2.5. Отчет должен заканчиваться сводкой результатов работы,оформленной в разделе «Результаты работы», и краткими выводами попроделанной работе, оформленными в одноименном разделе.Отчет по лабораторной работе засчитывается при правильномоформлении отчета, удовлетворительных результатах работы и грамотносделанных выводах.2.6. При подготовке к «защите» лабораторной работы студентпроверяет свои знания, отвечая на контрольные вопросы по работе,используют предлагаемую литературу.В следующих разделах организационно-методических указанийпредставлены темы, которые рекомендуется использовать длясамостоятельного изучения.2.2. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТ

41При изучении дисциплины «статистическая радиотехника»предлагается выполнение трех видов практических работ: расчетнографическогозадания, 2-х лабораторных работ.2.2.1. Расчетно-графическое задание«МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ»Содержание работыМоделирование случайных процессовПри компьютерном моделировании случайных процессов, например,шума в канале связи и шума при приеме радиолокационной информации,используется датчик случайных (точнее, псевдослучайных) чисел в видерекуррентной формулыX n+1 = M ·X n – D·INT(M ·X n /D).В программе EXEL для этого используется функция слчис(). В формуле X n иX n+1 – два последовательных значения случайных чисел, M и D – специальноподобранные целые величины, INT означает целое от деления с недостатком.Формула дает случайные числа, лежащие в интервале между 1 и D – 1 содинаковым средним значением и дисперсией, их последовательностьобразует реализацию дискретного стационарного случайного процесса. Приделении этих чисел на D появляются числа, равномерно распределенныемежду 0 и 1 со средним значением m 1 = 1/2 и дисперсией σ 2 = 1/12. Вычитаяиз такой реализации среднее значение, получим реализацию дискретногоцентрированного стационарного случайного процесса, распределенногоравномерно в интервале от –1/2 до 1/2. Равномерному закону распределенияудовлетворяет шум квантования (ошибка округления) при оцифровкедискретного сигнала. Если начальная фаза гармонического сигналанеизвестна, считается, что она распределена равномерно в интервале [0, 2π].В первой строке страницы программы EXEL введите функцию слчис() ископируйте её вниз в колонку длиной не менее 400-500 ячеек. В колонке Aпоявятся статистически независимые случайные числа x n c равномернымзаконом распределения, лежащие между 0 и 1. Скопируйте числа x n вколонку B (см. таблицу), используя опции EXEL правка, специальнаявставка, значения. При этом колонка А будет автоматически пересчитана, нов В числа останутся неизменными. С помощью Мастера диаграмм,Стандартные, график постройте точечный график, содержащий числа из В.Пример точечного графика показан на рис. 2.1.

42интервал10.90.80.70.60.50.40.30.20.101 28 55 8 2 10 9 1 36 163 190 217 244 271 298номер отсчетаРис.25.1. Точечный график случайных чиселПодсчитаем число точек, попавших в каждый интервал на рис.2. 1,например, в интервал от 0 до 0.1. В этот интервал попало 28 точек, вследующий, от 0.1 до 0.2 – 29 точек. Зависимость числа точек от интервала вграфическом виде дает гистограмму распределения этих случайных чисел.Гистограмма позволяет найти эмпирическую оценку плотности вероятности.A B C D0.180583 0.720258 0 00.313338 0.075269 0.1 280.371356 0.286092 0.2 290.979532 0.967634 0.3 310.695707 0.205174 0.4 290.077449 0.53846 0.5 240.594366 0.195018 0.6 340.358751 0.623174 0.7 380.134871 0.215246 0.8 290.140448 0.565352 0.9 310.056255 0.662038 1 270.211341 0.2614850.553815 0.597030.761437 0.337025

45Используя опцию график, результат поместите на рисунке (график III).Вычислите сумму чисел в колонке E, она практически не отличается от 10.4. Для того, чтобы сопоставить теоретическую и эмпирическуюгистограммы, значения частоты в колонке D следует поделить на M = N/10.Найдите эмпирический закон распределения полученной реализациислучайных чисел, поместив в колонку F их значения из колонки C,поделенные на M. Постройте гистограмму эмпирического законараспределения случайных чисел x n , поместив её на рисунке III. Сравнитетеоретический и эмпирический законы распределения.5. Функция автокорреляции характеризует статистическуюзависимость случайного процесса и его копии, задержанной на некоторыйинтервал времени, В случае дискретного случайного процесса минимальнаязадержка составляет один шаг. Скопируйте в колонку G содержимое колонкиB, сдвинув его на одну ячейку вниз. Вычислите коэффициент корреляцииисходной реализации {х n } из B и сдвинутой вниз копии из G. Для этогоиспользуется опция Вставка функции, статистические, коррел. Убедитесь,что коэффициент корреляции близок к нулю. Реализации {х n } снекоррелированными значениями – это модель белого шума.6. Строим новую таблицу в 10 колонок. Во вторую ячейку колонки Авпишите сумму 12 случайных чисел, скопируйте содержимое второй ячейкивниз в колонку А, длиной N =500-700 ячеек. Скопируйте содержимоеколонки А в колонку B, используя опции правка, специальная вставка,значения. Моделируем линейное преобразование случайного процесса х nинтегрирующей RC-цепочкой с применением формулы: yn + 1= ρ ґ yn. xn 1+A В С D E1 1 0.893802 0.6974582 5.870614 5.8706143 7.555685 7.555685 13.367594 4.481023 4.481023 11.96115 13.367595 4.149919 4.149919 8.586131 11.96115 13.367596 6.418532 6.418532 8.258338 8.586131 11.96115Коэффициент ρ выбираем винтервале 0,94…0,98. В С3записываем формулу, т.е. число изВ3 умножается на ρ, к немуприбавляется число из В2.Формула копируется вниз, по всей колонке С. Далееколонка С последовательно, каждый раз со сдвигом на1 ячейку вниз, переписывается в колонки D, E и т.д.Вычислите автокорреляционную функцию реализациислучайной последовательности {y n }. Вначале в ячейкеС1 вычисляем коэффициент корреляции междучислами в колонке С (Массив 1) и этими же числами(Массив 2). В результате получается 1 – этонормированный коэффициент корреляции. Далее в ячейке D1 вычисляемкоэффициент корреляции между колонками C и D, начиная с 5 строки,получается 0.893802. Процесс повторяется, в первой строчке записанафункция автокорреляции. Постройте её график.

462.2.2. Лабораторная работа«ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХПРОЦЕССОВ»Цель работыОзнакомление с методикой экспериментального исследованияплотностей вероятности мгновенных значений случайных процессов.Установление количественных связей между характером случайногопроцесса, его числовыми характеристиками и графиками плотностивероятности.Краткая характеристика исследуемых цепей и сигналовДля проведения этой работы достаточно использовать внутренниеисточники сигналов лабораторного стенда:• гармонические сигналы в качестве модели сигнала со случайнойначальной фазой;• “белый” шум с выхода генератора шума;• аддитивная смесь этих сигналов при различном соотношенииU m /σ.Измерение плотности вероятности мгновенных значений сигналовпроизводится с помощью ПК, работающего в режиме “ГИСТОРАММА”.Записанная в память ПК реализация исследуемого сигнала воспроизводитсяна экране монитора, а затем подвергается статистическому анализу, врезультате которого получаются графики плотности вероятности ивычисляются параметры случайного процесса (среднее значения m истандартное отклонение σ). Для контроля параметров входных сигналовиспользуются вольтметр и осциллограф. Кроме того – приборы спрограммным обеспечением PC_Lab2000, работающие совместно с ПК, дляуспешного использования которых необходимо использовать инструкцию именю Help.Получение аддитивной смеси сигналов обеспечивается сумматором(Σ) стенда.Домашнее заданиеИзучите по конспекту лекций и рекомендованной литературе разделы ослучайных сигналах и их характеристиках.

47Рассчитать дисперсии, одномерные плотности распределениявероятностей и функции распределения вероятностей гармоническихсигналов со случайными начальными фазами, равномерно распределённымина интервалах от -π до π с амплитудами U m =1.0В и U m =0.5В. Построитьграфики.Рассчитать и построить графики плотностей вероятностей и функцийраспределения вероятностей нормального шума с дисперсиями,обеспечивающими отношения сигнал/шум при амплитудах, отмеченных вп.2, U m /σ=1 и U m /σ=2.Рассчитать и построить графики плотностей вероятностей аддитивнойсмеси гармонического сигнала и шума при отношениях сигнал/шум U m /σ=1 иU m /σ=2.5. Проведите моделирование исследуемой схемы в одной изстандартных программ, например Matlab, где имеется достаточноеколичество готовых подпрограмм.*Работа с этой программой должна предшествовать выполнениюлабораторной работы на практических занятиях в компьютерном классе.Исследуйте характер изменения различных законов распределенияслучайных процессов при разных значениях среднего m и стандартногоотклонения σ.Лабораторное задание1. Получите с помощью измерительных приборов и ПК реализациисигналов, графики плотностей вероятности и их параметры (m и σ).2. Установите связь между характером реализации процесса, формойграфика плотности вероятности и его параметрами.Методические указания1. Исследование гармонических сигналов со случайной начальнойфазой.1.1. Провести калибровку физического осциллографа. Для этого можноиспользовать вольтметр, работающий в режиме измерения переменногонапряжения, вход которого соединить с источником сигнала, например, 1кГц лабораторного стенда. Ручкой регулятора выхода генератора сигналаустановить напряжение 0.707В. Следует напомнить, что измерительныеприборы показывают действующее значение гармонического сигнала:U m =U 2 =0.707 2 = 1.0В.Не меняя регулировки выходного напряжения подать полученныйсигнал на осциллограф. Отрегулировать масштаб усиления осциллографа

48так, чтобы размах сигнала по вертикали составлял 2 деления шкалы, т. е.амплитуда U m соответствует одному делению. На этом калибровка законченаи в дальнейшем менять её не рекомендуется. В результате, одна клетка наэкране осциллографа теперь соответствует 1.0В.1.2. Зафиксировать реализацию (осциллограмму) исследуемогосигнала. В случаях, когда исследуется непериодический сигнал, сделать этопо осциллографу затруднительно. В этом случае исследуемый сигнал следуетподать на гнездо «А» входа ПК на стенде, использовать приборы спрограммным обеспечением PC_Lab2000 и затем «остановить» картинку ипри необходимости изменить ее масштаб.1.3. Соединить вход “А” ПК с гнездом выхода исследуемого сигнала.При этом уровень сигнала не менять; U m =1.0В.Перевести ПК с подключением к звуковой плате в режим“ГИСТОГРАММА” (прилагаемая программа «ТЭС»).1.4. В отчёте зафиксировать:• графики плотности вероятности;• m и σ (или σ 2 );• реализацию (осциллограмму п. 1.2);• отметить условия поведённого эксперимента.1.5. Пользуясь вольтметром или осциллографом, уменьшить уровеньисследуемого сигнала в 2 раза, т.е. теперь U m будет 0.5В. (или U=0.35В).1.6. Повторить п. 1.4.2. Исследование “белого” шума.2.1. Соединив гнездо выхода ГШ со входом осциллографа, установитьнапряжение шума таким, чтобы максимальная ширина “шумовой дорожки”на экране не превышала 6 делений. Согласно “правилу трёх сигма” длянормального закона это означает, что 6σ соответствует 6 делениям, или σравно 1 делению, т. е. в соответствии с калибровкой, σ =1.0В.Соединить вход “А” ПК с гнездом выхода ГШ.2.2. Повторить п. 1.4.2.3. Контролируя напряжение шума по экрану осциллографа,уменьшить (ручкой выхода ГШ) напряжение шума в 2 раза. При этом σ будетсоответствовать половине деления, т.е. 0.5В.2.4. Повторить п. 1.4.3. Исследование аддитивной смеси гармонического сигнала и “белого”шума выполняется с помощью сумматора стенда (Σ).3.1. Подключить осциллограф к выходу сумматора. Подать на один извходов гармонический сигнал (второй вход свободен). Отрегулировать (еслинарушена регулировка) амплитуду сигнала на U m =0.5 деления осциллографа

49ручкой выхода исследуемого генератора. Затем, отключив сигнал от входасумматора, на второй его вход подать сигнал от ГШ. Ширина “шумовойдорожки” на экране осциллографа должна быть 3 деления. Принеобходимости отрегулировать выходное напряжение ГШ. Восстановитьсхему, подключив источник гармонического сигнала к входу сумматора.Таким образом, должно быть установлено соотношение сигнал/шум U m /σ =1.3.2. Повторить п. 1.4.3.3. Отключив источник ГШ, увеличить амплитуду гармоническогосигнал в 2 раза (размах сигнала на экране осциллографа должен быть 2деления), а напряжение шума сохранить прежним. Восстановить схему,подключив источник шума к сумматору. Теперь U m /σ=2.3.3. Повторить п. 1.4.3.4. Установить отношение U m /σ =3.3.5. Повторить п. 1.4.Указания к отчётуОтчёт должен содержать:1. Результаты расчётов домашнего задания.2. Структурную схему проведенных исследований.3. Результаты выполненных измерений и выводы.Контрольные вопросы1. Охарактеризовать понятия случайный процесс и его реализация?2. Нарисуйте график плотности вероятности любого сигнала. Объясните, чтоотложено по осям, размерности. Смысл понятия плотность вероятности?3. Как практически определить плотность вероятности?4. Что такое нормальный случайный процесс? Привести аналитическуюзапись.5. График ω(x) для нормальной плотности распределения и его измененияпри увеличении или уменьшении σ и m.6. Как по графику ω(x) нормального закона распределения найтиматематическое ожидание и дисперсию?7. Как определить вероятность попадания в заданный интервал ∆x по• графику плотности вероятности;• графику функции распределения.8. Физический смысл понятий математическое ожидание и дисперсияприменительно к сигналам связи?

509. Приведите примеры и определите – в чём различие стационарных инестационарных процессов?10. Что такое эргодический случайный процесс?2.2.3. Лабораторная работа«ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ ВНЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ»Содержание работыЦель работыИсследование преобразований законов распределения мгновенныхзначений случайных сигналов при прохождении через нелинейные цепи.Краткая характеристика исследуемых сигналов и цепейВ работе используется универсальный лабораторный стенд со сменнымблоком ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИГНАЛОВ В ЛИНЕЙНЫХ ИНЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ (рис. 5.3). В составе блока имеются три нелинейныебезинерционные цепи:4 – односторонний ограничитель,5 – двухсторонний ограничитель,6 – нелинейная цепь, вызывающая искажение типа “центральнаяотсечка”.В качестве источников исследуемых случайных сигналовиспользуются:• генератор шума с нормальной плотностью распределения;• диапазонный генератор гармонических колебаний сослучайной начальной фазой;• аддитивная смесь этих сигналов при разных отношенияхсигнал/шум.Кроме универсальной лабораторной установки в работе используютсяосциллограф, вольтметр и ПК, работающий в режиме “ГИСТОРАММА”, дляснятия кривых плотности вероятности (гистограмм). При анализе реализацийисследуемых процессов использовать виртуальные приборы ПК (программа«ТЭС») и приборы PC_Lab2000.

51Рис. 2.3. Сменный блок для исследования преобразованийслучайных сигналов в нелинейных цепях (блоки – 4; 5; 6;)Домашнее задание1. Изучить основные вопросы теории преобразования случайныхсигналов в нелинейных цепях по конспекту лекций и рекомендованнойлитературе.2. Выполнить моделирование законов распределения нормальногослучайного процесса с нулевым средним значением и разных значенийдисперсий; повторить расчеты для закона распределения гармоническогоколебания со случайной фазой. При расчетах использовать MathCad и Matlab,ознакомиться со стандартными программами в этих пакетах. Принятьамплитуду гармонического колебания равной U m =1В и U m =0.5В, а отношениесигнал/шум U m /σ=1; U m /σ=2; U m /σ=3.3. Рассчитать плотность распределения огибающей узкополосногонормального случайного процесса с нулевым средним значением.4. Рассчитать плотность распределения огибающей аддитивной смесигармонического колебания и узкополосного нормального случайногопроцесса с нулевым средним значением по численным данным п. 2.5. Полученные результаты привести в заготовке отчета к лабораторнойработе.Лабораторное задание1. Исследуйте прохождение сигнала с нормальным закономраспределения через нелинейные цепи.2. Исследуйте особенности преобразований законов распределения припрохождении случайных сигналов через нелинейные безинерционные цепи.

523. Исследуйте прохождение узкополосного сигнала с нормальнымзаконом распределения через амплитудный детектор.Методические указанияРисунок 2.4 –Лабораторный стенд, содержащий «Источники сигналов»и «Генератор НЧ» (диапазонный генератор).1 - Кнопка «Сеть» (вверх- включено, кнопка загораетсякрасным цветом).2 – Тумблер «Вкл/выкл.»- включение/ выключение«ГЕНЕРАТОРА НЧ».3 – Ручка «Частота- грубо» (увеличение по часовой стрелке).4 – Ручка «Частота- плавно» (увеличение по часовойстрелке).5 – Ручка «Уровень напряжения» (увеличение по часовойстрелке).Установленное значение напряжения студент определяетлибо с помощью вольтметра, либо при помощи осциллографа.6- Гнездо «Земля».7- Панель «Диапазон»- кпопки переключения частотногодиапазона:1- (25÷233) Гц;2- (0.25÷2.36) кГц;3- (2.5÷23.6) кГц;4- (25÷196) кГц.

538- Гнездо «Сигнал».9- «Индикаторное табло»- на нем выводится значениечастоты.10- «ГШ» (генератор шума, расположен на панели«Источники Сигналов» ).Рисунок 2.5- Измерительный щуп.1 - Черный провод-«Земля».2 - Красный провод «Сигнал».3 - Соединительная головка.

54Рисунок 5.6.- Осциллограф ОСУ-20.1- Фокус.2- -Яркость.3- Увеличение чувствительности в 5 раз.4- Положение по вертикали.5- Режим (кан1, кан2, два одновременно, сумма каналов).6- Инверсия.7- Положение по вертикали Y.8- Полярность.9- Уровень запуска.10- Положение по горизонтали X.11- Растяжка в 10 раз.12- Плавно/калибровка.13- Калибратор.14- Режим запуска развертки.15- Время/дел.16- Сеть.16-1- Индикатор.17- Выход калибратора.18 -Источник синхронизации.19 –Вход внеш. Синхронизации.20 – Вольт/дел. Канал Y (плавно).21 – Постоянный/переменный канал Y.22 – Канал Y.23 – Вольт/дел канал Y (дискретно).24 – Канал X.25 – Постоянный/переменный канал X.26 - Вольт/дел канал X (дискретно).

5527 - Вольт/дел канал X (плавно).28 – Заземление.29 – Поворот луча (регулировка уровня горизонтальная).Рисунок 2.7- Соединительный провод.Рисунок 2.8- Провод тира «Колокольчик».Золотым наконечником « Колокольчик»вставляется в разъем«канал А» («канал В»), который расположен на панели «Входы ПК».1. Прохождение сигнала с нормальным законом распределения черезисследуемые цепи1.1 Включить стенд (см. рис.2), для этого нажать вверх красную кнопку«Сеть» (кнопка загориться).Воспользовавшись диапазонным генератором «Генератор НЧ»,вращением ручек «Частота- грубо» (рис. 2, позиция 3) и «Частота-плавно»(рис.2, позиция 4), нажав на панели «Диапазон» (см. рис2, позиция 7) кнопку2, установить 1кГц.Установить входное напряжение «Генератор НЧ» U вх =0.35 В припомощи ручки «Уровень напряжения» (см. рис. 2, позиция 5). Чтобыубедиться в полученном напряжении входного сигнала, необходимоподсоединить диапазонный генератор «Генератор НЧ» с осциллографомОСУ-20 при помощи измерительного щупа, показанного на рисунке 3.Для подачи входного сигнала частотой 1кГц и напряжением U вх =0.35 Вот диапазонного генератора на любой из каналов осциллографа ОСУ-20

56(«CH1» (см. рис. 4, позиция 24) или «CH2» (см. рис. 4, позиция 22)необходимо:1)Вкрутить соединительную головку (рис.3, позиция 3) измерительногощупа в разъем «CH1» или «CH2» осциллографа ОСУ-20.2) Вставить черный провод измерительного щупа (рис.3, позиция 1) вгнездо «Земля» диапазонного генератора «Генератор НЧ» (рис.2, позиция6).3) Вставить красный провод измерительного щупа (рис.3, позиция 2) вгнездо «Сигнал» диапазонного генератора «Генератор НЧ» (рис.2, позиция8).4) По осциллограмме определяется и регулируется уровень подачивходного напряжения.Откалибровать осциллограф так, чтобы при U вх =0.35 В размахсинусоиды на его экране составлял ±1 деление. Для этого необходимо(описание для для канала «CH1»):1) Нажать кнопку «Сеть» (рис.4, позиция 16). Кнопка загориться.2) Движок «Режим» (см. рис. 4, позиция 5) установить в положение«СН1».3) Кнопка «Увеличение чувствительности в 5 раз» (см. рис. 4, позиция3) отжата.4) Кнопка «Инверсия» (см. рис. 4, позиция 6) отжата.5) Поставить движок «Постоянный/переменный канал X» (см. рис. 4,позиция 25) в положение «GND».6) Поворотом ручки «Положение по вертикали» (см. рис.4, позиция4)совместить светящуюся горизонтальную линию с началомкоординат.7) Поставить движок «Постоянный/переменный канал X» (см. рис. 4,позиция 25) в положение «AC».8) Установить ручку «Вольт/дел. канал X (дискретно)» (см. рис. 4,позиция 26) на «.2».9) Выкрутить ручку «Вольт/дел. канал X (плавно)» (см. рис.4, позиция27) против часовой стрелки в крайнее положение.Затем, заменив генератор 1 кГц на генератор шума (ГШ), ручкойрегулятора выхода ГШ установить ширину шумовой “дорожки” на экране ±3деления, что соответствует ±3σ (согласно “правилу трёх сигма” длянормального случайного процесса). Следовательно, σ шума соответствует 0.5В. При последующем исследовании цепей не менять ни уровня шума, ниусиления осциллографа.1.2. Подключив ГШ к входу “А” ПК, работающего в режиме“ГИСТОРАММА”, с помощью ручки регулировки входного сигнала ПК,расположенной рядом с гнездом “А”, установить на мониторе требуемуюинтенсивность сигнала (избегать перегрузки звуковой платы). Зафиксировать

57общую для всех цепей реализацию сигнала на входе, график плотностивероятности и его параметры – m и σ.! Необходимо помнить, что перед включением программы «ТЭС»ручка регулировки напряжения канала должна быть выкручена вкрайнее левое положение, чтобы защитить звуковую плату компьютераот возможных перегрузок. Затем уровень сигнала постепенноувеличивается поворотом ручки вправо.1.3. Подключив выход ГШ к входу цепи – блок 4, а ПК – к её выходу,зафиксировать входную и выходную реализации, плотности вероятностивходного ω вх (x) и выходного сигнала ω вых (x) и их параметры m и σ.1.4. Повторить п. 1.3 для цепи 5 и 6.2. Исследование законов распределения огибающей при различномотношении сигнал/шум2.1. Для получения узкополосного нормального процесса используемполосовой фильтр (цепь 3, предворительно получить АЧХ), а для полученияогибающей – амплитудный детектор, состоящий из диодного ограничителя(нелинейная цепь 4) и ФНЧ (цепь 1), как показано на рис. 3.2.2. Собрать цепь в соответствии с рис. 2. Отключив генератор шума отсумматора, подобрать частоту генератора (в районе 6 кГц), при которойпоказания вольтметра достигнут максимума. Установить выходноенапряжение генератора таким, чтобы показания вольтметра на выходецепи 3 соответствовали 0.35 В.Рис. 2.9Отключить диапазонный генератор от входа сумматора и подключитьтуда ГШ. Отрегулировать выходное напряжение ГШ так, чтобы на экранеосциллографа, подключённого к выходу цепи 3, максимальная ширинашумовой “дорожки” составляла 6 клеток (6σ=6 клеток). Если калибровка

58осциллографа, выполненная в п. 1.1 не нарушалась, то σ при этом равно 0.5В, а отношение U m /σ=0 (так как генератор отключён).2.3. Подключая ПК ко входу амплитудного детектора (вход цепи 4) и еговыходу (выход цепи 1), зафиксировать реализации и гистограммыисследуемых сигналов.2.4. Подключить диапазонный звуковой генератор ко входу сумматора иотключить источник шума. Отрегулировать выходное напряжениегенератора так, чтобы ширина осциллограммы в той же точке схемысоставляла 2 клетки (двойная амплитуда 2U m соответствует 1 В, т. е. U m =0.5В). Подключив источник шума к входу сумматора, на его выходе получимаддитивную смесь “белого” шума и гармонического сигнала при U m /σ=1.Повторить п. 2.3.2.5. Отключив шумовой генератор от входа сумматора, отрегулироватьвыходное напряжение гармонического сигнала так, чтобы ширинаосциллограммы составила 4 клетки (т. е. U m =1 В). Подключить источникшума ко входу сумматора. Если положение регуляторов выхода ненарушились, то σ по-прежнему равно 0.5 В, следовательно, U m /σ=2.Повторить п. 2.3.2.6. Повторить п. 2.5, но ширину осциллограммы (регулятором выходагенератора) установить 6 клеток. Теперь амплитуда U m =1.5 В, а отношениеU m /σ=3.Повторить п. 2.3.ОтчётОтчёт должен содержать:1. Функциональные схемы исследований и результаты домашнейподготовки.2. Результаты экспериментов с указанием условий их проведения.3. Выводы по результатам исследований.Контрольные вопросы1. Как находятся вероятностные характеристики случайных процессов принелинейных преобразованиях?2. Охарактеризуйте функцию распределения и плотность вероятности –какова их связь?3. Меняется ли форма графика ω(х) при прохождении любого случайногопроцесса черезнелинейную безинерционную цепь?4. Как учитывается многозначность нелинейных характеристик принахождении плотности распределения?5. Как получить график ω(x) на выходе нелинейной цепи?

596. Как рассчитать дисперсию и математическое ожидание на выходенелинейной цепи?7. Что такое закон Рэлея? Какой случайный процесс характеризуется этимраспределением?8. Какому закону подчиняется распределение мгновенных значенийогибающей смеси узкополосного нормального случайного процесса игармонического сигнала?9. Как рассчитать дисперсию процесса на выходе нелинейной цепи?10.Как рассчитать математическое ожидание процесса на выходе нелинейнойцепи?11.Как рассчитать отношение сигнал-шум на выходе линейного детектора?12.Как рассчитать отношение сигнал-шум на выходе квадратичногодетектора?

60ЛИТЕРАТУРА ОСНОВНАЯПриложение 11. Вентцель Е. С. Теория вероятностей: учебник для студентов вузов /Е. С. Вентцель. - 10-е изд., стереотип. - М. : Высшая школа, 2006. - 575 с.2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. :Высшее образование, 2007. - 478 с.3. Вентцель Е. С. Теория вероятностей и ее инженерные приложения:учеб. пособие для студентов вузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 4-е изд.,стереотип. - М. : Высшая школа, 2007. - 491 с.4. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностейи математической статистике: учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 10-е изд.,стереотип. - М. : Высшая школа, 2005. - 404 с.5. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: учеб.пособие для студентов вузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - 7-е изд.,стереотип. - М. : Высшая школа, 2006. - 448 с.6. http://smk.sfu-kras.ru/documentsЛИТЕРАТУРА ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ7. Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б.Р. Левин. - 3-е изд., перераб. и доп. - М. : Радио и связь, 1989. - 653 с.8. Горяинов В.Т. Статистическая радиотехника: примеры и задачи :учеб. пособие для радиотех. спец. вузов / В. Т. Горяинов, А. Г. Журавлев, В.И. Тихонов ; ред. В. И. Тихонов. - М. : Советское радио, 1980. - 543 с9. Россиев, А. И. Введение в статистическую радиотехнику: в 2-х ч. :учеб. пособие / А. И. Россиев ; Краснояр. гос. техн. ун-т. - Красноярск : ИПЦКГТУ, 1999 - .Ч. 1. - 1999. - 104 с.

61Приложение 2ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧВариант 7.Задача 1.2. (Раздел 1. Теорема сложения вероятностей).Условие задачи.Производится бомбометание по трем складам боеприпасов, причемсбрасывается одна бомба. Вероятность попадания в первый склад 0,01; во второй0,008; в третий 0,025. При попадании в один из складов взрываются все три. Найтивероятность того, что склады будут взорваны.Решение. Рассмотрим события:взрыв складов,попадание в первый склад,попадание во второй склад,попадание в третий склад.Очевидно, чтоТак как при сбрасывании одной бомбы события А1 , А2 , А3 несовместны,тоР ( А) = Р А ) + Р(А ) + Р(А ) = 0,01 + 0,008 + 0,025 0, 043 .( 1 2 3=Ответ: вероятность того, что склады будут взорваны равна 0,043Задача 3.4. (Раздел 3. Случайные величины и их законы распределения).

62Условие задачи.По одной и той же стартовой позиции противника производится пуск пятиракет, причем вероятность р попадания в цель при каждом пуске равна 0,8.Построить: 1) ряд распределения числа попаданий; 2) многоугольникраспределения; 3) функцию распределения F 1(x ) числа попаданий.Решение.Случайная величина Х (число попаданий в цель) может принять следующиезначения: x = 00 , x1= 1, x2= 2 , x = 33, x4= 4 , x = 55. Эти значения случайнаявеличина Х принимает с вероятностями p0 , p1 , p2 , p3 , p4 , p5 , которые всоответствии с формулой (1.22) равны:5 5p0= (1 − p)= 0,2 = 0,00032 ,144p1= C5p(1− p)= 5 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,0064 ,2 2 32 3p2= C5p (1 − p)= 10 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,0512 ,3 3 23 2p3= C5p (1 − p)= 10 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,2048 ,4 44p4= C5p (1 − p)= 5 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,4096 ,p 5 0,855= p = = 0,32768 .Из вычисленных значенийпопадание в цель четырьмя ракетами, в то время как промах всеми ракетамималовероятен.1. Ряд распределения имеет следующий вид:pi , i=0, 1, 2, 3, 4, 5, видно, что наиболее вероятнохi0 1 2 3 4 5pi0,00032 0,00640 0,05120 0,20480 0,40960 0,327682. В соответствии с рядом распределения вероятностей числа попаданий вцель построен многоугольник распределения, представленный на рисунке 2.4.Рисунок 2.4 Рисунок 2.53. По определению, функция распределенияПри ≤ 0F ( x)=x , F1 ( x)= P(X x)= 0 ,P(X x)= ∑ P(X = xi)1.xix

при 0 x ≤ 1при 1 x ≤ 2 , F1( x)= P(X = x0= 0) = 0, 00032 , , F1( x)= P(X = 0) + P(X = 1) = 0,00032 + 0, 00640 ,63при 2 x ≤ 3, F1( x)= ∑ P(X = x i) = 0, 05792 ,2i = 0при 3 x ≤ 4 , F1( x)= ∑ P(X = x i) = 0, 26272 ,3i = 0при 4 x ≤ 5, F1( x)= ∑ P(X = x i) = 0, 67232 ,54i = 0при x 5 , F1( x)= ∑ P(X = x i) = ∑ pi= 1.i = 0i = 0График функции распределения представлен на рисунке 2.5.5Ответ:1) ряд распределения числа попаданийхi0 1 2 3 4 5pi0,00032 0,00640 0,05120 0,20480 0,40960 0,327682) многоугольник распределения представлен на рисунке 2.4.;3) График функции распределения F ( x )1 числа попаданий представлен нарисунке 2.5.Задача 3.8. (Раздел 3. Случайные величины и их законы распределения).

64Условие задачиПлотность вероятности р 1(х ) случайной величины X имеет видр1(х)= α exp( − β x ) , − ∞ x ∞ ,где α и β – постоянные величины. Требуется:1) найти соотношение, которому должны удовлетворять постоянные и ;2) вычислить функцию распределения F 1(x ) случайной величины X;3) построить графики плотности вероятности и функции распределения при β = 2.Решение.1. Чтобы найти соотношение между постоянными и , воспользуемсяусловием нормировки для плотности вероятности. При этом учтем, что плотностьвероятности имеет разные аналитические выражения при x 0 и x 0 :∞∫− ∞∞0∞21( ) = − β x⎡⎤β x∫= ⎢ ∫ + ∫− β x αp x dx α e dx α e dx e dx ⎥ = = 1− ∞⎣ − ∞0 ⎦ βСледовательно,β = 2α .2. Функция распределения , по определению, равна:При x 0При x 03. ПриFx∫− ∞F1 ( x)= p1(z)dz .xβ z α β x1( x)α e dz = e == ∫− ∞x1− β z 1 1 1 − β x 1 − β xF1 ( x)= + α ∫ e dz = + − e = 1 − e .22 2 2 20− 2 xβ = 2 p1 ( x)= e ,Fβx1( x)=− 2х12.eβ x2⎧ 0,5e, прих ≤ 0,⎨⎩1− 0,5е, прих 0.Графики и при изображены на рисунке 2.6..

65а) б)Рисунок 2.6. Плотность вероятности (а) и функция распределения (б)непрерывной случайной величины.Ответ:1) β = 2α;2) График функции распределения F1(x)случайной величины X при β = 2представлен на рисунок 2.6 б);3) График плотности вероятности случайной величины X при β = 2 представлен нарисунок 2.6 а).ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИПриложение 3

66РАЗДЕЛ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ1. Событие. Вероятность события.2. Полная группа событий. Классическая формула для определениявероятности3. Условная вероятность4. Геометрическая вероятность5. Теорема сложения вероятностей для совместных событий6. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий7. Теорема гипотез8. Формула полной вероятности9. Формула Бейеса10. Формула БернуллиРАЗДЕЛ 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ1. Случайные величины2. Виды случайных величин3. Виды распределений дискретных случайных величин4. Функция распределения вероятностей случайных величин5. Плотность вероятности непрерывной случайной величины6. Примеры законов распределения плотности вероятности непрерывнойслучайной величины7. Примеры законов распределения дискретной случайной величины8. Математическое ожидание случайной величины9. Среднее квадратическое отклонение и дисперсия случайной величины10. Ковариационная функция11. Автокорреляционная функция12. Функция распределения двумерной случайной величины13. Плотность вероятности непрерывной двумерной случайной величины14. Формула полной вероятности для системы дискретных и непрерывныхслучайной величины15. Формула Байеса для системы дискретных и непрерывных случайнойвеличиныРАЗДЕЛ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ1. Виды случайных процессов2. Стационарные случайные процессы3. Эргодические случайные процессы4. Понятие спектра мощности стационарного случайного процесса.5. Свойства спектра мощности стационарного случайного процесса

676. Теорема Винера-Хинчина7. Центральная предельная теорема8. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел: теорема Чебышева и теоремаБернулли.9. Нормализация случайных процессов10. Измерения характеристик случайных величинРАЗДЕЛ 4. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ1. Понятие о теории массового обслуживания2. Случайный процесс со счетным множеством состояний3. Поток событий4. Нестационарный пуассоновский поток5. Поток Пальма6. Время обслуживания7. Марковский случайный процесс8. Уравнения Эрланга9. Формула Эрланга10. Система массового обслуживания с ожиданиемРАЗДЕЛ 5. ВОЗДЕЙСТВИЕ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ НА ЛИНЕЙНЫЕСИСТЕМЫ И НА ЛИНЕЙНЫЕ УСТРОЙСТВА1. Соотношение между энергетическим спектром и корреляционнойфункцией случайного процесса2. Взаимно-корреляционная функция и взаимный энергетический спектрдвух случайных процессов.3. Узкополосный случайный процесс4. Гармоническое колебание с постоянной амплитудой и частотой ислучайной фазой5. Гармоническое колебание со случайной амплитудой и постояннойчастотой и случайной фазой6. Интегрирование случайной функции7. Дифференцирование случайной функции8. Воздействие нормального стационарного шума на линейный детектор9. Воздействие нормального стационарного шума на синхронный детектор10. Нормализация случайных процессов в узкополосных линейных цепяхОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИПриложение 4

68При непосредственном вычислении вероятностей часто для определенияобщего числа возможных исходов испытания, а также числа исходов,благоприятствующих интересующему нас событию, используют формулыкомбинаторики.Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определеннымусловиям, которые можно составить из элементов заданного конечногомножества, безразлично, какой природы. Рассмотрим наиболее употребительныеиз этих формул.Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же празличных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.Число всех возможных перестановок ("Р из n"):Р n =n!, где n! = l-2-Зх...хn ("n-факториал").Отметим, что 0! принимается равным единице, т.е. 0!=1.Размещениями называют комбинации, составленные из п различныхэлементов по т элементов, которые отличаются или составом элементов, илиих порядком.Число всех возможных размещений ("C из п по m"):A m n= n *( n − 1) * ( n −2) *... * ( n −m + 1) =n!( n − m)Сочетаниями называют комбинации, составленные из п различныхэлементов по т элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.Число сочетаний ("С из п по т"):m n!Cn==m!*(n − m)!APmnСвойство сочетаний:m n−mC n= CnmПри решении задач используются также следующие правила. Правилосуммы. Если некоторый объект А может быть выбран из совокупностиобъектов т способами, а другой объект Б может быть выбран n способами,то выбрать или А, или В можно m+n способами.Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупностиобъектов т способами и после каждого такого выбора объект В можновыбрать п способами, то пара объектов (АБ) в указанном порядке может бытьвыбрана т*п способами.

Ð¤ÐµÐ´ÐµÑÐ°Ð»ÑÐ½Ð¾Ðµ Ð³Ð¾ÑÑÐ´Ð°ÑÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½Ð¾Ðµ Ð°Ð²ÑÐ¾Ð½Ð¾Ð¼Ð½Ð¾Ðµ Ð¾Ð±ÑÐ°Ð·Ð¾Ð²Ð°ÑÐµÐ»ÑÐ½Ð¾Ðµ ...

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

Ð¤ÐµÐ´ÐµÑÐ°Ð»ÑÐ½Ð¾Ðµ Ð³Ð¾ÑÑÐ´Ð°ÑÑÑÐ²ÐµÐ½Ð½Ð¾Ðµ Ð°Ð²ÑÐ¾Ð½Ð¾Ð¼Ð½Ð¾Ðµ Ð¾Ð±ÑÐ°Ð·Ð¾Ð²Ð°ÑÐµÐ»ÑÐ½Ð¾Ðµ ...