RIJEÃ…Â ENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKEOvi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradivaza kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputamapredmetnog nastavnika dr. Josipa Matejaš.Zadatke je izabrala, pripremila i riješila Ksenija Pukšec(demonstratorica iz matematike na EF).Materijale je pregledala i recenzirala Martina Nakić(demonstratorica iz matematike na EF).Tehničku realizaciju materijala u programskom paketu L A TEX napravio jeKrešimir Bokulić (demonstrator iz računarstva na PMF-MO).1

MATRICE1. Nadite sve vrijednosti parametra x ∈ R takve da za matricuvrijedi A −1 = A T .Rješenje:A · A −1 = IA −1 = A TA · A T = I[ 4]A =5x− 3 5[ 4] [A · A T =5x 4] [·5− 3 45=5 · 45 + x · x 4− 3 5454x5[ 16 −1225+ x2−12455 · (−3 5 ) + x · 45− 3 5 · 45 + 4 5 · x (−3 5 ) · −35 + 4 5 · 4525 + 4 5 x ]25 + 4 5 x 1]=A · A T = I[ 16 −1225+ x2−1225 + 4 5 x ]25 + 4 5 x 1 =[ ] 1 00 11625 + x2 = 1 ⇒ x 1,2 = ± 3 5x = − 3 5 ne odgovara jer − 1225 + 4 5 x = 0Konačno rješenje je x = 3 545 x = 1225 → x = 3 52

2. Za koje vrijednosti parametra a ∈ R matrice A i parametra b ∈ R matriceB, matrice A i B tvore komutativni par u odnosu na množenje matrica, akoje:[ ] 1 1A =0 a[ ] b 1B =0 1Rješenje:A · B = B · A[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 b 1 1 · b + 1 · 0 1 · 1 + 1 · 1 b 2A · B = · ==0 a 0 1 0 · b + a · 0 0 · 1 + a · 1 0 a[ ] [ ] [ ] [ ]b 1 1 1 b · 1 + 1 · 0 b · 1 + 1 · a b b + aB · A = · ==0 1 0 a 0 · 1 + 1 · 0 0 · 1 + 1 · a 0 aA · B = B · A [ ] b 2=0 a[ ] b b + a0 a2 = b + aa = 2 − b, b ∈ R3

3. Odredite sve matrice koje sa matricom M =obzirom na matrično množenje.Rješenje:[ ] 1 10 1čine komutativan par sM · X = X · M[ ] a bX=c d[ ] [ ] [ ] [ ]1 1 a b 1 · a + 1 · c 1 · b + 1 · d a + c b + dM · X = · ==0 1 c d 0 · a + 1 · c 0 · b + 1 · d c d[ ] [ ] [ ] [ ]a b 1 1 a · 1 · 1 + b · 0 a · 1 + b · 1 a a + bX · M = · ==c d 0 1 c · 1 + d · 0 c · 1 + d · 1 c c + dM · X = X · M[ ]a + c b + d=c d[ ] a a + bc c + da + c = a , c = 0b + d = a + b , d = ac = cd = c + d, c = 0[ ] a bX =X =[ a b0 ac d], a, b ∈ R4

4. Odredite sve antisimetrične matrice A ∈ M 2 , koje s matricom B tvore komutativanpar s obzirom na množenje ako je[ ] 0 1B =−1 0Rješenje:[ ] 0 −xA =x 0[ ] [ ] [ ] [ ]0 −x 0 1 0 · 0 + (−x) · (−1) 0 · 1 + (−x) · 0 x 0A · B = · ==x 0 −1 0 x · 0 + 0 · (−1) x · 1 + 0 · 0 0 x[ ] [ ] [ ] [ ]0 1 0 −x 0 · 0 + 1 · x 0 · (−x) + 1 · 0 x 0B · A = · ==−1 0 x 0 −1 · 0 + 0 · x −1 · (−x) + 0 · 0 0 xA · B = B · A[ ] [ ]x 0 x 0=0 x 0 xSvaka antisimetrična matrica s matricom B tvori komutativan par, tj.[ ] 0 −xA = , ∀x ∈ Rx 05

5. Odredite sve skalarne matrice A ∈ M 2 , koje s matricom B tvore komutativanpar ako je:[ ] 0 −3B =3 0Rješenje:A =[ ] x 00 xA · B = B · A[ ] [ ] [ ] [ ]x 0 0 −3 x · 0 + 0 · 3 x · (−3) + 0 · 0 0 −3xA · B = · ==0 x 3 0 0 · 0 + x · 3 0 · (−3) + x · 0 3x 0[ ] [ ] [ ] [ ]0 −3 x 0 0 · x + (−3) · 0 0 · 0 + (−3) · x 0 −3xB · A = · ==3 0 0 x 3 · x + 0 · 0 3 · 0 + 0 · x 3x 0[ 0 −3x3x 0A · B = B · A]=[ 0 −3x3x 0Svaka skalarna matrica s matricom B tvori komutativan par, tj.[ ] x 0A = , ∀x ∈ R0 x]6

6. Odredite sve dijagonalne matrice A ∈ M 2 , koje s matricom B tvore komutativanpar s obzirom na množenje ako je,[ ] 0 −1B =1 0Rješenje:A =[ ] x 00 yA · B = B · A[ ] [ ] [ ] [ ]x 0 0 −1 x · 0 + 0 · 1 x · (−1) + 0 · 0 0 −xA · B = · ==0 y 1 0 0 · 0 + y · 1 0 · (−1) + y · 0 y 0[ ] [ ] [ ] [ ]0 −1 x 0 0 · x + (−1) · 0 0 · 0 + (−1) · y 0 −yB · A = · ==1 0 0 y 1 · x + 0 · 0 1 · 0 + 0 · y x 0A · B = B · A[ ] [ ]0 −x 0 −y=y 0 x 00 = 0−x = −yy = x0 = 0[ ] x 0A =0 y[ ] x 0A = , x ∈ R0 x7

7. Zadane su matrice,iA =[ ] t 02 1B = (A + A T ) 2Odredite parametar t ∈ R takav da je matrica B skalarna.Rješenje:{[ ] [ ]} 2 [ ] 2t 0 t 2 2t 2B = + = =2 1 0 1 2 2[ ] [ ] [ ]2t 2 2t 2 4t= · =2 + 4 4t + 42 2 2 2 4t + 4 84t 2 + 4 = 84t 2 = 4t 2 = 1t 1 = −1t 2 = 1, ne odgovara4t + 4 = 04t = −4t = −1Konačno rješenje:t = −18

[ ] t 08. Zadane su matrice A = i B = A2 12 − 2A. Odredite parametar t ∈ Rtakav da je matrica B dijagonalna. Koliki je tada tr(B)?Rješenje:B = A 2 − 2A[ ] [ ] [ ]t 0 t 0 tA 2 20= A · A = · =2 1 2 1 2t + 2 1[ ] [ ]t 0 2t 02 · A = 2 · =2 1 4 2B = A 2 − 2A =[ ] t20−2t + 2 1[ ] [ ]2t 0 t=2 − 2t 04 2 2t − 2 −12t − 2 = 02t = 2t = 1[ ] −1 0B =0 −1tr(B) = −1 + (−1) = −29

[ 19. Zadani su vektori A =t]i B =su vektori 2A − B i A+2B medusobno okomiti.Rješenje:[ t2]. Odredite parametar t ∈ R takav da[ [ [ [ [ ]1 t 2 t 2 − t2A − B = 2 − = − =t]2]2t]2]2t − 2[ [ [ 1 t 1A + 2B = + 2 · = +t]2]t][ ] 2t=4(2A − B) T · (A + 2B) = 0[ ] 1 + 2t[2 − t 2t − 2] · = 0t + 4(2 − t)(1 + 2t) + (2t − 2)(t + 4) = 02 + 4t − t − 2t 2 + 2t 2 + 8t − 2t − 8 = 09t = 6t = 2 3[ ] 1 + 2tt + 410

⎡ ⎤1 0 310. Odredite inverznu matricu matrice A = ⎣0 −1 2⎦2 0 7Rješenje:⎡⎤ ⎡⎤1 0 3 | 1 0 0 1 0 3 | 1 0 0⎣0 −1 2 | 0 1 0⎦ ∼ ⎣0 −1 2 | 0 1 0⎦ ∼2 0 7 | 0 0 1 0 0 1 | −2 0 1⎡⎤ ⎡⎤1 0 3 | 1 0 0 1 0 0 | 7 0 −3∼ ⎣0 1 −2 | 0 −1 0⎦ ∼ ⎣0 1 0 | −4 −1 2 ⎦0 0 1 | −2 0 1 0 0 1 | −2 0 1⎡⎤7 0 −3A −1 = ⎣−4 −1 2 ⎦−2 0 111

⎡ ⎤1 0 1 211. Odredite rang matrice A ako je A = ⎣2 1 3 1⎦1 2 3 3Rješenje:Radimo elementarne transformacije nad matricom...⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 1 2 1 0 1 2⎣2 1 3 1⎦ ∼ ⎣0 1 1 −3⎦ ∼1 2 3 3 0 2 2 1⎡ ⎤1 0 1 2∼ ⎣0 1 1 −3⎦0 0 0 7r(A) = 312

⎡⎤2 −1 1 −212. Odredite rang matrice A ako je A = ⎣1 3 4 −1⎦0 1 1 0Rješenje:Radimo elementarne transformacije nad matricom...⎡⎤2 −1 1 −2⎡1 3⎤4 −1⎣1 3 4 −1⎦ ∼ ⎣2 −1 1 −2⎦ ∼0 1 1 0 0 1 1 0⎡⎤ ⎡ ⎤1 3 4 −1 1 3 4 −1∼ ⎣0 −7 −7 0 ⎦ ∼ ⎣0 1 1 0 ⎦ ∼0 1 1 0 0 1 1 0⎡ ⎤1 3 4 −1∼ ⎣0 1 1 0 ⎦0 0 0 0r(A) = 213

13. Odredite parametar x ∈ R tako da je r(A)=2 ako je⎡⎤x 14 8 5A = ⎣6 5 4 3 ⎦2 4 0 −1Rješenje:⎡⎤ ⎡⎤x 14 8 5 5 14 8 x⎣6 5 4 3 ⎦ ∼ ⎣ 3 5 4 6⎦ ∼2 4 0 −1 −1 4 0 2⎡⎤ ⎡⎤−1 4 0 2 −1 4 0 2∼ ⎣ 3 5 4 6⎦ ∼ ⎣ 0 17 4 12 ⎦ ∼5 14 8 x 0 34 8 x + 10⎡⎤−1 4 0 2⎣ 0 17 4 12 ⎦0 0 0 x − 14x − 14 = 0x = 1414

14. Kako rang matrice⎡2⎤−5 −2A = ⎣ 1 −2 0 ⎦−3 7 xovisi o realnom parametru x?Rješenje:⎡⎤ ⎡⎤2 −5 −2 1 −2 0⎣ 1 −2 0 ⎦ ∼ ⎣ 2 −5 −2⎦ ∼−3 7 x −3 7 x⎡ ⎤ ⎡⎤1 −2 0 1 0 4∼ ⎣0 −1 −2⎦ ∼ ⎣0 −1 −2 ⎦0 1 x 0 0 x − 2Ako je x = 2 onda je r(A) = 2.Ako je x ≠ 2 onda je r(A) = 3.15

15. Kako rang matrice⎡1 1⎤1H = ⎣−3 2 t ⎦2 −3 −6ovisi o paramteru t?Rješenje:Ako je t = 5 onda je r(H) = 2.Ako je t ≠ 5 onda je r(H) = 3.⎡⎤ ⎡⎤1 1 1 1 1 1⎣−3 2 t ⎦ ∼ ⎣ 2 −3 −6⎦ ∼2 −3 −6 −3 2 t⎡⎤ ⎡⎤1 1 1 1 1 1∼ ⎣0 −5 −8 ⎦ ∼ ⎣0 −5 −8 ⎦0 5 t + 3 0 0 t − 516

16. Gauss-Jordanovom metodom riješite sustav:Rješenje:2x + 3y − z = 85x − y + z = 93x − 4y + 3z = 10⎡⎤ ⎡32 3 −1 | 8 12− 1 ⎤2| 4⎣5 −1 1 | 9 ⎦ ∼ ⎣5 −1 1 | 9 ⎦ ∼3 −4 3 | 10 3 −4 3 | 10⎡312− 1 ⎤ ⎡32| 4 1∼ ⎣0 − 17 2− 1 ⎤2| 472 2| −11⎦ ∼ ⎣0 1 − 7 220 − 17 17| ⎦17∼92 2| −2 0 − 17 92 2| −2⎡⎤ ⎡⎤2 351 017|171 0 0 | 1∼ ⎣0 1 − 7 2217| ⎦17∼ ⎣0 1 0 | 5⎦0 0 1 | 9 0 0 1 | 9x = 1, y = 5, z = 917

17. Riješite sustav linearnih jednadžbi,Rješenje:2x + 4y − 6z = 65x + 8y − 11z = 112y − 4z = 4⎡⎤ ⎡⎤2 4 −6 | 6 1 2 −3 | 3⎣5 8 −11 | 11⎦ ∼ ⎣5 8 −11 | 11⎦ ∼0 2 −4 | 4 0 2 −4 | 4⎡⎤ ⎡⎤1 2 −3 | 3 1 2 −3 | 3∼ ⎣0 −2 4 | −4⎦ ∼ ⎣0 1 −2 | 2⎦ ∼0 2 −4 | 4 0 2 −4 | 4⎡⎤1 0 1 | −1∼ ⎣0 1 −2 | 2 ⎦0 0 0 | 0x + z = −1y − 2z = 2x = −1 − zy = 2 + 2zz ∈ R18

18. Riješite sustav,Rješenje:3x + y + 2z − 2w = 03x + 2y − z + 3w = −42x − y + 2z − w = −2⎡⎤ ⎡⎤3 1 2 −2 | 0 2 −1 2 −1 | −2⎣3 2 −1 3 | −4⎦ ∼ ⎣3 2 −1 3 | −4⎦ ∼2 −1 2 −1 | −2 3 1 2 −2 | 0⎡1 − 1 21 − 1 ⎤ ⎡2| −1 1 − 1 21 − 1 ⎤2| −1∼ ⎣3 2 −1 3 | −4⎦ ∼ ⎣ 7902−42| −1⎦ ∼53 1 2 −2 | 0 02−1 − 1 2| 3⎡1 − 1 21 − 1 ⎤ ⎡3 12| −1 1 0∼ ⎣0 1 − 8 97 7| − 2 7 7| − 8 ⎤7⎦7∼ ⎣0 1 − 8 9502−1 − 1 7 7| − 2 ⎦7∼132| 3 0 07− 26 267|7⎡3 11 07 7| − 8 ⎤ ⎡⎤71 0 0 1 | −2∼ ⎣0 1 − 8 97 7| − 2 ⎦7∼ ⎣0 1 0 −1 | 2 ⎦0 0 1 −2 | 2 0 0 1 −2 | 2x + w = −2y − w = 2z − 2w = 2x = −2 − wy = 2 + wz = 2 + 2ww ∈ R19

19. Riješite sustav,Rješenje:x + y = 1x − y = 52x + 3y = 0⎡ ⎤ ⎡⎤1 1 | 1 1 1 | 1⎣1 −1 | 5⎦ ∼ ⎣0 −2 | 4 ⎦ ∼2 3 | 0 0 1 | −2⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 1 | 1 1 1 | 1∼ ⎣0 1 | −2⎦ ∼ ⎣0 1 | −2⎦ ∼0 1 | −2 0 0 | 0⎡ ⎤1 0 | 3∼ ⎣0 1 | −2⎦0 0 | 0x = 3, y = −220

20. Riješite sustav,Rješenje:2x − y + z = 3x + 2y − 3z = 13x + y − 2z = 6⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤2 −1 1 | 3 1 2 −3 | 1 1 2 −3 | 1 1 2 −3 | 1⎣1 2 −3 | 1⎦ ∼ ⎣2 −1 1 | 3⎦ ∼ ⎣0 −5 7 | 1⎦ ∼ ⎣0 −5 7 | 1⎦3 1 −2 | 6 3 1 −2 | 6 0 −5 7 | 3 0 0 0 | 2, sustav nema rješenja!r(A) = 2, r(A|b) = 3r(A) ≠ r(A|b)21

21. Kako broj rješenja sustavaovisi o realnom parametru λ ?Rješenje:x 1 + x 2 + λx 3 = 8x 1 + λx 2 + x 3 = 53x 1 + x 2 + 2x 3 = 5⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤1 1 λ | 8 1 1 λ | 8 1 1 λ | 8⎣1 λ 1 | 5⎦ ∼ ⎣0 λ − 1 1 − λ | −3 ⎦ ∼ ⎣0 λ − 1 1 − λ | −3⎦ ∼3λ−2 193 1 2 | 5 0 −2 2 − 3λ | −19 0 12|2⎡⎤ ⎡2−λ1 1 λ | 8 1 02| − 3 ⎤2⎣3λ−2 190 12| ⎦2∼ ⎣ 3λ−2190 12| ⎦20 λ − 1 1 − λ | −3 0 0 3λ−3λ2 192|2 (1 − λ) − 3Ako je 3λ−3λ22≠ 0 onda je r(A) = 3 i r(A|b)=3 i sustav ima jedinstvenorješenje.Ako je 3λ−3λ22= 0 onda je r(A) = 2 i r(A|b) = 3 i sustav nema rješenja.3λ − 3λ 2= 023λ(1 − λ)= 023λ = 0 ⇒ λ = 01 − λ = 0 ⇒ λ = 1Za λ ∈ {0, 1} sustav nema rješenja, u protivnom ima jedinstveno rješenje.22

22. Kako broj rješenja sustavaovisi o parametru t ∈ R ?Rješenje:x + y + tz = 1x + 2y − z = 22x + 3y + (t − 1)z = 3⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤1 1 t | 1 1 1 t | 1 1 1 t | 1⎣1 2 −1 | 2⎦ ∼ ⎣0 1 −t − 1 | 1⎦ ∼ ⎣0 1 −t − 1 | 1⎦2 3 t − 1 | 3 0 1 −t − 1 | 1 0 0 0 | 0n(broj nepoznanica) =3r(A) = r(A|b) = 2r(A) = r(A|b) = 2 < 3 ⇒ Sustav ima beskonačno mnogo rješenja za svakit ∈ R.23

23. Kako broj rješenja sustavaovisi o parametru t ∈ R ?Rješenje:x + y + tz = 1x + 2y − z = 22x + 3y + (t − 1)z = 4⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤1 1 t | 1 1 1 t | 1 1 1 t | 1⎣1 2 −1 | 2⎦ ∼ ⎣0 1 −t − 1 | 1⎦ ∼ ⎣0 1 −t − 1 | 1⎦2 3 t − 1 | 4 0 1 −t − 1 | 2 0 0 0 | 1r(A) = 2, r(A|b) = 3r(A) ≠ r(A|b) ⇒ Sustav nema rješenja za svaki t ∈ R.24

24. Tvornica proizvodi dvije vrste čamaca, čamac za jednu (T1) i čamac za dvijeosobe (T2). Svaki čamac mora se obraditi u dva odjela, odjel za rezanje materijalai odjel za spajanje. Tehnološke karakteristike proizvodnje dane su usljedećoj tablici:Broj radnih sati Broj radnih sati Kapacitet upo čamcu po čamcu satimaT1T2Odjel za rezanje 3 2 110Odjel za spajanje 1 2 70Izračunajte količine proizvodnje za oba tipa čamca tako da se kapacitetiu potpunosti iskoriste. (UPUTA: problem treba svesti na sustav dvije jednadžbes dvije nepoznanice).Rješenje:3T 1 + 2T 2 = 1101T 1 + 2T 2 = 70[ ] [ ] [ ]3 2 | 110 1 2 | 70 1 2 | 70∼∼1 2 | 70 3 2 | 110 0 −4 | −100[ ] [ ]1 2 | 70 1 0 | 20∼0 1 | 25 0 1 | 25∼T 1 = 20T 2 = 2525

25. Osoba ima na raspolaganju 22000 kn koje ulaže u dionicu A s prinosomod 8% godišnje, u dionicu B sa prinosom od 5% godišnje i u dionicu C sprinosom od 4% godišnje. Koliko osoba mora uložiti u svaku dionicu daostvari prinos od točno 1340 kn? Takoder, strategija je osobe u dionicu Culožiti 4000 kn manje nego u dionicu A. (UPUTA: problem treba svesti nasustav tri jednadžbe s tri nepoznanice gdje su nepoznanice ulaganja.)Rješenje:A + B + C = 220000.08A + 0.05B + 0.04C = 1340⎡A − C = 4000⎤ ⎡⎤1 1 1 | 22000 1 1 1 | 22000⎣0.08 0.05 0.04 | 1340 ⎦ ∼ ⎣0 −0.03 −0.04 | −420 ⎦ ∼1 0 −1 | 4000 0 −1 −2 | −18000⎡⎤ ⎡⎤1 1 1 | 22000 1 1 1 | 22000⎣0 −1 −2 | −18000⎦ ∼ ⎣0 1 2 | 18000⎦ ∼0 −0.03 −0.04 | −420 0 −0.03 −0.04 | −420⎡⎤ ⎡⎤1 0 −1 | 4000 1 0 −1 | 4000⎣0 1 2 | 18000⎦ ∼ ⎣0 1 2 | 18000⎦ ∼0 0 0.02 | 120 0 0 1 | 6000⎡⎤1 0 0 | 10000⎣0 1 0 | 6000 ⎦0 0 1 | 6000A = 10000B = 6000C = 600026

26. Tvrtka reklamira svoj proizvod. Mogućnosti reklamiranja su: TV spot, radiospot i oglas u novinama. Tv spot stoji 16000 kn, radio spot 5000 kn,oglas u novinama 8000 kn, a tvrtka ima na raspolaganju 249000kn, takoder,strategija tvrtke je da proizvod reklamira s dva puta više oglasa u novinamanego radio spotova. Nadalje, kada bi tvrtka novac koji će uložiti radio spotoveoročila na dvije godine uz godišnji kamatnjak 2 te godišnje složeno idekurzivno ukamaćivanje, na kraju bi druge godine taj iznos vrijedio 26010kn. Koliko će TV spotova, koliko radio spotova i koliko oglasa u novinamatvrtka uplatiti tako da iskoristi raspoloživi budžet? Zadatak rješite Gauss-Jordanovim postupkom.Rješenje:x → T V spoty → radio spotz → oglas16000x + 5000y + 8000z = 249000z = 2y ⇒ z − 2y = 0C o = C nr = 26010n 1.02 = 25000225000 = 5000y16000x + 5000y + 8000z = 249000−2y + z = 05000y = 2500027

⎡⎤ ⎡⎤16000 5000 8000 | 249000 16 5 8 | 249⎣ 0 −2 1 | 0 ⎦ ∼ ⎣ 0 −2 1 | 0 ⎦ ∼0 5000 0 | 25000 0 1 0 | 5⎡⎤ ⎡⎤16 5 8 | 249 16 5 8 | 249∼ ⎣ 0 1 0 | 5 ⎦ ∼ ⎣ 0 1 0 | 5 ⎦ ∼0 −2 1 | 0 0 0 1 | 10⎡⎤ ⎡⎤16 5 0 | 169 16 0 0 | 144∼ ⎣ 0 1 0 | 5 ⎦ ∼ ⎣ 0 1 0 | 5 ⎦ ∼0 0 1 | 10 0 0 1 | 10⎡⎤1 0 0 | 9∼ ⎣0 1 0 | 5 ⎦0 0 1 | 10T V = 9radio = 5novine = 1028

27. Prikažite vektor B = (1, −2, 3) kao linearnu kombinaciju vektoraA 1 = (1, 2, −1), A 2 = (1, 0, 1) i A 3 = (0, 1, 1).Rješenje:⎡1 1 0 |⎤1⎡1 1 0 |⎤1⎣ 2 0 1 | −2⎦ ∼ ⎣0 −2 1 | −4⎦ ∼−1 1 1 | 3 0 2 1 | 4⎡⎤ ⎡⎤1 1 0 | 1 1 1 0 | 1∼ ⎣0 −2 1 | −4⎦ ∼ ⎣0 −2 1 | −4⎦ ∼0 0 2 | 0 0 0 1 | 0⎡⎤ ⎡⎤1 1 0 | 1 1 1 0 | 1∼ ⎣0 −2 0 | −4⎦ ∼ ⎣0 1 0 | 2⎦ ∼0 0 1 | 0 0 0 1 | 0⎡⎤1 0 0 | −1∼ ⎣0 1 0 | 2 ⎦0 0 1 | 0x 1 = −1x 2 = 2x 3 = 0Linearna kombinacija ⇒B = x 1 · A 1 + x 2 · A 2 + x 3 · A 3B = −1 · A 1 + 2 · A 2 + 0 · A 3B = −A 1 + 2A 229

28. Izračunajte determinantu matrice⎡2 3⎤1⎣0 5 2 ⎦0 −4 −2Rješenje:2 3 10 5 2∣0 −4 −2∣ =rješavamo po prvom stupcu jer u njemu imamo samo jedan element različitod 0.∣ ∣∣∣= 2 · (−1) 1+1 5 2−4 −2∣ = 2 · 1 · (5 · (−2) − 2(−4)) == 2 · (−10 − (−8)) = 2(−10 + 8) = 2 · (−2) = −430

29. Izračunajte detC ako je C ∈ M 4 i znamo da je det ( 12 C) = 1 8 .Rješenje:det(αA) = α n detA, A ∈ M n( ) 1det2 C = 1 8 , C ∈ M 4( ) 4 1detC = 1 2 8116 detC = 1 8 / · 16detC = 168detC = 231

30. Za koji je parametar t ∈ R matrica⎡1 1⎤1⎣0 −1 0⎦t 0 1regularna?Rješenje:Matrica A je regularna kad je detA ≠ 0.∣ 1 1 1∣∣∣∣∣ 1 1 10 −1 0∣t 0 1∣ = 0 −1 0t − 1 −1 0∣ =∣ ∣∣∣= 1 · (−1) 1+3 0 t − 1 −1∣ == 1 · (−1) 4 · (0 · (−1) − (−1) · (t − 1)) = −(−t + 1) = t − 1t − 1 ≠ 0t ≠ 1t ∈ R\{1}32

31. Za koji su parametar t ∈ R vektori a 1 =linearno nezavisni?⎡ ⎤1⎣2⎦,a 2 =3⎡ ⎤−1⎣−1⎦, a 3 =2⎡ ⎤1⎣−2⎦tRješenje:Vektori su linearno nezavisni kad je detA ≠ 0.∣ 1 −1 1∣∣∣∣∣ 1 −1 12 −1 −2∣3 2 t ∣ = 1 0 −35 0 2 + t∣ =∣ ∣∣∣= −1 · (−1) 1+2 1 −35 2 + t∣ = −1 · (−1)3 · (1 · (2 + t) − (−3) · 5) == (2 + t − (−15)) = t + 17t + 17 ≠ 0t ≠ −17t ∈ R\{−17}33

32. Izračunajte sve vrijednosti parametra t ∈ R da bi skup vektora {A,B,C} biobaza vektorskog parostora R 3 ako su A = (t − 2, 3, 1), B = (0, t − 3, 1),C =(0, 3, t − 1).Rješenje:Vektori čine bazu kad je detA ≠ 0.t − 2 0 0∣ ∣∣∣ 3 t − 3 3∣ 1 1 t − 1∣ = (t − 2) · t − 3 3(−1)1+1 1 t − 1∣ == (t − 2) · (−1) 2 · [(t − 3)(t − 1) − 3] = (t − 2) · 1 · (t 2 − t − 3t + 3 − 3) =(t − 2)(t 2 − 4t) = t(t − 2)(t − 4)t(t − 2)(t − 4) ≠ 0t ≠ 0t ≠ 2t ≠ 4t ∈ R\{0, 2, 4}34

33. Da li vektori A 1 , A 2 , A 3 i A 4 čine bazu od R 4 ako su⎡ ⎤ ⎡1A 1 = ⎢1⎥⎣1⎦ , A 2 = ⎢⎣111−1−1⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤11⎥⎦ , A 3 = ⎢−1⎥⎣ 1 ⎦ iA 4 = ⎢−1⎥⎣−1⎦−1 1Rješenje:1 1 1 11 1 1 11 1 −1 −11 −1 1 −1=0 0 −2 −20 −2 0 −2=∣1 −1 −1 1 ∣ ∣0 −2 −2 0 ∣0 −2 −2= 1 · (−1) 2 ·−2 0 −2∣−2 −2 0 ∣ = 0 1 1(−2)3 ·1 0 1∣1 1 0∣ =0 1 1= −8 ·1 0 1∣1 0 −1∣ = −8 · 1 · (−1)3 ·∣ 1 11 −1∣ == 8 · (1 · (−1) − 1 · 1) = 8 · (−2) = −16 ≠ 0A 1 , A 2 , A 3 i A 4 jesu baza od R 4 .35

34. Za koji parametar t ∈ R, je matrica⎡ ⎤1 1 1A = ⎣0 2 1⎦t 1 0singularna?Rješenje:Matrica A je singularna kad je setA = 0.∣ 1 1 1∣∣∣∣∣ 1 1 10 2 1∣t 1 0∣ = −1 1 0t 1 0∣ =∣ ∣∣∣= 1 · (−1) 1+3 −1 1t 1∣ = 1 · (−1)4 · (−1 · 1 − 1 · t) = 1 · 1 · (−1 − t) = −1 − t−1 − t = 0−t = 1t = −136

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤1 0 135. Za koji su parametar t ∈ R vektori a 1 = ⎣2⎦, a 2 = ⎣0⎦, a 3 = ⎣−2⎦t t tlinearno zavisni?Rješenje:Vektori su linearno zavisni kad je detA = 0.1 0 1∣ ∣∣∣ 2 0 −2∣t t t ∣ = t · 1 1(−1)3+2 2 −2∣ == t · (−1) 5 (1 · (−2) − 1 · 2) == t · (−1)(−2 − 2) = t(−1)(−4) = 4t4t = 0t = 037

⎡ ⎤236. Za koji parametar t ∈ R vektori a 1 = ⎣1⎦, a 2 =1bazu od R 3 ?Rješenje:Vektori ne čine bazu kad je detA = 0.⎡ ⎤−1⎣−1⎦ i a 3 =0⎡ ⎤1⎣0⎦ ne činet∣ 2 −1 1∣∣∣∣∣ 2 −1 11 −1 0∣1 0 t∣ = −1 0 −11 0 t ∣ =∣ ∣∣∣= −1 · (−1) 1+2 −1 −11 t ∣ = −1 · (−1)3 · (−1 · t − (−1) · 1) == (−1) · (−1) (−t − (−1)) = (−t + 1) = −t + 1−t + 1 = 0−t = −1t = 138

37. Odredite sve skalarne matrice A ∈ M 4 čija je determinanta jednaka 16.Rješenje:Napomena: determinanta dijagonalne te gornje i donje trokutaste matricejednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.⎡ ⎤x 0 0 0A = ⎢0 x 0 0⎥⎣0 0 x 0⎦0 0 0 xx 0 0 00 x 0 00 0 x 0= x · x · x · x = x 4∣0 0 0 x∣A 2 =x 4 = 16x 1,2 = ±2⎡ ⎤2 0 0 0A 1 = ⎢0 2 0 0⎥⎣0 0 2 0⎦0 0 0 2⎡−2 0 0 0⎢⎣0 −2 0 00 0 −2 00 0 0 −2⎤⎥⎦39

38. Odredite sve antisimetrične matrice A ∈ M 2 čija je determinanta jednaka 4.Rješenje:A =[ ] 0 −bb 0∣ 0 −bb 0 ∣ = 0 · 0 − (−b) · b = 0 − (−b2 ) = b 2b 2 = 4b = ±2[ ] 0 2A 1 =−2 0[ ] 0 −2A 2 =2 040

39. Ispitajte je li matrica A · A T ∈ M 2 regularna ako je A =Rješenje:[ ] 0 −11 0det(A · A T ) ≠ 0detA · detA T ≠ 0detA = detA TdetA · detA ≠ 0∣ 0 −11 0 ∣ = 0 · 0 − (−1) · 1 = 1detA · detA = 1 · 1 = 1 ≠ 0Matrica A · A T je regularna.41

40. Zadana je matrica A ∈ M 3 svojim elementima a ij = (i + j − 1) 2 . Je li tamatrica regularna?Rješenje:⎡⎤a 11 a 12 a 13A = ⎣a 21 a 22 a 23⎦a 31 a 32 a 33a 11 = (1 + 1 − 1) 2 = 1a 12 = (1 + 2 − 1) 2 = 4a 13 = (1 + 3 − 1) 2 = 9.⎡1 4⎤9A = ⎣4 9 16⎦9 16 251 4 9 1 44 9 16 4 9= 1 · 9 · 25 + 4 · 16 · 9 + 9 · 4 · 16 − 4 · 4 · 25 − 1 · 16 · 16 − 9 · 9 · 9 =∣9 16 25 9 16∣ = −8 ≠ 0Matrica A je regularna.42

41. Rješite matričnu jednadžbu AX = B ako su⎡ ⎤ ⎡ ⎤−1 1 3 1 0 1A = ⎣ 0 1 2 ⎦ , B = ⎣ 0 0 2⎦0 0 −1 −1 1 0Rješenje:A −1 · /AX = BA −1 · A · X = A −1 · BI · X = A −1 · BX = A −1 BdetA = 1 ⇒ A −1 ∃⎡⎤ ⎡⎤−1 1 3 | 1 0 0 1 −1 −3 | −1 0 0⎣ 0 1 2 | 0 1 0⎦ ∼ ⎣0 1 2 | 0 1 0⎦ ∼0 0 −1 | 0 0 1 0 0 −1 | 0 0 1⎡⎤ ⎡⎤1 0 −1 | −1 1 0 1 0 −1 | −1 1 0∼ ⎣0 1 2 | 0 1 0⎦ ∼ ⎣0 1 2 | 0 1 0 ⎦ ∼0 0 −1 | 0 0 1 0 0 1 | 0 0 −1⎡⎤1 0 0 | −1 1 −1∼ ⎣0 1 0 | 0 1 2 ⎦0 0 1 | 0 0 −1⎡ ⎤−1 1 −1A −1 = ⎣ 0 1 2 ⎦0 0 −1⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−1 1 −1 1 0 1 0 −1 1X = ⎣ 0 1 2 ⎦ · ⎣ 0 0 2⎦ = ⎣−2 2 2⎦0 0 −1 −1 1 0 1 −1 043

42. Rješite matričnu jednadžbu AX + A = X gdje je⎡ ⎤2 0 1A = ⎣0 2 0⎦0 0 2.Rješenje:AX + A = XAX − X = −AAX − IX = −A(A − I) −1 · /(A − I)x = −A(A − I) −1 · (A − I) · X = (A − I) −1 · (−A)I · X = (A − I) −1 · (−A)X = (A − I) −1 · (−A)⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤2 0 1 1 0 0 1 0 1A − I = ⎣0 2 0⎦ − ⎣0 1 0⎦ = ⎣0 1 0⎦0 0 2 0 0 1 0 0 1det(A − I) = 1 ⇒ (A − I) −1 ∃⎡⎤ ⎡⎤1 0 1 | 1 0 0 1 0 0 | 1 0 −1⎣0 1 0 | 0 1 0⎦ ∼ ⎣0 1 0 | 0 1 0 ⎦0 0 1 | 0 0 1 0 0 1 | 0 0 1⎡ ⎤1 0 −1(A − I) −1 = ⎣0 1 0 ⎦0 0 1⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡⎤1 0 −1 −2 0 −1 −2 0 1X = ⎣0 1 0 ⎦ · ⎣ 0 −2 0 ⎦ = ⎣ 0 −2 0 ⎦0 0 1 0 0 −2 0 0 −244

Provjera:AX + A = X⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤−4 0 0 −2 0 1 2 0 1⎣ 0 2 0⎦ · ⎣ 0 −2 0 ⎦ + ⎣0 2 0⎦ =0 0 2 0 0 −2 0 0 2⎡⎤−2 0 1= ⎣ 0 −2 0 ⎦0 0 −2⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤−4 0 1 2 0 1 −2 0 1⎣ 0 −4 0 ⎦ + ⎣0 2 0⎦ = ⎣ 0 −2 0 ⎦ ·0 0 −4 0 0 2 0 0 −245

43. Izračunajte detX ako je AXB = C, gdje su[ ] [ ] [ ]0 1 −1 1 4 2A = , B = , C =1 0 −1 2 2 1.Rješenje:AXB = C/detdet(AXB) = detCdetA · detX · detB = detC/ : detA · detBdetCdetX =detA · detB∣ 0 11 0∣ = 0 · 0 − 1 · 1 = −1∣ −1 1−1 2∣ = −1 · 2 − 1 · (−1) = −1∣ 4 22 1∣ = 4 · 1 − 2 · 2 = 00detX =−1 · (−1)detX = 046

44. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata jedne trosektorske ekonomije⎡ ⎤12140A = ⎣0 1 1⎦2 20 1 80Izračunajte outpute svih sektora tako da se zadovolji finalna potražnja⎡ ⎤80q = ⎣220⎦120Rješenje:T = I − A⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡1 111 0 02 40T = ⎣0 1 0⎦ − ⎣0 1 2− 1 ⎤401⎦ 2 2= ⎣ 100 0 1 0 1 2− 1 ⎦280 0 − 1 81⎡12− 1 ⎤ ⎡40 | 80 1 − 1 ⎤⎣ 102− 1 20 | 1602| 220⎦ ∼ ⎣ 100 − 1 2− 1 2| 220⎦ ∼81 | 120 0 − 1 81 | 120⎡1 − 1 ⎤ ⎡20 | 160 1 0 −1 ⎤2| 380⎣0 1 −1 | 440⎦ ∼ ⎣0 1 −1 | 440⎦ ∼0 − 1 781 | 120 0 08| 175⎡1 0 −1 ⎤ ⎡⎤2| 380 1 0 0 | 480⎣0 1 −1 | 440⎦ ∼ ⎣0 1 0 | 640⎦0 0 1 | 200 0 0 1 | 200⎡ ⎤480Q = ⎣640⎦20047

[ 345. Zadana je matrica tehnologije T =5−1[ 49q =14]tog gospodarstva.Rješenje:−1425]i vektor finalne potražnjejednog dvosektorskog gospodarstva. Sastavite input output tablicu[ 35−14] [ ]−14| 9 1−52 ∼12| 15−1 2 ∼5| 144 5| 14[ ] [ ]1−512| 15 1−50 71 71 ∼12| 15∼240|40 1 | 60[ ] 1 0 | 400 1 | 60[ ] 40Q =60A = I − T =[ ] 1 00 1−[ 35−14−1425]=[ 25141435]48

Q ij = a ij · Q jQ 11 = a 11 · Q 1 = 2 5Q 21 = a 21 · Q 1 = 1 4Q 12 = a 12 · Q 2 = 1 4Q 22 = a 22 · Q 2 = 3 5· 40 = 16· 40 = 10· 60 = 15· 60 = 36Q i Q ij q i40 16 15 960 10 36 1449

46. Zadana je[ inverzna ] matrica tehnologije jedne dvosektorske ekonomije2 1T −1 = 2 3. Kolika je količina outputa prvog sektora potrebna da se1 2proizvede jedinica outputa istog sektora?Rješenje:[ ] a bT =c d[ ]T −1 1 d −b=ad − bc −c a{ 2T =3= 3 2 ·[ 2 11 212 · 2 − 1 · 1A = I − T =(T −1 ) −1 = T]} −1 ( ) −1 [ ] −1 2 2 1= · =3 1 2[ ] [ ]2 −1 1−1=2−1−1 221[ ] 1 0−0 1a 11 = 0[ ] 1−12−1 =21[ ] 01212050

i vektor finalne po-47. Zadana je inverzna matrica tehnologije T −1 = 4 5[ 3tražnje q = . Sastavite pripadnu I-O tablicu.8]Rješenje:(T −1 ) −1 = T[ 3]−1T =4 2−1234[ ] 3 22 3[ 34−12] [ ] [ ]−12| 3 1−23 ∼| 4 1−2−1 3 ∼3| 45 ∼4| 82 4| 8 012| 10[ ] [ ]1−2∼3| 4 1 0 | 20∼0 1 | 24 0 1 | 24Q =[ ] 2024A = I − T =[ 14121214]51

Q ij = a ij · Q jQ 11 = a 11 · Q 1 = 1 4 · 20 = 5Q 21 = a 21 · Q 1 = 1 2Q 12 = a 12 · Q 2 = 1 2· 20 = 10· 24 = 12Q 22 = a 22 · Q 2 = 1 4 · 24 = 6Q i Q ij q i20 5 12 324 10 6 852

48. Napišite input-output tablicu ako je T −1 = 511Rješenje:(T −1 ) −1 = T[ 3]−1T =5 5−1545[ ] 4 11 3i Q =[ ] 4030A = I − T =[ 25151515]Q ij = a ij · Q jQ 11 = a 11 · Q 1 = 2 5· 40 = 16Q 21 = a 21 · Q 1 = 1 5 · 40 = 8Q 12 = a 12 · Q 2 = 1 5 · 30 = 6Q 22 = a 22 · Q 2 = 1 5 · 30 = 6q 1 = 40 − 16 − 6 = 18q 2 = 30 − 8 − 6 = 16Q i Q ij q i40 16 6 1830 8 6 1653

49. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata neke trosektorske privrede⎡0.1⎤0.25 0.15A = ⎣ 0.3 0.25 0.25⎦0.15 0.2 0.1Napišite input-output tabelu ako je ukupni output prvog sektora 100, ukupnioutput drugog sektora 120, a finalna potražnja trećeg sektora 105 jedinica.Rješenje:⎡ ⎤ ⎡ ⎤100q 1Q = ⎣120⎦ , q = ⎣ q 2⎦Q 3 105⎡0.9⎤−0.25 −0.15T = I − A = ⎣ −0.3 0.75 −0.25⎦−0.15 −0.2 0.9T · Q = q⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0.9 −0.25 −0.15 100 q 1⎣ −0.3 0.75 −0.25⎦ · ⎣120⎦ = ⎣ q 2⎦−0.15 −0.2 0.9 Q 3 10560 − 0.15Q 3 = q 160 − 0.25Q 3 = q 2−39 + 0.9Q 3 = 105⇒54

Q 3 = 160q 1 = 36q 2 = 20⇒Q i Q ij q i100 10 30 24 36120 30 30 40 20160 15 24 16 10555

50. Zadana je input-output tabela neke trosektorske privredeQ i Q ij q i100 20 20 30 30200 10 40 60 90300 20 60 120 100Napišite novu tabelu ako je novi ukupni output prvog sektora 115, drugogsektora 230 i trećeg sektora 345.Rješenje:⎡A = ⎣201001010020100202004020060200⎡ ⎤115Q ′ = ⎣230⎦345⎤ ⎡303000.2 0.1 0.160 ⎦ = ⎣0.1 0.2 0.20.2 0.3 0.4300120300⎤⎦Q i Q ij q i115 23 23 34.5 34.5230 11.5 46 69 103.5345 23 69 138 115q ′ 1 = 115 − 23 − 23 − 34.5 = 34.5q ′ 2 = 230 − 11.5 − 46 − 69 = 103.5q ′ 3 = 345 − 23 − 69 − 138 = 11556

51. Zadana je input-output tabela neke dvosektorske ekonomije,Q i Q ij q i200 80 60 60300 160 120 20Napišite tabelu ako se ukupni output prvog sektora smanji za 20%, a ukupnioutput drugog sektora poveća za 40%.Rješenje:Q ′ 1 = 200 − 20 · 200 = 160100Q ′ 2 = 300 + 40 · 300 = 420100A =[ 80200160200[ ] 160Q ′ = ,420]60300=120300[ 0.4 0.20.8 0.4]57

Q ij = a ij · Q jQ 11 = a 11 · Q 1 = 0.4 · 160 = 64.Q i Q ij q i160 64 84 12420 128 168 124q 1 = 160 − 64 − 84 = 12q 2 = 420 − 128 − 168 = 12458

52. Zadana je input-output tablicaQ i Q ij q i200 40 80 80240 80 60 100Ako se ukupni output prvog sektora smanji za 10%,a drugog poveća za 50%,za koliko se % promijeni finalna potražnja pojedinih sektora?Rješenje:Q ′ 1 = 200 − 10 · 200 = 180100Q ′ 2 = 240 + 50 · 240 = 360100A =[ 40200802008024060240]=[ 15251314]T = I − A =[ 45−25−134]T · Q ′ = q ′[ 45−25−134]·[ ] [ ]180 24=360 198Finalna potražnja 1. sektora smanjila se za 56 jedinica.x100 · 80 = 56 ⇒ X = 70%.Finalna potražnja 1. sektora smanjila se za 70%.Finalna potražnja 2. sektora povećala se za 98 jedinica.x100 · 100 = 98 ⇒ X = 98%.Finalna potražnja 2. sektora povećala se za 98%.59

53. Zadana je input-output tablica neke dvosektorske ekonomijeQ i Q ij q i20 5 12 324 10 6 8Napišite novu I-O tablicu ako je novi vektor finalne potražnje q =Rješenje:[ 510].A =T = I − A =[ 1]14 21 12 4[ 34−12−1234][ 34−12] [ ] [−12| 5 1−2 203 ∼|3 1−2−1 3 ∼ 54| 102 4| 10 0[ ] [ ]1−2 20∼3|3 1 0 | 28∼0 1 | 32 0 1 | 32203|34012|3]∼Q =[ ] 2832Q ij = a ij · Q jQ 11 = a 11 · Q 1 = 1 4 · 28 = 7.Q i Q ij q i28 7 16 532 14 8 1060

54. Zadana je input output tabela neke trosektorske privredeQ i Q ij q i150 30 40 50 30200 50 80 50 20250 30 60 100 60Napišite novu tabelu ako se ukupni output prvog sektora poveća za 20%,drugog sektora za 25%, a finalna potražnja prvog sektora smanji se za 20%.Rješenje:Q ′ 1 = 150 + 20 · 150 = 180100Q ′ 2 = 200 + 25 · 200 = 250100q 1 ′ = 30 − 20 · 30 = 24100A = ⎣⎡ ⎤ ⎡ ⎤180 24Q ′ = ⎣250⎦ , q ′ = ⎣q ′ ⎦Q ′ 23 q 3′ ⎡⎤ ⎡3015050150301504020080200602005025050250100250⎦ = ⎣1513151525310151525⎤⎦⎡T = I − A = ⎣45−13−15−1535−310−15−1535⎤⎦61

⎡⎣45−13−15−1535−310T · Q ′ = q ′⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤−15180 24−1⎦ · ⎣250⎦ = ⎣q ′ ⎦Q ′ 23 q 3′535· · · ⇒ Q ′ 3 = 350, q ′ 2 = 20, q ′ 3 = 99Q ij = a ij · Q jQ 11 = a 11 · Q 1Q 11 = 1 5· 180 = 60 . . .Q i Q ij q i180 36 50 70 24250 60 100 70 20350 36 75 140 9962

55. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata A =[ 15171537]. Za koliko trebapromijeniti ukupnu proizvodnju pojedinih [ ] sektora ako se očekuje promjena20finalne potražnje za vektor ∆q =−10Rješenje:T = I − A =[ 45−17−1547]∆Q = T −1 · ∆qT −1 =[1445 · 475 − (−1 5 ) · (−1 7 ) 171545]=[ 43137152815]∆Q =[ 43137152815]·[ ] [ ]20 22=−10 −1263

56. Zadana je matrica tehničkih koeficijenata⎡⎤0.1 0.3 0.2A = ⎣0.3 0.2 0.1⎦0.2 0.1 0.3Za koliko se treba promijeniti vektor ⎡ ⎤ finalne potražnje ako se planira povećanje30proizvodnje za vektor ∆Q = ⎣10⎦ i tehnološki uvjeti se ne mijenjaju da bi20promatrana trosektorska ekonomija ostala u ravnoteži?Rješenje:T · ∆Q = ∆q⎡⎤0.9 −0.3 −0.2T = I − A = ⎣−0.3 0.8 −0.1⎦−0.2 −0.1 0.7⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0.9 −0.3 −0.2 30 20∆q = ⎣−0.3 0.8 −0.1⎦ · ⎣10⎦ = ⎣−3⎦−0.2 −0.1 0.7 20 764