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모든 n으로 확장하기 – 계속• 정리 2.4. b(≥2)는 정수이고, f(n)은 매끄러운 복잡도 함수이며, T(n)은결국에는감소하지않는복잡도함수라하자. 만약 n이 b의거듭제곱일때 T(n) ∈Θ(f(n))이 성립하면 모든 n에대해T(n) ∈Θ(f(n))이성립한다.• 이 정리는 O, Ω, o에 대해서도 성립한다.• 예2.11)다음과같은재현식을고려해보자.T(1) = 1, T(n)= T(⎣n/2⎦)+1, n>1• n이 2의 거듭제곱이면 다음이 성립한다.T(n) = lgn+1 ∈Θ(lgn)• lgn은 매끄러운 함수이므로 모든 n에대해서위식이성립함을보이기 위해서는 T(n)이 결국 감소하지 않는 함수임을 보여야 한다.• 그러나 우리는 n이 2의 거듭제곱이면 T(n) = lgn+1이라는것밖에모르기 때문에 T(n)이 2의 거듭제곱값들 사이에서 어떤 결과를보일지 장담할 수 없다.33/34모든 n으로 확장하기 – 계속• 귀납법으로 T(n)이 결국 감소하지 않는다는 것을 증명한다.• 귀납출발점: n = 2,T(1) = 1, T(2) = T(⎣2/2⎦)+1 = 2이므로 T(1)≤T(2)이다.• 귀납가정: 모든 m≤n에대해k