DERIVACE FUNKCE

More documents

Recommendations

Info

URČITÝ INTEGRÁL <strong>FUNKCE</strong>Formulace: Naším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integráluI(f) =∫ baf(x) dx,kde předpokládáme, že funkce f je na intervalu 〈a, b〉 integrovatelná.Poznámka: Geometrický význam integrálu I(f) (viz obrázek) je obsah plochy mezigrafem funkce f a osou x na intervalu 〈a, b〉.yy = f(x)abxNumerické metody výpočtu integrálu užíváme zejména tehdy, když I(f) není možnospočítat analyticky (velmi častý případ) nebo je sice analytické řešení možné, ale je velmipracné. V případě že máme zadánu funkci f tabulkou, není ani jiný přístup možný.Příklad: Chceme-li určit obsah plohy mezi grafy funkcí f a g, užijeme určitý integrál.yf(x)Sg(x)aPro obsah potom platí S =∫ baf(x) − g(x) dxbx8
Přirozený princip numerických metod pro výpočet integrálu vychází z aproximacefunkce. Danou funkci f nahradíme její vhodnou aproximací ϕ a jako aproximaci integráluI(f) prohlásíme hodnotu integrálu I(ϕ), tj.I(f) ≈ I(ϕ) =∫ baϕ(x) dx.Poznámka: Narozdíl od výpočtu derivace je výpočet integrálu stabilní, protože je-liϕ dobrou aproximací funkce f na intervalu 〈a, b〉, je integrál I(ϕ) dobrou aproximací I(f).∫ b∫ b∫ bf(x) dx − ϕ(x) dx∣ aa ∣ ≤ |f(x) − ϕ(x)| dx ≤ (b − a) sup |f(x) − ϕ(x)| .ax∈〈a,b〉} {{ }εPrincip většiny metod na výpočet určitého integráluinterval 〈a, b〉 rozdělíme na N podintervalů 〈x k , x k+1 〉 tak, že∫ ba = x 0 < x 1 < x 2 < . . . . . . < x N−1 < x N = b.af(x) dx je založen na tom, žeNa těchto podintervalech nahradíme funkci f polynomem a integrujeme tento polynom.Vzorce pro výpočet integrálu (tzv. kvadraturní vzorce) na intervalech 〈x k , x k+1 〉 budemenazývat základní a vzorec pro výpočet hodnoty integrálu přes celý interval 〈a, b〉 budemenazývat složený (složený kvadraturní vzorec je dán součtem základních kvadraturníchvzorců).Pro jednoduchost budeme předpokládat, že jsou všechny podintervaly 〈x k , x k+1 〉 stejněvelké, tj. máme tzv. ekvidistantní uzly, které můžeme vyjádřit jako x k = x 0 + kh, kdek = 0, 1, . . . , N − 1 a h = b − aN .Uveďme si nyní tři nejjednodušší základní kvadraturní vzorce, které patří mezi tzv.Newtonovy-Cotesovy kvadraturní vzorce.1) Obdélníkové pravidlo (funkci f nahrazujeme konstantní funkcí ϕ)5yf∫ xk+1x kf(x) dx ≈≈ h·f(x k + h 2 ) ≡ R Z(f, h)3210ϕx k x k+1xk + h 2−1−1 0 1 2 3 4 5 6 7x49
Page 4 and 5: Uvedené vzorce jsou pro výpočet
Page 6 and 7: Poznámka: Na základě špatné po
Page 10 and 11: 2) Lichoběžníkové pravidlo (fun
Page 12 and 13: Pro chyby složených vzorců potom
Page 14 and 15: Další skupinou metod pro výpoče

DERIVACE FUNKCE

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?