Teorija igara Predmetni nastavnik: doc. dr. sc. Tunjo - Ekonomski ...

Sveučilište u ZagrebuEkonomski fakultetKatedra za matematikuKolegij: Teorija igaraPredmetni nastavnik: doc. dr. sc. Tunjo PerićPitanja za drugi kolokvij1.a) Predstaviti dvoetapnu igru s potpunom i nesavršenom informacijom,b) Pojasniti način rješavanja dvoetapnih igara s potpunom i nesavršenom informacijom. Odkoje pretpostavke treba krenuti pri rješavanju ove igre?c) Kako izgleda rezultat savršene podigre ove dvoetapne igre, ako pretpostavimo da je (a *,1a *) jedinstvena Nash-ova ravnoteža ove simultane igre?22.a) Tablično predstaviti igru povlačenja investiranog novca iz banke. Igra izgleda ovako:Dva investitora su deponirala iznos D u banku. Banka investira te depozite u dugoročniprojekt. Ako je banka primorana unovčiti investiciju prije završetka projekta, banka će dobitiukupno 2r, gdje je D> r >D/2. Ako banka dopusti da se investicija dovrši, projekt će platitiukupn 2R, gdje je R>D.Postoje dva datuma kad investitori mogu povući sredstva iz banke: datum 1 je prije završetkainvesticije; datum 2 je poslije završetka investicije. Zbog jednostavnosti pretpostavljamo danema diskonitanja.Ako oba investitora povlače novac na datum 1, onda svaki dobiva r i igra se završava. Akosamo jedan investitor povlači novac na datum 1, onda taj investiror dobiva D, a drugiinvestitor dobiva 2r-D, i igra se završava. Konačno, ako niti jedan od investitora ne povučenovac na datum 1, onda se projekt dovršava i investitori donose odluku o povlačenju novca nadatum 2. Ako oba investitora povuku novac na datum 2, onda svaki dobiva R i igra sezavršava. Ako samo jedan investitor povlači novac na datum 2, onda taj investitor dobiva 2R-D, a drugi dobiva D i igra se završava. Konačno, ako ni jedan investitor ne povuče novac nadatum 2, onda banka vraća R svakom investitoru i igra se završava.b) Analizirajte ovu igru. Pronađite rezultat savršene podigre ove dvoetapne igre.c) U čemu je razlika između ove igre i zatvorenikove dileme?

d) Što predviđa ovaj model povlačenja investiranog novca?3.a) Predstaviti igru: tarife i nesavršena međunarodna konkurencija u slučaju kad postoje dvijedržave i dva poduzeća koja proizvode za izvoz i međunarodno tržište.b) Kako izgleda tajming ove igre? Analitički predstaviti plaćanja poduzeću i državi, ako jeP(Q ) = a – Q , gdje je Q = h + e .?i i i i jc) Kako izgleda optimizacijski problem poduzeća i, i kako se može pojednostavljeno riješiti?d) Izračunati funkcije najboljih odgovora h * i e * kao rezultat druge etape igre između dvajui ipoduzeća.e) Predstaviti prvu etapu interakcije između dvije vlade kao simultanu igru. Kako izgledaNash-ova ravnoteža kao rješenje igre između dvije vlade?f) Kako izgleda rezultat savršene podigre ove igre?4.a) Objasniti dvoetapnu igru s ponavljanjem između dva igrača na primjeru zatvorenikovedileme: (L , L ) = (1, 1), (L , R ) = (5, 0), (R , L ) = (0, 5), (R , R ) = (4, 4). U koju klasu1 2 1 2 1 2 1 2igara pripada ova igra? Kako izgleda Nash-ova ravnoteža druge etape igre, u odnosu narezultat prve etape ove? Tko su igrači, koji su akcijski prostori, a što su isplate u prvoj idrugoj etapi ove igre?b) Opći slučaj predstavljanja etapne igre s ponavljanjem?c) Pokazati da postoji rezultat savršene podigre sljedeće igre s ponavljanjem koja oponašazatvorenikovu dilemu: (L , L ) = (1, 1), (L , M ) = (5, 0), (L , R ) = (0, 0), (M , L ) = (0, 5),1 2 1 2 1 2 1 2(M , M ) = (4, 4), (M , R ) = (0, 0), (R , L ) = (0, 0), (R , M ) = (0, 0), (R , R ) = (3, 3), ako1 2 1 2 1 2 1 2 1 2se igra odvija u dvije etape, a strategijski par (M , M ) igra u prvoj etapi. Što se može1 2očekivati kao rezultat u prvoj etapi savršene podigre igre s ponavljanjem. Definirati općislučaj igre s ponavljanjem, kad etapna statička igra s potpunom informacijom ima višestrukuNash-ovu ravnotežu. Kako glasi glavni zaključak koji možemo izvući iz ovog primjera?5.a) Kod igara s beskonačnim ponavljanjem važi sljedeći stav: čak ako etapna igra imajedinstvenu Nash-ovu ravnotežu, tu mogu postojati rezultati savršene podigre s beskonačnimponavljanjem, u kojoj etapni rezultati nisu Nash-ova ravnoteža od G. Objasniti na primjeruzatvorenikove dileme, gdje je: (L , R ) = (1, 1), (L , L ) = (5, 0), (R , L ) = (0, 5), (R , R ) =1 2 1 2 1 2 1 2

(4, 4), a diskontni faktor = 1/(1 + r). Pokazati da se kooperacija, tj. (R , R ) može pojaviti u1 2svakoj etapi rezultata savršene podigre.Uz dani diskontni faktor , kako glasi sadašnja vrijednost beskonačnog niza isplata?b) pokazati da je izazivačka strategija u zatvorenikovoj igri s beskonačnim ponavljanjemNash-ova ravnoteža u svakoj podigri s beskonačnim ponavljanjem.6.a) Što specificira ekstenzivni oblik predstavljanja igara. Igru u ekstenzivnom oblikupredstavite na jednom primjeru.b) izvedite normalni oblik predstavljanja dinamičke igre. Što je potrebno učiniti da bidinamičku igru predstavili u normalnom obliku? Što je strategija kod dinamičkih igara spotpunom i nesavršenom informacijom.c) Pokazati kako se statičke igre mogu predstaviti u ekstenzivnom obliku.d) Što je informacijski skup za igrača kod dinamičkih igara s potpunom i nesavršenominformacijom?7.a) Definirajte podigru u ekstenzivnom obliku za generalnu dinamičku igru s potpunominformacijom.b) Primijenite definiciju Nash-ove ravnoteže savršene podigre uz danu definiciju podigre(Selten, 1965). Pokazati da bilo koja dinamička igra s potpunom informacijom ima Nash-ovuravnotežu savršene podigre.c) U dvoetapnoj igri s potpunom i savršenom informacijom rezultat inverzne indukcije je (a *,1R (a *)), a Nashova ravnoteža podigre je (a *, R (a )). Pokazati.2 1 1 2 1d) Pokazati na primjeru da savršenost podigre eliminira Nash-ovu ravnotežu koja se zasnivana nevjerodostojnim prijetnjama ili obećanjima.8.a) Osnovne karakteristike statičkih Bayes-ovih igara? Navedite nekoliko primjera statičkihigara s nepotpunom informacijom.b) Definirajte tipove igrača u Bayes-ovoj igri.c) Definirajte vjerovanja igrača i uz tipove ostalih igrača.d) Predstavite Bayes-ovu igru n-igrača u normalnom obliku.e) Kako izgleda tajming Bayes-ove igre.9.a) Što je strategija igrača i u statičkoj Bayes-ovoj igri?

Kako su konstruirani strategijski prostori u statičkim Bayes-ovim igrama?b) Definirajte Nash-ovu ravnotežu Bayes-ove igre.10.a) Formulirajte problem dražbe kao statičku Bayes-ovu igru. Definirajte akcijske prostore,tipove prostora, vjerovanja i funkcije plaćanja.b) Izvedite Nash-ovu ravnotežu ove Bayes-ove igre.11.a) Formulirajte problem dvostruke dražbe kao statičku Bayes-ovu igru.b) Izvedite Nash-ovu ravnotežu ove Bayes-ove igre.12.a) Što je to direktni mehanizam?b) Kad je direktni mehanizam poticajno kompatibilan?13.a) Kako glasi strožiji koncept ravnoteže za dinamičke igre s nepotpunom informacijom?b) Definirajte zahtjeve za pojačanje koncepta ravnoteže u smislu isključivanja Nash-overavnoteže savršene podigre koja se zasniva na nevjerodostojnim prijetnjama.c) Definirajte informacijski skup na ravnotežnom putu i informacijski skup izvan ravnotežnogputa.d) Savršena Bayesova ravnoteža sadrži strategije i vjerovanja koja zadovoljavaju zahtjeve 1 –4. Navedite ih bez objašnjavanja.14.a) Što je to signalna igra?b) Kako glasi tajming signalne igre?c) Što su to udružene a što razdvojene strategije kod signalnih igara?d) Kako glase signalni zahtjevi za primatelja, a kako za pošiljatelja?Zagreb, svibanj 2013.