Sveučilište u Zagrebu Ekonomski fakultet

Mješoviti ARIMA modelPredavanje 5

Modeli stacionarnih vremenskih nizova Zadaća analize vremenskih nizova• pronalaženje modela kojim se opisuje stacionarnivremenski niz. Takvi se modeli (stohastički procesi) zajedničkimimenom zovu linearni stohastički modeli.

Modeli stacionarnih vremenskih nizova AR(p) MA(q) ARMA(p,q)

Operator pomaka - BBZtZt1B2ZtB(BZt)BZt1Zt2BpZtZtp

tptptttZZZZ ...22116tptptttZZZZ ...2211ttpptttZBZBBZZ ...221ttppZBBB )...(1221t(B)Z tttBZ)(1AR(p)

7qtqttttZ ...2211tqqttttBBBZ ...221tqqtBBBZ )...(1221ttBZ )(tZ t(B)1MA(q)

ARMA(p,q)( B ) Z ( B)tt(B)=1- - ppje AR(p) polinom(B)=1- - p q je MA(q) polinom8

Uvjeti invertibilnost i stacionarnostARMA procesa( B ) Z ( B)tt invertibilan nultočke polinoma (B)=0 moraju ležatiizvan jediničnog kruga, a da bi bio stacionaran nultočke polinoma (B)=0 moraju bitiizvan jediničnog kruga.

Nestacionaran ARMA proces polinom (B)=0 imati će barem jednu nultočku unutarili na jediničnom krugu Generalizacija stacionarnih ARMA procesa na proceseza koje su: sve nultočke AR polinoma (B)=0 izvan jediničnogkruga..... osim d- nultočaka koje se nalaze na jediničnom krugu Takvi procesi opisuju se modelom

Nestacionaran ARMA procesd( B)1 B Z ( B)tt (B)=1- - p p je AR(p) polinom (B)=1- - p q je MA(q) polinom Pretpostavlja se da su nultočke polinoma• (B) izvan jediničnog kruga (stacionarnost) i• (B) izvan jediničnog kruga(invertibilnost)• polinomi nemaju zajedničkih nultočaka. d je pozitivan cijeli broj.

Integrirani mješoviti ARMA modeld( B)1 B Z ( B)tt AutoRegressive Integrated MovingAverage model ARIMA(p,d,q), Box i Jenkins (1976),

ARIMA proces( B)1 B Z ( B)tt Y t =(1-B) d Z t je stacionaran ARMA(p,q) proces.Ytd homogena nestacionarnost → nestacionarnost koju je mogućeukloniti diferenciranjem procesa prikladan broj ARIMA(p,d,q) → procesi iz klase homogenih nestacionarnihprocesa

ARIMA proces ARIMA(0,1,0)1 B Z t t1B ZtZtZt1Zt prikladan za analizu nizova koje sadrželinearni stohastički trend, I(1) nizova

ARIMA proces ARIMA(0,2,0)1B2Z tt221 B Zt1 2BB ZtZt2Zt1Zt2 prikladan za analizu nizova koje sadržekvadratni stohastički trend, I(2) nizova

ARIMA proces Prikladan za opisivanje nizova koje, diferenciranjem d-puta postaju stacionarni i opisuju se ARMA(p,q)modelom U oznaci ARIMA, slovo I označava integraciju ilisumiranje koje treba provesti nad diferenciranimnizom da bi se dobile originalne vrijednosti niza.

Konstantni član u ARIMA(p,d,q)modelu( B)1 B Yt0d( B)t Uloga konstante u modelu ovisi o redu diferenciranjad Za stacionaran proces (d=0) → 0 je povezana srazinom pojave, tj.1 ...E Y0 1pt Ako je d≠0, konstanta 0 je dio determinističkogtrenda i najčešće se izostavlja iz specifikacije modela

Proces slučajnog pomakaYt Y t(1 B)Y1 tt t ARIMA(0,1,0)Yt Y t 0(1 B)Y1 tt 0 t ARIMA(0,1,0) model s konstantom 0 kojaoznačava koeficijent nagiba determinističkogtrenda sadržanog uY t .

ARIMA(0,1,1) modeli – IMA(1,1)( 1 B ) Y (1 B)t 1t111Y tY t1 t 1 t1 Integrirani model pomičnih prosjeka

ARIMA(0,1,1) modeli – IMA(1,1)( 1 B ) Y (1 B)t 1t111Y tY t1 t 1 t1 Integrirani model pomičnih prosjeka Y t ~ IMA(1,1) → Y t =(1-B)Y t je stacionaranMA(1)• ACF Y t opadaju veoma sporo (nestacionarnost)• ACF Y t (stacionaran) ima karakteristike MA(1)procesa, tj. iščezava nakon pomaka k=1

Proces Y t =Y t-1 + t -0,75 t-1Autocorrelation FunctionY(Standard errors are white-noise estimates)Lag Corr. S.E.Q p1 +,652 ,070286,23 0,0002 +,586 ,0700156,2 0,0003 +,560 ,0698220,6 0,0004 +,571 ,0697287,9 0,000Partial Autocorrelation Function(Standard errors assume AR order of k-1)Lag Corr. S.E.1 +,652 ,07072 +,280 ,07073 +,194 ,07074 +,200 ,0707Y5 +,535 ,0695347,1 0,0005 +,082 ,07076 +,541 ,0693408,2 0,0006 +,124 ,07077 +,481 ,0691456,5 0,0007 -,021 ,07078 +,504 ,0689510,1 0,0008 +,100 ,07079 +,507 ,0688564,4 0,0009 +,082 ,070710 +,450 ,0686607,4 0,00010 -,054 ,070711 +,467 ,0684654,1 0,00012 +,416 ,0682691,3 0,00000-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0Conf. Limit11 +,082 ,070712 -,070 ,07070-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0Conf. Limit

Diferencirani proces (1-B)Y t = t -0,75 t-1Autocorrelation FunctionDY(Standard errors are white-noise estimates)Lag Corr. S.E.1 -,417 ,07022 -,049 ,07003 -,059 ,06984 +,063 ,06975 -,061 ,06956 +,104 ,06937 -,127 ,06918 +,035 ,06899 +,088 ,068810 -,115 ,0686Q p35,23 ,000035,72 ,000036,43 ,000037,24 ,000038,01 ,000040,28 ,000043,66 ,000043,92 ,000045,55 ,000048,34 ,0000Partial Autocorrelation FunctionDY(Standard errors assume AR order of k-1)Lag Corr. S.E.1 -,417 ,07072 -,269 ,07073 -,257 ,07074 -,139 ,07075 -,175 ,07076 -,020 ,07077 -,141 ,07078 -,120 ,07079 +,028 ,070711 +,109 ,068450,87 ,000012 -,073 ,068252,01 ,000000-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0Conf. Limit10 -,115 ,070711 +,050 ,070712 -,033 ,07070-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0Conf. Limit

Nestacionarnost u varijanci iautokorelaciji U analizi vremenskih nizova → parametri modelaprocjenjuju se na temelju jednog vremenskog niza(jedne realizacije stohastičkog procesa, jednog uzorka) teško je, a često i nemoguće, statističku analizunestacionarnih procesa provoditi na temelju samojedne realizacije procesa.

Nestacionarnost u varijanci iautokorelaciji homogeno nestacionarni procesi → stacionariziraju sediferenciranjem određeni broj puta statistička analiza provodi se na temelju diferenciranihvrijednosti niza, X t = (1-B) d Y t Tako transformiran niz je stacionaran i opisuje seodgovarajućim ARMA modelom.

Nestacionarnost u varijanci iautokorelacijiUzrok nestacionarnosti može između ostalog biti i• promjenjivost varijance i• autokorelacijske strukture procesa, tj. Da se varijanca i autokorelacija procesa mijenjaju svremenom

Transformacije stabilizacije varijance Da bi se uklonila nestacionarnost niza y t uzrokovanapromjenjivošću varijance, ponekad je dovoljno transformirati vrijednosti niza ne diferenciranjem, većnekom drugom transformacijom..... g(y t ).

Transformacije stabilizacije varijance Kako se najčešće varijanca nestacionarnog procesamijenja s promjenom razine pojave, varijanca procesamože se prikazati kao funkcija razine pojaveE yt tVar ( y )tcft za proizvoljnu konstantu c (c>0) i funkciju f(.).

Transformacije stabilizacije varijancePostupak stabiliziranja varijance pronalaženju odgovarajuće funkcije g(.), tako datransformiran niz g(y t ) ima konačnu varijancu. opći oblik transformacije (funkcije g(.)) → potencijavrijednosti niza,• Box i Cox, (1964)

Transformacije stabilizacije varijancegytg()yt1za0log(yt)za0 Funkcija ''dobro'' definirana za y t >0. ako su y t

Transformacije stabilizacije varijance Npr. za λ=0g(yt)g0lim0yt1ln(yt) analizira se log- linearan model.

Transformacije stabilizacije varijance parametar λ može tretirati kao dodatni parametar umodelu i njegova se vrijednost procjenjuje zajedno sostalim parametrima modela Međutim, danas se sve više napušta takav pristup ivarijanca se zasebno modelira koristeći GARCH klasumodela.

Transformacije stabilizacije varijance transformaciju vrijednosti niza potrebno je provesti prijebilo koje analize Npr.diferenciranja, log-trensformacije vrijednosti niza provedena transformacija veoma često ne samo dastabilizira varijancu već i aproksimaciju distribucijenormalnom čini ''boljom'‘ veoma često je u empirijskim istraživanjima dovoljnovrijednosti niza transformirati (npr. lntransformacijom)kako bi se dobila normalnadistribuiranost koja prvotno nije bila zadovoljena.

Y t = M1 novčana masa u RH (nominalno u mil.kn);6/1994. -8/2005.Novčana masa M1 u RH, Y tLogaritamskatransformacija niza, ln(Y t )450001240000350001030000825000200006150004100005000201 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117 121 125 129 133M101 5 9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81 85 89 93 97 101 105 109 113 117 121 125 129 133ln(M1)

Box-Jenkinsov pristup odabiramodelaPredavanje 534

Box-Jenkinsov pristupOsnovna zadaća analize vremenskih nizova: pronalaženje modela kojim će se adekvatno opisatiproces koji generira vremenski niz, procjenjivanje parametara modela, te predviđanje budućih vrijednosti procesa.35

Box-Jenkinsov pristupEmpirijske analize pokazuju da: se većina makroekonomskih pojava može opisatiARIMA(p,1,q) modelima, tj. da su pojave integrirane reda jedan i sadrže AR i MAkomponente.36

Box-Jenkinsov pristupPROBLEM: ARIMA modelima opisuju se mehanička (statistička)svojstva vremenskih nizova Definicija modela ne temelji se na ekonomskojteoriji → glavni nedostatak Empirijska istraživanja → više modela jednako''dobra''• iskustvo istraživača presudan faktor pri izboru.37

Box-Jenkinsov pristup najčešće korištena metoda u analizi vremenskih nizova. popularnost → iz općenitosti metode analiza proizvoljnog vremenskog niza• bez obzira na njegove karakteristike, kao što su npr.stacionarnost ili prisutnost sezonskih oscilacija. metoda je implementirana i detaljno dokumentirana ugotovo sve statističke pakete.38

Box-Jenkinsov pristup Jednostavnost provođenja Dostupnost ARIMA modeli ponekad nazivaju i Box-Jenkinsovi modeli39

Box-Jenkinsov pristupProvodi se u koracima Početni korak• ispituje se stacionarnost niza. Ako niz nije stacionaran• Uklanjanje nestacionarnosi• Najčešće - difreneciranjem niza odgovarajući broj puta• određivanje reda integriranosti niza Nastavak analize → na temelju diferenciranihvrijednosti niza koje su stacionarne.• za nastavak analize stacionarnost ključna40

Diferenciranje serije da bi se postiglastacionarnostFazaidentifikacijeFazaprocjenjivanjaFazaprognoziranjaFaza dijagnostičkogprovjeravanjaJE LI MODELADEKVATAN?NEDA41

Faza identifikacije Odabir “početnog” modela kojim se opisuje dinamika stacionarnog vremenskogniza. analiza osnovnih karakteristika niza• grafički prikazi, korelogram, SACF, SPACF netipične opservacije, nedostajuće vrijednosti ili npr. strukturnilomovi u podacima. Netipične opservacije i nedostajuće vrijednosti potrebnoje korigirati u ovom koraku.42

Faza identifikacije Na temelju stacionarnog niza• originalnog niza ili transformiranog ukoliko jepočetni bilo nestacionaran izračunavanje SACF, SPACF Korelogram Usporedba s teorijskim funkcijamaKako bi se odredila ''stvarna'' priroda procesa koji generirapodatke.43

Osnovni oblici teorijskih funkcija

Faza identifikacije često se nekoliko ARMA modela pokazuju kaopotencijalno ''dobri'' modeli izbor više ''dobrih'' modela ne postoje striktna pravila odabira inicijalnog modela• iskustvo i sposobnost analitičara.45

Faza procjenjivanja Procjene paramatara za svaki pd početno odabranihARIMA modela• Na temelju empirijskih (transformiranih) vrijednosti niza Ako model ne sadrži MA komponente, koristi se OLSmetoda MA komponenta prisutna:• Nelinearna metoda najmanjih kvadrata• Metoda najveće vjerodostojnosti• Bezuvjetna metoda najmanjih kvadrata Za dovoljno dugačak vremenski niz metode suasimptotski ekvivalentne46

Faza procjenjivanja Izračunavanje standardnih pogreškaka procjenaparametara• najčešće su to aproksimacije standardnih pogrešakabudući da se koriste nelinearne metode procjene Usporedba procijenjenih modela Određivanje najboljeg47

Faza procjenjivanjaKriteriji usporedbe: kriterij parsimonije stacionarnosti i invertibilnosti, te vrijednosti mjera adekvatnosti modela48

Faza procjenjivanjaKriterij parsimonije: odabir što jednostavnijeg modela• s najmanjim brojem parametara. Box i Jenkins smatraju da parsimonijski modeli dajubolje prognoze od modela s velikim brojemparametara. Jednostavnost• jedna od temeljnih pretpostavki modela Cilj analize - aproksimacija stvarnog procesakoji generira vremenski niz, a ne''pronalaženje'' stvaranog procesa.49

Faza procjenjivanjaStacionarnost i invertibilnost: ...... Ključni t- i Q- testovi temelje se na pretpostavcistacionarnosti procesa ispitivanje stacionarnosti i invertibilnosti procesanužno je u ovoj fazi analize.50

Faza dijagnostičkog provjeravanja ispitivanje adekvatnosti početno odabranogmodela najvažniji dio analize Ako model zadovoljava određene statističkekriterije to je i konačni model• u protivnom se postupak odabira modela ponavlja. Adekvatnost modela ispituje se analizomreziduala procijenjenog modela. ''dobar'‘ model → reziduali će imatikarakteristike procesa bijelog šuma• ispunjene početne pretpostavke modela51

Faza dijagnostičkog provjeravanja Ispitivanje je li: očekivana vrijednost reziduala približno jednakanuli• izračunavanje aritmetičke sredine reziduala i testiranjenjene značajnost je li varijanca reziduala približno konstantna• analiza grafičkih prikaza reziduala ili provođenje formalnihtestova o homoscedastičnosti varijance (npr. Whiteov test). postoji li statistički značajna autokorelacijareziduala• analiza korelograma ili provođenje statističkih testova,(Box- i Ljung-Box-ov test).52

Faza dijagnostičkog provjeravanjaBox-Pierceov i Ljung-Boxov test skupni testovi o značajnosti prvih k- koeficijenataautokorelacije Partmanteau testovi Ljung-Boxov test zastupljeniji• u malim uzorcima pokazuje bolje karakteristike.H : 0 1 2k0H1:j0,j1,2,..., k53

Faza dijagnostičkog provjeravanja Test veličineikQ n rBP i12r ktnˆtk 1nt 1ˆˆt2tkQnn2ik12rin - i54

Faza dijagnostičkog provjeravanja Ako je pretpostavka o adekvatnosti ARMA(p,q) modelatočna, Q BP i Q ~ asimptotsku(k-p-q)- test provodi55

Faza dijagnostičkog provjeravanja Ako je model dobro prilagođen podacima ispitivanje statističke značajnosti procijenjenihparametara isključivanje nesignifikantnih Model koji je zadovoljio dijagnostičku provjeru možeposlužiti za izračunavanje• prognostičkih vrijednosti• prognostičkih pogrešaka• prognostičkih intervala.....56

Odabir najboljeg modela Adekvatan model dobro je prilagođen podacima. faza identifikacije → više potencijalno ''dobrih'' modelakoji su stacionarni i invertibilni Ponekad takvi modeli imaju i jednak broj parametara Usporedba - odabir optimalnog57

Odabir najboljeg modela velik broj kriterija Odabir kriterija prvenstveno ovisi o cilju analize. usporedba statističko-analitičkih pokazatelja• Reziduali - karakteristike procesa bijelog šuma?? Kriteriji uspješnosti prilagođavanja modela empirijskimpodacima kao što su:58

Odabir najboljeg modela Kriteriji uspješnosti prilagođavanja modelaempirijskim podacima, npr. procjena varijance i standardne devijacije koeficijenti determinacije (R 2 )• visoke vrijednosti, što može biti posljedica trenda,sezonskih utjecaja ili npr. velikog broja varijabli u modelukoje sve ne moraju biti statistički značajne, te nijepouzdana mjera adekvatnosti modela. korigirani koeficijent determinacije matrica korelacije procijenjenih parametara• visoko korelirane procjene parametara mogu smanjitinumeričku točnost u proračunima statističkih procedura.59

Odabir najboljeg modela Mjere........ koje se temelje na kompromisusmanjenja rezidualne suma kvadrata(dodavanjem varijabli u model) a da seistovremeno sačuva dovoljan broj stupnjevaslobode, tj. da je model parsimonijski (reduciranjevarijabli u modelu). informacijski kriteriji• Akaikeov informacijski kriterij (AIC),• Schwartz ili Schwartz-Bayesov kriterij (SBC) i• Hannan-Quinnov kriterij (HQ).60

Odabir najboljeg modelaInformacijski kriteriji mjere koliko ''dobro'' model opisuje podatke Svaki na specifičan način pronalazi optimum izmeđupoboljšanja kakvoće modela (dodavanjem varijabli umodel) i dovoljnog broja stupnjeva slobode(reduciranje varijabli u modelu). Različiti kriteriji mogu dati različite rezultate. Bolji model →manja vrijednost navedenih pokazatelja• vrijednosti kriterija mogu biti i negativne61

Odabir najboljeg modelaAIC2lnLMSBC2lnLMlnTHQ2lnL2MlnlnTM je ukupan broj procijenjenih parametara ARMA(p,q) modela(M=p+q+moguća konstanta) a T broj podataka koji se koristi pri procjeni (koji ne mora bitijednak duljini niza n, npr. u slučaju diferenciranog niza)svi modeli koji se uspoređuju moraju biti procijenjenina istom vremenskom intervalu (isti brojem podataka T)62

Odabir najboljeg modela mjere prediktivne efikasnosti modela temelju odabranih modela i empirijskih vrijednosti niza(y 1 ,y 2 ,...,y n ) izračunavaju prognostičke vrijednostiyˆ , yˆ, ,1 2ˆy n Model s najmanjom prognostičkom pogreškom(adekvatan) → konačan model.63

Prognostičke pogreške koje se najčešćeuspoređuju su:Srednjekvadratna prognostička pogreška (MeanSquare Error):MSE1nKorijen srednjekvadratne prognostičkepogreške (Root Mean Square Error):tn1y tyˆtRMSEMSE64

Prognostičke pogreške koje se najčešćeuspoređuju su:Prosječna apsolutna postotna pogreška (engl.Mean Absolute Percent Error, MAPE)MAPE100ninProsječna apsolutna pogreška (engl. Mean AbsoluteError, MAE)1ytytyˆtMAE1nin1y tyˆt65

Faza prognoziranja Glavna ''zadaća'' ARIMA modeliranja → prognoziranjebudućih vrijednosti pojave.Ideja prognoziranja dobivanje optimalnih prognoza koje neće sadržavatipogrešku ili će ta pogreška biti minimalna.66

Faza prognoziranjaDva izvora pogrešaka u prognostičkim vrijednostima Primjer AR(1) model:Y tY t1 t, | | 1 vrijednost u (n+1):Y Y n 1 n n1,||1 Prognostička vrijednost u (n+1):Y ˆ ˆYnˆ1n||167

Faza prognoziranjaDva izvora pogrešaka pogreška:Yn1Yˆn1Ynn1ˆˆYnn1ˆˆYn68

Faza prognoziranjaDva izvora pogrešaka u prognostičkim vrijednostima pogreške sadržane u n+1 i pogreške koje nastaju zbog razlike u stvarnim iprocijenjenim vrijednostima parametara modela.ˆiˆ Statistički paketi ''točno'' izračunavaju standardnepogreške prognostičkih vrijednosti uzimajući u obziroba izvora pogrešaka69

Faza prognoziranja Optimalne prognoze moguće je dobiti minimiziranjemsume kvadrata prognostičkih pogrešaka Takve prognoze nazivaju se• prognoze u smislu najmanje srednjekvadratne pogreške ili• MSE- prognoze (Minimum Mean Squared Error).70

Faza prognoziranjaPrognostički intervalPyˆnt2SEyˆnynyˆnt2SEyˆn1je prognostička vrijednost pojave brojem zarazdoblja nakon n- tog razdoblja, ,t je koeficijent pouzdanosti (t (n-n p ), n p broj2procijenjenih parametara modelaŷ nje standardna pogreška prognostičkevrijednosti i ovisi o prognostičkom horizontu istandardnoj devijaciji 71SE yˆn

Ispis EViews:Dinamičke prognoze Multi-step prognoze, počevši od prvog prognostičkogperioda T = n+1 Za lagirane vrijednosti zavisne varijable u''prognostičkoj'' jednadžbi uvršavaju se prognostičkevrijednosti72

Ispis EViews:Statičke prognoze: One-step prognoze, počevši od prvog prognostičkogperioda T = n+1 Za lagirane vrijednosti zavisne varijable u''prognostičkoj'' jednadžbi uvršavaju se stvarne, a neprognostičke vrijednosti (ako su dostupne)73

Ispis EViews:800700600500400Forecast: KRASFActual: KRASForecast sample: 1 165Adjusted sample: 3 165Included observations: 143Root Mean Squared Error 56.19114Mean Absolute Error 49.87241Mean Abs. Percent Error 7.810732Theil Inequality Coefficient 0.046745Bias Proportion 0.776483Variance Proportion 0.218745Covariance Proportion 0.00477230025 50 75 100 125 150KRASF74

Ispis EViews: Prognoziraju se vrijednosti za j=T+1, T+2,...,T+h Oznake: y t - stvarna vrijednost pojave u periodu tŷ t- prognostička vrijednost pojave u periodu t75

Ispis EViews:76

Ispis EViews:MAD se može dekomponirati:yˆthyt2yˆtyhpristranost2syˆsyvarijanca22 1 r syˆsy kovarijancahyˆt, y,syˆ, sy, rsu prosječne vrijednosti, (pristrane)standardne devijacije od y t iŷ t r je koeficijent korelacije između y t i 77ŷ t

Ispis EViews: Proporcija pristranosti:hyˆty2yˆthyt2 Pokazuje koliko je ''daleko'' prosijek prognostičkihvrijednosti od prosjeka empirijskih vrijednosti Koliko dobro prosijek prognostičkih vrijednosti''slijedi'' prosjek empirijskih vrijednosti78

Ispis EViews: Proporcija varijance:syˆyˆtsyy2t2 Pokazuje koliko se razlikuju varijacijaprognostičkih od varijacije empirijskihvrijednostih79

Ispis EViews: Proporcija kovarijance:2 1rsyˆsyyˆtyt2h Mjeri preostalu nesistematsku prognostičkupogrešku Suma komponenti = 180

Ispis EViews:''Dobre'' prognoze: Proporcija pristranosti i varijance trebala bi biti mala. Većina pristranosti mora biti “prisutna” u pristranostikovarijance81

Primjer Box-Jenkins metodologije Realni GDP EU27 1995Q2 – 2007Q4 Izvor: EUROSTATGDPD(GDP)2,800,00030,0002,700,0002,600,00025,0002,500,00020,0002,400,0002,300,00015,0002,200,00010,0002,100,0002,000,0005,0001,900,00095 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07095 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 0782

Korelogram D(GDP)84

Procjena ARIMA(1,1,0) modela85

Procjena ARIMA(1,1,1) modela86

Procjena ARIMA(2,1,1) modela87