Преузми

2..1 Njutnovi zakoni 252 DINAMIKAUvodU svakodnevnom životu uočavamo tela koja menjaju svoju brzinu-odnosno ubrzavaju. Pri tomesmo sigurno u neposrednom okruženju uočili tela koja doprinose ovim promenama. Dakle,uočavamo neku vrstu povezanosti između ubrzanja tela i njegove interakcije sa okruženjem. Podpojam okruženja spadaju i fizička polja, koja takođe mogu uticati na promenu brzine tela.Osnovni problem koji treba rešiti je sledeći: (1) na osnovu poznatih karakteristika tela (masa,oblik, zapremina, naelektrisanje) i (2) poznavanja položaja i osobina tela u okruženju (3) odreditinačin kretanja tela. Postoje dva načina pomoću kojih dolazimo do rešenja: (1) principomminimuma dejstva (teorijski višeg nivoa) i (2) pomoću Njutnovih zakona dinamike.Isak Njutn (Isaak Newton 1642-1727) je rešenje ovog problema izložio u svom deluPhilosophiae naturalis principia mathematica (napisano 1686, izdato 1687). Sledeći Njutna prirešavanju problema kretanja: (1) uvodimo pojam sile kao osnovnog uzroka promene kretanjatela, (2) definišemo masu i pokazujemo kako pridruživanjem mase telu možemo razumetičinjenicu da različita tela u istom okruženju imaju različita ubrzanja, (3) nalazimo način daizračunamo silu, koja deluje na telo, na osnovu osobina tela i njegove okoline. Na taj način, mitragamo za zakonima dejstva sile. (4) Pokazujemo na koji način se dejstvo više sila na telomože kombinovati u cilju dobijanja rezultujuće sile. Relacije između ovih veličina čine deofizike koji je poznat pod nazivom dinamika.2.1 Njutnovi zakoniNjutnovi zakoni su dati kao postulati (logička tvrđenja) i kao takvi niti se dokazuju niti seizvode, ali se u praksi proveravaju. Primenljivi su na kretanja materijalnih objekata čija je brzinadaleko manja od brzine prostiranja svetlosti, a masa daleko veća od mase atoma. Na timkretanjima se zasniva Njutnova mehanika ili klasična mehanika. Klasična mehanika počiva nadva principa: (1) apsolutnosti prostora (različiti sistemi reference imaju isti prostor) i (2)apsolutnosti vremena (u svim sistemima refrence vreme protiče na isti način). Primenljiva je naširok spektar fenomena i predviđa rezultate koji se u veliko meri slažu sa eksperimentalnimrezultatima. Ukoliko je brzina kretanja tela uporediva sa brzinom prostiranja svetlosti umestoNjutnove mehanike koristimo Ajnštajnovu specijalnu teoriju relativnosti. Za probleme na nivouatomske strukture (na primer kretanje elektrona u atomu) umesto Njutnove mehanike koristimozakone kvantne mehanike. Danas se Njutnova mehanika smatra specijalnim slučajem gore dvenavedene sveobuhvatnije teorije.2.1.1 I Njutnov zakonTelo koje je oslobođeno svih dejstava, ili je izloženo višestrukom dejstavu čija je rezultantajednaka nuli, kreće se po pravoj liniji sa brzinom konstantnog inteziteta uključujući i vrednostnula.Kretanje po pravoj liniji brzinom konstantnog inteziteta i mirovanje spadaju u prirodne oblikekretanja tela.I Njutnov zakon je u biti iskaz o sistemima reference. On definiše vrstu sistema reference ukojima je primenljiv. Sa ovog aspekta I Njutnov zakon izražava sledeće: Ako je rezultujuća sila,koja deluje na telo, jednaka nuli moguće je pronaći sisteme reference u kojima to telo nemaubrzanje. I Njutnov zakon se često naziva i zakon inercije, a sistemi reference u kojima jeprimenljiv nazivaju se inercijalni sistemi reference (ISR).U prirodi ne postoji idealan ISR, a najpribližniji njemu je heliocentrični sistem reference. Centarovog sistema je Sunce, a tri međusobno normalne ose polaze od Sunca i idu

26 2 DINAMIKAka tri relativno nepokretne zvezde. Svaki sistem reference koji se kreće ravnomerno pravolinijskiu odnosu na heliocentrični sistem reference možemo smatrati ISR.Osnovni uzrok promene prirodnog kretanja tela je dejstvo sile. Sila je vektorska veličina štoznači da je određena sa tri parametra: intenzitetom, pravcem i smerom i podleže zakonomavektorskog sabiranja. Oblik sile ne zavisi od izabranog ISR.Kako oblik kretanja jednog tela zavisi od sile koja deluje na njega, odabranog sistema referenceu kojem se kretanje posmatra i početnih uslova u kojima se telo nalazilo zaključujemo da ukolikokretanje jednog tela posmatramo iz različitih ISR oblik kretanja će biti isti u svim ISR ako su istipočetni uslovi. Ova osobina je poznata pod imenom osobina ekvivalentnosti svih ISR.Prilikom promene kretanja telo se opire uzroku koji izaziva tu promenu, odnosno teži da zadržiprethodno stanje kretanja. Iz tog razloga kažemo da telo poseduje osobinu inertnosti. Mera zainertnost tela je masa tela. Fizički osećaj mase imamo samo prilikom pokušaja saopštavanjaubrzanja nekom telu.2.1.2 II Njutnov zakonII Njutnov zakon nam daje kvantitativnu i kvalitativnu vezu između uzroka promene kretanja –sile i posledice– promene vektora količine kretanja (fizičke veličine kojom merimo stanjekretanja). Matematička formulacija II Njutnov zakona je sledećeg oblika:r rdpd( mv)r ex= = F rez, (2.1)dt dtrgde F exrezoznačava rezultujuću eksternu (spoljašnju ) silu.Na osnovu (2.1) zaključujemo da je elementarna promena vektora količine kretanja uvek upravcu i smeru dejstva rezultujuće eksterne sile:dpr = exFr ⋅ rezdt . (2.2)Imajući u vidu gore navedeno izvodimo sledeće zaključke: 1) polazeći iz stanja mirovanja telo sekreće u pravcu i smeru dejstva rezultujuće eksterne sile i 2) ukoliko je telo imalo početnu brzinuelementarna promena količine kretanja tela je u pravcu i smeru dejstva rezultujuće eksterne sile(vidi sliku2.1).v r p rdprrF exrezp r + dprSlika 2.1 Određivanje elementarne promene vektora količine kretanja.U opštem slučaju, polazeći (2.1), vektor ubrzanja tela nije po pravcu dejstva rezultujuće eksternesile:rr dm d dmF ex r v r rrez= ⋅ v + m = ⋅ v + ma . (2.3)dt dt dtMeđutim, kada rešavamo probleme klasične mehanike masu tela možemo smatrati konstantnomveličinom (sem kod reaktivnih kretanja) te je stoga:

2.1 Njutnovi zakoni 27rr dF ex v rrez= m = ma .dt(2.3a)Polazeći od definicije vektora brzine pri vektorskom opisivanju kretanja matematička formilacijaII Njutnovog zakona može biti i sledećeg oblika:F ex2rrrez 2d r= m . (2.4)d tProjektujući II Njutnov zakon na ose Dekartovog koordinantnog sistema dobijamo osnovnedinamičke jednačine klasične mehanike:F2 ex2 2 ex2= m d2 x d t , F rezy = m d y d t , F rezz = m d z d t , (2.4a)ex2rezxex ex exgde su F rezx , F rezyx , F rezz projekcije rezultujuće spoljašnje sile na pozitivne pravce x , y i z ose,respektivno. Jednačine (2.4a) su linearne diferencijalne j-ne II reda i predstavljaju kvantitativnustranu II Njutnovog zakona.Kako je (2.4) linearna diferencijalna jednačina II reda možemo primeniti princip superpozicije:r nex rF rez= ∑ Fi=1exi. (2.5)Deleći (2.5) sa masom tela dobijamo da ubrzanje tela možemo predstaviti sumom ubrzanja kojetelo dobija dejstvom svake od sila ponaosob:r nra = ∑ . (2.6)aii=1Možemo primetiti da II Njutnov zakon uključuje i formalni iskaz I Njutnovog zakona kaospecijalan slučaj. Naime, u slučaju da je rezultujuća spoljašnja sila jednaka nuli na osnovu (2.1c)r r→dobijamo: dvdt = 0 ⇒ v = const , uključujući i vrednost nule. Ovo ne znači da I Njutnov zakonsledi iz II nego samo ukazuje na jedinstvo ova dva zakona o dejstvu sile.Konačno, kako u II Njutnovom zakonu ne figurišu početni uslovi (2.4) predstavljafundamentalnu, opštu jednačinu kretanja.2.1.2.1 II Njutnov zakon i reverzibilnost vremenaRešavanjem (2.4), poznavajući odgovarajuće početne uslove, određujemo vektor položaja telar (t) , odnosno možemo odrediti kako će se telo kretati u budućnosti. Da li možemo saznati,znajući silu i početne uslove, kako se telo kretalo u prošlosti? Odgovor na ovo pitanje dobićemoako promenimo tok kretanja vremena, odnosno ako u odgovarajuće jednačine umesto parametrat stavimo − t . Primenjujući datu smenu na (2.4) dobijamo izraz za vektor sile u prošlosti:r2r2r( ddrF − t)= m = m = F(t). (2.7)2d −td t2( )Dakle, sila će uvek na isti način delovati bilo da se telo kretalo u prošlosti ili se kretanje odvijasada ili u budućnosti.Priraštaj brzine tela pri negativnom toku vremena je:r 1 r 1 r1 rd v = F(t)dt = F(−t)d(−t)= − F(t)dt , (2.8)m mm

28 2 DINAMIKAodakle integracijom dobijamo da je:r rv(− t)= −v(t), (2.9)odnosno da promenom toka vremena vektor brzine menja smer, što znači da se menja smerkretanja tela. Ako se radi o opisivanju kretanja pojedinačnog tela ne možemo znati da li sekretanje odvija u pozitivnom ili u negativnom smeru toku vremena. Za sistem tela to je mogućeodrediti jer je smer kretanja uvek u smeru povećanja entropije sistema. Promena vektorapoložaja pri negativnom toku vremena iznosi:r rr rd = v( −t)d(−t)= ( − v( t))( − dt) = v( t)dt . (2.10)Integracijom (2.10) dobijamor r( − t)=( t). (2.11)Na osnovu (2.7) i (2.11) zaključujemo da poznavanjem sile možemo odrediti poziciju tela kako ubilo trenutku u budućnosti tako i u bilo kom trenutku u prošlosti.2.1.2.2 Invarijantnost II Njutnovog zakona-Galilejev princip relativnostiPosmatraćemo kretanje tela mase m iz dva ISR, od kojih je jedan nepokretan (sistem S ) a drugi(sistem S′) se kreće brzinom konstantnog intez iteta V p= const.u odnosu na njega, upozitivnom smeru y ose (vidi sl.2.2). Pretpostavimo da se u trenu tku t = 0 S i S′ poklapaju,S S ′zz′mi r k r0jrr rr r′k ′ = kr ri ′ = i 0′r rj ′ = jr rV = V ⋅ jppy , y′xx′Slika 2.2 Posmatranje kretanja tela iz dva ISR, pokretnog S ′ i nepokretnog Sodnosno0 ≡ 0′. U proizvoljnom trenutku vremena S′ je prešao put:→ r r r00′= V ⋅ t′= V ⋅ t = V ⋅ j ⋅ t , (2.12)pppšto sledi iz principa apsolutnosti vremena u klasičnoj mehanici. Između vektora položaja možese uspostaviti relacija:r r→r r=′ + 00′=′ + V p ⋅ j ⋅ t . (2.13)Diferenciranjem po vremenu (2.13) dobijamo relaciju među brzinama u S i S ′:r rv = v′ + V r p , (2.14)

2.1 Njutnovi zakoni 29gde v r predstavlja apsolutnu, v r ′ relativnu brzinu kretanja (brzina kretanja tela u odnosu na S ′), aV rp prenosnu brzinu.Diferenciranjem po vremenu (2.14) dobijamo relaciju između ubrzanja tela u S i S ′ :r ra = a′, (2.15)na osnovu koje zaključujemo da je ubrzanje u odnosu na ISR invarijantno (nepromenljivo).Množenjem (2.15) sa masom tela m dobijamo da je i sila invarijantna u odnosu na ISR:r rF = F ′ . (2.16)Na osnovu izvedenih relacija zaključujemo da osnovni mehanički zakoni koji određuju promenustanja kretanja u ISR su isti – Galilej.2.1.2.3 Neinercijalni sistemi reference i inercijalne sileAnaliziramo slučaj gde sistem S ′ , sa sl.2.2, predstavlja neinercijalni sistem reference (NSR),odnosno kreće se ubrzano u odnosu na sistem S , duž pozitivnog smera y ose, ubrzanjem:r ra p = a p ⋅ j . (2.17)Pretpostavimo da su u trenutku t = t′ = 0 ispunjeni sledeći uslovi:r r0 ≡ 0 ′,V 0= V 0 ⋅ j , (2.18)gde je Vr0početna brzina S′ u odnosu na S . U proizvoljnom trenutku vremena S′ je prešao put:r= ( V0 ⋅ t + a p t 2) ⋅ j . (2.19)→200′Između vektora položaja može se uspostaviti relacija:r r→rr2=′ + 00′=′ + ( V0 ⋅ t + a p t 2) ⋅ j . (2.20)Diferenciranjem po vremenu (2.20) dobijamo relaciju među brzinama tela u S i S ′ :r rrv = v′+ ( V 0 + a p t) ⋅ j , (2.21)rrgde je V p = ( V 0 + a p t) ⋅ j prenosna brzina.Diferenciranjem po vremenu (2.21) dobijamo relaciju između ubrzanja S i S ′ :r ra = a′+ ar , (2.22)gde a r predstavlja apsolutno ubrzanje (ubrzanje tela u odnosu na S ), a r ′ relativno ubrzanje(ubrzanje tela u odnosu na S ′r), a a p prenosno ubrzanje.Na osnovu (2.22) zaključujemo da ubrzanje nije invarijantno u odnosu na NSR.Množenjem j-ne (2.22) sa masom tela dobijamo relaciju među silama u S i S′ :r ex r ex rF rez= F ′ rez+ m a p , (2.23)na osnovu koje zaključujemo da sila nije invarijantna u odnosu na NSR.Uvođenjem nove fizičke veličine - inercijalne sile, koja je oblika:r rF inc= −m a p , (2.24)definišemo II Nutnov zakon u NSR:p

30 2 DINAMIKAr ex r ex rF ′ rez= F rez+ F inc. (2.25)II Nutnov zakon je primenljiv na neinercijalne sisteme reference samo kada se uzme u obzirneinercijalna sila.2.1.3 III Njutnov zakonIII Njutnov zakon nam daje informaciju u pogledu interakcije tela u prirodi. Sudarni procesi sujedan od vidova interakcije tela. Eksperimentalno je pokazano da su promene količine kretanjedva tela pri sudarnom procesu istog inteziteta i pravca, a suprotnog smera:r rΔ p = − p . (5.26)1ΔNalaženjem promene vektora količina kretanja u jedinici vremena u graničnom slučaju Δt → 0dobijamo relaciju među silama koje su delovale za vreme sudarnog procesa:r rF 21= − F12, (5.27)gde su F r 21i F r 12sile kojim tokom sudarnog procesa drugo telo deluje na prvo i prvo na drugo,respektivno. J-na (5.27) predstavlja matematičku formulaciju III Njutnovog zakona: sile kojomtela, prilikom interakcije, deluju jedna na druga su iste po intenzitetu i pravcu delovanja asuprotnog su smera. III Njutnov zakon je važeći kako za materijalne tačke tako i za kruta tela.Odnos ubrzanja koja tela dobiju na osnovu II Njutnovog zakona je:ra m2r 1 = . (2.28)a2m1U slučaju da je masa prvog tela daleko veća od mase drugog tela (primer je udarac teniskeloptice u zid ili bilijarske kugle u martinelu) ubrzanje prvog tela je beznačajno. Sile koje neizazivaju značajnije ubrzanje tela na koje deluje Nutn je nazvao reakcionom silama.Postavlja se pitanje da li je III Njutnov zakon važeći za bilo koji tip interakcije među telima uprirodi. Odgovor na pitanje je potvrdan u slučaju kada se interakcija odigrava neposrednimkontaktom tela. Ako tela interaguju na rastojanju III Njutnov zakon je važeći samo ukoliko telamiruju ili se kreću brzinama koje su daleko manje od brzine prostiranja svetlosti. Jedan odprimera kada III Njutnov zakon ne važi prikazan je na sl. 3a.r+F m21q 1rv1B r 2⊗rF el212Na slici 2.3 prikazana su dva naelektrisanja, suprotnapo znaku, koja se kreću po pravcima koji suortogonalni. Svako pokretno naelektrisanje u svojojokolini obrazuje magnetsko polje koje ima osobinu daje jednako nuli po pravcu kretanja tog naelektrisanja.Dakle, za datu situaciju na slici magnetsko polje kojerobrazuje naelektrisanje + q 1na mestu gde se nalaziF el12rv2naelektrisanje − q 2jednako je nuli. Naelektrisanje − q 2stvara magnetsko polje indukcije Br2na mestu gde se− q 2nalazi naelektrisanje + q 1i usled toga deluje na njegaSlika 2.3 Primer ne važenja III Njutnovogrzakonamagnetskom (Lorencovom) silom F m . Pored21magnetskih silaelnaelektrisanje međusobno deluju i elektrostatičim (Kulonovskim) silama Fr12 i rF el21, koje sunezavisne od brzine kretanja čestica i u ovom slučaju su privlačnog karaktera. Rezultujuća silakojom naelektrisanje − q 2deluje naelektrisanje + q 1iznosi:r rez r el r mF 21= F 21+ F 21, (2.29)a rezultujuča sila kojom naelektrisanje + q 1deluje na naelektrisanje − q 2je:

2.2 Neki tipovi sila u mehanici 31r rezF r el12 F 12(2.30)Na osnovu (2.29) i (2.30) zaključujemo da ne važi III Njutnov zakon iz razloga što je:r rezF r rez12 F 21(2.31)Ukoliko su brzine kretanja naelektrisanja daleko manje od brzine prostiranje svetlosti tada je:r m r el r rez r elF 21

32 2 DINAMIKAZa tela iznad površine Zemlje možemo naći kako se gravitaciono ubrzanje menja sa promenomnadmorske visine h = r − Rz:M Mg ( zz 11h)= γ = γ ⋅ = g0, (2.36)2 22( Rz+h) Rz( 1+h Rz) ( 1+h Rz)2gde je g0= g(h = 0) vrednost gravitacionog ubrzanja na nultoj nadmorskoj visini. Ono bi imaloistu vrednost ma gde se našli na površini Zemlje ukoliko bi Zemlju smatrali idealnom kuglom izanemarili njenu rotaciju. Za kretanja tela na nadmorskim visinama reda veličine desetina metaramožemo smatrati da gravitaciono ubrzanje ima konstantnu vrednost g = g0. U tom slučajuintenzitet gravitacione sile takođe ima konstantnu vrednost F g = mg .2.2.2 Normalna sila (sila reakcije podloge)Kada telo pritiska neku površinu tada na njega ta površina deluje silom koja je po pravcunormalna na datu površinu. Ta sila se naziva normalnom silom i obeležava se sa N r. Na telokoje miruje na horizontalnoj podlozi (sl.2.5a) intenzitet normalne sile jednak je intenzitetugravitacione sile koja deluje na telo, a za telo koje se nalazi na strmoj ravni (sl.2.5b) intenzitetnormalne sile jednak je vrednosti projekcije gravitacione sile na pravac normalan na površinu.N rN r rF gαrF g2.2.3 TežinaTežina tela je rezultantna sila kojom telo deluje na merni instrument i u opštem slučaju serazlikuje od gravitacione sile. Šta je to što dovodi do razlike između ove dve fizičke veličine? Naprvom mestu Zemlja je usled rotacije oko sopstvene ose neinercijani sistem reference i težinatela zavisi od uslova u kojima se nalazi merni instrument u odnosu na Zemlju.Posmatrajmo telo, mase m , koje se nalazi na mernom instrumentu koji miruje u odnosu napovršinu Zemlje (sl.2.6). Ugaona brzina rotacije Zemlje je ω = 2π T ( T ≈ 24 h ), a položaj telau odnosu na ekvatorijalnu ravan (geografska širina) određen je azimutalnim uglom ϕ . Normalnoubrzanje tela usled rotacije Zemlje iznosi:gde jeSl.2.5aN = FSl.2.5b N F cosαg2 Ran = ω z cosϕ , (2.37)Rz cosϕpoluprečnik rotacije tela. Intenzitet inercijalne sile je:ωrF trstrF gϕnrF incSl.2.6 Merenje težine uzimanjem u obzirrotaciju ZemljeN rτF inc = m an. (2.38)Sila N r je sila kojom merni instrument deluje na telo injen intenzitet je po III Njutnovom zakonu jednakintezitetu sile kojom telo deluje na vagu, odnosno težinitela Q :Q = N . (2.39)rNa telo deluju još gravitaciona sila F gi sila statičkogrtrenja (o silama trenja biće reči nešto kasnije).F trst= g

2.2 Neki tipovi sila u mehanici 33Projektujmo sada II Njutnov zakon na pravce normale- n i tangente-τ uzimajući u obzir da telomiruje na površini Zemlje.Iz j-na (2.39) i (2.40a) dobijamo izraz za težinu tela:n : 0 = F g − N − F inc cosϕ(2.40a)τ : 0 = F incsinϕ− F trst . (2.40b)( − )Q = m g ω z cos 2 ϕ , (2.41)2 Riz koga zaključujemo da težina tela raste kako idemo od ekvatora ka polu. Sada možemo uvestipojam efektivne vrednosti gravitacionog ubrzanje Zemlje:g = g − ω z cos 2 ϕ , (2.42)efgde je g vrednost gravitacionog ubrzanja na polu, odnosno u tački gde ne postoji rotacija.Razlika između dve ekstremne verdnosti ubrzanja na polu i ekvatoru iznosi oko 3% i iz tograzloga pri rešavanju problema ne uzimamo u obzir promenu gravitacionog ubrzanja sageografskom širinim pri rešavanju problema.2.2.4 Sila zatezanjaKada je konopac (uže, kabl ili sličan objekat) vezan za telo i zategnut u njemu se javlja silazatezanja, koju obeležavamo sa T r , kojom deluje to uže na dato telo. Pravac dejstva silezatezanja je duž pravca konopca, napadna tačka je na mestu vezivanja, a smer joj je od tela.Masa konopca se najčešće zanemaruje u odnosu na masu tela za koja je vezan. To ima zaposledicu da su intenziteti zateznih sila koje deluju na dva tela koja se nalaze na suprotnimstranama konopca jednaki (sl.2.7a). Ovo tvrđenje se lako dokazuje primenom II Njutnovogzakona na kretanje konopca. Isti je slučaj i kada je konopac prebačen preko kotura zanemarljivemase u čijem ležištu nema trenja (sl.2.7b). Konopac se često smatra i neistegljivim što ima zaposledicu da sva tela koja su vezana za njega imaju isti intenzitet ubrzanja.2RT r− T rT r 1T r 2Sl.2.7a Zatezne sile su su istog inteziteta ipravca, a suprotnog smera dejstva.Sl.2.7b Zatezne sile su suT r = Tr 1 2.istog inteziteta2.2.5 Sile trenjaSile trenje su prisutne u našem svakodnevnom životu. Ukoliko deluje samo sila trenja svakikotrljajući točak ili rotirajuća osovina će se sigurno zaustaviti. U automobilu oko 20% goriva setroši na savlađivanje sila trenja u motoru. S druge strane, u odsustvu sile trenja ne bismo moglihodati ili voziti bicikl. Takođe, ekseri i šrafovi bi bili beskorisni.Priroda sila trenja je veoma složena. Usled složene molekularne strukture i nepoznavanja suštineispitivanje sila trenja svodi se na eksperimentalno određivanje. Javlja se u tri slučaja: 1) izmeđukrutih dodirujućih tela kada se ona nalaze u stanju započinjana ili već ostvarenog relativnogkretanja, 2) između delova istog fluida (gasa ili tečnosti) ako je ostvarena relativnost njihovogkretanja i 3) ako je ostvareno relativno kretanje između čvrstog tela i fluida.Sile trenja mogu biti: 1) spoljašnje i 2) unutrašnje. Spoljašnje sile trenja dele se na sile pri a)suvom i b) vlažnom trenju. I jedna i druga podgrupa sila se javljaju kako pri klizanju tako i prikotrljanju. Unutrašnje sile trenja javljaju se pri vlažnom trenju i dele se na a) sile viskoznogtrenja i b) otporne sile sredine.

34 2 DINAMIKAPozabavimo se sada spoljašnjim suvim trenjem pri klizanju, koje se javlja izmađu čvrstihdodirujućih tela kada se ona nalaze u stanju započinjana ili već ostvarenog relativnog kretanja.Intenzitet sile trenja koja se javlja između tela, u tom slučaju, zavisi od: 1) materijala od koga sutela napravljena, 2) kvaliteta obrade površine tela, 3) njihove relativne brzine, 4) intenzitetanormalne sile na dodirnu površinu i 5) veličine dodirne površine. Sila trenja se javlja uvek utangentnoj ravni dodira dva tela. One podležu III Njutnovom zakonu i nekad potpomažu kretanjejednog tela (sl.2.8a), a nekad odmažu (sl.2.8b).rF tr1rrv1r >21 F tr12v1 v2r2 v2rv2rrF tr 21v11 rF tr122rSl.2.8a Sila trenja potpomaže kretanjetela 2, a odmaže kretanje tela 1.Posmatrajmo telo mase mpodlozi. Gravitaciona sila(vidi sl.2.9) koje miruje nar , koja deluje na njega,uravnotežena je normalnom silom reakcije podloge N r .Ako na telo dejstvujemo silom F r , pokušavajući da gapomerimo na levu stranu, kao odgovor na naše dejstvoizmeđu tela i podloge javlja se sila trenja, čije je dejstvou smeru suprotnom sili F r , a intenzitet joj jesamopodešavajući prema intezitetu sile F r . Naime, akopovećavamo intenzitet sile F r , raste i intenzitet siletrenja.F gSl.2.8b Sila trenja odmaže kretanje i tela1 i tela 2.Sl.2.9 Dejstvo sile trenjarKako telo i dalje miruje silu trenja, koja deluje na telo, nazivamo silom statičkog trenja F trst.Pri određenoj vrednosti intenziteta sile F r , otpočeće ubrzano kretanje tela na levu stranu. Silurtrenja, koja sada deluje na telo, nazivamo silom dinamičkog trenja F trdi ona je po intenzitetumanja od maksimalne vrednosti sile statičkog trenja koja se ostvaruje neposredno pred početakkretanja tela.Ukoliko želimo da se telo kreće brzinom konstantnog inteziteta moramo smanjitiintenzitet primenjene sile F r . Ukoliko silom F r dejstvujemo s desna na levo dobijamo analoganslučaj prethodnome samo što sila trenja deluje na suprotnu stranu-s leva na desno.U osnovi, sile trenja se javljaju između atoma na površini tela koja prijanjaju jedno za drugo.Ako u uslovima visokog vakuuma dve dobro ispolirane i očišćene površine spojimo, one nemogu klizati jedna preko druge. Tada, između njih dolazi do hladnog zavarivanja. Međutim, poduobičajenim uslovima, takav prisan kontakt atom-atom nije moguć. Čak i visoko poliranemetalne površine su daleko od toga da budu ravne na atomskom nivou. Kada se dve površinespoje samo najviše tačke površina se dodiruju. Slikovito rečeno to je situacija kao kada bi smoobrnuli Švajcarske Alpe i postavili ih na Austrijske Alpe. Stvarna mikroskopska površinakontakta je daleko manja, reda veličine 10 4 puta, od makroskopske koju mi uočavamo.Mogućnost hladnog zavarivanja pored ovoga onemogućavaju slojevi oksida i drugih nečistoćakoji se javljaju na svakodnevnim površinama.Prvi izrazi za intenzitet sile trenja potiču od Kulona. Po njemu intenzitet sile trenja jeproporcionalan sili reakcije podloge - rezultantnoj sili kojom podloga deluje na telo i koja jenormalna na dodirnu površinu, F tr ~ N . Pri dejstvu sile statičkog trenja njen intenzitet jesamopodešavajući prema rezultantnoj sili koja deluje po pravcu paralelnim sa podlogom i uvekmanji ili jednak maksimalnoj vrednosti njenog inteziteta:N r F rgrF trF r

2.2 Neki tipovi sila u mehanici 35Ftrst= F trst max = μ N , (2.43a)gde se koeficijent proporcionalnosti μ stnaziva koeficijent statičkog trenja. Pri kretanju tela nanjega dejstvuje sila dinamičkog trenja intenziteta:Ftrdst= μ N , (2.43b)a koeficijent proporcionalnosti μ dnaziva se koeficijent dinamičkog trenja.Koeficijenti μsti μ su bezdimenzionalni i određuju se eksperimentalno. Koeficijentddinamičkog trenja pri započinjanju kretanja ima manju vrednost od koeficijenta statičkog trenja.Ovo važi sve do neke kritične brzine vk (vidi sl.2.10) kada premašuje vrednost koeficijentastatičkog trenja. Dakle, koeficijent dinamičkog trenja zavisi od brzine kretanja tela.F trdF 0-vk vk v− F 0Slika 2.10 Raspodela intenziteta sile trenja u zavisnosti od brzine kretanja tela. Levi deoraspodele odgovara dejstvu sile s desna na levo , a desni s leva na desno. F 0 je vrednostsile pri kojoj otpočinje kretanje što odgovara maksimalnoj vrednosti sile statičkog trenja .Međutim, ako su površine veoma kvalitetno obrađene možemo smatrati da je koeficijentdinamičkog trenja nezavisan od brzine kretanja i da je jednak koeficijentu statičkog trenjaμ μ = μ , što je prikazano na sl.2.10a.d= stF trF 0−F 0vSlika 2.10a Raspodela intenziteta sile trenja u zavisnosti od brzine kretanjatela u slučaju kvalitetno obrađenih dodirnih površina

36 2 DINAMIKA2.2.6 Otporna sila sredine i terminalna (granična) brzinaU fluide spadaju tečnosti i gasovi, odnosno sve ono što može da teče. Kada postoji relativnokretanje između fluida i tela (bilo da se telo kreće u odnosu na fluid ili fluid teče preko tela), teloje izloženo dejstvu otporne sile sredine F ot koja se suprotstavlja relativnom kretanju i deluje upravcu relativnog kretanja fluida prema telu.Usredsredićemo se na slučaj kada je fluid vazduh i kada čvrsto telo nije uzano (kao što jenaprimer slučaj sa kopljem). Smatraćemo da je relativna brzina dovoljno velika da vazduhpostaje turbulentan (postaje vrtložan) iza tela. U tom slučaju veza između intenziteta otporne silesredine F ot i intenziteta relativne brzine v uspostavlja se preko eksperimentalo određenogkoeficijenta otpora C na sledeći način:F ot1 2= CρSv , (2.44)2gde je ρ gustina vazduha, a S efektivna površina poprečnog preseka tela (površina poprečnogpreseka tela uzeta normalno na brzinu v ). Koeficijent otpora (tipične vrednosti su između0,4 i1,0 ) i nije u stvari konstanta ako se v značajno menja. Tako komplikovan slučaj ćemo,ovde, ignorisati.Na osnovu (2.44) zaključujemo da na telo koje slobodno pada deluje otporna sile sredine koja sepostepeno povećava kako brzina tela raste. U slučaju da telo pada dovoljno dugo u jednomtrenutku može se po intenzitetu izjednačiti sa razlikom intenziteta gravitacione sile i sile potiskakoje deluje na telo. Tada je rezultujuća sila jednaka nuli i telo nastavlja da se kreće brzinomkonstantnog inteziteta (terminalnom brzinom ) koju dobijamo iz relacije:vt1 2 tmg − ρ gV = CρSv , (2.45)2gde je ρ Vg intenzitet sile potiska koja deluje na telo, m masa, a V zapremina tela. Rešavajućij-nu (2.45) po dobijamo:vt( ρ − ρ ) Vg CρSv t = 2t, (2.46)gde je ρ tgustina tela. Kako je u većini slučajeva ρt>> ρ možemo se služiti izrazom:v t = 2mg CρS. (2.46a)U tabeli 2-1 date su vrednosti terminalne brzine za neka tela i 95% rastojanja koja treba dapređu, bez početne brzine i pri slobodnom padu , da bi je dostigla.Tabela 2-1Neke terminalne brzine u vazduhuTelo Terminalna brzina ( m s ) 95% pređenog puta ( m )16-lb metakskijašloptica za bejzbolteniska lopticakošarkaška loptaping-pong lopticakišna kap (radijusa 1,5 mm)padobranac145604231209752500430210115471063

2.2 Neki tipovi sila u mehanici 37Za lagana kretanja sfernih tela u fluidu, pri čemu se u okolnim slojevima fluida ne javljaturbulentno kretanje, otporna sila sredine data je izrazom:F ot = 6πη r ⋅ v , (2.47)gde je η koeficijent viskoznosti fluida, a r poluprečnik tela. Terminalna brzina u ovom slučajukretanja, pri slobodnom padu, dobija se kada se otporna sile sredine izjednači sa razlikomgravitacione sile i sile potiska :2( ρ − ρ) Vg 6πηr= 4( ρ − ρ) 18ηvt= g r . (2.48)tIzraz za otpornu silu u (2.47) naziva se Štoksov zakon. Štoksov zakon je primenljiv pod uslovomveoma male vrednosti Rejnoldsovog broja za opstrujavanje fluidavtr2R = 2 ρ = 4ρ( ρ − ρ ) g r3 9η