Belki statycznie wyznaczalne.pdf

Zadanie 3. Belki statycznie wyznaczalne.15KNDla belek statycznie wyznaczalnych przedstawionychna rysunkach − rys.A, rys.B, wyznaczyć:18KN0.5m1.5m1. składowe reakcji podpór,2. zapisać funkcje sił przekrojowych,3. sporządzić wykresy :rys.A. Belka wspornikowa• momentów zginających M(x),4KN4KN/m3KNm3KNm• sił poprzecznych Q(x),• sił podłużnych N(x).8KNm1.0 m 2.0 m 2.0 m 1.0 mrys.B. Belka wolnopodparta________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 1/10

A. Belka wspornikowaNa rys.1 przedstawiona jest belka w aksonometrii o przekroju prostokątnym, utwierdzona jednym końcem w ścianie, obciążona w płaszczyźnie xz.Na rys.2 przedstawiony jest schemst statyczny belki z oznaczonymi punktami charakterystycznymi belki – punkt podporowy A oraz punkty przyłożeniaobciążenia: B, C. Do dalszych obliczeń przyjęty jest prawoskrętny układ osi współrzędnych x, y, z.oś pręta18KNZXY15KNpłaszczyzna obciążenia= 53.13°C B AZX18KN15KN0.5m1.5mrys.1. Belka wspornikowa – rysunek w aksonometrii rys.2. Belka wspornikowa – schemat statyczny1A. Wyznaczenie reakcji:15KNMA1A.1.Usuwamy myślowo podporę (utwierdzenie) i zastępujemy jej działanieposzukiwanymi reakcjami przyjmując dowolnie ich zwroty - rys.3C B A RA18KNrys.3.1A.2.W celu ułatwienia obliczeń siły o kierunkach ukośnych zastepujemy ichskładowymi równoległymi do osi przyjętego układu współrzędnych - rys.412KNASkładowa pozioma: 15 ∗ cosϕ = 15 ∗ cos 53.13° = 9 KNSkładowa pionowa: 15 ∗ sinϕ = 15 ∗ sin 53.13° = 12KNC18KNB9KNAHA0.5m 1.5mVArys.4________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 2/10

1A.3. Układając równania równowagi przyjmuje się zwykle jako dodatnie siłypoziome zwrócone w prawo, siły pionowe zwrócone w góre, a momentysił zwrócone zgodnie z ruchem wskazówek zegara.12KNMA = 18KNmJeżeli przyjety zwrot reakcji jest zgodny z rzeczywistym, to w wynikuobliczeń otrzymujemy dodatnią wartość tej siły. Jeżeli przyjety zwrotreakcji jest niezgodny z rzeczywistym, to w wyniku obliczeńotrzymujemy ujemną wartość tej siły.Ustawiamy odpowiednie trzy równania równowagi z którychwyznaczamy niewiadome reakcje ( rys.5 ):C18KN0.5mB9KN1.5mAHA = 9KNVA = 6KNrys.51. Σ X = 0 –9 – H A = 0 H A = –9 KN2. Σ Z = 0 18 –12 + V A = 0 V A = –6 KN3. Σ M A =0 18∗2–12∗1.5+ M A = 0 M A = –18 KNmZmieniam zwroty reakcji tak , aby ich wartości były dodatnie – rys.6Sprawdzenie ( rys.6 ):Σ M B =0 18∗0.5 + 6∗1.5 – 18 = 0C12KNB18KN0.5m9KN1.5mAMA = 18KNmHA = 9KNVA = 6KNrys.62A. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych M(x), Q(x), N(x) w poszczególnych przedziałach osi belki.Wartość momentu zginającego M(x) w rozpatrywanym przekroju pręta (belki) równa się sumie algebraicznej momentów wszystkich sił zewnętrznychdziałajacych na układ z lewej lub prawej strony danego przekroju względem jego środka ciężkości.Wartość siły poprzecznej Q(x) w rozpatrywanym przekroju pręta (belki) równa się sumie algebraicznej składowych prostopadłych do osi pretawszystkich sił działających z lewej lub prawej strony danego przekroju.Wartość siły podłużnej N(x) w rozpatrywanym przekroju pręta (belki) równa się sumie algebraicznej składowych równoległych do osi pretawszystkich sił działających z lewej lub prawej strony danego przekroju.Przy znakowaniu siły przekrojowych M(x), Q(x), N(x) posługujemy się prawoskrętnym układem osi współrzędnych – rys.7.Dla przekroju o normalnej zewnętrznej dodatniej (strona lewa - rys.8), za dodatnie będziemy uważali te siły przekrojowe, którychwektory mają zwroty zgodne ze zwrotem odpowiedniej osi układu współrzędnych. Dla przekroju o normalnej zewnetrznejujemnej (strona prawa – rys.9) za dodatnie będziemy uważali te siły przekrojowe, których wektory mają zwroty przeciwne dozwrotu odpowiedniej osi układu współrzędnych.________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 3/10YZXrys.7

Na rysunku – rys.8 pokazane są dodatnie wektory M, Q, Ndla przekroju o dodatniej normalnej zewnętrznej,przy prawoskrętnym układzie współrzednych – strona lewaNa rysunku – rys.9 pokazane są dodatnie wektory M, Q, Ndla przekroju o ujemnej normalnej zewnętrznej,przy prawoskrętnym układzie współrzednych – strona prawa12KNMA = 18KNmC18KN12KNB9KNMA = 18KNmHA = 9KN0.5m 1.5mVA = 6KNAC18KNB9KNHA = 9KN0.5m 1.5mVA = 6KNAMMQMA = 18KNmQNNAHA = 9KNVA = 6KNNXMQYMQZrys.8NZYXrys.9Na rysunkach - rys.10, rys.11 przedstawiony jest wycięty na dowolnym odcinkuelement belki dwoma przekrojami, oraz pokazano dodatnie wektory M, Q, N,przy prawoskrętnym układzie współrzednych. Możemy również powiedzieć, żeza dodatnie momenty zginajace przyjmuje się takie, które przy zginaniu prętów(belek) wywołują rozciąganie ich włókien dolnych tzw. spodów ( na rysunkachspody zaznaczone są przerywaną kreską ----); przy takim założeniu momenty siłtworzą dodatnie momenty zginajace, jeżeli na lewo od przekroju mają zwrotzgodny z ruchem wskazówek zegara, a na prawo od przekroju mają zwrotprzeciwny do ruchu wskazówek zegara.NQ M M QNrys10C12KNB18KN0.5m9KNQNMN1.5mMQXZYMQNQZMMA = 18KNmA HA = 9KNVA = 6KNNXYrys.11________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 4/10

2A.1. Przedział C-B - rys.120 ≤ x ≤ 0.5M(x) = + 18xM(x=0) = 0M(x=0.5) = + 9 KNm0 ≤ x < 0.5Q = + 18 KNN = 0Cx18KNrys.12CM(x)[KNm]3A. Wykresy momentów zginających M(x),sił poprzecznych Q(x), sił podłużnych N(x) – rys.1418KN12KNB0.5m 1.5mVA = 6KN+9.09KN+A+18.0MA = 18KNmHA = 9KN2A.2. Przedział B-A - rys13Q(x)[KN]12KN0.5 ≤ x ≤ 2.0M(x) = +18x –12(x-0.5)M(x=0.5) = + 9 KNmM(x=2.0) = + 18 KNmC18KN0.5B9KNx-0.5+18.0++18.0+6.0+6.00.5 < x ≤ 2.0XQ = + 6 KNN = + 9 KNrys.13N(x)[KN] ++9.0+9.0________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 5/10rys.14

B. Belka wolnopodparta1.B. Wyznaczenie reakcji :W pierwszej kolejności oznaczamy punkty charakterystyczne belki –punkty podporowe B, D oraz punkty przyłożenia obciążenia : A, C, E- rys.15. Znakowanie sił zewnętrznych zgodne z p.1A.3. ze strony 3.Dane obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone przedstawionew postaci prostokąta, zastępujemy siłą skupioną zaczepioną w środkuciężkości prostakąta.1. Σ X = 0 – H D = 0 H D = 0A4KNBXZ1.0 mRB4KN/m2.0 mC8KNm2.0 m3KNmDVDHD3KNmE1.0 mrys.152. Σ M D =0 – 4∗5 + R B ∗4 – 4∗2∗3 + 8 + 3 – 3 = 0 R B = 9 KN4KN4KN/m3KNm3KNm3. Σ M B =0 – 4∗1 + 4∗2∗1 + 8 – V D ∗4 + 3 – 3 = 0 V D = 3 KNSprawdzenie rys.16:Σ Z = 0 – 4 + 9 – 4∗2 + 3 = 0AYBXZ1.0 m9 KN2.0 mC D E8KNm2.0 m 1.0 m3 KNrys.162.B. Wyznaczenie funkcji sił przekrojowych M(x), Q(x), N(x) w poszczególnych przedziałach osi belki2B.1.Wyrażnie podkreślamy spody belki za pomocą linii przerywanej - rys.17Dodatnie wartości sił przekrojowych przedstawione są na rysunku - rys 10znajdującym się na stronie 4 . Dla wygody ryunek ten jest pokazany jeszczeraz poniżej.NQ M M Qrys. 10 ze strony 4.NA4KNBXZ1.0 m4KN/m2.0 mRB = 9 KNC8KNm2.0 m3KNm 3KNmDE1.0 mVD = 3KNrys.17________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 6/10

2B.2. Na rysunku – rys.18 przedstawione są wszystkie przedziały belki idąc od lewej strony.4KN4KN/m3KNm3KNmA B C D Ex x x xZ8KNm1.0 m 2.0 m 2.0 m 1.0 mRB = 9 KNVD = 3KNrys.180 < x < 1 1 < x < 3 3 < x < 5 5 < x

2B.5. Przedział C-D – rys.213 < x < 5M(x) = −4x+ 9(x − 1) − 4 * 2(x − 2) + 8M(x = 3) = + 6M(x = 5) = 03 ≤ x

2B.7. W celu uproszczenia obliczeń przy wyznaczaniu powyższych równań, postępujemy tak, aby ilość członów składowych wywodzacych się odobciążeń zewnętrznych była jak najmniejsza. W naszym przykładzie opłaca się to uczynić już w przedziale C-D i D-E. Zmieniamy położenieosi x-ów, zakładamy początek osi x-ów w punkcie E przyjmując dodatni zwrot tej osi w lewo. Aby odróżnic tę oś od poprzedniej, oznaczamy jąprzez x 1 . Dodatnie wartości sił przekrojowych przyjmujemy tak jak w punkcie 2A strony: 3 i 4, zgodnie z przedstawionym jeszcze raz poniżejrysunkiem rys. 10 ze str. 4:Q M M QNNrys. 10 ze str. 42B.8. Przedział E-D – rys.232B.9. Przedział D-C – rys.240 < x 1 < 13KNm1 < x 1 < 33KNm3KNmM(x 1 ) = + 3M(x 1 =0) = + 3 KNmM(x 1 =1) = + 3 KNmQ = 0x1Erys.23M(x 1 ) = + 3 – 3 + 3(x 1 – 1)M(x 1 =1) = 0M(x 1 =3) = + 6 KNm1 < x 1 < 3Q = 3 KN3KNx1 - 1 1x1DErys.24________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 9/10

3B. Wykresy momentów zginających M(x) i sił poprzecznych Q(x) – rys.254KN4KN/m3KNmA B C D Ex x x xZ8KNm1.0 m 2.0 m 2.0 m 1.0 m3KNmRB = 9 KNVD = 3KN-A BC D Exx+x+x+M--Q(xA B C-x-xD-xE-+--________________________________________________________________________________________________________________________________http://riad.usk.pk.edu.pl/~iwroblew/dydaktyka/ 10/10rys.25