03 - Dinamika

3. Dinamika 

Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone 

gibanja i meñudjelovanja tijela. 

→ kinematika, dinamika i statika 

Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji opisuje gibanja 

tijela bez obzira na uzroke gibanja. 

Dinamika (grč. dynamis = sila) je dio mehanike koja proučava uzroke 

gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje. 

Statika je dio mehanike koji proučava uvjete ravnoteže tijela. 

Gibanje je promjena položaja tijela u odnosu na druga tijela (okolinu, 

referentni sustav) u vremenu. 

-u svemiru ne postoji točka koja apsolutno miruje → svako gibanje je 

relativno 

- mirovanje – oblik gibanja kada tijelo ima nepromijenjene koordinate u 

odnosu na referentni sustav (laboratorijski sustav – sustav koji miruje 

u odnosu na Zemlju)


Dinamika je dio mehanike u kojem se proučava odnos 

izmeñu gibanja i uzroka promatranog gibanja. 

Zašto se tijela gibaju tako kako se gibaju? 

Pitanje odnosa sile i gibanja je centralno pitanje dinamike. 

Povezanost sile i gibanja! Kakva je veza? 

→ Aristotel: za svako gibanje potrebna je sila! 

→ Galilei: nije za svako gibanje potrebno djelovanje sile 

(jednoliko gibanje po pravcu) → sila nije uzrok gibanju


Galileo Galilei (1564-1642) 

- talijanski fizičar i astronom 

- prvi je uočio važnost promatranja i eksperimentiranja u 

razvoju znanosti → kombinacijom stvarnih i zamišljenih 

pokusa uveo eksperiment u fiziku


Galileo Galilei (1564-1642) 

- talijanski fizičar i astronom 

- prvi je uočio važnost promatranja i eksperimentiranja u 

razvoju znanosti → kombinacijom stvarnih i zamišljenih 

pokusa uveo eksperiment u fiziku 

- prvi je proučavao gibanje zemaljskih objekata, njihala, 

projektila i slobodni pad 

- otkrio je princip inercije → začetnik mehanike 

- teleskop → planine (krateri) na Mjesecu, Venerine mjene, 

Sunčeve pjege, Jupiterove mjesece → heliocentrični sustav 

(Kopernik) → sukob s Crkvom 

- umire 1642. → roñen Newton


Isaac Newton (1642 - 1727) 

- engleski fizičar i matematičar 

- jedan od najvećih umova u povijesti čovječanstva 

- utemeljitelj mehanike – koncept mase, impulsa, sile, tri zakona 

gibanja 

- otkrio zakon gravitacije 

- izumio diferencijalni i integralni račun 

→ objasniti gibanje planeta, Zemlje i Mjeseca, plimu i oseku 

- doprinos optici 

- Galileo i Newton = utemeljitelji moderne fizike

3.1. Masa i sila 

Masa je svojstvo svakog tijela koje odreñuje njegovo ponašanje pri 

djelovanju sile. 

Što je masa tijela veća, ono je tromije, to ga je teže ubrzati ili usporiti, tj. 

promijeniti mu stanje gibanja. 

Ustrajnost, tromost ili inercija je svojstvo tijela da održava svoje stanje 

gibanja (mirovanja). Masa je kvantitativna mjera tromosti tijela. 

m 

= 

1 

m 

− 

0 

v 

c 

2 

2 

ovisnost mase o brzini 

- m 0 – masa mirovanja 

- m – relativistička masa 

- za v


Što je sila? 

Sila je fizikalna veličina (vektor) kojom opisujemo meñudjelovanje dvaju ili 

više tijela (rezultanta). 

Djelovanje sile: 

- promijeniti stanje gibanja 

(ubrzati, usporiti, promijeniti smjer) 

→ dinamika 

- promijeniti oblik tijela (deformacija) 

�� 

F 

- oznaka (eng. force = sila) [N] 

- odreñivanje sile 

→ mjerenjem akceleracije ili 

deformacije tijela 

→ dinamometar 

kontaktne sile sile polja


Dinamometar je ureñaj za mjerenje sile. 

Princip rada: Hookeov zakon (F ~ x)


4 temeljne sile (meñudjelovanja, interakcije) u prirodi: 

1. Gravitacijska sila → masa 

2. Elektromagnetska sila → naboj 

3. Jaka sila → nukleoni 

4. Slaba sila → leptoni

3.2. Prvi Newtonov zakon 

Galilejev princip inercije. 

Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog 

gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih 

sila ne promijeni svoje stanje gibanja. 

- princip inercije (tromosti, ustrajnosti) 

Inercijalni sustavi = sustavi u kojima vrijedi prvi Newtonov zakon 

(miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu)

3.3. Drugi Newtonov zakon 

Pokus: kolica, utezi, impulsni pisač, mjerna traka 

Cilj: ustanoviti ovisnost ubrzanja o sili te ubrzanja o masi 

masa 

sila


m = const 

F / N 

0,1 

0,2 

0,3 

0,4 

0,5 

a / ms -1 

0,70 

1,25 

1,75 

2,35 

2,83 

m / kg 

0,10 

0,15 

0,20 

0,25 

0,30 

F = const 

1 

a ~ F a ~ m 

a / ms -1 

2,35 

1,90 

1,40 

1,10 

0,90 

II Newtonov zakon 

→ F= m⋅a 2 

[ F] = [ m] [ a] 

= kg m /s = N 

Njutn je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od 1 m/s 2 .


�� 

� 

Impuls (količina gibanja) p = m⋅ v [ kg m/s] 

�� 

p = 

� 

m0 v 

2 

v 

1− 

2 

c 

II Newtonov zakon: sila je jednaka promjeni impulsa 

�� 

�� d �� 

m a ( m v) 

d p 

F = ⋅ = ⋅ = 

dt dt 

uz pretpostavku m = const 

2 

d r 

2 

dt 

≡ a = 

F 

m 

� 

� 

Temeljna jednadžba gibanja 

Rješavanje zadataka 

� �� 

m⋅ a = ∑ F 

i 

- vektorski zbroj sila (koordinatni 

sustav, komponente)

3.4. Sila teže i težina 

Sila teže → privlačna sila koja djeluje na sva tijela u blizini 

Zemljine površine; 

→ rezultanta gravitacijske sile i neinercijalne 

(centrifugalne) sile zbog Zemljine rotacije 

�� 

F G = mg 

masa akceleracija 

sile teže 

Svim tijelima na istom mjestu na Zemlji koja slobodno 

padaju, sila teža daje isto ubrzanje, g. 

ω 

F g 

F G 

F cf


Težina → sila kojom neko tijelo pritišće podlogu na kojoj stoji 

odnosno ovjesište o koje je ovješeno. 

Sila teža je sila na tijelo, a težina je sila na podlogu odnosno 

ovjesište. 

Ukoliko podloga (ovjesište) miruje ili se giba jednoliko 

pravocrtno spram površine Zemlje, težina tijela jednaka je sili 

teži: 

�� 

G = mg = F 

Ako se tijelo giba ubrzano prema Zemljinoj površini, težina 

će se razlikovati od sile teže. 

G


Sila teža na odreñeno tijelo uvijek je ista, bez obzira na to 

da li tijelo miruje ili se giba ubrzano. 

�� 

F = mg 

G 

Težina ovisi o ubrzanju tijela i jednaka je sili teži samo 

kad je ubrzanje tijela jednako nuli. 

�� 

G = mg = F 

G 

- uz uvjet da je a=0


Primjer 

T = mg + ma 

T = mg − ma

Primjer: odredi akceleraciju utega i napetost niti. 

pretpostavka: m 2 >m 1

Primjer: odredi akceleraciju utega i napetost niti.

3.5. Treći Newtonov zakon 

- zakon akcije i reakcije 

�� 

F = −F 

AB BA 

Svakom djelovanju (akciji) postoji uvijek suprotno i 

jednako protudjelovanje (reakcija), odnosno 

djelovanja dvaju tijela jedno na drugo uvijek su 

jednaka i suprotnog smjera.

3.5. Treći Newtonov zakon

3.5. Treći Newtonov zakon 

Koliku silu pokazuje dinamometar? 

mg

3.6. Impuls sile i količina gibanja 

F 

m 

∆t 

def. impuls sile 

� �� 

I = FΔt Za svaku promjenu količine gibanja tijela potrebno je da na tijelo 

neko vrijeme djeluje sila. 

Ako sila nije stalna, već se 

mijenja u vremenu: 

t 

� �� 2 �� 

Δt→0 ∑ ∫ 

1 

[Ns] 

( ) 

I = lim F Δ t = F t dt 

i i 

i t 

Impuls sile jednak je integralu sile 

po vremenu u kojem ta sila 

djeluje.

3.6. Impuls sile i količina gibanja 

Impuls sile mijenja količinu gibanja tijela koje je primilo taj impuls. 

�� 

�� 

d p d � 

dt dt 

�� 

Fdt = d p 

II Newtonov zakon: F = = ( mv) 

Primljeni impuls sile u intervalu izmeñu t 1 i t 2 jednak je: 

t2 p 

� �� 2 �� 

( ) ( ) 

2 1 2 1 

I = F t dt = d p = p − p = m v − v 

∫ ∫ 

t p 

1 1 

Impuls sile jednak je promjeni količine gibanja tijela na koje djeluje ta sila.

3.7. Zakon očuvanja količine gibanja (impulsa) 

Pretpostavimo da imamo sustav od mnoštva čestica koje meñudjeluju. Na svaku 

od njih djeluje sila Fi koja potječe od meñudjelovanja s drugim česticama u 

sustavu (unutarnje sile) ili od meñudjelovanja sustava kao cjeline s nekim trećim 

tijelom izvan tog sustava (vanjske sile). Ukupna sila na cijeli sustav sastavljen od 

N čestica je: N 

�� 

F = ∑ F 

i 

i 

Pretpostavit ćemo da je sustav izoliran, tj. da nema djelovanja vanjskih sila (njihova 

rezultanta je nula). 

�� 

F = −F 

Prema tome, za i-tu i j-tu česticu vrijedi: ij ji 

�� N �� 

F = ∑ F 

i ij 

j 

za i ≠ j 

�� 

F ij 

�� 

+ F ji = 0 

�� 

F1 + F 2 + ... + F N = 0 

→ rezultanta unutarnjih sila jednaka je nuli


�� 

�� d p 

F = → 

dt 

�� 

d p1 d p2 

d pN 

+ + ... + = 0 

dt dt dt 

�� 

p + p + + p = const 

1 2 ... N 

Ukupna količina gibanja (impuls) u zatvorenom sustavu 

je stalna ili konstantna. 

- bez obzira na to kakvi se procesi i meñudjelovanja dogañaju u 

sustavu; impuls (količina gibanja) svake pojedine čestice ili tijela u 

sustavu može se mijenjati s vremenom, ali ukupni impuls je očuvan.


Primjer:


Primjeri sačuvanja količine gibanja: 

- treba promatrati izolirane sustave gdje je djelovanje 

vanjskih sila zanemarivo (trenje na vodi ili na ledu je 

maleno) -> čovjek-čamac, čovjek-brod. 

- Raketni pogon se temelji na ZSKG: kontinuirano 

izbacivanje struje užarenog plina kontinuirano i povećava 

brzinu.

3.10. Trenje 

Trenje je sila koja se 

javlja izmeñu dva 

tijela u dodiru. 

F = μF 

faktor 

trenja 

tr N 

okomita sila 

na podlogu 

Statička sila trenja je 

maksimalna sila trenja pri 

kojoj tijelo još miruje. 

Kinetička sila trenja je sila 

trenja u (jednolikom) 

gibanju.

3.10. Trenje 

- vanjsko trenje – trenje meñu čvrstim površinama 

- unutrašnje trenje – trenje meñu slojevima fluida (viskoznost) 

- uzrok trenja – meñumolekularne sile na površini tijela 

- ne ovisi o veličini dodirnih ploha, već samo o njihovim osobinama 

(materijal, hrapavost, čistoća) 

Odreñivanje faktora trenja 

F tr 

F 2 

G 

F N 

m 

F 1 

α 

- početak klizanja 

F = G sinα 

= F = μ ⋅ F 

1 

F = G cosα 

= F 

N 

tr N 

Ftr G sinα 

μ = = = tanα 

F G cosα 

N 

2

3.10. Trenje 

Faktori trenja: 

Čelik – čelik 

Bakar – čelik 

Guma – beton 

Drvo – drvo 

Metal – metal (poliran) 

Led- led 

Materijali 

Aluminij – čelik 

Staklo – staklo 

Vosak+drvo – vlažan snijeg 

Vosak+drvo – suh snijeg 

Teflon – teflon 

μs 0,74 

0,61 

0,53 

1,00 

0,25-0,5 

0,94 

0,14 

- 

0,15 

0,1 

0,04 

μk 0,57 

0,47 

0,36 

0,80 

0,20 

0,40 

0,10 

0,04 

0,06 

0,03 

0,04

3.10. Centripetalna sila 

Jednoliko kružno gibanje 

Brzina je konstantna po iznosu ali 

stalno mijenja smjer što rezultira 

radijalnom akceleracijom prema 

središtu kružnice. 

Δt → Δs → Δϕ 

Δ s = rΔϕ 

linearna (obodna) brzina 

Δs Δϕ 

dϕ 

v = lim = r lim = r = r 

Δt→0 Δt Δt→0 Δt 

dt 

dϕ 

ω = 

dt 

� �� 

v = ω × r 

�� 

ω = r × v 

ω 

[rad/s] kutna brzina


radijalna (centripetalna) akceleracija 

� 

Δv v ⋅ Δφ Δφ 

ar = lim = lim = v lim 

Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt 

dφ 

ar = v ⋅ = v ⋅ω 

dt 

2 

2 v 

ar = rω 

= 

r 

�� 

a = ω × v 

r 

analogija translacijskog i 

rotacijskog gibanja 

s 

v 

a 

= 

= 

= 

r 

r 

r 

⋅ 

⋅ 

ϕ 

⋅ 

ω 

α


Nejednoliko kružno gibanje 

tangencijalna akceleracija 

� �� 

a = at + ar 

� 

a = a = a + a 

2 2 

t r 

( ) 

dv d rω 

dω 

at = = = r = rα 

dt dt dt 

2 

Δω 

dω d ϕ 

α = lim = = 

Δt→0 2 

Δt 

dt dt 

�� 

a = α × r 

t


Sila koja mijenja smjer brzine i usmjerena je prema središtu zakrivljenosti 

(kružnice). 

Fcp = mar 2 

2 

= mω r = m 

r 

�� 

2 

F cp = −mω 

r 

Primjeri: 

- gravitacijska sila (gibanje Mjeseca oko Zemlje) 

- električna sila (elektron oko jezgre) 

- napetost niti (vrtnja predmeta na užetu) 

- trenje (automobil u zavoju) 

→ nije nikakva nova sila, već samo poseban naziv za silu koja mijenja 

smjer brzine i čini da se tijelo giba po krivocrtnoj putanji 

v

Primjer: Odredi brzinu, napetost niti i period kruženja konusnog njihala. 

period: 

T 

napetost niti: 

2rπ L cosθ 

= = 2π 

v g 

G mg 

N = = 

cosθ cosθ 

(1) / (2) → 

r = 

Lsin θ

03 - Dinamika

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?