Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
3. <strong>Dinamika</strong><br />
Mehanika je temeljna i najstarija grana fizike koja proučava zakone<br />
gibanja i meñudjelovanja tijela.<br />
→ kinematika, dinamika i statika<br />
Kinematika (grč. kinein = gibati) je dio mehanike koji opisuje gibanja<br />
tijela bez obzira na uzroke gibanja.<br />
<strong>Dinamika</strong> (grč. dynamis = sila) je dio mehanike koja proučava uzroke<br />
gibanja i utjecaj sile i mase na gibanje.<br />
Statika je dio mehanike koji proučava uvjete ravnoteže tijela.<br />
Gibanje je promjena položaja tijela u odnosu na druga tijela (okolinu,<br />
referentni sustav) u vremenu.<br />
-u svemiru ne postoji točka koja apsolutno miruje → svako gibanje je<br />
relativno<br />
- mirovanje – oblik gibanja kada tijelo ima nepromijenjene koordinate u<br />
odnosu na referentni sustav (laboratorijski sustav – sustav koji miruje<br />
u odnosu na Zemlju)
3. <strong>Dinamika</strong><br />
<strong>Dinamika</strong> je dio mehanike u kojem se proučava odnos<br />
izmeñu gibanja i uzroka promatranog gibanja.<br />
Zašto se tijela gibaju tako kako se gibaju?<br />
Pitanje odnosa sile i gibanja je centralno pitanje dinamike.<br />
Povezanost sile i gibanja! Kakva je veza?<br />
→ Aristotel: za svako gibanje potrebna je sila!<br />
→ Galilei: nije za svako gibanje potrebno djelovanje sile<br />
(jednoliko gibanje po pravcu) → sila nije uzrok gibanju
3. <strong>Dinamika</strong><br />
Galileo Galilei (1564-1642)<br />
- talijanski fizičar i astronom<br />
- prvi je uočio važnost promatranja i eksperimentiranja u<br />
razvoju znanosti → kombinacijom stvarnih i zamišljenih<br />
pokusa uveo eksperiment u fiziku
3. <strong>Dinamika</strong><br />
Galileo Galilei (1564-1642)<br />
- talijanski fizičar i astronom<br />
- prvi je uočio važnost promatranja i eksperimentiranja u<br />
razvoju znanosti → kombinacijom stvarnih i zamišljenih<br />
pokusa uveo eksperiment u fiziku<br />
- prvi je proučavao gibanje zemaljskih objekata, njihala,<br />
projektila i slobodni pad<br />
- otkrio je princip inercije → začetnik mehanike<br />
- teleskop → planine (krateri) na Mjesecu, Venerine mjene,<br />
Sunčeve pjege, Jupiterove mjesece → heliocentrični sustav<br />
(Kopernik) → sukob s Crkvom<br />
- umire 1642. → roñen Newton
3. <strong>Dinamika</strong><br />
Isaac Newton (1642 - 1727)<br />
- engleski fizičar i matematičar<br />
- jedan od najvećih umova u povijesti čovječanstva<br />
- utemeljitelj mehanike – koncept mase, impulsa, sile, tri zakona<br />
gibanja<br />
- otkrio zakon gravitacije<br />
- izumio diferencijalni i integralni račun<br />
→ objasniti gibanje planeta, Zemlje i Mjeseca, plimu i oseku<br />
- doprinos optici<br />
- Galileo i Newton = utemeljitelji moderne fizike
3.1. Masa i sila<br />
Masa je svojstvo svakog tijela koje odreñuje njegovo ponašanje pri<br />
djelovanju sile.<br />
Što je masa tijela veća, ono je tromije, to ga je teže ubrzati ili usporiti, tj.<br />
promijeniti mu stanje gibanja.<br />
Ustrajnost, tromost ili inercija je svojstvo tijela da održava svoje stanje<br />
gibanja (mirovanja). Masa je kvantitativna mjera tromosti tijela.<br />
m<br />
=<br />
1<br />
m<br />
−<br />
0<br />
v<br />
c<br />
2<br />
2<br />
ovisnost mase o brzini<br />
- m 0 – masa mirovanja<br />
- m – relativistička masa<br />
- za v
3.1. Masa i sila<br />
Što je sila?<br />
Sila je fizikalna veličina (vektor) kojom opisujemo meñudjelovanje dvaju ili<br />
više tijela (rezultanta).<br />
Djelovanje sile:<br />
- promijeniti stanje gibanja<br />
(ubrzati, usporiti, promijeniti smjer)<br />
→ dinamika<br />
- promijeniti oblik tijela (deformacija)<br />
��<br />
F<br />
- oznaka (eng. force = sila) [N]<br />
- odreñivanje sile<br />
→ mjerenjem akceleracije ili<br />
deformacije tijela<br />
→ dinamometar<br />
kontaktne sile sile polja
3.1. Masa i sila<br />
Dinamometar je ureñaj za mjerenje sile.<br />
Princip rada: Hookeov zakon (F ~ x)
3.1. Masa i sila<br />
4 temeljne sile (meñudjelovanja, interakcije) u prirodi:<br />
1. Gravitacijska sila → masa<br />
2. Elektromagnetska sila → naboj<br />
3. Jaka sila → nukleoni<br />
4. Slaba sila → leptoni
3.2. Prvi Newtonov zakon<br />
Galilejev princip inercije.<br />
Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog<br />
gibanja po pravcu sve dok pod djelovanjem vanjskih<br />
sila ne promijeni svoje stanje gibanja.<br />
- princip inercije (tromosti, ustrajnosti)<br />
Inercijalni sustavi = sustavi u kojima vrijedi prvi Newtonov zakon<br />
(miruju ili se gibaju jednoliko po pravcu)
3.3. Drugi Newtonov zakon<br />
Pokus: kolica, utezi, impulsni pisač, mjerna traka<br />
Cilj: ustanoviti ovisnost ubrzanja o sili te ubrzanja o masi<br />
masa<br />
sila
3.3. Drugi Newtonov zakon<br />
m = const<br />
F / N<br />
0,1<br />
0,2<br />
0,3<br />
0,4<br />
0,5<br />
a / ms -1<br />
0,70<br />
1,25<br />
1,75<br />
2,35<br />
2,83<br />
m / kg<br />
0,10<br />
0,15<br />
0,20<br />
0,25<br />
0,30<br />
F = const<br />
1<br />
a ~ F a ~ m<br />
a / ms -1<br />
2,35<br />
1,90<br />
1,40<br />
1,10<br />
0,90<br />
II Newtonov zakon<br />
→ F= m⋅a 2<br />
[ F] = [ m] [ a]<br />
= kg m /s = N<br />
Njutn je sila koja tijelu mase 1 kg daje ubrzanje od 1 m/s 2 .
3.3. Drugi Newtonov zakon<br />
��<br />
�<br />
Impuls (količina gibanja) p = m⋅ v [ kg m/s]<br />
��<br />
p =<br />
�<br />
m0 v<br />
2<br />
v<br />
1−<br />
2<br />
c<br />
II Newtonov zakon: sila je jednaka promjeni impulsa<br />
��<br />
�� � d ��<br />
m a ( m v)<br />
d p<br />
F = ⋅ = ⋅ =<br />
dt dt<br />
uz pretpostavku m = const<br />
2<br />
d r<br />
2<br />
dt<br />
≡ a =<br />
F<br />
m<br />
�<br />
�<br />
Temeljna jednadžba gibanja<br />
Rješavanje zadataka<br />
� ��<br />
m⋅ a = ∑ F<br />
i<br />
- vektorski zbroj sila (koordinatni<br />
sustav, komponente)
3.4. Sila teže i težina<br />
Sila teže → privlačna sila koja djeluje na sva tijela u blizini<br />
Zemljine površine;<br />
→ rezultanta gravitacijske sile i neinercijalne<br />
(centrifugalne) sile zbog Zemljine rotacije<br />
�� ��<br />
F G = mg<br />
masa akceleracija<br />
sile teže<br />
Svim tijelima na istom mjestu na Zemlji koja slobodno<br />
padaju, sila teža daje isto ubrzanje, g.<br />
ω<br />
F g<br />
F G<br />
F cf
3.4. Sila teže i težina<br />
Težina → sila kojom neko tijelo pritišće podlogu na kojoj stoji<br />
odnosno ovjesište o koje je ovješeno.<br />
Sila teža je sila na tijelo, a težina je sila na podlogu odnosno<br />
ovjesište.<br />
Ukoliko podloga (ovjesište) miruje ili se giba jednoliko<br />
pravocrtno spram površine Zemlje, težina tijela jednaka je sili<br />
teži:<br />
�� �� ��<br />
G = mg = F<br />
Ako se tijelo giba ubrzano prema Zemljinoj površini, težina<br />
će se razlikovati od sile teže.<br />
G
3.4. Sila teže i težina<br />
Sila teža na odreñeno tijelo uvijek je ista, bez obzira na to<br />
da li tijelo miruje ili se giba ubrzano.<br />
��� ��<br />
F = mg<br />
G<br />
Težina ovisi o ubrzanju tijela i jednaka je sili teži samo<br />
kad je ubrzanje tijela jednako nuli.<br />
�� �� ��<br />
G = mg = F<br />
G<br />
- uz uvjet da je a=0
3.4. Sila teže i težina<br />
Primjer<br />
T = mg + ma<br />
T = mg − ma
Primjer: odredi akceleraciju utega i napetost niti.<br />
pretpostavka: m 2 >m 1
Primjer: odredi akceleraciju utega i napetost niti.
3.5. Treći Newtonov zakon<br />
- zakon akcije i reakcije<br />
�� ��<br />
F = −F<br />
AB BA<br />
Svakom djelovanju (akciji) postoji uvijek suprotno i<br />
jednako protudjelovanje (reakcija), odnosno<br />
djelovanja dvaju tijela jedno na drugo uvijek su<br />
jednaka i suprotnog smjera.
3.5. Treći Newtonov zakon
3.5. Treći Newtonov zakon<br />
Koliku silu pokazuje dinamometar?<br />
mg
3.6. Impuls sile i količina gibanja<br />
F<br />
m<br />
∆t<br />
def. impuls sile<br />
� ��<br />
I = FΔt Za svaku promjenu količine gibanja tijela potrebno je da na tijelo<br />
neko vrijeme djeluje sila.<br />
Ako sila nije stalna, već se<br />
mijenja u vremenu:<br />
t<br />
� ��� 2 ��<br />
Δt→0 ∑ ∫<br />
1<br />
[Ns]<br />
( )<br />
I = lim F Δ t = F t dt<br />
i i<br />
i t<br />
Impuls sile jednak je integralu sile<br />
po vremenu u kojem ta sila<br />
djeluje.
3.6. Impuls sile i količina gibanja<br />
Impuls sile mijenja količinu gibanja tijela koje je primilo taj impuls.<br />
��<br />
��<br />
d p d �<br />
dt dt<br />
�� ��<br />
Fdt = d p<br />
II Newtonov zakon: F = = ( mv)<br />
Primljeni impuls sile u intervalu izmeñu t 1 i t 2 jednak je:<br />
t2 p<br />
� �� 2 �� �� �� � �<br />
( ) ( )<br />
2 1 2 1<br />
I = F t dt = d p = p − p = m v − v<br />
∫ ∫<br />
t p<br />
1 1<br />
Impuls sile jednak je promjeni količine gibanja tijela na koje djeluje ta sila.
3.7. Zakon očuvanja količine gibanja (impulsa)<br />
Pretpostavimo da imamo sustav od mnoštva čestica koje meñudjeluju. Na svaku<br />
od njih djeluje sila Fi koja potječe od meñudjelovanja s drugim česticama u<br />
sustavu (unutarnje sile) ili od meñudjelovanja sustava kao cjeline s nekim trećim<br />
tijelom izvan tog sustava (vanjske sile). Ukupna sila na cijeli sustav sastavljen od<br />
N čestica je: N<br />
�� ��<br />
F = ∑ F<br />
i<br />
i<br />
Pretpostavit ćemo da je sustav izoliran, tj. da nema djelovanja vanjskih sila (njihova<br />
rezultanta je nula).<br />
�� ��<br />
F = −F<br />
Prema tome, za i-tu i j-tu česticu vrijedi: ij ji<br />
�� N ��<br />
F = ∑ F<br />
i ij<br />
j<br />
za i ≠ j<br />
��<br />
F ij<br />
��<br />
+ F ji = 0<br />
�� �� ��<br />
F1 + F 2 + ... + F N = 0<br />
→ rezultanta unutarnjih sila jednaka je nuli
3.7. Zakon očuvanja količine gibanja (impulsa)<br />
��<br />
�� d p<br />
F = →<br />
dt<br />
��� ��� ����<br />
d p1 d p2<br />
d pN<br />
+ + ... + = 0<br />
dt dt dt<br />
��� ��� ����<br />
p + p + + p = const<br />
1 2 ... N<br />
Ukupna količina gibanja (impuls) u zatvorenom sustavu<br />
je stalna ili konstantna.<br />
- bez obzira na to kakvi se procesi i meñudjelovanja dogañaju u<br />
sustavu; impuls (količina gibanja) svake pojedine čestice ili tijela u<br />
sustavu može se mijenjati s vremenom, ali ukupni impuls je očuvan.
3.7. Zakon očuvanja količine gibanja (impulsa)<br />
Primjer:
3.7. Zakon očuvanja količine gibanja (impulsa)<br />
Primjeri sačuvanja količine gibanja:<br />
- treba promatrati izolirane sustave gdje je djelovanje<br />
vanjskih sila zanemarivo (trenje na vodi ili na ledu je<br />
maleno) -> čovjek-čamac, čovjek-brod.<br />
- Raketni pogon se temelji na ZSKG: kontinuirano<br />
izbacivanje struje užarenog plina kontinuirano i povećava<br />
brzinu.
3.10. Trenje<br />
Trenje je sila koja se<br />
javlja izmeñu dva<br />
tijela u dodiru.<br />
F = μF<br />
faktor<br />
trenja<br />
tr N<br />
okomita sila<br />
na podlogu<br />
Statička sila trenja je<br />
maksimalna sila trenja pri<br />
kojoj tijelo još miruje.<br />
Kinetička sila trenja je sila<br />
trenja u (jednolikom)<br />
gibanju.
3.10. Trenje<br />
- vanjsko trenje – trenje meñu čvrstim površinama<br />
- unutrašnje trenje – trenje meñu slojevima fluida (viskoznost)<br />
- uzrok trenja – meñumolekularne sile na površini tijela<br />
- ne ovisi o veličini dodirnih ploha, već samo o njihovim osobinama<br />
(materijal, hrapavost, čistoća)<br />
Odreñivanje faktora trenja<br />
F tr<br />
F 2<br />
G<br />
F N<br />
m<br />
F 1<br />
α<br />
- početak klizanja<br />
F = G sinα<br />
= F = μ ⋅ F<br />
1<br />
F = G cosα<br />
= F<br />
N<br />
tr N<br />
Ftr G sinα<br />
μ = = = tanα<br />
F G cosα<br />
N<br />
2
3.10. Trenje<br />
Faktori trenja:<br />
Čelik – čelik<br />
Bakar – čelik<br />
Guma – beton<br />
Drvo – drvo<br />
Metal – metal (poliran)<br />
Led- led<br />
Materijali<br />
Aluminij – čelik<br />
Staklo – staklo<br />
Vosak+drvo – vlažan snijeg<br />
Vosak+drvo – suh snijeg<br />
Teflon – teflon<br />
μs 0,74<br />
0,61<br />
0,53<br />
1,00<br />
0,25-0,5<br />
0,94<br />
0,14<br />
-<br />
0,15<br />
0,1<br />
0,04<br />
μk 0,57<br />
0,47<br />
0,36<br />
0,80<br />
0,20<br />
0,40<br />
0,10<br />
0,04<br />
0,06<br />
0,<strong>03</strong><br />
0,04
3.10. Centripetalna sila<br />
Jednoliko kružno gibanje<br />
Brzina je konstantna po iznosu ali<br />
stalno mijenja smjer što rezultira<br />
radijalnom akceleracijom prema<br />
središtu kružnice.<br />
Δt → Δs → Δϕ<br />
Δ s = rΔϕ<br />
linearna (obodna) brzina<br />
Δs Δϕ<br />
dϕ<br />
v = lim = r lim = r = r<br />
Δt→0 Δt Δt→0 Δt<br />
dt<br />
dϕ<br />
ω =<br />
dt<br />
� �� �<br />
v = ω × r<br />
�� � �<br />
ω = r × v<br />
ω<br />
[rad/s] kutna brzina
3.10. Centripetalna sila<br />
radijalna (centripetalna) akceleracija<br />
�<br />
Δv v ⋅ Δφ Δφ<br />
ar = lim = lim = v lim<br />
Δt→0 Δt Δt→0 Δt Δt→0 Δt<br />
dφ<br />
ar = v ⋅ = v ⋅ω<br />
dt<br />
2<br />
2 v<br />
ar = rω<br />
=<br />
r<br />
��� �� �<br />
a = ω × v<br />
r<br />
analogija translacijskog i<br />
rotacijskog gibanja<br />
s<br />
v<br />
a<br />
=<br />
=<br />
=<br />
r<br />
r<br />
r<br />
⋅<br />
⋅<br />
ϕ<br />
⋅<br />
ω<br />
α
3.10. Centripetalna sila<br />
Nejednoliko kružno gibanje<br />
tangencijalna akceleracija<br />
� �� ���<br />
a = at + ar<br />
�<br />
a = a = a + a<br />
2 2<br />
t r<br />
( )<br />
dv d rω<br />
dω<br />
at = = = r = rα<br />
dt dt dt<br />
2<br />
Δω<br />
dω d ϕ<br />
α = lim = =<br />
Δt→0 2<br />
Δt<br />
dt dt<br />
�� �� �<br />
a = α × r<br />
t
3.10. Centripetalna sila<br />
Sila koja mijenja smjer brzine i usmjerena je prema središtu zakrivljenosti<br />
(kružnice).<br />
Fcp = mar 2<br />
2<br />
= mω r = m<br />
r<br />
�� �<br />
2<br />
F cp = −mω<br />
r<br />
Primjeri:<br />
- gravitacijska sila (gibanje Mjeseca oko Zemlje)<br />
- električna sila (elektron oko jezgre)<br />
- napetost niti (vrtnja predmeta na užetu)<br />
- trenje (automobil u zavoju)<br />
→ nije nikakva nova sila, već samo poseban naziv za silu koja mijenja<br />
smjer brzine i čini da se tijelo giba po krivocrtnoj putanji<br />
v
Primjer: Odredi brzinu, napetost niti i period kruženja konusnog njihala.<br />
period:<br />
T<br />
napetost niti:<br />
2rπ L cosθ<br />
= = 2π<br />
v g<br />
G mg<br />
N = =<br />
cosθ cosθ<br />
(1) / (2) →<br />
r =<br />
Lsin θ