Analiza varijance (ANOVA)

Analiza varijance
ANOVA (Analysis of Variance)
Računski postupak pomoću kojega se ispituju podaci
određenoga pokusa, kroz procjenu otklona pojedinih
srednjih vrijednosti od prosječne vrijednosti uzoraka
uzetih iz nekog osnovnog skupa.
� POGREŠKA POKUSA rezultanta nekontroliranih
čimbenika koji mogu biti različitoga utjecaja na jedinicu
promatranja.

Analiza varijance
Vrijednost svake jedinice promatranja proizlazi iz:
a) aditivnih komponenti aritmetičke sredine
promatrane populacije,
b) djelovanja toga tretmana,
c) slučajne varijacije.

ij
Analiza varijance
X � � ��
� �
X ij vrijednost j – te jedinice i – toga tretmana, µ je aritmetička sredina
osnovnoga skupa, α i je djelovanje i – toga tretmana, a ε ij je slučajna
komponenta kod j – te jedinice u i – tom tretmanu.
i
ij

Analiza varijance
Kroz niz relativno jednostavnih izračunavanja potrebito
je dobiti F vrijednost. Sinonim za izračunavanje F
vrijednosti je F test ili grupni test za ispitivanje
hipoteze pokusa.
F testom ispituje se, pokusom postavljena, nulta
hipoteza da su aritmetičke sredine k osnovnih
skupova ili tretmana međusobno jednake, odnosno,
da u cjelini nema statistički značajne razlike.

Nulta hipoteza
H X �
X � X � ...
... 0 1 2 3
X
k

Sir Ronald Fisher
Analiza varijance
F �
F test (Fisherov test)
Varijanca
Varijanca
tretmana
pogreške

Statistička značajnost
Zaključci na osnovi pokusa u svojoj su osnovi PROBABILISTIČKI.
Rizik prihvaćanja ili odbacivanja nekoga zaključka, a na osnovi ispitivanja
nulte hipoteze, iskazuje se postotkom:
• P > α 0,05 (> 95,0%): n.s. (non significante)
• P < α 0,05 (< 95,0%): * (significante),
• P < α 0,01 (< 99,0%): ** (very significante)
• P < α 0,001 (< 99,9%): *** (high level significante)

Analiza varijance
Source
Of
Variation
d.f.
Sum
of
Square
Mean
Square
F
value
F
required
Treatments
Residual
Total
1
�
k
k
N �
1
�
N
SS
T
SS
P
SS
U
1
�
k
T SS
2
P
SS
s
k
N
P
�
�
1
�
N
U SS
2
P
MS
s
T
Pogreška pokusa
(VARIJANCA)

Parametrijski statistički testovi:
Usporedba između aritmetičkih sredina
tretmana.

SD
t (Studentov) test:
�
s
2
p
r
t
�
X
i �
SD
X
j

LSD ili NZR test:
S
( X i � X j )
=
=
2s
r
NZR0,05 t(
0,05;
dferror
) ( X �X
=
NZR0,01 t(
0,01;
dferror
) ( X �X
*
*
p
S
S
2
i
i
j
j
)
)

Tukey test:
S
( X )
=
=
s
p
r
Q 0,05 q(
0,05;
15)
=
Q 0,01 q(
0,01;
15)
*
2
*
S
S
X
X

Duncanov test:
S
( X )
=
• test višestrukih usporedbi sredina svih tretmana
• višestruki test razmaka,
s
p
r
2

Analiza varijance
Osnovni preduvjeti za statistiku ANOVA-e:
(a) homogenost varijanci
(b) aditivnost
(c) ortogonalnost

Transformacije podataka:
�Osnovna uloga transformacije podataka je prevođenje izvornih
podataka u neku drugu skalu, pri čemu se može postići
zadovoljavanje preduvjeta za primjenu analize varijance.
�Nakon transformacije, odnos i poredak za sve podatke, u
odnosu na izvorne, ostaju nepromjenjeni.
�Podaci se transformiraju na više načina, od kojih su neki
učestaliji u primjeni.

Transformacije podataka:
�Optimalna transformacija podataka bit će ona čija će krivulja ili
histogram raspodjele učestalosti biti najpribližniji normalnoj.
�Nakon obavljene transformacije podataka analiza varijance i
odgovarajući testovi izvode se na osnovi transformiranih
podataka.
�Izbor transformacije ovisi o prirodi raspodjele učestalosti.
Najčešći pokazatelj nužnosti primjene transformacije je priroda
veze između varijanci tretmana i njihovih srednjih vrijednosti.

X
Transformacije podataka:
(a) korjenska,
(b) logaritamska,
(c) kutna,
(d) recipročna,
(e) probit,
(f) ...........

Planovi i metode postavljanja pokusa u
poljoprivredi:
� Metoda parova (PAIRED COMPARISON
EXPERIMENT)
� Potpuno slučajan raspored (COMPLETELY
RANDOMIZED DESIGN)
� Slučajan blok raspored (RANDOMIZED BLOCK)
� Latinski kvadrat (LATIN SQUARE DESIGN)
� Latinski pravokutnik (LATIN RECTANGLE DESIGN)
� Višečimbenični pokusi (FACTORIAL
EXPERIMENTS)
� Višečimbenični pokusi - METODA PODIJELJENIH
PARCELA (SPLIT - PLOT DESIGNS)
� Ostali, modificirani ili prilagođeni planovi ...

Modificirani ili prilagođeni planovi:
� u svojoj su osnovi slični slučajnom blok
sustavu,
� rabe se s ciljem smanjenja pokusne
pogreške i povećanja preciznosti pokusa,

Modificirani ili prilagođeni planovi:
Osnovni modificirani planovi koji pripadaju
jednosmjernoj klasifikaciji su:
a) balansirani nepotpuni blokovi
b) latis planovi

Modificirani ili prilagođeni planovi:
Balansirani nepotpuni blokovi:
�statistička analiza pokusa s nepotpunim blokovima
složenija je nego li ona kod pokusa s potpunim blokovima,
�glede manjega broja jedinica u bloku od broja
tretmana, potrebito je kod ispitivanja razlika sredina
tretmana obaviti ispravku za utjecaj blokova gdje se ti
tretmani ne pojavljuju.
�pri planiranju pokusa s nepotpunim blokovima polazi
se od načela da preciznost bude uvijek jednaka za sve
tretmane.

Neparametrijska statistika
� Hi kvadrat test (Χ 2 )
Neparametrijski testovi:
� Test znakova (SIGN TEST)
� Test rangiranih znakova (WILCOXON SIGNED RANK TEST)
� Test sume rangova (MANN – WHITNEY U TEST)
� Siegel – Tukey test
� Test homogenog niza (RUN TEST)
� Test Medijane
� Fisherov LSD Protected test
� Friedmanov test
� Cochranov Q test