normalna deformacija
normalna deformacija
normalna deformacija
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
ČVRSTE<br />
STIJENE<br />
UCS>100<br />
MPa<br />
slabo<br />
raspucane<br />
minimalno<br />
trošne<br />
stabilni temelji<br />
stabilne strme<br />
kosine<br />
izvor agregata<br />
SLABE<br />
STIJENE<br />
UCS < 10 MPa<br />
raspucane i<br />
uslojene<br />
duboko trošenje<br />
problemi<br />
usijedanja<br />
slom već pri<br />
malim<br />
nagibima<br />
kosina<br />
iziskuju<br />
inženjerski<br />
tretman<br />
ČVRSTOĆA<br />
STIJENE/TLA<br />
UCS (eng. unaxial<br />
compressive strength):<br />
Neograničena (ili<br />
jednoosna) tlačna čvrstoća<br />
ČVRSTOĆA<br />
STIJENE/TLA<br />
UCS = jednoosna tlačna<br />
čvrstoća<br />
NOSIVOST<br />
STIJENE/TLA
2: NAPREZANJE I DEFORMACIJA<br />
principi naprezanja i deformacije<br />
uz popratnu reakciju materijala<br />
osnova su za razumijevanje<br />
kvantitativnih i kvalitativnih<br />
značajki materijala stijena i tala<br />
-prirodne sile<br />
koje djeluju na<br />
mase stijena i tala,<br />
kao rezultat građenja<br />
naprezanje<br />
SILA<br />
<strong>deformacija</strong><br />
-sile koje<br />
primjenjujemo na<br />
uzorke za vrijeme<br />
laboratorijskih<br />
pokusa<br />
PRIMJERI SILA KOJE UZOKUJU DEFORMACIJU I KONAČNO SLOM STIJENE/TLA
...naprezanje<br />
...naprezanje<br />
-STOGA SE KORISTI...<br />
SILA<br />
ZANIMA NAS:<br />
Koja je sila potrebna za određenu deformaciju materijala?<br />
ODGOVOR:<br />
Da bismo za određenu silu znali koliku deformaciju će<br />
prouzročiti, potrebno je znati na koliku površinu se primjenjuje?<br />
primjenjuje<br />
� �<br />
σ =<br />
�<br />
<strong>deformacija</strong><br />
...naprezanje<br />
�<br />
F<br />
A<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
m2 N<br />
= Pa<br />
�<br />
�
KOMPONENTE VEKTORA<br />
NAPREZANJA<br />
u odnosu na neku plohu:<br />
1. <strong>normalna</strong><br />
(okomita)<br />
2. posmična<br />
(paralelna)<br />
stranica<br />
kocke<br />
promatrana<br />
u XY ravnini<br />
KOMPONENTE<br />
NAPREZANJA<br />
koje djeluju na<br />
2D plohu<br />
τ =<br />
xy<br />
τ<br />
yx<br />
inače bi došlo<br />
do rotacije
σ<br />
dvodimenzionalna analiza naprezanja<br />
u tijelu ima mnoge praktične primjene u analizi čvrstoće stijena<br />
x<br />
τ<br />
xy<br />
B<br />
O<br />
θ<br />
σ<br />
τ<br />
y<br />
( x )<br />
τ<br />
p y<br />
yx<br />
A<br />
σ<br />
p x<br />
x<br />
P<br />
P - vektor naprezanja<br />
(okomit na promatranu plohu)<br />
θ -kutizmeđu vektora<br />
naprezanja (P) i osi X<br />
PX, , P Y komponente<br />
vektora naprezanja<br />
σx, , σy, , τxy, xy,<br />
τyx yx -<br />
komponente<br />
naprezanja -<br />
POZNATE!<br />
AB . p = OB ⋅ σ + OA ⋅ τ<br />
p = σ cos θ + τ sin<br />
( x )<br />
x<br />
yx<br />
p = σ sin θ + τ cos<br />
σ = p<br />
( y ) y<br />
xy<br />
( x)<br />
= σ cos<br />
x<br />
cos θ + p<br />
2<br />
( y )<br />
θ + 2τ<br />
xy<br />
sin θ<br />
σ i τ – <strong>normalna</strong> i<br />
posmična<br />
naprezanja na<br />
plohu- TRAŽE SE!<br />
uvjet statičke ravnoteže:<br />
sile koje djluju na trokut moraju biti jednake u smjeru X i Y<br />
PX, , P Y<br />
komponente<br />
vektora<br />
naprezanja<br />
σ i τ –<br />
<strong>normalna</strong> i<br />
posmična<br />
naprezanja<br />
na plohu-<br />
TRAŽE SE!!!<br />
τ = p<br />
( y )<br />
θ<br />
sin θ cos θ + σ sin<br />
sin θ<br />
= ( σ − σ ) sin θ cos θ + τ (cos<br />
=<br />
y<br />
cos θ − p<br />
x<br />
( x )<br />
1<br />
( σ y − σ x ) sin 2θ<br />
+ τ xy cos 2θ<br />
2<br />
xy<br />
2<br />
y<br />
θ − sin<br />
2<br />
θ<br />
2<br />
yx<br />
θ<br />
θ )
u analizi naprezanja uobičajeno da su X i Y osi u smjeru glavnih naprezanja:<br />
smjerovi u kojima su posmična naprezanja = 0<br />
su smjerovi GLAVNIH NAPREZANJA<br />
σ 1, σ 2, σ 3<br />
GLAVNA NAPREZANJA<br />
...definiraju elipsoid naprezanja<br />
promatrano u 2 dimenzije: ELIPSA NAPREZANJA<br />
σ 2<br />
σ 1<br />
u analizi naprezanja uobičajeno je postaviti<br />
osi X i Y u smjerovima σ 1 i σ 2<br />
σ 1 > σ 2
... tom slučaju:<br />
izrazi za σ i τ – <strong>normalna</strong> i posmična naprezanja na plohu (to smo tražili!!!) u funkciji<br />
komponenata naprezanja i to glavnih naprezanja:<br />
1 1<br />
σ = 1 2<br />
1 2 2<br />
2 2<br />
( σ + σ ) + ( σ −σ<br />
) cos θ<br />
1<br />
τ = − ( σ 1 − σ 2 ) sin 2 θ<br />
2<br />
Mohrova kružnica naprezanja<br />
Mohrova kružnica naprezanja<br />
-grafički prikaz stanja<br />
naprezanja u jednoj točki tijela
σ<br />
x<br />
posmično naprezanje<br />
τ<br />
+<br />
-<br />
0<br />
σ σ2 2<br />
pomoću Mohrove<br />
kružnice se određuju<br />
<strong>normalna</strong> i posmična<br />
naprezanja na plohu<br />
(σ,τ) za točke u<br />
ravnini definiranoj<br />
kutom θ<br />
τ<br />
xy<br />
B<br />
O<br />
σ<br />
σ p 2<br />
y<br />
θ<br />
σ<br />
τ<br />
y<br />
τ<br />
σ<br />
( 1+ 2<br />
2)<br />
θ<br />
A<br />
yx<br />
τ<br />
σ<br />
p x<br />
σ<br />
σ<br />
( 1- 2<br />
2)<br />
P<br />
C<br />
r<br />
Mohr’s<br />
Circle<br />
σ 1<br />
normalno<br />
naprezanje<br />
0 B σ<br />
σ y =σ 2<br />
σ 1<br />
2θ<br />
θ<br />
A(σ,τ)<br />
σ<br />
+<br />
σ x =σ 1
τ<br />
0 B<br />
σ<br />
σ 2<br />
A’ (σ y ,τ yx )<br />
2θ<br />
θ<br />
A (σ x ,τ xy )<br />
Pomoću Mohrove kružnice<br />
moguće je riješiti:<br />
1. stanje naprezanja u točki (σ x , σ y i τ xy ) bilo<br />
koje ravnine, ukoliko su poznata glavna<br />
naprezanja σ 1 i σ 2 .<br />
2. veličinu i smjer glavnih naprezanja (σ 1 , σ 2 )<br />
ukoliko su poznati σ x , σ y i τ xy u nekoj točki.<br />
σ 1
τ<br />
0 B<br />
σ<br />
σ 2<br />
A’ (σ y ,τ yx )<br />
2θ<br />
θ<br />
A (σ x ,τ xy )<br />
Mohrova kružnica -<br />
različita stanja naprezanja<br />
σ x = 20 MPa<br />
σ y = 10 MPa<br />
τ xy = -8,66 MPa<br />
σ 1 = ?<br />
σ 2 = ?<br />
θ = ?<br />
pozitivna ili TLAČNA naprezanja jednoosna kompresija<br />
σ 1<br />
σ 2 = 0<br />
jednoosno vlačno naprezanje vlačno naprezanje<br />
σ 1 = 0
τ<br />
nema posmičnog naprezanja<br />
- HIDROSTATSKO STANJE<br />
NAPREZANJA<br />
τ = 0<br />
σ 1 = σ 2<br />
posmično naprezanje moguće samo u slučaju<br />
kada su glavna naprezanja različita - tzv.<br />
devijatorsko naprezanje<br />
Mohrova kružnica: TROOSNO STANJE NAPREZANJA<br />
�<br />
σ 3<br />
σ 2<br />
� �<br />
σ 1<br />
�<br />
σ<br />
� �
Mohr-Coulombova anvelopa sloma<br />
zbog interakcije NORMALNOG NAPREZANJA na neku plohu i<br />
POSMIČNOG NAPREZANJA po toj plohi dogodit će se<br />
PLANARNI POSMIČNI SLOM u tlu ili stijeni<br />
stanje naprezanja može biti JEDNOOSNO ili TROOSNO<br />
2D prikaz<br />
troosnog slučaja:<br />
σ 1 = max<br />
σ 3 = min<br />
σ n<br />
τ f<br />
β<br />
β<br />
σ 1<br />
σ 3<br />
Uniaxial Compressive Strength (UCS)<br />
O<br />
Kk<br />
O<br />
Cc<br />
troosni pokusi:<br />
σ 2 = σ 3<br />
3<br />
Start of first circle should<br />
be at 0 for UCS test.<br />
1<br />
D<br />
C
σ n<br />
τ f<br />
β<br />
β<br />
σ 1<br />
σ 3<br />
kriterij planarnog sloma uveo je COULOMB<br />
τf = c + σn tan φ<br />
τf - posmično naprezanje na plohi sloma<br />
c - kohezija materijala<br />
σn tan φ - koef. unutarnjeg trenja materijala<br />
φ - kut unutarnjeg trenja materijala<br />
τ f<br />
Mohr-Coulombova anvelopa sloma<br />
c<br />
τ<br />
σ 3<br />
σ n<br />
τ f = c + σ n tan φ<br />
2β<br />
σ 1<br />
φ<br />
σ
vrijednosti:<br />
c - kohezija materijala<br />
σ n - normalno naprezanje<br />
φ - kut unutarnjeg trenja materijala<br />
neophodne za<br />
τ f = c + σ n tan φ<br />
dobivaju se iz<br />
JEDNOOSNIH I TROOSNIH POKUSA NA UZORCIMA<br />
POKUS 1 - jednoosni<br />
σ 1 = 140 MPa<br />
σ 3 = 0 MPa<br />
c = ? MPa<br />
φ = ?<br />
τ f = ? MPa<br />
σ n = ? MPa<br />
τ f<br />
c<br />
τ<br />
σ 3<br />
POKUS 2 -troosni<br />
σ 1 = 550 MPa<br />
σ 3 = 100 MPa<br />
c = ? MPa<br />
φ = ?<br />
τ f = ? MPa<br />
σ n = ? MPa<br />
σ n<br />
τ f = c + σ n tan φ<br />
2β<br />
σ 1<br />
φ<br />
σ
τ fTRO<br />
OBRATI PAŽNJU!!!<br />
iako je kohezija ista,<br />
(tlačno) normalno i posmično naprezanje<br />
se povećava s povećanjem σ 3<br />
τ f JEDN<br />
c<br />
τ<br />
• naprezanje<br />
σn JEDNOOSNO<br />
σn TROOSNO<br />
Što je naprezanje i<br />
<strong>deformacija</strong>?<br />
– sustav sila unutar<br />
nekog tijela koje se<br />
javljaju kao reakcija<br />
na vanjske sile koje<br />
djeluju na tijelo<br />
σ 1<br />
• <strong>deformacija</strong><br />
– mjera promjene<br />
oblika tijela koja je<br />
nastala kao rezultat<br />
sila koje su djelovale<br />
na tijelo<br />
φ<br />
σ
DEFORMACIJA može biti<br />
• <strong>normalna</strong> <strong>deformacija</strong><br />
(eng. pure shear)<br />
• posmična <strong>deformacija</strong><br />
(eng. simple shear)<br />
-promjena oblika<br />
tijela<br />
-bez promjene<br />
volumena<br />
-glavne osi<br />
deformacije ne<br />
rotiraju<br />
-ostali pravci<br />
rotiraju prema osi<br />
X<br />
NORMALNA <strong>deformacija</strong><br />
ELIPSOID/ELIPSA<br />
DEFORMACIJE<br />
-Y=1;<br />
-<strong>deformacija</strong><br />
paraleno ravnini<br />
XZ
NORMALNA <strong>deformacija</strong><br />
Po završetku deformacije, u XZ ravnini postoje dva pravca čija je duljina<br />
jednaka njihovoj početnoj duljini (e=0). Ovi pravci dijele elipsu<br />
deformacije u polja – kompresijske i tenzijske kvadrante, u kojima leže<br />
pravci čija je konačna duljina kraća (e-), odnosno duža (e+), u odnosu na<br />
njihovu prvotnu duljinu.
ELIPSOID/ELIPSA<br />
DEFORMACIJE<br />
POSMIČNA <strong>deformacija</strong><br />
-Y=1;<br />
-<strong>deformacija</strong><br />
paraleno ravnini<br />
XZ<br />
-promjena oblika<br />
tijela<br />
-bez prvotne<br />
promjene<br />
volumena<br />
-glavne osi<br />
deformacije<br />
ROTIRAJU<br />
-ostali pravci<br />
također rotiraju<br />
POSMIČNA <strong>deformacija</strong>
I pri ovoj deformaciji, u XZ ravnini uvijek postoje dva pravca čija je<br />
duljina jednaka njihovoj početnoj duljini (e=0), od kojih je jedan uvijek<br />
paralelan posmičnoj plohi, kojima je elipsa razdijeljena u tenzijske (e+) i<br />
kompresijske kvadrante (e-).<br />
<strong>normalna</strong> <strong>deformacija</strong><br />
(promjena duljine)<br />
posmična <strong>deformacija</strong><br />
ε =<br />
DEFORMACIJA<br />
γ/2<br />
KUT DISTORZIJE<br />
l − l<br />
orig<br />
γ/2<br />
l<br />
orig<br />
deform.
Mohrova kružnica: komponente<br />
deformacije<br />
1/2γ<br />
σ<br />
naprezanje<br />
A’ (ε y , γ yx /2)<br />
0 ε<br />
ε 2<br />
<strong>deformacija</strong><br />
ε 1<br />
A (ε x , γ xy /2)<br />
Postojanost deformacije<br />
ELASTIČNA<br />
PLASTIČNA<br />
ε
naprezanje : <strong>deformacija</strong> - slom<br />
tip I: elastična tip II: elasto-plastična tip III: plastično-elastična<br />
σ σ σ<br />
ε<br />
σ<br />
MRAMOR<br />
σ σ<br />
ŠKRILJAVAC<br />
ε<br />
BAZALT PRAHOVNJAK PJEŠČENJAK<br />
tip IV: plastično-elastičnaplastična<br />
ε<br />
tip V: plastično-elastičnaplastična<br />
ε<br />
ε<br />
tip VI: elastično-plastično<br />
puzanje<br />
SOL<br />
Konstante elastičnosti<br />
karakteriziraju elastičnost materijala nastalu kao odgovor na<br />
primijenjeno naprezanje<br />
σn E= • Youngov Youngov<br />
modul elastičnosti<br />
ε<br />
- definira elastičnu normalnu deformaciju<br />
∆l<br />
ν = ∆d<br />
τ<br />
G ili µ = γ<br />
• Poissonov<br />
Poissonov<br />
koeficijent<br />
- definira bočnu deformaciju za vrijeme promjene<br />
duljine (max 0,5)<br />
σ 0<br />
K = εν<br />
•posmični posmični modul ili modul krutosti<br />
- mjera posmične deformacije<br />
•volumetrijska<br />
volumetrijska <strong>deformacija</strong> ili dilatacija<br />
- modul stišljivosti<br />
(hidrostatski pritisak/volumetrijska <strong>deformacija</strong>)<br />
ε
Change language