2. Wprowadzanie topologii w zbiorach

Podobnie możemy zdefiniować topologię w zbiorze Y jeśli zadana jest rodzina odwzorowań
F := {fj : Xj → Y }j∈J z przestrzeni topologicznych (Xj, Tj) do Y . Topologię TF definiujemy jako
największą topologię w Y taką, że wszystkie odwzorowania fj : Xj → Y są ciągłe. Łatwo widzieć,
że TF = {U ⊆ Y : ∀j∈Jf −1
j (U) ∈ Tj}. Podobnie jak powyżej, topologia ta jest scharakteryzowana
przez następującą własność.
Stwierdzenie. Niech Z będzie przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie
g : Y → Z jest ciągłe wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego j ∈ J złożenie Xj
ij
−→ Y g −→ Z
jest ciągłe.
Definicja. Niech {X}j∈J będzie rodziną przestrzeni topologicznych. Zdefiniujmy zbiór X =
�
j∈J Xj := �
j∈J Xj × {j} Dla dowolnego j ∈ J mamy zanurzenie ij : Xj ⊂ X. Zbiór X z topologią
zadaną przez rodzinę odwzorowań {ij}j∈J nazywamy sumą rozłączną (lub koproduktem)
przestrzeni topologicznych {Xj}.
Zauważmy, że jeśli ∀j∈J Xj = X to �
j∈I Xj = X ×J gdzie w zbiorze wskaźników J rozpatrujemy
topologię dyskretną.
3 Topologia ilorazowa
Bardzo ważnym szczególnym przypadkiem rozważanej wyżej konstrukcji jest wprowadzanie topologii
w zbiorze klas abstrakcji relacji równoważności. Zauważmy,że jest to konstrukcja w pewnym
sensie dwoista do definicji podprzestrzeni.
Definicja. Niech (X, T ) będzie przestrzenią topologiczną, R relacją równoważności w zbiorze X,
a q : X → X/R przekształceniem przypisującym punktowi jego klasę abstrakcji. W zbiorze X/R
definiujemy topologię wprowadzoną przez przekształcenie q, którą nazywamy topologią ilorazową,
a przestrzeń X/R przestrzenią ilorazową.
T /R := {U ⊂ X/R : q −1 (U) ∈ T }.
Definicja. Przekształcenie ciągłe q : X → Y będące surjekcją nazywamy ilorazowym, jeżeli
dla dowolnego przekształcenia f : Y → Z z ciągłości złożenia f ◦ q :→ Z wynika ciągłość
przekształcenia f. �
Zad. 3. Jeśli surjekcja f : X → Y jest przekształceniem otwartym lub domkniętym, to jest
przekształceniem ilorazowym. Uwaga. Nie każde przekształcenie ilorazowe musi być otwarte lub
domknięte.
Zad. 4. Rozpatrzmy ciągłą surjekcję f : X → Y i relację Rf na X określoną następująco
xRf x ′ ⇐⇒ f(x) = f(x ′ ). Udowodnij, że
a) f jest przekształceniem ilorazowym wtedy i tylko wtedy, gdy przekształcenie f ′ : X/Rf → Y
dane wzorem f([x]) = f(x) jest homeomorfizmem;
b) jeśli Y jest przestrzenią Hausdorffa, to również X/Rf jest przestrzenią Hausdorffa.
Przykład 1. Jeżeli A ⊂ X, to przez X/A oznaczamy wyposażoną w topologię ilorazową.przestrzeń
klas abstrakcji relacji xRx ′ ⇐⇒ x = x ′ lub x, x ′ ∈ A. Mówimy, że jest to przestrzeń X z
podzbiorem A zgniecionym do punktu.
2