2. Wprowadzanie topologii w zbiorach

Zad. 9. Sfera S n jest homeomorficzna z uzwarceniem Aleksandrowa przestrzeni R n .
Zad. 10. Płaszczyzna rzutowa RP (2) jest homeomorficzna z uzwarceniem Aleksandrowa otwartej
wstęgi Moebiusa.
Zad. 11. Dla przestrzeni lokalnie zwartych X, Y istnieje naturalny homeomorfizm (X × Y ) + �
X + ∧ Y + bedący identycznością na X × Y. Wynika stąd, że S n ∧ S m � S n+m .
5 Przestrzenie zwarcie generowane
Niech dana będzie przestrzeń topologiczna (X, T ) i rozważmy rodzinę jej podzbiorów zwartych
{K}. Zapomniawszy o wyjściowej topologii w X, a pamiętając o topologii w podzbiorach zwartych
można wprowadzić w zbiorze X nową topologię przez rodzinę włożeń zbiorów zwartych: {K ⊂
X | K − zwarty}. Otrzymana przestrzeń topologiczna oznaczamy (kX, kT ), lub w skrócie kX.
Identyczność id : kX → X jest oczywiście przekształceniem ciągłym; jeśli jest homeomorfizmem,
to X nazywamy przestrzenią zwarcie generowaną lub krótko k-przestrzenią.
Zad. 12. Przestrzeń lokalnie zwarta jest k-przestrzenią.
Zad. 13. Przestrzeń metryczna jest k-przestrzenią.
Zad. 14. Przestrzeń Hausdorffa jest zwarcie generowana wtedy i tylko wtedy gdy jest przestrzenią
ilorazową przestzeni lokalnie zwartej, w szczególności przestrzeń ilorazowa k-przestrzeni jeśli jest
Hausdorffa jest k-przestrzenią.
Uwaga. Zainteresowanym polecam notatki: Neil Strickland The category of CGWH spaces, w których
rozpatrywane są compactly generated weakly Hausdorff spaces, co pozwala uwolnić się od
zakładania własności Hausdorffa i nadać wielu twierdzeniom dot. k-przestrzeni bardziej elegancką
formę (w szczególności dot. przestrzni odwzorowań - p.niżej).
6 Topologia zwarto-otwarta
Definicja. Dla przestrzeni topologicznych X, Y przez Map (X, Y ) oznaczamy zbiór przekształceń
ciągłych X → Y wyposażony w topologię zwarto-otwartą tzn. generowaną przez zbiory postaci
{(A, W ) | A ⊂ Xzwarty, W ⊂ Y otwarty}, gdzie (A, W ) := {f ∈ Map (X, Y ) |f(A) ⊂ W }.
Zad. 15. a) Niech B = {Wα} będzie podbazą przestrzeni Y (w szczególności bazą lub nawet
całą topologią!). Wtedy rodzina {(A, W ) | A ⊂ X zwarty, W ∈ B} jest podbazą topologii zwartootwartej
na Map (X, Y ).
b) Niech F = {Cα} będzie rodziną zwartych zbiorów w X z następującą własnością: dla każdego
zwartego A i otwartego U ⊃ A istnieje skończenie wiele Ci ∈ F spełniających A ⊂ � n 1 Ci ⊂ U.
Wtedy rodzina {(C, W ) | C ∈ F, W ∈ B} jest również podbazą topologii zwarto-otwartej w
Map (X, Y ).
Zad. 16. Zbiory (A × B, W ) gdzie A ⊂ X, B ⊂ Y są zwarte a W ⊂ Z otwarty są podbazą
topologii zwarto-otwartej w Map (X × Y, Z).
Zad. 17. Jeśli f : X → X ′ oraz g : Y → Y ′ są odwzorowaniami ciągłymi, to odwzorowania
indukowane f ∗ : Map (X ′ , Y ) → Map (X, Y ) oraz g∗ : Map (X, Y ) → Map (X, Y ′ ) są ciągle w
topologii zwarto-otwartej.
4