P - INF-Unioeste

Movimiento Kepleriano
Astronomía matemática
Universidad de Zaragoza, Lic. Matemáticas
primer cuatrimestre 2006/07
01/2007
Tarek Besold
Tarek.Besold@mathe.stud.uni-erlangen.de
http://www.mi.uni-erlangen.de/~sntabeso

Movimiento Kepleriano
Estructura de la pieza…
Apertura: Newton y Kepler - dos Atlas del mundo de la
astronomía
Primer Acto: Problema de dos cuerpos e integrales del
movimiento relativo
Segundo Acto: Las leyes de Kepler
Interludio: Movimiento con respecto al centro de
masas
Tercero Acto: Ley horario del movimiento
Cuarto Acto: Algunas perturbaciones más frecuentes
Final: La órbita en el espacio
Postludio: Indicación de las fuentes

Movimiento Kepleriano
Obertura: Obertura
Newton y Kepler – dos Atlas del mundo de la
astronomía
astronom

Movimiento Kepleriano
Sir Isaac Newton
„Sir Isaac Newton, (04.01.1643 –
31.03.1727) fue un científico, físico,
filósofo, alquimista y matemático inglés,
autor de los „Philosophiae Naturalis
Principia Mathematica“, más conocidos
como los „Principia“, donde describió la
ley de gravitación universal y estableció
las bases de la Mecánica Clásica
mediante las leyes que llevan su nombre.
Entre sus otros descubrimientos
científicos destacan los trabajos sobre la
naturaleza de la luz y la óptica (…) y el
desarrollo del cálculo matemático.
Newton fue el primero en demostrar que
las leyes naturales que gobiernan el
movimiento en la Tierra y las que
gobiernan el movimiento de los cuerpos
celestes son las mismas.“

Movimiento Kepleriano
Newton & la mecánica (1)
Leyes de la Dinámica (→ „Principia“):
Ley de la inercia (primera ley de Newton):
"Todo cuerpo preservará en su estado de reposo o
movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado
por fuerzas impresas a cambiar su estado"
Ley de la interacción y la fuerza (segunda ley):
"El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz
impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual
aquella fuerza se imprime"
Ley de acción-reacción (tercera ley):
"Con toda acción ocurre siempre una reacción igual y
contraria; las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son
iguales y dirigidas en sentidos opuestos"

Movimiento Kepleriano
Newton & la mecánica (2)
Ley de la gravitación universal (1685):
F fuerza, G constante (determina la intensidad de F → medida más
tarde por Cavendish: „experimento de la balanza de torsión“), m 1 y
m 2 masas de dos cuerpos que se atraen entre si, r distancia entre
ambos cuerpos, u el vector unitario que indica la dirección del
movimiento;
Newton (tercera ley de la dinámica + ley de la gravitación
universal): → “Los planetas ni se mueven exactamente en
elipses, ni giran dos veces según la misma órbita”
Sirve para demostrar las „Leyes de Kepler“

Movimiento Kepleriano
Friedrich Johannes Kepler
„Johannes Kepler (Weil der Stadt,
Alemania, 27.12.1571 – Regensburg
(Ratisbona), Alemania, 15.11.1630),
figura clave en la revolución científica,
astrónomo y matemático alemán;
fundamentalmente conocido por sus
leyes sobre el movimiento de los
planetas. Fue colaborador de Tycho
Brahe.“

Movimiento Kepleriano
Las „Leyes de Kepler“
Las tres leyes de Kepler:
Primera ley de Kepler:
„Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del
sol con el sol en uno de sus focos.“
Segunda ley:
„Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas
iguales en el mismo tiempo.“
Tercera ley („del movimiento planetario“ o „ley ármonica“):
„Los cuadrados de los periodos de los planetas son
proporcionales al cubo de la distancia media al sol.“
Permiten unificar, predecir y comprender los movimientos
de los astros
→ Kepler fue el último astrólogo y se convirtió en el primér
astrónomo

Movimiento Kepleriano
Primer Acto: Acto:
Problema de dos cuerpos y integrales del
movimiento relativo

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (1)
„Ley de Newton“:
„La fuerza que ejerce el Sol sobre un planeta es atractiva,
lleva la dirección de ambos cuerpos y es proporcional al
producto de las masas de éstos, e inversamente
proporcional al cuadrado de su distancia mutua.“
Extension a dos masas puntuales cualesquieras
→ Base del problema fundamental de la Astrodinámica o
Mecánica Celeste: „Problema de dos cuerpos“
Estudio del movimiento de dos masas puntuales que
interaccionan gravitacionalmente bajo la „ley de atracción
universal“ (→ Newton)

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (2)
Pero: Problema de dos cuerpos esta tomado como
base del estudio del movimiento orbital, aunque
éste constituye solo un modelo aproximado (!) de la
realidad
Ningún cuerpo en el espacio es puntual
Nunca aparecen dos cuerpos aislados en el Universo
→ todos interaccionan entre sí
Forma, dimensiones y distancias relativas de los
cuerpos permiten tomar las órbitas keplerianas
(→ las órbitas que siguen las leyes de Kepler;
responden exactamente al modelo de dos cuerpos)
Aproximación al modelo real

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (3)
Problema de dos cuerpos:
Determinar el movimiento de dos masas puntuales S y P,
de masas respectivas m 1 y m 2 que se atraen mutuamente
según la ley de atracción gravitacional de Newton
Consideremos un cierto sistema de referencia fijo
(0,i,j,k) y r 1 ,r 2 los vectores de posición 0S, 0P y x el
vector de posición relativa SP
„Segunda ley de la Mecánica“ (→ Newton):
Fuerza = masa x aceleración
→ (1): (r = ||x|| distancia
mutua entre S y P;
G constante de
gravitación univ.)

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (4)
(1) constituye un sistema diferencial de orden 12
→ integración del problema quedará resuelta si
encontramos 12 integrales independientes del
mismo
Reducir el problema a otro de orden 6
Sumando los ecuaciones de (1), se obtiene:
→ „Integral del centro de masas“, (2):
(r c posición del centro de masas del sistema;
b, B vectores constantes cuales constituyen las
seis primeras integrales del problema)

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (5)
(2) → el centro de masas de un sistema formado por
dos cuerpos que se atraen según la ley de
gravitación de Newton se mueve con un movimiento
rectilíneo y uniforme
Es posible formular (1) de manera más simple con
las integrales del centro de masas, teniendo en
cuenta:
(3):
Invertiendo → (4):

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (6)
→ Conocida la evolución temporal del vector del
centro de masas r c y la del vector de posición
relativa x, también se conoce la de r 1 y r 2
→ Problema queda resuelto!
Las 6 integrales (2) determinan el movimiento de r c
→ basta encontrar el movimiento relativo de P con
respecto a S
Derivando dos veces la segunda ecuación de (3)
( ) con respecto al tiempo, sustituyendo el
valor de las segundas derivadas dado en (1)
→ ecuaciones del movimiento relativo (5):
(donde µ = G (m 1 + m 2 ))

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (7)
G se considera una constante universal, pero no lo
será µ, por depender de las masas
Pero: Sin embargo, fijado el problema, los dos
cuerpos siempre serán los mismos y la suma de las
masas será constante → utilizaremos µ en lugar de
G para caracterizar la órbita
G adquiere particular importancia en el caso de órbitas de
estrellas dobles: en general las masas son desconocidas
→ µ también es desconocido

Movimiento Kepleriano
Problema de dos cuerpos (8)
Movimiento orbital kepleriano

Movimiento Kepleriano
Integrales del movimiento relativo (1)
Descomponiendo (5) en dos ecuaciones vectoriales
de orden uno → (6):
(con X vector de velocidad, ||X|| = v)
Definición: El vector (7) se llama
„momento angular“ por unidad de masa.
Nota: Cuando no exista confusión, G se llama „momento
angular“.
Notación: G = ||G||

Movimiento Kepleriano
Integrales del movimiento relativo (2)
Propiedad 1:
„Para una partícula, que se mueve en un campo de
atracción newtoniano, de acuerdo con (5), el momento
angular G es constante.“
Definición: El vector (8) se llama
„vector de Laplace“ o „vector de Runge-Lenz“;
||A|| = A.
Propiedad 2:
„Para una partícula que se mueve en un campo de
atracción newtoniano, de acuerdo con (5), el vector de
Laplace A es constante.“

Movimiento Kepleriano
Integrales del movimiento relativo (3)
Las tres componentes de G y las tres de A
constituyen 6 integrales del sistema (5).
Si estás fuesen independientes, el problema estaría
totalmente integrado
Pero: No son independientes!
Propiedad 3:
„Los vectores G y A no constituyen seis integrales
independientes del sistema diferencial.“
Definición: (9) se llama „energía“ por
unidad de masa. v 2 /2 se llama „energía cinética T“,
µ/r se llama „energía potencial V“.

Movimiento Kepleriano
Integrales del movimiento relativo (4)
Propiedad 4:
„La energia h definida en (9), es una constante del
movimiento.“
Nota: Realmente, las expresiones en (9) no constituyen la
energía cinética y potencial del problema de dos cuerpos,
sino las de un modelo teórico que se comporte igual que
el problema del movimiento relativo.
→ La constancia de h no se deduce del teorema de
conservación de la energía, sino de una demostración
propia.
Propiedad 5:
„Para una partícula sometida a un campo de atracción
newtoniano, las constantes A, G y h verifican la relácion
(10): “

Movimiento Kepleriano
Integrales del movimiento relativo (5)
Propiedad 6:
„El vector de Laplace verifica las siguientes identidades
(11): “

Movimiento Kepleriano
Segundo Acto: Acto:
Las leyes de Kepler

Movimiento Kepleriano
Para recordar… (1)
Las tres leyes de Kepler:
Primera ley de Kepler:
„Los planetas tienen movimientos elípticos alrededor del
sol con el sol en uno de sus focos.“
Segunda ley („ley de las áreas“):
„Los planetas, en su recorrido por la elipse, barren áreas
iguales en el mismo tiempo.“
→ „Ley de las áreas“

Movimiento Kepleriano
Para recordar… (2)
Tercera ley („del movimiento planetario“ o „ley ármonica“):
„Los cuadrados de los periodos de los planetas son
proporcionales al cubo de la distancia media al sol.“
→ La razón a 3 /P 2 es constante para todos los planetas

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (1)
La ley de atracción de Newton se obtiene como
consecuencia de las leyes de Kepler del movimiento
de los planetas
→ Para completar el problema, debemos obtener
aquellas a partir de las integrales ya obtenidas
Salen no sólo las leyes de Kepler, sino también otras
consecuencias de tipo geométrico, dinámico y
astronómico.
Comenzamos con el valor del momento angular G:
Propiedad 7:
„El momento angular G es igual 0, si y sólo si el
movimiento tiene lugar en una línea recta que pasa por el
centro de atracción.“

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (2)
Propiedad 8:
„El momento angular G es diferente de 0, si y sólo si el
movimiento no es rectilíneo y éste tiene lugar en un plano
fijo en el espacio, perpendicular a G y que pasa por el
centro de atracción.“
Nota: Esta propiedad demuestra, que el movimiento es
plano.
Podemos observar que el vector , de norma
constante, representa el doble del vector velocidad
areolar → tambien verifica la ley de las áreas.
→ Queda comprobada parte de la primera ley de
Kepler („el movimiento es plano“) y de la segunda
ley („el movimiento cumple la ley de las áreas“).

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (3)
En el caso de movimiento rectilíneo:
G = 0, A = - µ(r -1 x) → el vector de Laplace lleva la
dirección del movimiento y su norma es igual a µ.
Si G ≠ 0, A * G = 0 → A está siempre en el plano
del movimiento; tendremos dos casos según el
valor de A.
Propiedad 9:
„Para cualquier valor de G ≠ 0 el movimiento de la
partícula tiene lugar en una cónica de excentricidad A/µ.“
Nota: Si A = 0, de acuerdo con la segunda parte en (11),
luego r es constante → la órbita es circular.
Además: De acuerdo con la primera parte, G 2 - µr = 0 →
el radio será igual a G 2 /µ.

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (4)
Si A ≠ 0, designemos por f al ángulo entre el vector
A y el vector de posición x, es decir:
Definición: f se llama „anomalía verdadera“.
Anomalía verdadera en el movimiento elíptico.

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (5)
Combinando la igualdad anterior con la primera
parte de (11), se obtiene:
(12):
donde se ha puesto (13):
(12) representa una cónica (en coordenadas polares),
de „semilatus rectum“ o parámetro p y excentricidad e,
donde la anomalía verdadera corresponde al ángulo
polar medido desde el eje definido por el vector de
Laplace (que ya sabemos es constante).

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (6)
Definición: La dirección de A se llama „línea de los
ápsides“.
Representa el eje de la cónica → la dirección donde se
alcanza la mínima distancia (→ „periastro“, „perigeo“ o
„perihelio“) (y la máxima, cuando exista → „apoastro“,
„apogeo“ o „afelio“) entre la partícula y el foco.
Juega un papel importante en la dinámica del problema de
los dos cuerpos.
La ultima proposición demuestra (y además
generaliza!) la primera ley de Kepler del
movimiento.
Kepler habla únicamente de elipses, puesto que sus leyes
describen únicamente movimientos de planetas y sus
órbitas son periódicas.

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (7)
Si G = 0, (10) coincide con la relación obtenida
previamente, A = µ 2 , mientras que para G ≠ 0, se
tendrá (14):
Describe la energía como una función cuadrática de A.
→ De acuerdo con (14), se puede caracterizar el tipo de
movimiento en función de la energía:
Fijado G, la energia h tiene un mínimo igual a - µ 2 /2G 2 →
se alcanza para órbitas circulares (A = 0).
Orbita elíptica: 0 < A < µ → h < 0.
Orbita parabólica: A = µ → h = 0.
Orbita hiperbólica: A > µ → h > 0.

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (8)
Por otro parte, encontramos la relación entre la
energía y el semieje de la órbita mediante:
Para el movimiento elíptico:
Para el movimiento hiperbólico:

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (9)
La definición de la energía h dado antes en (9),
combinada con su expresión en función del semieje
de la órbita y de su excentricidad permite encontrar
una expresión de la velocidad (15):
Particularizando para cada tipo de órbita (junto con otros
parámetros), se obtiene la tabla siguiente:

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (10)

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (11)
Llamando a los vectores unitarios en la dirección
radial, transversal y normal u, v y n, teniendo en
cuenta la expresión de la velocidad en coordenadas
polares, podemos expresar los vectores x y X como
(16):
Considerando únicamente el caso no lineal (G ≠ 0), se
puede poner:
→ (17):
G (= ||G||) representa el doble del área barrida por unidad
del tiempo.

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (12)
Considerando únicamente órbitas elípticas, llamando P al
tiempo total invertido en recorrer toda la órbita (o
„periodo“ de la misma), con πab siendo el área de una
elipse (b el semieje menor), se tiene:
Por otro lado: p = a / b 2 para una elipse y además
µ = G (m 1 + m 2 ), llegamos a (18):
→ Generalización de la tercera ley de Kepler (válida
solamente para el movimiento elíptico!)

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (13)
La tercera ley en su forma original decía que la
razón del cubo de los semiejes y los cuadrados de
los periodos de las órbitas de los planetas era una
constante.
Tenemos un planeta de masa m 1 y periodo P 1 , otro de
masa m 2 y periodo P 2 , el Sol tiene masa m סּ , entonces:
Dividiendo:

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (14)
Conclusión: La tercera ley tal como fue enunciada por
Kepler no es totalmente correcta!
Sin embargo, teniendo en cuenta el pequeno valor de la
masa de los planetas en relación con la del Sol, se puede
aproximar m i/m סּ por cero → λ puede considerarse como la
unidad → para el grado de precisión de las observaciones
de Kepler y su época, la tercera ley podía considerarse
como válida tal como él la enunció
G, la constante de gravitación universal, no es
adimensional (→ (18)): [G] = L 3 M -1 T -2
→ Permite su cálculo en cualquier sistema de unidades a
partir de su valor fundamental establecido por la U.A.I.:
G = 6,672 x 10 -11 m 3 kg -1 s -2 .

Movimiento Kepleriano
Las leyes de Kepler (15)
→ El problema de dos cuerpos debe considerarse
como un modelo teórico bastante aproximado del
comportamiento orbital de los astros en el sistema
solar.
→ Cuando se habla de órbitas que se rigen por este
modelo y no están perturbadas (!), se dice que se trata de
„orbitas keplerianas“.

Movimiento Kepleriano
Interludio: Interludio:
Movimiento con respecto al centro de masas

Movimiento Kepleriano
Movimiento con respecto al centro de
masas (1)
El movimiento de la partícula P con respecto a S
venía determinado por la eciación vectorial
diferencial (5):
mientras que el centro de masas del sistema r c se
movía con movimiento rectilíneo uniforme.
Podemos situar el origen del sistema inercial en el centro
de masas → las ecuaciones (4) se convierten en:
al ser ahora r c = 0.

Movimiento Kepleriano
Movimiento con respecto al centro de
masas (2)
→ Las ecuaciones del movimiento (1) tienen la misma
forma que las ecuaciones del movimiento relativo (5):
→ Sus soluciones serán análogas → serán cónicas:
donde el centro de masas (= el origen) es el foco común.

Movimiento Kepleriano
Movimiento con respecto al centro de
masas (3)
→ Unos calculos mas tarde, se obtiene:
→ nos permite comprobar que las excentricidades de las
tres órbitas coinciden y que…
→ …el periastro de la órbita descrita por r 1 está en
dirección opuesta al de las órbitas de r 2 y x, pues

Movimiento Kepleriano
Movimiento con respecto al centro de
masas (4)
En el caso del movimiento elíptico, los semilados
rectos son:
→ (19): → los semiejes
mayores son tales que a = a 1 + a 2 .
Mediante la tercera ley de Kepler:

Movimiento Kepleriano
Movimiento con respecto al centro de
masas (5)
→ Los periodos de las tres órbitas coinciden:
P = P 1 = P 2

Movimiento Kepleriano
Tercero Acto: Acto:
Ley horario del movimiento

Movimiento Kepleriano
Argumento del acto…
Preludio: Ley horario del movimiento
Primera escena: Caso hiperbólico
Segunda escena: Caso parabólico
Tercera escena: Caso elíptico

Movimiento Kepleriano
Ley horario del movimiento (1)
Conocemos el movimiento de un cuerpo P atraído por
otro S, pero todavía falta por determinar en qué lugar
de su órbita se encontrará el cuerpo P en un instante
de tiempo t → „ley horario“:
La posición de la partícula en cada instante viene dada por
sus coordenadas polares r y f → conocida la variación de
éstas con el tiempo, conoceremos la última integral del
problema → quedará resuelto el problema
Partiendo de las soluciones (cónicas) de las ecuaciones
del movimiento (1), se puede obtener por derivación, y
teniendo en cuenta la ley de las áreas (17), una ecuación
que nos dará la veriación horaria de r con respecto al
tiempo en función de la anomalia verdadera:

Movimiento Kepleriano
Ley horario del movimiento (2)
→
Por otro parte, integrando (17), obtenemos la evolución
de f con el tiempo y, por tanto, la buscada ley horario del
movimiento:
Definiendo una variable independiente s (pseudo-tiempo)
mediante la „ecuación de Sundman“:
Tomando como origen del nuevo tiempo el instante T de
paso del punto P por el periastro, sale la relación (20):
(donde s(T) = 0).

Movimiento Kepleriano
Ley horario del movimiento (3)
T corresponde al valor de f = 0 →
Denotando con un punto la derivada respecto a t, con
prima la derivada respecta a s:
Primera de estas expresiones → s estrictamente creciente
con t
Integrando la segunda → (21):
es decir, (20) tiene como única inversa (21).
Calculando la derivada respecto a s de un elemento
cualquiera Φ (regla de la cadena):

Movimiento Kepleriano
Ley horario del movimiento (4)
Calculando la derivada respecto a s de un elemento
cualquiera Φ (regla de la cadena):
Permite expresar las ecuaciones del movimiento relativo
(5) en la forma:
En virtud de , se puede poner
→ r´ (0) = 0.
Derivando de nuevo:

Movimiento Kepleriano
Ley horario del movimiento (5)
Sustituyendo el valor de v 2 por el que se deduce de la
definición de la energia h (9), llegamos a (22):
→ ecuación lineal de segundo orden
→ coeficientes constantes (→ oscilador armónico)
servirá para encontrar la posición de la partícula en
cualquier instante!
Además: no tiene denominadores → no presenta
singularidades → es válida incluso en el caso de colisión
(r = 0) → acabamos de regularizar las ecuaciones del
movimiento
Veamos por separado los casos hiperbólico,
elíptico y parabólico…

Movimiento Kepleriano
Caso hiperbólico (1)
Órbita hiperbolica:
→ energía positiva, h > 0
→ la solución general de (22) se expresará como:
(C 1 , C 2 constantes de integración; a = µ/2h semieje mayor
de la hipérbola)
→ Derivando:
→ Sustituyendo los valores iniciales, teniendo en cuenta
que la distancia en el periastro es r p = a(e – 1):
→ C 1 = ae, C 2 = 0

Movimiento Kepleriano
Caso hiperbólico (2)
→ (23):
donde → „anomalía hiperbólica“
→ la cuadratura (21) podrá ponerse como:
Introduciendo una constante ν tal que µ = ν 2 a 3 , teniendo
en cuenta la relación µ = 2ha, se puede poner finalmente:
→ la llamamos „ecuación de Kepler del movimiento
hiperbólico“

Movimiento Kepleriano
Caso hiperbólico (3)
Para relacionar F con la anomalía verdadera f de antes,
basta recordar que:
Despejando cos(f):
Pasando al ángulo mitad:
Tomando la raiz positiva → no existe ambigüedad si
tenemos en cuenta que cuando t > T, tanto f como F son
positivas

Movimiento Kepleriano
Caso parabólico (1)
Órbita parabólica:
→ h = 0
→ la solución general de (22) podrá ponserse como:
→ La cuadratura (21) puede ser calculada obteniéndose:
(conocida en Mecánica Celeste como „ecuación de Barker“)
Recordando que para la órbita parabólica vale:

Movimiento Kepleriano
Caso parabólico (2)
→ se obtiene:
(no existirá ambigüedad de signo al extraer la raíz
cuadrada suponiendo que s es positivo cuando t > T, o
equivalentamente f > 0)
→ Podemos poner:
→
→ ley horario del movimiento parabólico

Movimiento Kepleriano
Caso parabólico (3)
Para invertir esta relación (→ calcular t dado un valor de la
anomalía verdadera f) basta definir dos ángulos f 1 , f 2 tales
que:
→
→
→ permite obtener f 2 a partir de t
→ posteriormente obtendremos f 1
→ finalmente obtendremos la anomalía verdadera f

Movimiento Kepleriano
Caso elíptico (1)
Órbita elíptica:
→ h < 0
→ la solución general de (22) se puede expresar como:
(C 1 , C 2 constantes de integración, a = -µ/2h semieje
mayor de la elipse)
Mediante unas cuentas se puede obtener
donde .
→ el angulo E se llama „anomalía excéntrica“.
Luego, introduciendo una constante n > 0 por medio de la
relación µ = n 2 a 3 , se puede poner (23):

Movimiento Kepleriano
Caso elíptico (2)
→ Constituye la „ecuación de Kepler“, donde M = n(t - T)
se denomina „anomalía media“
Luego, se puede deducir que:
→ n representaría la velocidad angular, si el movimiento
fuese circular con velocidad angular constante
→ n se llama „movimiento medio“
→ se puede llamar „tercera ley de Kepler“ tanto a la
generalización de antes, (18), como a µ = n 2 a 3 .

Movimiento Kepleriano
Caso elíptico (3)
Para establecer la relación entra las anomalías verdadera
y excéntrica, comenzando con la relación:
haciendo unas transformaciones, al final se puede poner:
→ permite comprobar el significado geométrico de E:
Relación entre la anomalía verdadera y excéntrica

Movimiento Kepleriano
Caso elíptico (4)
→ en efecto: Un punto P´ en una circunferencia de radio a, cuya
coordenada x coincida con la del astro P en su órbita, forma un
ángulo E con el eje de la elipse, medido éste desde el centro de
la elipse.
Además: Las distintas anomalías en un problema kepleriano
elíptico representan variables angulares que recorren un arco
igual a 2π mientras t recorre todo un periodo P.
→ En el movimiento circular, las tres anomalías coinciden.
Dando unos pasos más, finalmente se puede obtener (24):
Fórmula más frecuentemente empleada para relacionar las dos
anomalías (fácilmente invertible, uso de la tangente nos
asegura el cuadrante correcto)

Movimiento Kepleriano
Caso elíptico (5)
A partir de la ecuación de Kepler, el cálculo de la
anomalía media M a partir de la excéntrica E es
inmediato.
Pero: No lo es el caso inverso!
No existe ninguna expresión algebraica cerrada que nos
resuelva este problema
→ recurrir algún método numérico o desarrollo asintótico
para su resolución!
→ por la simplicidad de la ecuación de Kepler, bastará en
general (salvo para excentricidades muy grandes!) utilizar
el método de Newton para el cálculo aproximado de
raícse de una ecuación no lineal.

Movimiento Kepleriano
Caso elíptico (6)
En ocasiones resulta útil el obtener directamente una
anomalía en función del tiempo o (equivalentamente) en
función de la anomalía media M
→ para emplearlos en las distintas teorías de
perturbaciones
→ para un cálculo directo
La ecuación de Kepler nos da la anomalía media M
conocida la anomalía excéntrica E
→ se trata de un desarrollo en serie de potencias de la
excentricidad (truncado en el orden 1)
→ para tener la anomalía excéntrica E como un desarrollo en
serie de la anomalía media M, se tiene que invertir esta serie (en
la literatura se puede encontrar diversos procedimientos con
este fin)
→ el proceso para obtener la anomalía verdadera f a partir de la
anomalía media M (también mediante un desarrollo en serie,
despues invertiendolo), parte de la ecuación del momento
angular (17)

Movimiento Kepleriano
Cuarto Acto: Acto:
Algunas perturbaciones más frecuentes

Movimiento Kepleriano
Argumento del acto…
Preludio breve
Primera escena: Potencial de una esfera
Segunda escena: Potencial de un sólido
Tercera escena: Atracción de otros cuerpos
Cuarta escena: Avance del perihelio de planetas
interiores

Movimiento Kepleriano
Preludio breve
El problema de dos cuerpos sólo es una primera
aproximación de la realidad
Los astros no son masas puntuales
Todos los cuerpos interaccionan entre si
Dado la gran masa del Sol, para las planetas más cercanos a
él (Mercurio, Venus) hay que tener en cuenta la mecánica
relativista
Sin embargo, en la mayoría de casos que se puede
estudiar del sistema solar o de satélites artificiales, el
potencial que origina el movimiento sí sea una
aproximación al movimiento de dos cuerpos
Se trata de „movimientos keplerianos perturbados“
Los términos del potencial de orden superior al de los dos
cuerpos se llaman „perturbaciones“

Movimiento Kepleriano
Potencial de una esfera (1)
El Sol y las planetas presentan una forma esférica
→ obtengamos cual es el potencial que crea una esfera
de radio R, sólida, homogénea de masa M sobre un
punto P de masa unidad situado a una distancia r
Supondremos: El centro de la esfera coincide con el
progen de coordenadas
Simetría de la esfera → no hay una dirección dominante
→ podemos suponer: P se encuentra sobre el eje Oz a
una distancia r del origen
Potencial creado por un punto Q de la esfera, masa dm,
sobre el punto P:

Movimiento Kepleriano
Potencial de una esfera (2)
Sumando todas las masas de la esfera, se tiene el potencial
creado por ésta:
(donde σ es la densidad de la esfera).
Calculando esta integral de volumen queda:
Solución:
→ el mismo potencial que crearía un punto (el centro de la
esfera) que tuviese toda la masa de la esfera
→ es indiferente hablar de esferas que de masas puntuales

Movimiento Kepleriano
Potencial de un sólido (1)
Los planetas no son perfectamente esféricas:
P. e. la Tierra es muy parecida a un elipsoide de
revolución
P. e. los satélites de Marte, ciertos asteroides y núcleos
de cometas presentan formas alargadas e irregulares,
alejándose mucho de parecer esféricos
Determinar el potencial creado por cuerpos no
esféricos:
Caso de un sólido homogéneo no esférico, de densidad
σ, el potencial sobre un punto exterior de masa unidad,
situado a una distancia r del origen, sigue siendo:

Movimiento Kepleriano
Potencial de un sólido (2)
Pero: Ahora el recinte es más complicado de determinar!
Un procedimiento possible para calcular la anterior
cuadratura consiste en desarrollar en serie de potencias la
distancia 1/∆, luego obteniendo polinomios de Legendre
de una cierta forma y usando las propiedades de estos
polinomios para proceder a la integración.
Casos particulares:
El sólido tiene simetría de revolución con respecto al eje
Oz:
Si además es simétrico con respecto al plano Oxy, los
terminos impares se cancelan:

Movimiento Kepleriano
Potencial de un sólido (3)
Los coeficientes J n reciben el nombre „armónicos zonales“
Son característicos de cada sólido
Estos valores se han determinado a partir de órbitas de
satélites artificiales, p.e.:
En todos los casos los valores de J n son pequenos frente al
primer sumando → el movimiento de una partícula atraída
por un sólido puede suponerse un problema keplariano
perturbado
→ los elementos orbitales de un satélite artificial en torno a
alguno de estos astros no son constantes, sino que son en
función del tiempo

Movimiento Kepleriano
Atracción de otros cuerpos (1)
Para estudiar el efecto de otros puntos sobre el
modelo kepleriano, volvamos a las ecuaciones del
movimiento (1) y procedamos a generalizarlas para
el caso de n+1 puntos P i , con i = 0, 1,…,n de forma
que la masa de P 0 sea muy grande en relación con
las demás m 0 >>m i , i = 1,…,n (resulta cierto en el
caso del Sol y el sistema solar)
Movimiento del cuerpo P i :
Luego:

Movimiento Kepleriano
Atracción de otros cuerpos (2)
Tomando P 0 como origen, se puede poner las ecuaciones
del movimiento anteriores como:
Nota: el miembro de la izquierda de estas ecuaciones es
idéntico al de las ecuaciones del movimiento relativo (5)
Nota: el de la derecha no es cero, sino es proporcional a la
masa de cada uno de los otros cuerpos → tendrá un valor
pequeno en módulo
Considerando esta aproximación en el sistema solar, se
puede suponer todos los valores µ i = Gm 0

Movimiento Kepleriano
Atracción de otros cuerpos (3)
La perturbación de cada punto P k sobre la órbita de P i
respecto a P n viene dada por dos sumandos:
El primero depende de la posición de P i, por ello se llama
„atracción“ o „perturbación directa“
El segundo no depende de la posición de P i y se llama
„atracción“ o „perturbación indirecta“
Estudiando únicamente la perturbación que uno de los
cuerpos produce en el movimiento orbital de otro respecto
al principal P 0 y olvidandonos del movimiento de los
demás, podemos poner:
Indica la perturbación que un tercer cuerpo P k produce
sobre el movimiento orbital

Movimiento Kepleriano
Atracción de otros cuerpos (4)
P. e. permite estudiar el efecto producido por el Sol en la
órbita de la Luna en torno a la Tierra, así como la
perturbación que el Sol y la Luna producen en la órbita de
un sátelite artificial
Por otra parte, dada la perturbacion, se puede encontrar
una función escalar U k tal que U es una función potencial
que genera la fuerza de perturbación.
Caso del movimiento de la Luna en torno a la Tierra: La
mayor perturbación está producida por la presencia del
Sol, pero también influyen (por supuesto en mucha menor
medida) factores como la forma no esférica de los astros,
presencia de los planetas, etc.
→ Los elementos que definen la órbita lunar varián con el
tiempo (en general periodicamente), p. e., la excentricidad
varía entre +- 0,0117, la inclinación entre +-9´.

Movimiento Kepleriano
Atracción de otros cuerpos (5)
Sin embargo hay dos elementos que esencialmente tienen
una perturbación secular: el ángulo del nodo y el
argumento del perigeo:
La línea de los nodos da una vuelta completa en sentido
retrógrado en 6798 días, la línea de los ápsides se
desplaza con movimiento directo y en 3232 días aumenta
de 0°a 360°.

Movimiento Kepleriano
Avance del perihelio de planetas
interiores (1)
Este efecto se detectó por primera vez en Mercurio
(posteriormente también en otros planetas):
Teniendo en cuenta los efectos gravitatorios de otros
planetas sobre la órbita de Mercurio, debería producirse un
avance en elperihelio de Mercurio de 531´´ por siglo, pero en
el siglo XIX Leverrier detectó que el avance real era de 574´´
(este efecto es tan pequeno que no hubiese podido
detectarse si no se huiera acumulado a lo largo del tiempo!)
La teoría de la relatividad general de Einstein al final explicó
ese avance de 43´´ por siglo satisfactoriamente:

Movimiento Kepleriano
Avance del perihelio de planetas
interiores (2)
Ya hemos visto:
Pero: Teoría de la relatividad: La energía y el momento
angular asociados con el movimiento de un cuerpo, e
incluso su energía gravitacional, contribuyen a su masa
gravitacional, y da ahí a la fuerza sobre él:
(s tiempo propio del planeta; el significado de las
constantes que aparecen no es exactamente el mismo
que en la mecánica clásica).

Movimiento Kepleriano
Avance del perihelio de planetas
interiores (3)
La ecuación anterior era una cantidad positiva (una
derivada elevada al cuadrado) → el movimiento solo
puede tener lugar cuando 2h ≥ U ef .
Se puede ver (para unas ciertas condiciones iniciales),
que la distancia r, o está comprendida entre un valor
máximo y mínimo (tiene lugar en una corona circular), o
bien será atraído por el cuerpo central:
Potencial efectivo en un
movimiento central.

Movimiento Kepleriano
Avance del perihelio de planetas
interiores (4)
Integrando numéricamente, se obtiene una figura en que
se puede ver que efectivamente la distancia está
acotada entre dos valores, pero la pseudo elipse va
rotando → el periastro se va desplazando de una
revolución a la siguiente.

Movimiento Kepleriano
Final:
La órbita rbita en el espacio

Movimiento Kepleriano
La órbita en el espacio (1)
Las ecuaciones (5) del movimiento relativo
constituyen un sistema de ecuaciones diferenciales
de orden seis
Su solución requiere el conocimiento de seis constantes
de integración para conocer la posición y velocidad de la
partícula
Pensando en propiedades de tipo astronómico del
movimiento orbital, es conveniente el uso de un
conjunto de constantes de integración distintas de
las condiciones iniciales y de los vectores momento
angular y de Laplace:
→ „elementos orbitales“

Movimiento Kepleriano
La órbita en el espacio (2)
El movimiento P tiene lugar en un plano; considerando
dos sistemas de referencia con un origen comun, el punto
S:
El inercial: S i j k (p. e. identificado con un sistema
ecuatorial, eclíptico,…)
Otro S a b n, de modo que el plano Sab contiene a la
órbita:
Relación entre ambos sistemas de referencia: tres
ángulos
„inclinación“ I є [0, 2π), tal que:
(Convenio: órbita directa → P se mueve en sentido
contrario de las agujas del reloj → I є [0, π/2); órbita
retrógrada → I є [π/2, π))

Movimiento Kepleriano
La órbita en el espacio (3)
La intersección de Sij y Sab determina una línea, la „línea
de los nodos“:
El vector unitario l se encuentra en el plano Sij → existe
un ángulo Ω є [0, 2π), llamado „ángulo del nodo“:
El vector unitario l también se encuentra en el plano Sab
→
(donde ω є [0, 2π) es la longitud de la dirección del
periastro (a) medida sobre el plano orbital a partir del
nodo (l); se denomina „argumento del periastro“)
→ El plano orbital queda determinado por los dos ángulos
Ω e I, la posición de la órbita en su plano queda fijada por
el ángulo ω.

Movimiento Kepleriano
La órbita en el espacio (4)
→ El tipo de órbita viene caracterizado por el valor de la
excentricidad e y su tamano por el valor del semieje
mayor a.

Movimiento Kepleriano
La órbita en el espacio (5)
(a, e, i, Ω, ω, T) „elementos orbitales“ (T instante de paso
de la masa P por el periastro de la órbita)
Caracterizan una órbita
Permiten determinar los vectores posición x y velocidad X
de la partícula en cada instante t:
u y v se pueden calcular por (con θ = ω + f):

Movimiento Kepleriano
La órbita en el espacio (6)
Necesitamos calcular los valores de f, r y de rf´; p. e. en el
caso elíptico:
µ = n 2 a 3 → se puede calcular n y, por tanto, el valor de la
anomalía media M en la época t
A partir de la ecuación de Kepler (23), se puede obtener la
anomalía excéntrica E y, por tanto, el valor de la distancia
r y de la anomalía verdadera f (→ (24))
Al final (en virtud de (17)) obtendremos G, y por tanto,
rf´ = G / r
→ El problema queda resuelto!

Movimiento Kepleriano
Postludio: Postludio:
Indicación Indicaci de las fuentes

Movimiento Kepleriano
Indicación de las fuentes
http://themes.smugmug.com/keyword/atlas, 04.01.07 (inglés)
http://de.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton, 04.01.07 (alemán)
http://es.wikipedia.org/wiki/Isaac_Newton, 04.01.07
http://de.wikipedia.org/wiki/Johannes_Kepler, 04.01.07 (alemán)
http://es.wikipedia.org/wiki/Kepler, 04.01.07
http://csep10.phys.utk.edu/astr162/lect/binaries/visual/kepleroldfram
e.html, 14.01.07 (inglés)
http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/flashlets/ke
pler6.htm, 14.01.07 (inglés)

Fine.