1.5 Střed, singulární body kvadriky

1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 17Tato rovnice má jediné reálné řešení u =0,v=0. Rovnici (1.13) vyhovujejediný směr daný např. vektorem u =(0, 0, 1). Je zřejmé, že se jedná o směrpovrchových přímek válcové plochy (1.12).32z10–10y101 xObrázek 1.11: Asymptotický směr válcové plochy–11.5 Střed, singulární body kvadrikyPři vyšetřování vzájemné polohy přímky s a kvadriky (1.10) jsme řešili rovnicijejíž koeficient B má tvarAt 2 +2Bt + C =0, (1.14)B = u(a 11 m + a 12 n + a 13 p + a 14 )+v(a 21 m + a 22 n + a 23 p + a 24 )+w(a 31 m + a 32 n + a 33 p + a 34 ). (1.15)Zvolme bod M =[m, n, p] přímkys : X = M + tu tak, aby byly splněnyrovnicea 11 m + a 12 n + a 13 p + a 14 = 0a 21 m + a 22 n + a 23 p + a 24 = 0(1.16)a 31 m + a 32 n + a 33 p + a 34 = 0.Potom bez ohledu na souřadnice směrového vektoru u přímky s je podle (1.15)B = 0 a rovnice (1.14) má tvarAt 2 + C =0. (1.17)Jestliže je kořenem této rovnice nějaké reálné číslo t 0 , potom je kořenem (1.17)i číslo −t 0 . Tedy na kvadrice leží při libovolné volbě vektoru společně s bodemX 1 = M + t 0 u také bod X 2 = M − t 0 u. Bod M je středem úsečky neboťM = 1 2 X 1 + 1 2 X 2.

18 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚBod M je středem souměrnosti kvadriky. Zavedeme pojem středu kvadriky.Definice: Bod M nazveme střed kvadriky (1.10) jestliže pro libovolný bod X 1kvadriky existuje bod X 2 kvadriky tak, že bod M je středem úsečky X 1 X 2 .O souřadnicích středu kvadriky platí následující věta:Věta: Bod M =[m, n, p] je středem kvadriky (1.10) právě když platí soustava(1.16).Důkaz: Je-li splněna soustava (1.16) potom M je středem kvadriky — totojsme ukázali. Nyní předpokládejme, že bod M =[m, n, p] je středem kvadriky(1.10). Ukážeme, že potom platí (1.16).Nechť X 1 =[x 1 ,y 1 ,z 1 ] je libovolný bod kvadriky. Podle definice středu existujebod X 2 =[x 2 ,y 2 ,z 2 ]kvadrikytak,žeM =(X 1 + X 2 )/2, tj. platím = x 1 + x 22,n= y 1 + y 22Body X 1 a X 2 leží na přímce s orovnici, m = z 1 + z 2. (1.18)2x = m + tuy = n + tvz = p + tw,proto platíx 1 = m + t 1 u x 2 = m + t 2 uy 1 = n + t 1 v y 2 = n + t 2 vz 1 = p + t 1 w z 2 = p + t 2 w.Dosazením rovnic (1.20) do (1.18) dostaneme podmínky(1.19)(1.20)u t 1 + t 22=0, v t 1 + t 22=0, w t 1 + t 22=0.Jelikož u, v a w nemohou být současně rovny nule, plyne odtudt 1 + t 2 =0. (1.21)Protože t 1 a t 2 jsou kořeny rovnice (1.14), ze vztahu (1.21) plyne B =0aodtud, protože směr daný čísly u, v, w je libovolný, podmínky (1.16).Definice: Kvadrika, která má jediný střed, se nazývá středová kvadrika.Kvadrika má jediný střed právě když má soustava (1.16) jediné řešení. Tonastane právě když je determinant∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣A 44 =a 21 a 22 a 23(1.22)∣ a 31 a 32 a 33různý od nuly. Odtud plyne

1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 19Věta: Kvadrika je středová právě když A 44 ≠0.Příklad:Napište rovnici kvadriky, která prochází bodem A =[2, 0, −1], má střed S =[0, 0, −1] a protíná rovinu z = 0 v kuželosečcex 2 − 4xy − 1=0. (1.23)20–2–20y22Obrázek 1.12: Zadání příkladu: Plocha je dána bodem, středem a průnikem srovinou z =0.0x–2Řešení: Kvadrika má rovnicia 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy+2a 13 xz+2a 23 yz+2a 14 x+2a 24 y+2a 34 z+a 44 =0.(1.24)OznačmeK =⎛⎜⎝⎞a 11 a 12 a 13 a 14a 21 a 22 a 23 a 24a 31 a 32 a 33 a 34a 41 a 42 a 43 a 44⎟⎠ (1.25)matici hledané kvadriky. Budeme postupně hledat koeficienty a ij , které sevyskytují v matici (1.25).Souřadnice středu S =[0, 0, −1] musí podle (1.16) splňovat soustavua 11 · 0+a 12 · 0+a 13 · (−1) + a 14 = 0a 21 · 0+a 22 · 0+a 23 · (−1) + a 24 = 0a 31 · 0+a 32 · 0+a 33 · (−1) + a 34 = 0 .(1.26)Odtud plynea 13 = a 14 , a 23 = a 24 ,a 33 = a 34 . (1.27)Průnikem kvadriky (1.24) s rovinou z =0jekřivkaorovnicia 11 x 2 + a 22 y 2 +2a 12 xy +2a 14 x +2a 24 y + a 44 =0. (1.28)

20 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚPorovnání rovnice (1.28) s rovnicí (1.23) dáváa 11 =1, a 22 =0, a 12 = −2, a 14 =0, a 24 =0, a 44 = −1. (1.29)Dosazením hodnot (1.29) a podmínek (1.27) do (1.25) dostaneme matici hledanékvadrikyK =⎛⎜⎝1 −2 0 0−2 0 0 00 0 a 33 a 330 0 a 33 −1⎞⎟⎠ , (1.30)tj.kvadrikamátvarx 2 − 4xy + a 33 z 2 +2a 33 z − 1=0. (1.31)Zbývá určit hodnotu a 33 , kterou zjistíme dosazením souřadnic bodu A =[2, 0, −1] kvadriky do rovnice (1.31). Dostaneme a 33 =3.Hledaná kvadrika má rovnicix 2 − 4xy +3z 2 +6z − 1=0.2z0–2–20y220x–2Obrázek 1.13: Řešení příkladu: Plocha daná bodem, středem a průnikem srovinou z = 0 (Pohled 1).

1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 212z0–2–20x 2 –20y2Obrázek 1.14: Řešení příkladu: Plocha daná bodem, středem a průnikem srovinou z =0(Pohled2)1.5.1 Singulární bodyJe dána kvadrikaa 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy+2a 13 xz+2a 23 yz+2a 14 x+2a 24 y+2a 34 z+a 44 =0.(1.32)Definice: Bod M =[m, n, p] je singulárním bodem kvadriky (1.32) jestližejeho souřadnice vyhovují soustavě rovnica 11 m + a 12 n + a 13 p + a 14 = 0a 21 m + a 22 n + a 23 p + a 24 = 0a 31 m + a 32 n + a 33 p + a 34 = 0a 41 m + a 42 n + a 43 p + a 44 = 0.(1.33)Z definice plyne, že singulární bod kvadriky je zároveň středem kvadriky, protožeprvní tři rovnice z (1.33) jsou rovnice (1.16). Čtvrtá rovnice z (1.33) pakznamená, že bod M je bodem kvadriky, neboťa 11 m 2 + a 22 n 2 + a 33 p 2 +2a 12 mn +2a 13 mp +2a 23 np +2a 14 m +2a 24 n +2a 34 p +a 44 = m(a 11 m + a 12 n + a 13 p + a 14 )+n(a 21 m + a 22 n + a 23 p + a 24 )+p(a 31 m +a 32 n + a 33 p + a 34 )+a 41 m + a 42 n + a 43 p + a 44 =0.Můžeme tedy vyslovit větu:Věta: Bod M je singulárním bodem kvadriky právě když je jejím středem azároveň na kvadrice leží.Vedeme-li singulárním bodem M přímku s : X = M + tu, potom pro průsečíkypřímky s a kvadriky (1.32) platí rovnice (1.7), která se v tomto případěredukuje na tvarAt 2 =0, (1.34)

22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚneboť B = C =0. Z rovnice (1.34) plyne, že přímka, procházející singulárnímbodem kvadriky má s kvadrikou společný pouze tento singulární bod (je-liA ≠ 0) nebo celá přímka na kvadrice leží (A = 0). Tedy platí věta:Věta: Každá přímka procházející singulárním bodem kvadriky, leží buď celána kvadrice (v případě, že její směr je asymptotický) nebo má s kvadrikou společnýpouze tento singulární bod (v případě, že její směr není asymptotický).Poznámka:Příkladem singulárního bodu je např. vrchol kuželové plochy.50–55500–5 –5Obrázek 1.15: Vrchol kuželové plochy jako příklad singulárního bodu1.6 Singulární kvadrikyOznačme písmenem ∆ determinant⎛∆=det⎜⎝⎞a 11 a 12 a 13 a 14a 21 a 22 a 23 a 24a 31 a 32 a 33 a 34a 41 a 42 a 43 a 44⎟⎠ (1.35)matice K kvadriky (1.32). Podle toho, zda ∆ = 0 nebo ∆ ≠ 0 rozdělímevšechny kvadriky do dvou disjunktních skupin.Definice: Kvadrika se nazývá singulární jestliže ∆=0. Jestliže ∆ ≠0potomse kvadrika nazývá regulární.Platí následující věta, která nám dává vztah mezi singulární kvadrikou a singulárnímibody.Věta: Obsahuje-li kvadrika singulární bod, pak je to kvadrika singulární.Důkaz: Nechť bod M =[m, n, p] je singulárním bodem kvadriky (1.32). To