Rovnice afinního zobrazení, skládání afinních zobrazení.

2.2.2 Analytická vyjádření některých shodných zobrazení v E 3Některá shodná zobrazení v prostoru:PosunutíPosunutí určené vektorem ⃗p =(p 1 ,p 2 ,p 3 ):x ′ = x + p 1y ′ = y + p 2z ′ = z + p 3 .OtočeníOtočení o úhel α kolem osy z:x ′ = x cos α − y sin αy ′ = x sin α + y cos αz ′ = z.Středová souměrnostSouměrnost podle počátku O =(0, 0, 0):x ′ = −xy ′ = −yz ′ = −z.Osová souměrnostSouměrnost podle osy z:x ′ = −xy ′ = −yz ′ = z.Rovinová souměrnostSouměrnost podle roviny (x, y):x ′ = xy ′ = yz ′ = −z.8

Šroubový pohybŠroubový pohyb (torze) s parametrem (redukovanou výškou závitu) v 0 a s osou vose z:x ′ = x cos α − y sin αy ′ = x sin α + y cos αz ′ = z + v 0 α.2.2.3 Asociovaný homomorfismusMísto homomorfismus říkáme též lineární zobrazení.Definice 8 (Homomorfismus). Zobrazení ϕ vektorového prostoru V do vektorovéhoprostoru V ′ se nazývá homomorfismus (lineární zobrazení), jestliže pro všechna⃗u, ⃗v ∈ V, k ∈ T (místo obecného tělesa T můžeme uvažovat R) platí:(1) ϕ(⃗u + ⃗v) = ϕ(⃗u)+ϕ(⃗v),(2) ϕ(k⃗u) = kϕ(⃗u).Definice 9 (Asociovaný homomorfismus zobrazení f). Uvažujme afinní zobrazeníf prostoru A do prostoru A ′ , např. f : E 2 → E 2 . Potom asociovaným (tj. jednoznačněpřiřazeným) homomorfismem afinního zobrazení f rozumíme lineárnízobrazení ϕ, které zobrazuje zaměření V prostoru A do zaměření V ′ prostoru A ′takto:⃗u = Y − X ⇒ ϕ(⃗u) =f(Y ) − f(X), (3)kde X, Y jsou body z A, ⃗u ∈ V ; f(X),f(Y ) body z A ′ , ϕ(⃗u) ∈ V ′ .PŘÍKLAD 2.18. Ukažte, že se skutečně jedná o lineární zobrazeni dle definice 8.Věta 4 (O jednoznačném určení ϕ). Ke každému afinnímu zobrazení f prostoru Aje jednoznačně přiřazen (asociován) homomorfismus ϕ zaměření V prostoru A dozaměření V ′ prostoru A ′ takový, že:ϕ(B − A) =f(B) − f(A).Důkaz. Ukážeme, že výsledek tohoto homomorfismu nezávisí na umístění vektoru,pouze na zobrazení f.9

Věta 5 (O jednoznačném určení f). Zobrazení f je jednoznačně určeno, je-li dánhomomorfismus ϕ aobrazf(P ) jednoho bodu P :f(X) =f(P )+ϕ(u).Důkaz. ϕ(X − P )=f(X) − f(P ) −→ f(X) =f(P )+ϕ(X − P )Věta 6 (O určenosti afinního zobrazení). Mějme dva afinní bodové prostory A n ,A ′ m. NechťM 0 ,M 1 ,M 2 , ..., M n je n +1 lineárně nezávislých bodů v A n ,M 0,M ′ 1, ′ ..., M n ′ n +1libovolně zvolených bodů v A ′ m. Pak existuje právě jedno afinní zobrazení f prostoruA n do A ′ m, které přiřazuje bodům M j body M j ′ tak, žeM ′ j = f(M j ); j =0, 1, ..., n.2.3 Rovnice afinního zobrazení2.3.1 Rovnice afinního zobrazení z A 2 do A ′ 2Nechť afinní bodový prostor A 2 je určen počátkem P a bází ⃗e 1 ,⃗e 2 , tzn. A 2 ={P ; ⃗e 1 ,⃗e 2 }. Podobně nechť A ′ 2 = {Q; ⃗ d 1 , ⃗ d 2 }. Nechť f je afinní zobrazení A 2 doA ′ 2 a ϕ asociované zobrazení k f tak, žeϕ(⃗e 1 )=a 11⃗ d1 + a 21⃗ d2ϕ(⃗e 2 )=a 12⃗ d1 + a 22⃗ d2 . (4)tzn. koeficienty a ij jsou souřadnice vektorů ϕ(⃗e 1 ),ϕ(⃗e 2 ) v bázi zaměření prostoruA 2 ,f(P )=Q + b 1⃗ d1 + b 2⃗ d2 , (5)tzn. počátek P ∈ A 2 se zobrazuje do bodu f(P ) ∈ A ′ 2, který má při počátku Qsouřadnice [b 1 ,b 2 ].Nyní určíme vztah mezi souřadnicemi libovolného bodu X ∈ A 2 ajehoobrazuf(X) ∈ A ′ 2. Nejprve vyjádřeme souřadnice X, f(X) taktoX = P + x 1 ⃗e 1 + x 2 ⃗e 2 , (6)f(X) =Q + x ′ 1 ⃗ d 1 + x ′ 2 ⃗ d 2 . (7)Zobrazíme-li bod X v afinitě f, můžeme dle uvedených vlastností zobrazení f a ϕpsát:f(X) =f(P )+x 1 ϕ(⃗e 1 )+x 2 ϕ(⃗e 2 ).10

Po dosazení z (4) a (5) dostávámef(X) =Q + b 1⃗ d1 + b 2⃗ d2 + x 1 (a 11⃗ d1 + a 21⃗ d2 )+x 2 (a 12⃗ d1 + a 22⃗ d2 ).Po úpravě a porovnání koeficientů při ⃗ d i s vyjádřením (7) dostáváme hledané rovnicex ′ 1 = a 11x 1 + a 12 x 2 + b 1 (8)x ′ 2 = a 21x 1 + a 22 x 2 + b 2 . (9)Nyní ještě určíme rovnice asociovaného zobrazení ϕ. Nechť vektor ⃗u ∈ V 2 se zobrazído vektoru ϕ(⃗u) ∈ V ′ 2. Pro souřadnice vzoru ⃗u a obrazu ϕ(⃗u) platí⃗u = u 1 ⃗e 1 + u 2 ⃗e 2 ; (10)ϕ(⃗u) = u ′ ⃗ 1d 1 + u ′ ⃗ 2d 2 (11)Na (10) aplikujeme zobrazení ϕ a upravíme dle (4). Dostanemeϕ(⃗u) =u 1 ϕ(⃗e 1 )+u 2 ϕ(⃗e 2 )=u 1 (a 11⃗ d1 + a 21⃗ d2 )+u 2 (a 12⃗ d1 + a 22⃗ d2 ).Po úpravě a srovnání s (11) dostaneme hledané rovnice asociovaného zobrazení:Jinou formou zápisu (8) je soustava rovnicmaticový zápis soustavyu ′ 1 = a 11 u 1 + a 12 u 2u ′ 2 = a 21 u 1 + a 22 u 2 (12)x ′ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + b 1x ′ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + b 2[ x′1x ′ 2případně maticová rovnice]=[ ] [ ] [ ]a11 a 12 x1 b1· + ,a 21 a 22 x 2 b 2X ′ = A · X + B.11

2.4 Rovnice afinního zobrazení z A n do A mNechť afinní bodový prostor A n je určen počátkem P abází⃗e 1 , ..., ⃗e n ,tzn.A n ={P ; ⃗e 1 , ..., ⃗e n }. Podobně nechť A ′ m = {Q; ⃗ d 1 , ⃗ d 2 , ..., ⃗ d m }. Nechť f je afinní zobrazeníA n do A ′ m a ϕ asociované zobrazení k f tak, žeϕ(⃗e j )=m∑a ijdi ⃗ ; j =1, ..., n, (13)i=1tzn. koeficienty a ij jsou souřadnice vektorů ϕ(⃗e j ) v bázi zaměření prostoru A m ,f(P )=Q +m∑b idi ⃗ , (14)tzn. počátek P ∈ A m se zobrazuje do bodu f(P ) ∈ A ′ m, který má při počátku Qsouřadnice b i .S ohledem na výše uvedené úmluvy nyní určíme vztah mezi souřadnicemi libovolnéhobodu X ∈ A n a jeho obrazu f(X) ∈ A ′ m. Vyjádřeme souřadnice X, f(X) :X = P +f(X) =Q +i=1n∑x j ⃗e j , (15)j=1m∑x ′ ⃗ id i . (16)Zobrazíme-li bod X v afinitě f, můžeme dle uvedených vlastností zobrazení f a ϕpsát:n∑f(X) =f(P )+ x j φ(⃗e j ).Po dosazení z (13) a (14) dostávámepo úpravěf(X) =Q +m∑b idi ⃗ +i=1f(X) =Q +m∑(i=1i=1j=1n∑j=1x jm∑i=1a ij⃗ di ,n∑a ij x j + b i ) d ⃗ i . (17)Porovnáme-li koeficienty při ⃗ d i ve vyjádřeních (16) a (17), dostáváme hledané rovnicej=1x ′ i =n∑a ij x j + b i , i =1, 2, ..., m (18)j=112

Nyní ještě určíme rovnice asociovaného zobrazení ϕ. Nechť vektor ⃗u ∈ V n se zobrazído vektoru ϕ(⃗u) ∈ V ′ m. Pro souřadnice vzoru ⃗u a obrazu ϕ(⃗u) platín∑⃗u = u j ⃗e j ; (19)ϕ(⃗u) =j=1m∑u ′ ⃗ id i (20)Na (19) aplikujeme zobrazení ϕ a upravíme dle (13). Dostanemen∑n∑ ∑ mϕ(⃗u) = u j ϕ(⃗e j )= a ijdi ⃗ .Po úpravěj=1ϕ(⃗u) =m∑(i=1i=1j=1u ji=1n∑a ij u j ) d ⃗ i . (21)Srovnáním (21) s (20) dostaneme hledané rovnice asociovaného zobrazení:n∑u ′ i = a ij u j , i =1, ..., m (22)Jinou formou zápisu (18) je soustava rovnicmaticový zápis soustavyjj=1x ′ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n + b 1x ′ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n + b 2.............x ′ n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + ... + a nn x n + b n ,⎡⎢⎣x ′ 1x ′ 2...x ′ m⎤⎥⎦⎡=⎢⎣⎤a 11 a 12 ... a 1na 21 a 22 ... a 2n. . ... .. . ... .⎥. . ... . ⎦a m1 a m2 ... a mn⎡·⎢⎣⎤x 1x 2..⎥. ⎦x n⎡+⎢⎣⎤b 1b 2..⎥. ⎦b n,případně maticová rovniceX ′ = A · X + B.13

PŘÍKLAD 2.19. Rovnoběžné promítání prostoru A 3 do průmětny π ⊂ A 3 ,vzhledemk pevné lineární soustavě souřadnic prostoru A 3 , je-li dána průmětna π rovnicí2x 1 + x 2 − x 3 +2=0a směr promítání je určen vektorem ⃗s = (2; 1; 3).PŘÍKLAD 2.20. Určete rovnice afinního zobrazení f : A 3 → A 2 , které bodůmA =[1, 2, 3], B=[0, 1, 1], C=[1, −1, 2], D=[3, 0, 1] přiřazuje v daném pořadí bodyA ′ =[−1, 3], B=[0, 2], C=[0, 0], D=[3, 1].3 Skládání afinních zobrazeníNechť f 1 je afinní zobrazení prostoru A do A ′ ,f 2 afinní zobrazení prostoru A ′ do A ′′ .Jestliže každému bodu X ∈ A je v f 1 přiřazen bod f 1 (X) ∈ A ′ aboduf 1 (X) přiřazenbod f 2 [f 1 (X)] ∈ A ′′ , říkáme, že zobrazení f přiřazující bodu X bod f 2 [f 1 (X)] vzniklosložením zobrazení f 1 a f 2 . Zapisujeme f = f 2 · f 1 ,f= f 2 f 1 nebo f = f 2 (f 1 (X)).Věta 7. Složením dvou afinních zobrazení f 1 ,f 2 vznikne afinní zobrazení f. Zobrazeníϕ asociované k f vznikne složením zobrazení ϕ 1 ,ϕ 2 asociovaných po řadě kf 1 ,f 2 .PŘÍKLAD 3.1. VprostoruE 2 jsou dány dvě středové souměrnosti S a O. Určetezobrazení Z 1 = SO a Z 2 = OS.PŘÍKLAD 3.2. VprostoruE n je dáno posunutí T a středová souměrnost S. Určetezobrazení Z 1 = TS a Z 2 = ST.4 Afinní transformace prostoruVěta 8 (Inverzní zobrazení). Uvažujme afinní zobrazení f afinního prostoru A naafinní prostor A ′ . Nechť je toto zobrazení navíc prosté (prostory A, A ′ mají stejnoudimenzi). Pak k zobrazení f existuje zobrazení inverzní f −1 , které je rovněž afinnímzobrazením.Důkaz. Jsou-li B ′ ,C ′ ,D ′ tři kolineární body v prostoru A ′ a platí (B ′ ,C ′ ,D ′ )=λ,uvažujme vzory B,C bodů B ′ ,C ′ při zobrazení f a na jimi určené přímce BCzvolme bod D tak, že dělící poměr (B,C,D) =λ. Pak bod f(D) leží na přímceB ′ C ′ = f(B)f(C) a platí (B ′ ,C ′ ,f(D)) = λ. Protože také (B ′ ,C ′ ,D ′ ) = λ, jef(D) =D ′ a dělící poměr (B ′ ,C ′ ,D ′ )=(B,C,D).Dále budeme uvažovat speciální případ, kdy prostory A a A ′ splynou. To znamenávzájemně jednoznačné zobrazení prostoru A na sebe.14