1.5 Střed, singulární body kvadriky

18 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚBod M je středem souměrnosti kvadriky. Zavedeme pojem středu kvadriky.Definice: Bod M nazveme střed kvadriky (1.10) jestliže pro libovolný bod X 1kvadriky existuje bod X 2 kvadriky tak, že bod M je středem úsečky X 1 X 2 .O souřadnicích středu kvadriky platí následující věta:Věta: Bod M =[m, n, p] je středem kvadriky (1.10) právě když platí soustava(1.16).Důkaz: Je-li splněna soustava (1.16) potom M je středem kvadriky — totojsme ukázali. Nyní předpokládejme, že bod M =[m, n, p] je středem kvadriky(1.10). Ukážeme, že potom platí (1.16).Nechť X 1 =[x 1 ,y 1 ,z 1 ] je libovolný bod kvadriky. Podle definice středu existujebod X 2 =[x 2 ,y 2 ,z 2 ]kvadrikytak,žeM =(X 1 + X 2 )/2, tj. platím = x 1 + x 22,n= y 1 + y 22Body X 1 a X 2 leží na přímce s orovnici, m = z 1 + z 2. (1.18)2x = m + tuy = n + tvz = p + tw,proto platíx 1 = m + t 1 u x 2 = m + t 2 uy 1 = n + t 1 v y 2 = n + t 2 vz 1 = p + t 1 w z 2 = p + t 2 w.Dosazením rovnic (1.20) do (1.18) dostaneme podmínky(1.19)(1.20)u t 1 + t 22=0, v t 1 + t 22=0, w t 1 + t 22=0.Jelikož u, v a w nemohou být současně rovny nule, plyne odtudt 1 + t 2 =0. (1.21)Protože t 1 a t 2 jsou kořeny rovnice (1.14), ze vztahu (1.21) plyne B =0aodtud, protože směr daný čísly u, v, w je libovolný, podmínky (1.16).Definice: Kvadrika, která má jediný střed, se nazývá středová kvadrika.Kvadrika má jediný střed právě když má soustava (1.16) jediné řešení. Tonastane právě když je determinant∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣A 44 =a 21 a 22 a 23(1.22)∣ a 31 a 32 a 33různý od nuly. Odtud plyne