1.5 StÅed, singulÃ¡rnÃ body kvadriky

More documents

Recommendations

Info

18 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚBod M je středem souměrnosti kvadriky. Zavedeme pojem středu kvadriky.Definice: Bod M nazveme střed kvadriky (1.10) jestliže pro libovolný bod X 1kvadriky existuje bod X 2 kvadriky tak, že bod M je středem úsečky X 1 X 2 .O souřadnicích středu kvadriky platí následující věta:Věta: Bod M =[m, n, p] je středem kvadriky (1.10) právě když platí soustava(1.16).Důkaz: Je-li splněna soustava (1.16) potom M je středem kvadriky — totojsme ukázali. Nyní předpokládejme, že bod M =[m, n, p] je středem kvadriky(1.10). Ukážeme, že potom platí (1.16).Nechť X 1 =[x 1 ,y 1 ,z 1 ] je libovolný bod kvadriky. Podle definice středu existujebod X 2 =[x 2 ,y 2 ,z 2 ]kvadrikytak,žeM =(X 1 + X 2 )/2, tj. platím = x 1 + x 22,n= y 1 + y 22Body X 1 a X 2 leží na přímce s orovnici, m = z 1 + z 2. (1.18)2x = m + tuy = n + tvz = p + tw,proto platíx 1 = m + t 1 u x 2 = m + t 2 uy 1 = n + t 1 v y 2 = n + t 2 vz 1 = p + t 1 w z 2 = p + t 2 w.Dosazením rovnic (1.20) do (1.18) dostaneme podmínky(1.19)(1.20)u t 1 + t 22=0, v t 1 + t 22=0, w t 1 + t 22=0.Jelikož u, v a w nemohou být současně rovny nule, plyne odtudt 1 + t 2 =0. (1.21)Protože t 1 a t 2 jsou kořeny rovnice (1.14), ze vztahu (1.21) plyne B =0aodtud, protože směr daný čísly u, v, w je libovolný, podmínky (1.16).Definice: Kvadrika, která má jediný střed, se nazývá středová kvadrika.Kvadrika má jediný střed právě když má soustava (1.16) jediné řešení. Tonastane právě když je determinant∣ a 11 a 12 a 13 ∣∣∣∣∣A 44 =a 21 a 22 a 23(1.22)∣ a 31 a 32 a 33různý od nuly. Odtud plyne
1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVADRIKY 19Věta: Kvadrika je středová právě když A 44 ≠0.Příklad:Napište rovnici kvadriky, která prochází bodem A =[2, 0, −1], má střed S =[0, 0, −1] a protíná rovinu z = 0 v kuželosečcex 2 − 4xy − 1=0. (1.23)20–2–20y22Obrázek 1.12: Zadání příkladu: Plocha je dána bodem, středem a průnikem srovinou z =0.0x–2Řešení: Kvadrika má rovnicia 11 x 2 +a 22 y 2 +a 33 z 2 +2a 12 xy+2a 13 xz+2a 23 yz+2a 14 x+2a 24 y+2a 34 z+a 44 =0.(1.24)OznačmeK =⎛⎜⎝⎞a 11 a 12 a 13 a 14a 21 a 22 a 23 a 24a 31 a 32 a 33 a 34a 41 a 42 a 43 a 44⎟⎠ (1.25)matici hledané kvadriky. Budeme postupně hledat koeficienty a ij , které sevyskytují v matici (1.25).Souřadnice středu S =[0, 0, −1] musí podle (1.16) splňovat soustavua 11 · 0+a 12 · 0+a 13 · (−1) + a 14 = 0a 21 · 0+a 22 · 0+a 23 · (−1) + a 24 = 0a 31 · 0+a 32 · 0+a 33 · (−1) + a 34 = 0 .(1.26)Odtud plynea 13 = a 14 , a 23 = a 24 ,a 33 = a 34 . (1.27)Průnikem kvadriky (1.24) s rovinou z =0jekřivkaorovnicia 11 x 2 + a 22 y 2 +2a 12 xy +2a 14 x +2a 24 y + a 44 =0. (1.28)
Page 1: 1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVAD
Page 5 and 6: 1.5. STŘED, SINGULÁRNÍ BODY KVAD

1.5 StÅed, singulÃ¡rnÃ­ body kvadriky

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?

1.5 StÅed, singulÃ¡rnÃ body kvadriky