Temaopgave 4: Partielle differentialligninger

Det ses, at middeltemperaturen i ◦ C med rimelig tilnærmelse er givet ved
v(t) = 8 + 8sin π
6 t ,
hvor tiden t m˚ales i m˚aneder, og april m˚aned svarer til t = 0. Temperaturen T(x,t) i jorden i
afstanden x til overfladen og til tiden t opfylder varmeledningsligningen
∂T
∂t = D ∂2T ,
∂x2 hvor konstanten D er den termiske diffusionskoefficient.
(a) Bestem en positiv værdi af parameteren α, s˚aledes at
T(x,t) = 8e −αx sin π
6 t − αx + 8
er løsning til varmeledningsligningen og opfylder den naturlige randbetingelse T(0,t) = v(t).
(Denne randbetingelse udtrykker at overfladetemperaturen i jorden til enhver tid er den
samme som lufttemperaturen).
(b) Indsæt værdien D = 10 m 2 /m˚aned for den termiske diffusionskoefficient i løsningen fra (a)
og besvar følgende spørgsm˚al:
(i) Hvorn˚ar er overfladetemperaturen højest?
(ii) Hvorn˚ar er temperaturen højest i 1 meters dybde?
(iii) Hvor langt ned i jorden skal man, før temperaturen er mindre end 10 ◦ C ˚aret rundt?
Opgave 3
(a) Vi betragter løsningen
K(x,t) = c
√ exp −
t x2
4Dt
til den partielle differentialligning
∂K
∂t = D ∂2K ∂x2 fra Eksempel 2 i noterne. Det tidspunkt tmax, hvor gennemstrømningen i dybden x er størst,
er givet ved
∂K
∂t (x,tmax) = 0.
Benyt udtrykket (11) for ∂K
∂t fra Eksempel 2 i noterne til at finde tmax som funktion af x,
og find tmax n˚ar x = 30 cm, idet det oplyses at D = 1.5 cm 2 /time.
Modellen fra Eksempel 2 i noterne er urealistisk, idet den ikke tager højde for konvektion
(strømning). Det viser sig, at man f˚ar en bedre beskrivelse af situationen med den partielle
differentialligning
∂K
∂t = D ∂2K ∂K
− ν
∂x2 ∂x ,
hvor D er diffusionskoefficienten og hvor konstanten ν er et m˚al for strømningshastigheden. Man
kan vise, at
K(x,t) = c
√ exp −
t
er løsning til den modificerede differentialligning.
(x − νt)2
4Dt
(∗)