Ligedannede trekanter - Matematik

Ligedannede trekanter

Ib Michelsen: Matematik C, Geometri, 1. kapitel 2011
Version 7.1
22-08-11
Rettet: tempel.png inkorporeret / minioverskrift rettet
D:\Appserv260\www\2011\ligedannedeTrekanter2.odt

Arven fra Grækenland
Der er i dag - ca. 2500 år efter den græske kulturs
blomstringstid - en stor lighed mellem grækernes
opfattelse af matematik dengang og en moderne
opfattelse.
Ud fra en række nærmere beskrevne begreber og
nogle grundantagelser ("aksiomer") udledes
("bevises") en række sætninger (dvs. "generelle
påstande") om en eller anden sammenhæng.
Arbejdet hermed er en vigtig del af "matematik".
Tidligere kulturer som den babyloniske og den
ægyptiske har også anvendt matematik, og man har
kendt mange af de regler, der genfindes i den
græske kultur. Men den afgørende forskel er dels
beviset, dels den systematiske opstilling af
sætningerne i en rækkefølge, hvoraf det klart
fremgår, hvad der er bevist, og hvad der kan bygges
videre på. Vigtigt har det også været at erkende, at
man ikke kan bevise sætninger uden at have andre
til rådighed: Der må eksistere nogle "første
sætninger". Om de så vælges, fordi "de er indlysende
sande" eller af andre grunde får stå hen. Denne
teoriopbygning formuleres overbevisende af
grækeren Euklid ca. 300 år før vor tidsregning i hans
bøger: "Elementerne", så overbevisende, at indholdet
har fået lov at stå næsten uantastet i over 2000 år.
Også dette kapitel bygger i det væsentlige på
Euklids arbejde såvel som dele i de følgende kapitler.
Arven fra Grækenland
3

Ligedannede trekanter
Øvelser
1.
Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler.
Parret vælger 3 sidelængder i fællesskab, som begge skriver ned. Elev A tegner en trekant
med de valgte sider, elev B ganger eller deler sidelængderne med et vilkårligt tal, men med
det samme tal alle tre gange. B tegner derefter en trekant med de beregnede nye sidelængder.
Begge måler derefter alle 6 vinkler.
Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater.
2.
Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med
hjemmesiden http://mimimi.dk/bog/1-1/TegnTrekant_1.html )
3.
Læreren vælger sidelængder; hver elev vælger tallet, der ganges eller deles med. Alles resultater
sammenlignes.
4.
Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan.
5.
Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning 5):
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI5.html
Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "If two …" samt notere, at "having their
sides proportional" er ensbetydende med at have fælles forstørrelsesfaktor. Kan du vise det
sidste?
6.
Øvelse for par (2 elever) med papir, blyant, passer, lineal og vinkelmåler.
Parret vælger 3 vinkler i fællesskab, som begge skriver ned. Begge elever tegner en trekant
med de valgte vinkler, men vælger selv sidernes størrelse.
Begge måler derefter alle 6 sider. I fællesskab beregnes 3 brøker, hvor én af elev A's sidelængder
er tælleren og den tilsvarende sidelængde hos elev B er nævneren. Tilsvarende betyder,
at siderne ligger overfor lige store vinkler.
4

Parrets resultater sammenlignes med nabopars resultater.
7.
Øvelser
Samme øvelse gentaget, men med tegninger lavet i Geogebra. (Eventuelt laves øvelsen med
hjemmesiden http://mimimi.dk/bog/1-1/TegnTrekant_2.html )
8.
Læreren vælger vinkler; hver elev vælger én sidelængde. Eleverne beregner brøkerne med
egne og lærerens tal.
9.
Kan du formulere en regel? Prøv at skrive den ned så præcist, du kan.
10.
Sammenlign med sætningen hos Euklid (Bog VI, sætning ):
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookVI/propVI4.html
Du skal bare oversætte den fjerde linje, der starter: "In equiangular ..."
Ligedannede Trekanter
Ensvinklede trekanter
To trekanter er ensvinklede, hvis der for hver vinkel i den ene trekant findes en tilsvarende
lige så stor vinkel i den anden.
Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor
To trekanter har fælles forstørrelsesfaktor, hvis der for hver side i den ene trekant findes en
tilsvarende side i den anden, hvor de tre sider er forstørret (eller formindsket) med den
samme skalafaktor.
Ligedannede trekanter
To trekanter er ligedannede, hvis de både er ensvinklede og er trekanter med fælles
forstørrelsesfaktor
Tilsvarende kan ligedannede polygoner (dvs. mangekanter) defineres. Det har Euklid gjort i Bog
5

Ligedannede trekanter
VI, 1. definition. For trekanterne – og kun for trekanterne – gælder den næste sætning:
Ligedannede trekanter
To trekanter er ligedannede, hvis de enten er ensvinklede eller er trekanter med fælles
forstørrelsesfaktor
Denne sætning svarer til sætningerne 4 og 5 i Bog VI. Beviset for sætningen kan ses der, men
gentages ikke her. 1
Denne sætning er grundlæggende for alle trekantsberegninger. Derfor er det vigtigt, at du
kan huske de 3 definitioner (med gul baggrundsfarve) og den sidste sætning. Anvendelsen af
dem demonstreres lidt senere i kapitlet.
Definition og sætning og bevis
Definitioner
Som i eksemplet herover er der noget (her: fx Ligedannede trekanter), der defineres. Definitionen
er forklaringen med gul baggrundsfarve.
Sætninger
En sætning er en påstand. Sætningen kan have et navn som Pythagoras sætning eller Fermats
store sætning eller Trekantens areal. Navnet fungerer blot som en etikette: Nå, det er den sætning,
du tænker på. Selve sætningen er her markeret med en lavendelblå baggrundsfarve.
Sætningen (eller rettere: dobbeltsætningen) her er en typisk generel påstand af typen: Hvis
påstand P1 gælder, så vil påstanden P2 også altid gælde.
Beviser
Når matematikere fremsætter påstande, vil de gerne sikre sig, at påstanden altid er rigtig. Og
selv om man har undersøgt fx vinkelsummen i tusinder af trekanter, er der jo stadig uendelig
mange tilbage: vil de også have den samme vinkelsum?
Det er altså ikke nok at undersøge enkelte eksempler for at kontrollere, at en sætning er rigtig.
Vi må komme med argumenter, der vil være rigtige i enhver situation. De mange opmålinger
kan bringe os på sporet af et mønster, men det er de tvingende argumenter, der udgør
beviset, således at alle indser sætningens rigtighed.
1 Bemærk, at Euklid ikke benytter forstørrelsesfaktor, men taler om proportionale sider. Det er dog
nemt at vise, at har de proportionale sider er den ene en forstørrelse af den anden og omvendt.
6

Eksempel
Trekanterne ABC og DEF er ensvinklede;
det fremgår også indirekte af
udsmykningen af vinklerne. Fx er
vinklerne A og D ens: de har den samme
udsmykning: Bue med en tværstreg.
Tilsvarende gælder for B og E
samt for C og F.
Sætningen om ligedannede trekanter
medfører nu, at trekanterne er trekanter
med fælles forstørrelsesfaktor.
For at finde den fælles forstørrelsesfaktor,
skal der findes én side fra hver
trekant, der svarer til hinanden.
Lad os vælge c og f. At de svarer til
hinanden kan ses, fordi vinklerne
overfor (dvs. C og F) er markeret som
lige store.
Beregning af forstørrelsesfaktor
Kald forstørrelsesfaktoren k. Så gælder, at
c⋅k= f ⇔
k= f
c
Ligedannede Trekanter
Bemærk, at den længste sidelængde er f, som benyttes som tæller. Derfor gælder det, at
k > 1
Ved indsættelse af tallene fås nemt den aktuelle værdi:
k= 6
3 =2
Beregning af en side i den store trekant
Lad os prøve at beregne d (og lade som om vi ikke kendte den.)
Da a og d svarer til hinanden, findes d som en forstørrelse af a ved at gange a med k:
a⋅k=d
7

Ligedannede trekanter
og ved indsættelse af de kendte tal fås:
d =4,2⋅2=8,4
Det ser ud, som om det kun passer omtrent, jævnfør tegningens oplysninger.Men tegningens
tal er rigtige og værdien af k er rigtig. Imidlertid er a vist som et afrundet tal. Havde man
medtaget en decimal mere fås a = 4,24 og det medfører, at d = 8,48 eller ved afrunding d = 8,5.
Beregning af en side i den lille trekant
Lad os endelig prøve at beregne b.
Da b og e svarer til hinanden, findes b som en formindskelse af e ved at dividere e med k:
e
k =b
og ved indsættelse af de kendte tal fås:
b= 11,6
2 =5,8
Opgave med besvarelse
Opgavetekst August 2009, opgave 1 (HF Matematik C)
Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Nogle af målene fremgår af figuren.
a) Bestem længden af hver af siderne A1 B1 og AC.
Kommentar: Det skrives ikke direkte hvilke vinkler der er lige store, men både ved navngivning
og farvelægning af buer vises det indirekte.
8

Besvarelsen
Ligedannede Trekanter
Da trekanterne er ensvinklede, er de også ligedannede. Der findes derfor en fælles forstørrelsesfaktor
k, som gælder for alle par af sider, der svarer til hinanden.
1. Beregning af k
Siderne BC og B1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler.
Længderne betegnes |BC | = a og |B1 C1| = a1. Derfor gælder for forstørrelsesfaktoren:
k= a 1
a
og ved indsættelse af de oplyste tal:
k= 17
10,2
9

Ligedannede trekanter
2. Beregning af |A1 B1|
Siderne AB og A1 B1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet
de tilsvarende længder betegnes hhv. c og c1 fås:
c 1 =c⋅k
og ved indsættelse af de kendte tal:
c 1=5,7⋅ 17
10,2 ⇔
c 1 =9,50
|A1 B1| = 9,5
3. Beregning af |AC|
Siderne AC og A1 C1 og svarer til hinanden, da de ligger over for lige store vinkler. Idet
de tilsvarende længder betegnes hhv. b og b1 fås (idet der nu skal findes en side i den
lille trekant):
b= b 1
k
|AC| = 9,9
og ved indsættelse af de kendte tal:
b=16,5: 17
10,2 ⇔
b=16,5⋅ 10,2
17 ⇔
b=9,90
Kommentarer til besvarelsen
Bemærk den obligatoriske tegning, som hører med i enhver geometriopgave. Bemærk også
den klare struktur, der opnås med minioverskrifter afsluttende med den fremhævede konklusion.
Undersøg, om besvarelsen iøvrigt lever op til de almindelig krav til besvarelser af eksamensopgaver
(jævfør side 2 i eksamensopgaverne og siderne 6-8 i
http://uvmat.dk/skrift/SkriftlighedHFC/matCHFSkriftlighed.pdf)
10

Centrale begreber og sætninger
Hvad betyder det?
Centrale begreber og sætninger
Et plan kaldes hos Euklid: En plan flade. I definition 7 forklares: "En plan flade er en flade,
som ligger lige mellem de rette linjer i den." Meningen er nok lidt uklar, men i dagligdagen
har vi ikke besvær med at forestille os idealiserede gulve, vægge, tavler osv. som plane
flader. De kan både være begrænsede eller ubegrænsede; det sidste er tit forudsat.
En trekant er en figur, der er indesluttet af 3 rette linjestykker. Linjestykkerne er trekantens
sider. De tre punkter (linjestykkerne ligger imellem) kaldes trekantens hjørner eller
vinkelspidser. Hjørnerne navngives med store bogstaver, den modstående side (der forbinder
de to andre punkter) navngives med det tilsvarende lille bogstav. Til hjørnet A svarer altså siden
a. Da a har endepunkterne B og C kaldes linjestykket også BC.
Til højre ses ΔABC. Sæt de manglede betegnelser på
tegningen (både for hjørner og sider.)
Siderne har en længde, der kan måles. Hvis det er siden a, vi
vil angive længden på, kan vi for eksempel skrive a = 3, hvis
a har længden 3. Oftest vil vi ikke angive, om det er cm eller
km, men angiver længden som et ubenævnt tal. Du bemærker
altså, a har to betydninger: det er både navnet på siden
og er samtidig et tal, nemlig tallet der angiver længden. Vi
kan også benytte skrivemåden |BC| for længden, hhv. BC
som navn for a.
Mål ΔABC 's sider (med en almindelig lineal), og skriv
målene i tabellen herunder med 1 decimals nøjagtighed:
Side a b c
Længde i cm
ΔABC
En vinkel er en figur bestående af et punkt (vinkelspidsen) og to halvlinjer (eller linjestykker)
gående ud fra punktet. Halvlinjerne kaldes vinklens ben; forestil dig, at du sidder i vinklens
spids og placerer dine ben over vinklens ben. Så er vinklens venstre ben under dit venstreben
og tilsvarende for højre vinkelben. Vinkler har også et navn og en størrelse, og som for siderne
bruges ofte samme betegnelse for vinklen og vinklens størrelse. I ∆ABC kan der benyttes
11

Ligedannede trekanter
flere navne for den samme vinkel: ∠A understreger, at det er en vinkel med vinkelspidsen A,
∠BAC præciserer, at A er en vinkelspids (da det er det midterste bogstav) og at B og C er
punkter, der ligger på hver sit vinkelben. I forbindelse med trigonometriske beregninger –
som sin(A) – undlades vinkeltegnet. Endelig kan vi vælge særskilte symboler for punkt og
vinkelstørrelse, for eksempel: A og α (alfa, det græske alfabets første bogstav). Der var intet i
vejen for at benytte andre danske bogstaver, som for eksempel v, men benyttes det græske
bogstav, kan man se, at vinkelstørrelsen α hører sammen med A. Der findes adskillige
måder at måle vinkler på: I begyndelsen vil vi her arbejde med grader, men på et senere
tidspunkt introduceres et andet mål: radianer. Du er sikkert bekendt med, at en hel cirkel
svarer til 360°. Vinkler inddeles i grupper efter størrelse: lige (præcis 180°), stumpe (mellem
90° og 180°), rette (præcis 90°) og spidse vinkler (mellem 0°og 90°).
12
Skriv vinklernes type ved hvert af de 4 eksempler

Centrale begreber og sætninger
Enhver trekant har nogle linjer (linjestykker) med særlige navne: højder, som er linjestykker
fra en vinkelspids til den modstående side, der står vinkelret på denne. Højden fra B til b
betegnes h eller hb, for at præcisere hvilken af de tre højder, der er tale om.
Hvad hedder den tegnede højde mere præcist? Skriv det på tegningen.
Næste eksempel er vinkelhalveringslinjer, som er halvlinjer fra en vinkelspids, der deler
vinklen i 2 lige store vinkler. Betegnelsen er v eller vA (hvis vinkelspidsen er A).
Hvilken præcis betegnelse kan bruges for v (på tegningen)? Skriv det!
Hvis ∠A = 61°, .hvor stor er så β? Skriv det.
Trekanter har også medianer, der er linjestykker fra en vinkelspids til midtpunktet af den
modstående side. De betegnes m eller mc (hvis medianen
går fra C til et punkt på c).
Hvad vil du kalde den tegnede linje m mere præcist?
Endelig er der
midtnormaler til siderne,
som er linjer, der står vinkelret på et linjestykke (her en side)
i linjestykkets midtpunkt. Afhængig af øvrige anvendte
betegnelser, kan du benytte betegnelser som m eller n for
linjen. 2
2 Der er ikke mange 100 % faste regler for navngivning, men derimod mange sædvaner, som det er
fornuftigt at følge, fordi det ikke forvirrer læseren, hvis navnene følger det vante skema.
13

Ligedannede trekanter
Der findes særlige trekantstyper:
Ligesidede, hvis alle 3 sider er lige store,
ligebenede, hvis 2 af de 3 sider er lige store,
spidsvinklede, hvis trekantens største vinkel er spids,
retvinklede, hvis trekantens største vinkel er ret, og
stumpvinklede, hvis trekantens største vinkel er stump.
En cirkel er en plan figur begrænset af en linje: cirkelperiferien; alle punkterne på
cirkelperiferien har den samme afstand til ét punkt: cirklens centrum. Afstanden kaldes radius
og ethvert linjestykke mellem centrum og et punkt på cirkelperiferien kaldes en radius.
14
Hvad kan du sige om længden af linjestykkerne: PV, VQ, QS, SR, RU, UP? Skriv det
herunder:
Tegn på en transparent alle 5 trekantstyper
Prøv at lave en lang liste over alle de ord, der benyttes ved omtale af cirkler: diameter,
korde, tangent, centervinkel, periferivinkel ... og beskriv for hver af dem præcist, hvad
de betyder.
Hvilke formler kender du i forbindelse med cirkler? Skriv sætningerne herunder:

Hvad er π?
Centrale begreber og sætninger
Tegn en række cirkler: både store og små. Karton og pap er velegnet til de små og lidt
større cirkler. Klip eller skær dem ud. Find også andre cirkler: cykelhjul, fade, møllesten
...
For alle måles og noteres radius og omkreds. Noter resultaterne i en tabel med 2
rækker: øverst radius (x-værdi), lige under den tilsvarende omkreds (y-værdi).
Omkredsen findes i nogle tilfælde
lettest ved at markere et punkt på
periferien; cirklen "trilles" langs en ret
linje indtil mærket er i samme position
og den kørte afstand måles.
Sommetider er centrum givet, men ikke
altid. Forklar, hvordan du så vil finde
det!
Indret et koordinatsystem på mmpapir,
så papiret udnytttes: indtegn et
punkt for hver cirkel med de målte
værdier som koordinater.
Forsøg at tegne en ret linje gennem (0 ;
0) tæt ved alle punkterne:
Kan det lade sig gøre?
Hvorfor skal linjen gå gennem (0 ;
0)?
Kan du ved hjælp af tegningen finde
omkredsen for en cirkel med radius
10 cm - selv om du ikke har målt en
sådan cirkel?
Besvar samme spørgsmål hvor radius er 1 cm.
Ligner det sidste svar et tal du kender?
15

Rektangel er
Kvadrat er
Trapez er
Parallellogram
Rombe er
Ligedannede trekanter
Firkanter er figurer begrænset af fire rette linjestykker.
16
Hvilke firkanter kan
have flere navne?
Rektangel
Kvadrat
Trapez
Parallellogram
Rombe
Sæt x i skemaet - hvor udsagnet er rigtigt
Hvis figuren har 4 rette vinkler kaldes den et rektangel;
er også alle siderne er lige store, kaldes den et kvadrat.
Hvis firkantens har et par modstående sider parallelle, er den et
trapez;
er begge par modstående sider parallelle, kaldes den et parallelogram;
er alle siderne lige store i parallelogrammet, kaldes det en rombe.
Parallelle linjer er rette linjer, der ikke skærer hinanden.
På et blankt A4-ark tegnes en cirkel med centrum midt på arket og med radius 10 cm.
På periferien afsættes fire punkter.
En firkant tegnes med disse punkter som hjørner
Sider og vinkler målestokken
Dine resultater sammenlignes med dine naboers
...
Kan du se noget mønster i jeres resultater? Evt. hvilket?
Hvis ja: kan du forklare, hvorfor det må være rigtigt?

Formler
Ligedannede trekanter
Centrale begreber og sætninger
Figuren viser to ensvinklede trekanter ABC og A1 B1 C1. Vinkler med samme markering / farve
/ signatur er lige store.
Forstørrelsesfaktoren (eller formindskelsesfaktoren) k kan beregnes som
k= a1 a = b1 b = c1 c
a 1 =a⋅k eller a= a 1
k
b 1=b⋅k eller b= b 1
k
c 1 =c⋅k eller c= c 1
k
Alle trekanter
Arealet af en trekant
og der gælder for beregning af siderne:
T =½⋅h g hvor T er trekantens areal, h er højden og g den tilsvarende grundlinje.
17

Ligedannede trekanter
Vinkelsummen i en trekant
∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°
Retvinklede trekanter
Pythagoras sætning
18
hyp 2 2 2
=k 1 k 2

Geometriske Modeller
Eksempel: Flagstang
Geometriske Modeller
Opgaven er at finde højden f på en
flagstang.
For at kunne beregne højden på den,
forenkles den til et linjestykke i modellen
(den blå linje f). Jordoverfladen
forenkles til en ret linje. Yderligere antages
vinklen mellem f og jordoverfladen
at være ret. Ligeledes antages solstrålen,
der lige strejfer toppen af flagstangen,
at være en ret linje. Denne
solstråle markerer, hvor flagstangens
skygge på jorden ophører.
Vi har nu defineret en trekant som
model for flagstang, skygge og (noget
af) solstrålen.
På tegningen er der også vist en anden
model af en kvinde med højde q, hendes skygge og solstrålen, der strejfer hendes isse. q
og de to skyggelængder kan måles (ihvertfald nogenlunde præcist) og antages at være kendte.
I de to trekanter er de rette vinkler lige store, men også vinklerne mellem jordoverfladen og
solstrålerne er lige store. Solstrålerne er jo parallelle linjer (da de "aldrig" mødes) og de omtalte
vinkler er dermed ensliggende vinkler ved parallelle linjer: sådanne vinkler er lige store.
I følge sætningen om vinkelsummen i en trekant er de to trekanters sidste vinkel også af
samme størrelse.
Trekanterne er altså ensvinklede, derfor ligedannede, og vi kan finde en fælles
forstørrelsesfaktor med længderne af de to skygger, da de ligger overfor lige store vinkler:
k= skygge 1
skygge 2
og da f og q er sider, der ligger overfor lige store vinkler, kan f beregnes som
f =q⋅k= q⋅skygge 1
skygge 2
19

Ligedannede trekanter
Kommentar
Det fremgår klart af tegningen, at det vi beregner ikke er flagstangens nøjagtige højde, men
en tilnærmet højde. Dette er typisk for enhver model: modellens størrelser er kun omtrent
svarende til virkeligheden. Om det så er godt nok, afhænger både af modellens nøjagtighed,
og hvad modellen skal bruges til. Hvis formålet her var at købe et passende stort Dannebrog,
vil et par procents fejl sikkert kunne tilgives.
Opgave: Åens bredde
20
Hvor bred er åen? Vibeke og Yrsa kan se et træ på
brinken på den anden side af åen og har ved hjælp
af pejlestokke og målebånd lavet nedenstående
skitse - som ikke er målfast. Deres mål er:
|AB| = 40 m,
|CD| = 50 m,
|AC| = 15 m,
|BD| = 45 m.
Beregn bredden.
Bredden er m
Hvad er stiltiende forudsat?

Målebordsblade som modeller af landskabet
Geometriske Modeller
Samtidigt med trianguleringen (se næste kapitel) blev landet opmålt og tegnet på målebordsblade.
Det var meget detaljerede kort i målestokken 1:20.000. De fik en ganske lang
levetid under forskellige myndigheder. I hvertfald solgtes de stadig i boghandlen efter 1970
som fx M 2108 Finderup, opmålt 1877, rettet 1954, trykt i Köbenhavn 1964 ved Geodætisk
Institut.
Det var teknikken ved fremstillingen, der gav dem navn. En lidt forenklet gengivelse af denne
er: Man benytter et bord, hvor det kommende kort fastgøres. 2 punkter (hvorfra der er en
vis udsigt) A og B i naturen udvælges, afstanden mellem dem måles, og punkterne overføres
til kortet med en tilsvarende (meget mindre) afstand mellem de tegnede punkter: lad os
kalde dem A1 og B1.
Bordet stilles så op: først ved fx A med kortets A1 præcist over A og linjen A1B1 lige over en
del af AB.
Andre punkter i landskabet lægges ind ved at tegne sigtelinjer fra A1 (A) på papiret sigtende
fx mod et kirkespir K. Når et passende antal sigtelinjer mod vigtige punkter er indlagt, flyttes
bordet til B med B1 lige ovenover B og linjen A1B1 lige over en del af AB.
Når der så herfra blev tegnes en sigtelinje mod K (eller andre punkter), dannes der to ligedannede
trekanter: ABK i naturen og A1B1K1 på kortet. Med tilpas mange støttepunkter
kan den rutinerede kartograf indtegne øvrige detaljer på fri hånd.
Herunder er vist det rektangulære målebord efter flytningen til B (i naturen).
21

Ligedannede trekanter
Da A1 lå over A (og B1 lå over punktet i naturen markeret B2), blev den røde sigtelinje tegnet
fra A1 til K1 . Nu er B og B1 sammenfaldende Der tegnes så en ny sigtelinje, og K1´s position
findes i skæringspunktet. Tilsvarende indtegnes alle andre punkter.
Opgave
Antag, der også var en mølle M i landskabet og at den er tegnet ind på kortet som M1. Gør
rede for, at forhold mellem alle afstandene på kort og de tilsvarende i naturen er de samme.
Vis altså:
| K 1 M 1 |
| KM | =| A1 B1 |
| AB |
Aristarchos jord-sol-måne model
Aristarchos (310 - 230 fvt.) er (måske) den første med et heliocentrisk verdensbillede: i stedet
for at have jorden som verdens centrum sætter han solen i centrum.
Aristarchos vil tegne et Himmelkort, hvor jord (J), sol (S) og måne (M) er punkter. Kortet er
naturligvis en formindsket udgave af den virkelige himmeltrekant. Han kender ikke nogen
af siderne i himmeltrekanten: dvs. de virkelige afstande mellem himmellegemerne. Men derfor
kan han alligevel godt tegne et kort; han mangler blot at kunne angive et målestoksforhold
(eller en formindskelsesfaktor.) For at kunne tegne kortet, skal han lave en trekant, der
er ensvinklet med himmeltrekanten, og dertil behøver han blot at kende to af dennes tre
vinkler.
Den første er nem at få: fra jorden kan man nemt få sigtelinjer til både sol og måne, og derefter
måle vinklen mellem linjerne.
Aristarchos havde ingen ven på månen, han kunne ringe til for at få målt den tilsvarende
vinkel der. Men han fik en genial idé: når vi på jorden har halvmåne, må det være fordi:
22

Geometriske Modeller
• solstrålen, der netop strejfer
månen i B, er en tangent til
månen
• solstrålen står derfor vinkelret
på diameteren AB
• og Aristarchos må befinde sig i
forlængelse af diameteren fordi
◦ bevæger han sig mod solen,
vil månen blive mere
fuld og
◦ bevæger han sig væk fra
solen, bliver den mindre
fuld.
Derfor behøvede Aristarchos kun at
måle én vinkel, men den skulle måles
præcis i det øjeblik, der er halvmåne.
Det forsøgte Aristarchos, og han kom til resultatet 87°. Derfor kunne han tegne tegningen
øverst på siden og beregne forholdet mellem tegningens afstande til sol og måne. På
tegningen kan aflæses, at sættes |JM| = 1, er |JS| = 19,11. For at få virkelighedens mål, skal
disse størrelser ganges med et ukendt k, således at de rigtige afstande er hhv. k og
Forholdet mellem afstandene til sol og måne fås så som:
Afstandsforholdet =
19,11⋅k
19,11⋅k
k =19,11
Kort over Månen (hvor sol og jord ligger i same plan)
Dermed kunne Aristarchos fastslå, at solen både er langt længere væk end månen og følgelig
også langt større! selv om de ser lige store ud.
Aristarchos måling var unøjagtig, så selv om metoden er rigtig et langt stykke ad vejen, fik
han et resultat for k, som ligger langt fra det resultat, vi har i dag: k = 389. Solen er altså langt,
langt længere væk end månen.
Grunden til den voldsomme fejl er en lille fejl i vinkelmålingen, som nok især skyldes, at
halvmåne har man ikke en hel dag, men kun et øjeblik. Månen bevæger sig jo hele tiden
rundt om jorden (samtidig med at jorden bevæger sig rundt om solen) og derfor ændrer
vinklen, der skal måles, sig hele tiden.
Ved at følge dette link til http://mimimi.dk/c/halvMaane.html, kan du se en model, der demonstrerer,
hvad små ændringer af vinklen gør mht. forholdet.
23

Ligedannede trekanter
Jordens omkreds (Eratosthenes)
Eratosthenes (240 FVT.) opnåde berømmelse for sin vurdering af jordens omkreds. Hans
argumenter var:
• På en bestemt dag stod solen lodret over Syene; samtidig kunne Erastostenes i
Alexandria måle vinklen mellem lodret og en linje til solen som 1/50 af en hel cirkel.
• Alexandria ligger stik nord for Syene, altså på samme meridian.
• Afstanden mellem Alexandria og Syene blev opmålt til 5000 stadier
• Denne afstand (buelængden) er ligefrem proportional med centervinklen (som er den
samme som den målte β, da lysstrålerne forudsættes at være parallelle)
Derfor beregnes jordens omkreds (over polerne) til 50x5000 stadier = 250.000 stadier eller
godt 40.000 km 3
3 Argumentationen er rigtig, men forudsætningerne halter en lille smule: Solen har ikke stået præcist
lodret over Syene og Alexandria ligger ikke præcist N for Syene, men den største fejlkilde har
været den unøjagtige bedømmelse af afstanden mellem de to byer. Yderligere mangler vi præcis
viden om forholdet km/stadier. Desuden er solen jo ikke et punkt, og den har en endelig afstand til
jorden.
24

Kugle eller pandekage?
Hvordan ville du praksis måle β ?
Geometriske Modeller
Eratostenes går ud fra, at jorden er rund. Før ham har der ikke været almindelig
enighed herom. Dog kan det ikke have været en fjern tanke, fordi det - i modsætning
til den flade model - kan forklare:
hvorfor ser sømanden, der er på vej mod land, først bjergets top?
hvorfor er jordens skyggebillede ved måneformørkelse altid cirkulært - en
skiveformet jord ville oftere lave et elliptisk skyggebillede? 4
4 http://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth
25

Ligedannede trekanter
Oversigt
Du har lært
26
• Hvad ensvinklede trekanter er. Hvad ligedannede trekanter er. Hvad en
forstørrelsesfaktor er.
• Hvorledes forstørrelsesfaktoren beregnes og hvad "tilsvarende sider" betyder
• Hvorledes forstørrelsesfaktoren benyttes ved beregninger af sidelængder
• Hvorledes ensvinklede trekanter kan benyttes i modelberegninger

Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse
Ligedannede trekanter .......................................................................................................................1
Arven fra Grækenland...................................................................................................................3
Øvelser.............................................................................................................................................4
Ligedannede Trekanter..................................................................................................................5
Ensvinklede trekanter ................................................................................................................................5
Trekanter med fælles forstørrelsesfaktor.................................................................................................5
Ligedannede trekanter...............................................................................................................................5
Ligedannede trekanter...............................................................................................................................6
Definition og sætning og bevis..................................................................................................................6
Definitioner............................................................................................................................................6
Sætninger................................................................................................................................................6
Beviser.....................................................................................................................................................6
Eksempel......................................................................................................................................................7
Opgave med besvarelse..............................................................................................................................8
Kommentarer til besvarelsen.............................................................................................................10
Centrale begreber og sætninger..................................................................................................11
Hvad betyder det?.....................................................................................................................................11
Formler..................................................................................................................................................17
Ligedannede trekanter........................................................................................................................17
Alle trekanter.......................................................................................................................................17
Retvinklede trekanter..........................................................................................................................18
Geometriske Modeller..................................................................................................................19
Eksempel: Flagstang............................................................................................................................19
Opgave: Åens bredde..........................................................................................................................20
Målebordsblade som modeller af landskabet.................................................................................21
Opgave .................................................................................................................................................22
Aristarchos jord-sol-måne model......................................................................................................22
Jordens omkreds (Eratosthenes)........................................................................................................24
Kugle eller pandekage?......................................................................................................................25
Oversigt..........................................................................................................................................26
Du har lært...........................................................................................................................................26
Indholdsfortegnelse......................................................................................................................27
27