Formler til den specielle relativitetsteori - itslearning

Formler til den specielle relativitetsteori 

Jeppe Willads Petersen 

25. oktober 2009 

Jeg har i dette dokument forsøgt at samle de fleste af de formler, vi har brugt i forbindelse 

med den specielle relativitetsteori, da jeg i høj grad savnede en samlet oversigt over disse. 

Formlerne her har ikke samme nummer, som i det hæfte Mogens Dam har skrevet, da jeg så 

også skulle indsætte alle de andre formler, som er brugt til udledelsen af de vigtige formler. Jeg 

har dog i høj grad forsøgt at få dem til at ligge i samme rækkefølge som i hæftet. Til sidst har 

jeg valgt at indføre et afsnit med nogle anbefalinger til hvilke dele af hæftet, man i særdeleshed 

bør holde øje med. 

Det kan godt være at man ikke kan løse alle opgaver ved blot at sætte værdierne ind i 

formlerne, men det hjælper en et godt stykke af vejen, at kunne finde den rigtige formel at 

tage udgangspunkt i. 

1

Jeppe Willads Petersen Formelsamling Fysik1 

Indhold 

1 Fra Newton til Einstein 3 

1.1 Newtons love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.2 Galilei transformationsligningerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 

1.3 Einsteins postulater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2 Lorentz-transformationer 4 

2.1 Samtidighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2.2 længde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 

2.3 Lysets hastighed . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.4 Lorentz-transformationsligningerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 

2.4.1 Differenser og differentialer af Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.5 Kvadrerede former . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.6 Hastighedsgrænser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 

2.7 Rumtidsdiagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2.8 Grafisk repræsentation af Lorentz-transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

3 Relativistisk kinematik 7 

3.1 Længdeforkortning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

3.2 Tidsforlængelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

3.3 Transformation af hastigheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

3.4 Retning af bevægelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

4 Relativistisk optik 8 

4.1 Doppler-effekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

4.1.1 Kort om klassisk Doppler-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

4.1.2 Relativistisk Doppler-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

4.1.3 Ikke parallel Doppler-effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

4.2 Lysets aberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 

5 Rumtiden og fire-vektorer 10 

5.1 3-dimensionale rumtidsdiagrammer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 

5.2 4-vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

5.2.1 Regning med 4-vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

5.2.2 4-vektor geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

5.3 Egentiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

5.4 4-hastigheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

5.5 4-accelerationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 

6 Relativistisk mekanik 13 

6.1 Impulsbevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

6.2 Energibevarelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 

6.3 Sammenhæng mellem impuls og energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.4 Masseløse partikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.5 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 

6.5.1 Elektronvolt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 

7 Anbefalinger 15 

2


1 Fra Newton til Einstein 

Til dette afsnit har jeg valgt ikke at inddrage de eksperimenter, der bliver nævnt i hæftet, da de 

ikke giver os nogen ligninger, som ikke er beskrevet mere fyldestgørende senere. 

1.1 Newtons love 

Som udgangspunkt for Galilei-transformationerne har man al den fysik, vi gennemgik i første 

halvdel af blok 1. Den slags fysik transformerer sig på yderst simpel vis fra et koordinatsystem 

til et andet og tager udganspunkt i Newtons love og definitionerne af tid, længde, hastighed, 

acceleration osv. 

Newtons 1. lov 

Et legeme, som ikke påvirkes af nogen kraft bevæger sig med konstant hastighed. 

hvorr er legemets stedvektor og u er hastigheden. 


F =0 ⇒ u = dr 

= konstant (1.1) 

dt 

Et legemes acceleration,a = du 

dt , er proportionel med kraften, der virker på legemet med faktoren 

m. 

F = m du 

(1.2) 

dt 

hvora er acceleration og u er hastigheden. 


Hvis et legeme påvirker et andet legeme med en kraft, vil det andet legeme påvirke det første 

legeme med en lige så stor, men modsatrettet, kraft. 

F AB = −F BA 

1.2 Galilei transformationsligningerne 

Ligningerne for klassisk transformation bør kun bruges, hvis legemerne har en meget lav hastighed 

relativt til lysets. 

(1.3) 

x ′ = x − vt (Position) 

y ′ = y 

z ′ = z 

t ′ = t (1.4) 

u ′ x = ux − v (Hastighed) 

u ′ y = uy 

u ′ z = uz 

3 

(1.5)


a ′ x = ax 

a ′ y = ay 

a ′ z = az 

(Acceleration) 

Sætning 1.1 Det er ikke muligt på grundlag af mekaniske fænomener at skelne mellem inertialsystemer 

eller at udpege et særligt udmærket inertialsystem. 

Dette kaldes Det Newtonske Relativitetsprincip, og siger dybest set blot, at man ikke kan afgøre 

hvilket inertialsystem, man står i ud fra mekaniske fænomener. 

1.3 Einsteins postulater 

I 1905 kom Einstein med grundlaget for den specielle relativitetsteori. Med dette grundlag fulgte 

to postulater, der danner rammen for den nye teori. 

Sætning 1.2 Alle inertialsystemer er ligeværdige for udførelsen af alle fysiske eksperimenter. 

Første postulat er egentlig blot en udbygning af Det Newtonske Relativitetsprincip, idet det nu 

ikke blot er mekaniske fænomener men alle fænomener, der vil have samme resultat i ethvert 

inertialsystem. 

Sætning 1.3 I det tomme rum udbreder lyset sig retlliniet med hastigheden c i enhver retning i ethvert 

inertialsystem. 

Dette postulat er vel et af de bedste eksempler på „lille årsag, stor virkning“. Det umuliggør 

Galilei-transformationerne og leder dermed til relativitetsteorien. 

2 Lorentz-transformationer 

Med indførelsen af Einsteins to postulater mister Galilei-transformationerne deres gyldighed. 

Dog passer de stadig i særdeles høj grad ved lave hastigheder. En ny udgave af transformationsligningerne 

skal altså være konforme med Galilei-transformationerne, men også tage højde for 

de nye postulater. 

2.1 Samtidighed 

En anden konsekvens af Einsteins nye postulater er nedbrydelsen af vores definition af samtidighed. 

Denne er ikke umiddelbar synlig ud fra postulaterne, men bliver klar senere. For at 

bevare noget der minder om vores opfattelse af samtidighed indføres følgende: 

Sætning 2.1 To begivenheder, der foregår i punkterne A og B, vil være samtidige, såfremt et lyssignal 

udsendt fra A, når begivenheden her finder sted, og et lyssignal udsendt fra B, når begivenheden finder 

sted der, vil nå frem til en iagttager i samme afstand fra A og B til samme tidspunkt. 

2.2 længde 

Længdeforkortning er endnu en konsekvens af relativitetsteorien. For at vi kan sige noget om 

længdeforkortningen må vi dog først have defineret hvilelængden, dvs. den længde der bliver 

forkortet. 

4 

(1.6)


Sætning 2.2 Ved længden af en stang, der bevæger sig i sin længderetning parallelt med en målestok, 

forstår vi afstanden mellem to mærker afsat på målestokken ud for stangens endepunkter til samme tidspunkt. 

Implicit i denne sætning ligger det også at længden ikke forkortes ved bevægelse vinkelret på 

længden. Formlen for længdeforkortning er: 

2.3 Lysets hastighed 

L = L0 

γ = L0 

 

· 1 − v2 

c2 I gamle dage var meteren defineret som 1 

10000 af afstanden fra ækvator til Nordpolen. Da man 

senere fandt ud af, at dette ikke var tilstrækkeligt nøjagtigt, omdefinerede man meteren til at 

være lige så lang som en meterstok, der lå på et institut lidt udenfor Paris. Da dette imidlertid 

heller ikke var nøjagtigt nok, har man nu defineret meteren på følgende vis: 

Sætning 2.3 1 meter er den længde lyset tilbagelægger i vakuum i 

1 

299792458 s. 

Dermed er meteren defineret ud fra lyshastigheden, som omvendt er defineret som værende 

givet ved 

c ≡ 299792458 m 

s 

(2.2) 

2.4 Lorentz-transformationsligningerne 

Ved at betragte begivenheders position i det tredimensionelle rum og tiden ved forskellige hastigheder 

kan man nå frem til nogle ligninger, der beskriver positionen og tiden i et andet inertialsystem, 

der bevæger sig med en anden hastighed. Disse ligninger er: 

Hvor 

t ′ =γ(t − vx 

c 

x ′ =γ(x − vt) 

y ′ =y 

(2.1) 

2 ) (Bevægede positioner) 

z ′ =z (2.3) 

t =γ(t ′ + vx′ 

c 

x =γ(x ′ + vt ′ ) 

y =y ′ 

z =z ′ 

2 ) (Stationære positioner) 

γ = γ(v) = 

1 

 

1 − v2 

c 2 

Hvis man ser på ligningerne, kan man se, at ved lave hastigheder har Lorentz-transformationen 

ingen nævneværdig effekt, da lysets hastighed er så stor. 

5 

(2.4) 

(2.5)


2.4.1 Differenser og differentialer af Lorentz 

Hvis man rykker lidt rundt på ligningerne for den firedimensionale position, når man frem til 

at følgende ligninger også er gældende: 

∆t ′ =γ(∆t − v∆x 

c 

∆x ′ =γ(∆x − v∆t) 

∆y ′ =∆y 

2 ) (Forskydning mellem positioner) 

∆z ′ =∆z (2.6) 

dt ′ =γ(dt − vdx 

c 

dx ′ =γ(dx − vdt) 

dy ′ =dy 

2.5 Kvadrerede former 

2 ) ((Kort) forskydning mellem positioner) 

dz ′ =dz (2.7) 

Hvis man ikke er givet hastigheden, er der en måde, man kan komme udenom at skulle beregne 

denne ved blot at se på følgende identitet: 

c 2 ∆t ′2 − ∆x ′2 − ∆y ′2 − ∆z ′2 = c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 

Denne identitet gælder også for differentialer. Når vi kun ser på bevægelser i en retning får vi 

selvfølgelig også at 

c 2 ∆t ′2 − ∆r ′2 = c 2 ∆t 2 − ∆r 2 

(2.9) 

Til brug i afsnit 6 definerer vi intervallet mellem to begivenheder som 

∆s 2 ≡ c 2 ∆t 2 − ∆x 2 − ∆y 2 − ∆z 2 

(2.8) 

(2.10) 

For alle disse værdier husker vi på, at notationen egentlig er forkert, idet der burde have stået 

(∆a) 2 i stedet for ∆a 2 , da det er kvadratet på differensen og ikke differensen af kvadraterne. 

2.6 Hastighedsgrænser 

Fartgrænsen i universet er c. Hvis noget bevæger sig hurtigere end c, begynder ting at have en 

effekt før de sker og det bryder vi os ikke om. Hold dig derfor indenfor fartgrænsen eller vi 

kom efter dig. 

Iøvrigt er du nødt til at blive ved med at bevæge dig med overlyshastigheder, hvis først du 

er gået i gang og hvis ikke du er gået i gang, så er det bare ærgeligt, for så kan du nemlig ikke 

komme over lyshastigheden. 

Ting som skæringspunkter kan dog bryde fartgrænsen, men deres overlyshastigheder kan 

vi ikke bruge til at overføre information med. 

6


2.7 Rumtidsdiagrammer 

Som regel hjælper det en hel del at tegne tegninger, af det man laver, men da det kan være 

svært nok at tegne tre dimensioner på et papir, tænker man umiddelbart, at det da må være 

fuldstændig umuligt at lave fire dimensioner (det er det naturligvis også), men hvis man snyder 

lidt og laver tre om til en, ved blot at tage afstanden fra et punkt (og sige at alle punkter ligger 

langs denne retning), kan man lave fire dimensioner om til to og lave nogle særdeles brugbare 

diagrammer med retningsafstanden ud af førsteaksen og tiden ganget med lyshastigheden ud 

af andenaksen. 

Hvis man i dette koordinatsystem slår to streger gennem et vilkårligt punkt, der har hældningen 

1 og -1, så vil alle punkterne på linjerne over selve punktet repræsentere de steder hvor 

et lyssignal vil kunne nå frem til, hvis det blev udsendt fra dette punkt i rumtiden (disse streger 

kaldes lyskegler). Området mellem de to linjer over punktet vil kunne nås med underlyshastigheder 

og vil dermed kunne påvirkes af begivenheden i punktet. Omvendt gælder det, at 

linjerne under punktet viser de steder, et lyssignal i punktet kunne komme fra og området mellem 

de to linjer viser de steder, der kunne påvirke begivenheden, hvis de bevægede sig med 

underlyshastigheder. Den resterende del af diagrammet kan ikke påvirke eller blive påvirket af 

en begivenhed i punktet (et punkt, der ikke ligger inden for et andet punkts lyskegle, kaldes 

isoleret). 

Man bør iøvrigt holde for øje, at to isolerede punkter sagtens kan påvirke de samme begivenheder, 

såfremt de ligger inden for hvert af de isolerede punkters lyskegler. 

2.8 Grafisk repræsentation af Lorentz-transformationen 

Afsnittet er ikke pensum, men super spændende og vil ødelægge din tankegang i et par timer(/dage), 

hvis du sætter dig ned og kigger det ordentligt igennem (men det er det værd). 

3 Relativistisk kinematik 

3.1 Længdeforkortning 

Som jeg var inde på i afsnit 2.2, sker der ved al bevægelse en forkortelse af alle legemer i bevægelsesretningen. 

Jeg vil ikke uddybe det nærmere end at gentage ligningen. 

3.2 Tidsforlængelse 

L = L0 

γ = L0 

 

· 1 − v2 

c2 Set fra to inertialsystemer med hver deres hastighed vil tidsintervallet mellem to begivenheder 

have forskellig varighed. I modsætning til længden bliver intervallet dog forlænget, men med 

samme faktor. Dermed får vi udtrykket 

T = γT0 = 

7 

T0 

 

1 − v2 

c2 (3.1) 

(3.2)


3.3 Transformation af hastigheder 

Vi ser nu på to inertialsystemer S og S ′ , hvor S ′ bevæger sig med en hastighed v i forhold til 

S. Hvis der i S er et legeme, der bevæger sig med en hastighed u, må dette ligeledes have en 

hastighed u ′ i S ′ . Forholdet mellem disse hastigheder er givet ved følgende ligninger: 

u ′ x = ux − v 

1 − ux·v 

c2 u ′ uy 

y = 

γ(1 − ux·v 

c2 ) 

u ′ uz 

z = 

γ(1 − uz·v 

c2 ) 

ux = ux + v 

1 + ux·v 

c2 uy 

uy = 

γ(1 + ux·v 

c2 ) 

uz 

uz = 

γ(1 + uz·v 

c2 ) 

(transformation til bevægede hastigheder) 

(3.3) 

(transformation fra bevægede hastigheder) 

Her er ux, uy og uz hastigheden i x, y og z retningen og hastigheden v har samme retning som 

x-aksen. 

3.4 Retning af bevægelse 

Hvis vi bibeholder de to inertialsystemer fra sidste underafsnit, men begrænser legemets bevægelse 

til kun at foregå i (x, y)-planen, så kan vi lave nogle beregninger på hvilken vinkel, 

bevægelsen laver med x-aksen i de to inertialsystemer. 

Vi ser først at 

cot θ = uy 

og cot θ 

ux 

′ = u′ y 

u ′ (3.5) 

x 

Som følge heraf kan vi udlede følgende formel, der giver os sammenhængen mellem vinklerne 

i to inertialsystemer, der bevæger sig med en hastighed v i forhold til hinanden. 

(3.4) 

cot θ ′ = γ cot θ(1 − v 

) (3.6) 

u cos θ 

Da min lommeregner ikke har en cotangens funktion, har jeg skrevet denne formel om til en 

tangens funktion. 

tan θ ′ u sin θ 

= 

(3.7) 

γ(u cos(θ) − v) 

4 Relativistisk optik 

Til dette afsnit er der specielt en ligning, man bør have langt inde under huden, da den kan 

være yderst brugbar. 

c = λν (4.1) 

8


4.1 Doppler-effekten 

Doppler-effekt beskriver det fænomen, at bølger fra en bølgekilde, der befinder sig i et bevæget 

inertialsystem, vil ændre karakter for alle andre inertialsystemer. I løbet af dette underafsnit vil 

følgende forkortelser være gældende: 

c bølgens udbredelseshastighed i mediet 

w oscillatorens hastighed i forhold til mediet 

v iagttagerens hastighed i forhold til mediet 

u den relative hastighed mellem medie og oscillator (u = v = w) 

ν0 oscillatorens frekvens 

ν den iagttagne frekvens 

α vinklen mellem x-aksen og oscillatorens bevægelsesretning 

Her regnes v og w positive, når kilderne bevæger sig væk fra hinanden. 

4.1.1 Kort om klassisk Doppler-effekt 

Doppler-effekt er som sådan ikke noget, der kommer som resultat af relativitetsteorien, den 

bliver blot korrigeret en smule. Den eneste formel vi behøver at kende for klassisk Dopplereffekt, 

er: 

4.1.2 Relativistisk Doppler-effekt 

ν kl 

For relativistiske hastigheder hedder formlen: 

ν0 

ν rel 

ν0 

= 1 − v c 

1 + w c 

= 

 

1 − u c 

1 + u c 

Denne kan let omskrives så den beskriver bølgelængder i stedet. Således gælder det også at 

4.1.3 Ikke parallel Doppler-effekt 

λ0 

λ rel 

= 

 

1 − v c 

1 + w c 

Hvis oscillatorens bevægelse ikke sker parallelt med iagttageren, må der naturligvis gælde nogle 

andre regler for Doppler-skiftet. Denne korigering giver følgende formel: 

4.2 Lysets aberration 

λ0 

λ rel 

= ν rel 

ν0 

= 

 

1 − u2 

c2 1 + u = 

c cos α 

γ(1 + u c 

1 

cos α) 

Lysets aberration svarer til det faktum, at man får vand i øjnene, når man cykler og ikke når man 

står stille. Når man står stille lader regnen til at have en så lille vinkel med lodret, at dråberne 

ikke kan komme ind til øjnene. Hvis man bevæger sig, lader vinklen til at blive større med 

9 

(4.2) 

(4.3) 

(4.4) 

(4.5)


det til tider irriterende resultat, at man får regn i øjnene, og derfor må køre langsommere for at 

kunne se ordentligt. Her er regnens hastighed så blot lig lysets, hvilket umiddelbart gør vinklen 

neglicibel, indtil man bevæger sig med relativistiske hastigheder. 

Alt dette kan reduceres til blot at være et specialtilfælde af underafsnit 3.4, som giver formlen 

cot θ = γ cot θ ′ (1 + v 

), (4.6) 

c cos θ ′ 

hvilket svarer til (3.6) hvor u er sat til lysets hastighed. 

5 Rumtiden og fire-vektorer 

I Mogens Dams hæfte bliver der til dette kapitel gennemgået regnereglerne for 3-vektorer, disse 

har jeg ikke tænkt mig at opsummere her. 

5.1 3-dimensionale rumtidsdiagrammer 

I underafsnit 2.7 har jeg beskrevet de fleste egenskaber ved rumtidsdiagrammer. Ved at sætte 

en ekstra dimension på, får vi blot 3-dimensionelle strukturer der er en dimension tættere på 

at vise virkeligheden, men en dimension sværere at tegne. Ved at gå til tre dimensioner bliver 

det åbenlyst, at vi må tage højde for afstanden i de tre rumlige dimensioner fremfor blot 

x-retningen, hvis vi skal gøre os forhåbninger om at finde ud af hvorvidt to begivenheder er 

isolerede eller ej. I de 3-dimensionale diagrammer bliver lysets mulige verdenslinjer fra en begivenhed 

afbildet som en dobbeltkegle, hvoraf vi får det allerede brugte udtryk lyskegler. 

Figurene 5.2 og 5.3 kan varmt anbefales til at visualisere disse principper, specielt ved sammenligning 

med figur 2.5. 

10


5.2 4-vektorer 

5.2.1 Regning med 4-vektorer 

For 4-vektorer gælder følgende regneregler: 

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 

⎜ 

⎝ 

A0 

A1 

A2 

A3 

⎟ 

⎠ + 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

β ⎜ 

⎝ 

⎛ 

1 

δ · 

⎜ 

⎝ 

B0 

B1 

B2 

B3 

A0 

A1 

A2 

A3 

A0 

A1 

A2 

A3 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

A0 + B0 

A1 + B1 

A2 + B2 

A3 + B3 

⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎛ ⎞ 

βA0 

⎜ 

⎜βA1 

⎟ 

⎝βA2 

⎠ 

βA3 

⎞ ⎛ ⎞ 

⎟ 

⎠ = 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

A = ⎜ 

⎝ 

A0 

δ 

A 1 

δ 

A2 

δ 

A3 

δ 

A0 

A1 

A2 

A3 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(5.1) 

(5.2) 

(5.3) 

(5.4) 

A 2 =A 2 0 − A21 − A2 2 − A23 

(5.5) 

A = |A2 | ≥ 0 (5.6) 

A · B =A0B0 − A1B1 − A2B2 − A3B3 

Regnereglerne minder meget om dem for 3-vektorer, men der er et par ret så væsentlige forskelle. 

5.2.2 4-vektor geometri 

I dette underafsnit vil jeg forsøge at relatere 4-vektorerne til rumtidsdiagrammerne. 

Kvadratet på en 4-vektor kan være enten negativ, positiv eller 0. Hvis kvadratet er 0 peger 

vektoren langs lyskeglen for en begivenhed i begyndelsespunktet for vektoren, denne slags 

vektorer kaldes lysagtige. Hvis kvadratet er positivt peger vektoren ind i lyskeglen og kaldes 

tidsagtig. Endelig er der muligheden hvor kvadratet er negativt. Her peger vektoren ud af lyskeglen 

(hvor ellers?) og den kaldes for rumagtig. 

Årsagen til navngivningen er ganske simpel. Lysagtige vektorer følger lysets bevægelse, 

mens tidsagtige vektorer beskriver en bevægelse, der inden for fysikkens rammer kan ske over 

tid og de rumagtige ikke er mulige bevægelser, men kan vise rumlige placeringer for andre 

begivenheder. 

Tidsagtige og lysagtige vektorer kaldes sammen for kausale vektorer, idet bevægelse langs 

dem kan være årsag til andre begivenheder. 

Vi ved at 3-vektorer kan roteres, så de går fra at have formen (a,b,c) til (d,0,0). 4-vektorer kan 

roteres, så de går fra (a,b,c,d) til (e,f,0,0). Ved en sådan rotering vil fortegnet for førstekomponenten 

(den tidslige) altid have samme fortegn. Derfor kan vi opdele 4-vektorer i fremtidige og 

fortidige baseret på fortegnet af deres første komponent (+ betyder fremtidige, - fortidige). 

11 

(5.7)


5.3 Egentiden 

Egentiden for en 4-vektor er defineret således: 

dτ 2 ≡ ds2 

c 2 = dt2 {1 − dx2 + dy 2 + dz 2 

c 2 dt 2 } (5.8) 

Egentiden for en partikel, der bevæger sig, bliver således lig med egentiden for den 4-vektor, 

der beskriver dens bane. Egentiden er altså et udtryk for den forlængede tid i et inertialsystem, 

der bevæger sig efter 4-vektoren. 

Denne kan desuden omskrives til 

dt 

dτ = 

1 

 

1 − u2 

c 2 

Hvor u er den hastighed, hvormed partiklen bevæger sig. 

5.4 4-hastigheden 

= γ(u) (5.9) 

En partikels position kan skrives som en 4-stedvektor. Derfor virker det jo naturligt, at dens 

hastighed også må kunne skrives som en 4-vektor, det kender vi jo fra 3-vektorerne. Dette ville 

vi jo dog typisk gøre ved at differentiere med hensyn til tiden, men det kan vi jo ikke, når nu 

tiden er en af de fire komponenter. Derfor benytter vi i stedet egentiden, som netop er blevet 

defineret og får dermed: 

⎛ ⎞ 

U ≡ dX 

dτ = 

⎜ 

⎝ 

c dt 

dτ 

dx 

dτ 

dy 

dτ 

dz 

dτ 

⎟ 

⎠ 

(5.10) 

Ved at benytte kædereglen kan vi nå frem til et noget kortere udtryk, der giver os 4-hastigheden 

således: 

⎛ ⎞ 

γc 

⎜ 

U = γ(u)(c,u) = ⎜γux 

⎟ 

⎝γuy⎠ 

γuz 

(5.11) 

Resultaterne herfra kan benyttes til at eftervise ligningerne i underafsnit 3.3. 

5.5 4-accelerationen 

Vi har godt nok ikke gennemgået dette afsnit, men det behøver jo ikke at forhindre mig i at 

skrive lidt om det. 

4-acceleration er defineret på nøjagtig samme vis som man bør forvente, nemlig 

På vektorform bliver dette 

A ≡ d2X dU 

= 

dτ2 dτ 

⎛ 

⎜ 

A = γ ⎜ 

⎝ 

c dγ 

dt 

dγ 

dt ux + γax 

dγ 

dt uy + γay 

dγ 

dt uz + γaz 

12 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(5.12) 

(5.13)


I en partikels hvilesystem vil det iøvrigt gælde at 

6 Relativistisk mekanik 

U 2 = c 2 

(5.14) 

Hastighed spiller i den klassiske mekanik en stor rolle, det er således hastigheden og størrelsen 

af denne, der afgør impulsen og energien for et legeme i allerhøjeste grad. Når nu vi har set så 

store problemer med at lægge egenskaber sammen og alle andre regneoperationer for legemer, 

der bevæger sig med store hastigheder, så må vi logisk nok antage, at der også vil være nogle 

rettelser til egenskaber som impuls og energi. 

6.1 Impulsbevarelse 

Klassisk har vi defineret impulsen som produktet af massen og hastigheden. Derfor vælger 

vi nu, hvor vi kender til relativitetsteorien at definere impulsen til at være produktet af den 

invariante masse og 4-hastigheden, altså 

P = mU (6.1) 

Denne definition og (5.14) giver os værdien for impulsen kvadreret i hvilesystemet 

P 2 = m 2 c 2 

Udfra alt det vi nu har kan 4-impulsen endeligt defineres som 

⎛ ⎞ 

c 

⎜ 

P ≡ γ(u)m ⎜ux 

⎟ 

⎝ ⎠ 

Med denne notation tager vi impulsbevarelsen som aksiom (en matematisk eller filosofisk sætning 

som hører til grundlaget i et system, og som ikke kan bevises inden for dette system (hvis 

du vil vide mere om aksiomer, så skrev jeg SRP om matematikkens aksiomer og kan sikkert 

hjælpe)). 

Formelt kan dette opskrives som 

6.2 Energibevarelse 

uy 

uz 

∑ 

i=1,Nstart Pi = ∑ Pj j=1,Nslut Som resultat af impulsbevarelsen opstår også energibevarelsen. Det første resultat er Einsteins 

berømte ligning for hvileenergien 

E0 ≡ mc 2 

(6.5) 

Den totale energi for en partikel bliver imidlertid 

E = γmc 2 

13 

(6.2) 

(6.3) 

(6.4) 

(6.6)


Hvilket må betyde at den kinetiske (eller i hvert fald forskellen på den totale energi og hvileenergien) 

bliver 

K = (γ − 1)mc 2 

(6.7) 

Som følge af (6.6) får vi også at impulsen kan beskrives som værende 

⎛ ⎞ 

Desuden følger også 

⎜ 

P = ⎜ 

⎝ 

E 

c 

px 

py 

pz 

⎟ 

⎠ 

p = E 

c 2u 

6.3 Sammenhæng mellem impuls og energi 

Til sammenligning mellem impuls- og energibevarelse er der en vigtig formel. Denne er 

6.4 Masseløse partikler 

E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 

(6.8) 

(6.9) 

(6.10) 

Af sidste underafsnit ses det, at vi også kan udregne energien for masseløse partikler, såsom 

fotoner. Her bliver (6.10) til 

p = E 

(6.11) 

c 

4-impulsen for den masseløse partikel bliver derved 

P = E 

 

1 

(6.12) 

c n 

Hvor n er enhedvektor for bevægelsen. 

Til dette underafsnit hører også sammenhængen mellem en partikels energi og frekvens, der 

er givet ved 

E = hν (6.13) 

Hvor h er Plancks konstant. 

6.5 Tyngdepunktssystemet og den invariante masse 

For ethvert system af partikler (på nær et bestående af masseløse partikler, der alle bevæger 

sig parallelt) kan man opstille et inertialsystem, hvor den samlede impuls er 0, dette kaldes et 

tyngdepunktssystem. For et sådant system er følgende gældende: 

 

Ei Ec 

E = ∑ Ei, p = ∑p i, P = ∑ Pi = c ∑ = 

(6.14) 

p 

i 

i 

1 1 i p 

For dette indertialsystem vil det være givet at 

P CM = 

 

Mc 

0 

Hvor M er den totale masse for systemet. Denne masse er bevaret for ethvert inertialsystem. 

14 

(6.15)


6.5.1 Elektronvolt 

Da energien, massen og impulsen for mange partikler er uhåndgribeligt lille vælger man ofte 

at benytte enheden eV (elektronvolt) i stedet for Joule, eV 

c2 i stedet for kg og eV c i stedet for kg m s . 

Omskrivningsfaktoren er givet ved 

7 Anbefalinger 

1 eV = 1.6022 · 10 −11 J (6.16) 

Som lovet vil jeg slutte af med at komme med et par anbefalinger til hvilke dele af hæftet, man 

bør holde særligt øje med. 

Hvis man er den mindste smule i tvivl, om hvad forskellen på invariant, bevaret og konstant 

er, så bør man læse appendiks A i hæftet. 

Uden at have set et eneste af de tidligere prøvesæt, føler jeg mig sikker på, at en af opgaverne 

i prøven vil give resultatet 0, hvis man benytter lommeregneren, fordi man skal bruge 

taylorudvikling. Derfor læs afsnittet om taylorudvikling i Kalkulus en ekstra gang og tjek op på 

Appendiks B. 

Når du begynder på en opgave, så prøv at lave en tegning af systemet, der beskrives i opgaven. 

Som regel tydeliggører det, hvor problemet ligger og hvis du har problemer med at 

tegne/beskrive en bestemt del af opgaven, er det nok heri, at problemet ligger. 

Til slut vil jeg anbefale, ligesom Ian og Mogens efterhånden har gjort en del gange, at man 

læser hele opgavesættet igennem, før man går i gang med at regne opgaverne. Ikke blot fordi 

man så kan udvælge den letteste, men også fordi man så har de andre opgaver liggende i 

underbevidstheden og så småt tænker, på hvordan man skal løse dem, når man når til dem. 

Nåh ja og så husk en lommeregner, du får brug for den (men nok kun plus, minus, gange, 

dividere, cos, sin, tan og evt. cot (hvis du ikke bruger mine omskrivninger). En solve-funktion 

kan også bruges, men så ser man ikke al den smukke matematik (det sparer dog af og til en for 

fejl). 

Albert Einstein: Try not to become a man of succes, but rather try to become a man of value. 

15

Formler til den specielle relativitetsteori - itslearning

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?