Geometri - Matematik

Mine matematik noter 

C 

Ib Michelsen 

mimimi.dk 

Ikast 2006

Indholdsfortegnelse 

Indledning..................................................5 

Geometri....................................................7 

Om geometri.........................................9 

Navne..................................................11 

Definition: Trekanten...................11 

Ensvinklede og ligedannede trekanter13 

Definition: Ensvinklede trekanter 13 

Definition: Ligedannede trekanter 

......................................................14 

Sætninger om ligedannede og 

ensvinklede trekanter ..................16 

Kendte sætninger om geometri ..........27 

Euklids Elementer .......................28 

Definition: Parallelle rette linier...30 

Definition: Midtnormal................31 

Sætning: Omskreven cirkel..........31 

Definition: Vinkelhalveringslinje.32 

Sætning: Indskreven cirkel...........32 

Definition: Højde.........................33 

Definition: Median.......................33 

Definition: Nabovinkler og 

Topvinkler....................................35 

Sætning: Topvinkler.....................35 

Definition: Ensliggende vinkler...35 

Definition: Parallelle rette linier...36 

Sætning: Parallelle linjer og 

ensliggende vinkler......................37 

Sætning: Trekantens vinkelsum...38 

Sætning: Pythagoras ....................39 

Sætning: Trekantens areal............41 

Trigonometri.......................................43 

Definition: Standardtrekant..........44 

Definition af sinus-funktionen: 

sin(v)............................................46 

Definition af cosinus-funktionen: 

cos(v)............................................47 

Sætning: sin(v).............................49 

Sætning: cos(v).............................51 

Definition af tangens-funktionen: 

tan(v)............................................54 

Sætning: tan(v).............................55 

Pythagoras og andre sætninger...........58 

Pythagoras sætning.......................59 

Sætning: Pythagoras og 

standardtrekanten.........................64 

Sætning: Afstande i planet...........65 

Sætning: Afstande i rummet.........68 

Sinusrelationerne .........................69 

Cosinusrelationerne .....................72

Geometri 

Detalje fra Matematiker Johannes Meyers kort over 

Aabenraa Amt og Lundtofte Herred (1648)

Om geometri 

Geometri er et sammensat ord af græsk oprindelse. Ge betyder "jord" 

og metri er afledt af et græsk ord for "måler". Geometri er altså læren 

om opmåling af jord. 

Geometri, som ordet bruges idag, er også læren om figurer: enten i 

rummet (rumgeometri) eller i planet (plangeometri) eller på en 

kugleoverflade (sfærisk geometri). Når vi i dag anvender ord af græsk 

oprindelse, skyldes det arven fra gamle græske matematikere, der levede 

for ca. 2500 år siden; blandt de mest kendte er Euklid og Pythagoras. 

Behovet dengang som nu var at kunne beskrive grænsen mellem din 

jordlod og min jordlod og i en større målestok at kunne tegne kort over 

store områder som vejledning for den søfarende. Kortene var ikke altid 

lige gode: Det ældste danmarkskort stammer således fra ca. år 200 efter 

vor tidsregnings begyndelse og opmålingerne skylder vi Ptolemæus, en 

astronom og geograf fra Alexandria. Men der skal megen god vilje til at 

kunne genkende vort land på kortet. 

Jeg har medtaget Johannes Meyers lille kort over Aaberaa (Apenrade) 

fra 1648. Meyer er én af Danmarkshistoriens store korttegnere. Som 

man kan se, underskriver han sig ”Matematiker”, hvilket minder os om 

om sammenhængen mellem det praktiske arbejde, der udføres af 

landinspektører og landmålere og korttegnere, og det teoretiske, der 

udføres af matematikere. 

På Johannes Meyers tid var opmåling af hele Danmark ved hjælp af triangulering 

knap begyndt. Triangulering vil sige, at landområdet 

inddeles i store trekanter, hvor trekanternes hjørner stedbestemmes 

meget nøjagtigt. 

Men først langt senere i 1764 startede Bugge 1 en opmåling, hvor hele 

landet blev delt ind i trekanter. Teknikken var: Bugge startede med en 

omhyggelig opmåling af én side i den første trekant (basislinjen). 

Derefter målte han vinklen i et trekantshjørne, hvor basislinjen er det 

ene vinkelben og sigtelinjen mod trekantens 3. punkt er det andet ben. 

Denne vinkelmåling blev gentaget i det andet trekantshjørne på 

basislinjen. Så kunne alle sider og vinkler bestemmes i denne første 

1 Kilde: http://www.geomat.dk/landmaaling/kildetekster/pdf/Triangulering.pdf

trekant. Fra de beregnede sider i trekanten kunne man arbejde sig videre 

og opmåle nye trekanter udelukkende ved at bestemme vinkler. Således 

blev hele Danmark dækket af et net af trekanter, der kunne bruges til 

korrekt placering af de kort, der dækkede et mindre område. Det er bl.a. 

dele af teknikken vedrørende disse trekantsberegninger, der skal 

omtales i det følgende. 

Brøndbye Høi 

1.:Triangulering (Bugges første trekanter) 

Basislinjen er den blå (omhygggeligt opmålte) linje fra Tinghøj til Brøndbye 

Høj. Alle øvrige (sorte) afstande er beregnet ved hjælp af vinklerne og 

basislinjen. Fra de nye punkter arbejdes der videre på trekantsnettet over 

Ballerup, Ølstykke ... til det fjerne Jylland. 

8 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 

Tinghøj 

Rundetårn

Navne 

Vi starter gennemgangen af geometrien med at præcisere, hvorledes vi 

bruger ordene. Sådanne ”præciseringer” kaldes definitioner. For at gøre 

det, må vi gribe til tidligere definerede begreber. Men der må 

nødvendigvis være en første definition, hvor forklaringen ikke kan 

benytte andre definitioner, men kun det almindelige sprog. 

De vigtigste definitioner er fremhævet som lige herunder: 

Definition: Trekanten 

En trekant er en figur begrænset af 3 rette linjer. 2 

2.: Trekanten 

På figuren er trekanten navngivet ABC eller ΔABC, hvor hvert (stort) 

bogstav svarer til et skæringspunkt for to af linierne. Skæringspunkterne 

kaldes hjørner eller vinkelspidser. 

2 Jævnfør Euklids definition 19, som definerer figurer begrænset af rette linjer, herunder 

trekanter. Euklids geometri omtales nærmere i et senere kapitel. 

Læst|Forstået|Tavle|Perfekt 9

Det vil sige: A, B og C er punkter. 

En af linierne går gennem punkterne A og B. Liniestykket AB kaldes siden 

c, fordi den side ligger over for C. Den kaldes også: den modstående 

side. (Det er den blå side.) 

Hvis vi vil fortælle, hvor lange siderne er, kan vi gøre det med eller 

uden måleenheder. På et kort vil vi typisk sige: Afstanden fra et sted til 

et andet er a = 2,5 km. I en matematikopgave er der ofte ingen 

måleenhed opgivet, men blot (for eksempel) a = 4. 

a har altså en dobbelt betydning: Sommetider er a en betegnelse for 

siden – og sommetider er a en betegnelse for sidens længde. Fordi a går 

fra B til C kan man også skrive: 

a = |BC| = 4 (eller hvor lang a nu er.) Her er tallet a, |BC| og 4 det samme, 

nemlig sidens længde. 

C er en vinkelspids. Forestil dig, at du sidder i punktet C og har placeret 

dine ben på trekantens sider. Dit højre ben er placeret på den grønne 

side, dit venstre ben er placeret på den røde side. Derfor kaldes halvlinien 

fra C gennem den grønne side for vinkel C's højre ben. 

Vi vil skrive, hvor stor vinkel C er. I figurer, hvor der indgår flere end 3 

punkter, er der tit brug for at præcisere, hvad der er vinkelspids og hvad 

der er vinklens ben. Derfor bruges to skrivemåder: ∠C = 125° eller 

∠ΑCB = 125°. Den første bruges, hvor der ikke er tvivl, den anden 

bruges for at præcisere, at C (midterste bogstav) er vinkelspidsen, de to 

andre punkter er punkter på hver sit vinkelben. Bemærk, at vinkelspidsen 

svarer altid til det midterste bogstav. 

Vinkler mellem 0° og 90° kaldes 

spidse, vinkler på præcis 90° 

kaldes rette og vinkler på mellem 

90° og 180° kaldes stumpe. 

Trekanter deles op i tre typer: 

3.: Vinkeltyper 

10 Læst|Forstået|Tavle|Perfekt

● spidsvinklede, hvor alle vinkler er spidse 

● retvinklede, hvor en af vinklerne er ret og 

● stumpvinklede, hvor en af vinklerne er stump. 

Øvelse: Trekantens navne i ΔABC 

● Peg på b 

● Er b < a ? 

● Er ∠C < ∠B? 

● Er ∠C < ∠BAC? 

● Hvilken vinkel er stump i ΔABC ovenover? 

● Hvilken farve har vinkel A's højre ben? 

● Er a = A? 

● Hvilken vinkel er ret? 

Ensvinklede og ligedannede trekanter 

Definition: Ensvinklede trekanter 

To trekanter kaldes ensvinklede , når der for hver vinkel i den ene findes 

en lige så stor vinkel i den anden. 

Øvelse: Ensvinklede trekanter 

4.: En trekant (?) 

● Du skal vælge en af vinklerne i den røde trekant; marker den 

med en bue (det er en del af en cirkel fra vinkelben til vinkelben 

tæt ved vinkelspidsen.) Mål vinklen med vinkelmåler. Find en 

vinkel i den blå trekant, der er lige så stor. Marker også den 


med en bue. 

5.: Ensvinklede trekanter 

● Vælg så den næste vinkel i den røde trekant; marker den med to 

buer og find den tilsvarende i den blå trekant, som får samme 

markering. 

● Til sidst skal du kontrollere, at de to sidste vinkler i hver sin 

trekant er ens. 

Hvis det er rigtigt, har du vist, at definitionen er opfyldt: de to trekanter 

er ensvinklede. 

● Du og din sidemand laver hver sin trekant (størrelse: ½ – 1 A4ark) 

og aftaler i forvejen, hvor store 2 af vinklerne skal være. 

Bagefter sammenlignes tegningerne. Hvad bemærker I? 

Definition: Ligedannede trekanter 

To trekanter kaldes ligedannede, når der findes et tal k, så vi kan beregne 

sidelængderne i den anden trekant som k gange sidelængderne af 

de tilsvarende sider i den første trekant. 


Den anden trekant er altså en forstørrelse eller formindskelse af den 

første. 

k kaldes skalafaktoren eller forstørrelsesfaktoren. 

6.: Ligedannede trekanter 

● Er den blå side kendt, findes den tilsvarende røde ved at 

multiplicere (gange) med k. 

● Er den røde side kendt, findes den tilsvarende blå ved at dividere 

(dele) med k. 

Hvis k>1 (som her) fås mål i en forstørret trekant, hvis k

Sætninger om ligedannede og ensvinklede 

trekanter 

2 trekanter, der er ensvinklede, er også ligedannede. 

Omvendt gælder også: 

2 trekanter, der er ligedannede, er også ensvinklede. 

Sætningerne bevises 3 ikke, men i den følgende øvelse tester vi på tilfældigt 

valgte eksempler, om de er rigtige. Men: fordi vi ikke kan kontrollere 

alle mulige trekanter, kan vi ikke være sikre på , om der findes 

eksempler på, at sætningen ikke passer! 

Øvelse: Find skalafaktor 

● Tegn en tilfældigt valgt trekant. Størrelse: Ca. ½ A4-ark. 

● Tegn en ny trekant med de samme vinkler. 

● Mål begge trekanters sider og udfyld skemaet herunder med sidernes 

længder. (Bemærk: I enhver trekant ligger den største 

side overfor den største vinkel.) 

● Beregn skalafaktoren 3 gange. Hver gang skal du benytte 

formlen: k = (sidelængde i ny) / (sidelængde i første) 

3 Et ”bevis” er en overbevisende argumentation for, at en påstand er rigtig. Senere 

vil du møde eksempler på matematiske beviser. 


Første trekant 

Ny trekant 

Skalafaktor 

Tabel 1. 

Største Mellemste Mindste 

● Hvordan har du vist, at den første sætning er rigtig i dit eksempel? 

● Gentag øvelsen nogle gange. Sommetider er den første den 

største, sommetider er den første den mindste trekant. 

Øvelse: Tegn ligedannede trekanter 

● Tegn en tilfældigt valgt trekant. Størrelse: Ca. ½ A4-ark. 

● Tegn en ny trekant, der er ligedannet med den første, idet du benytter 

skalafaktoren 2. 

● Mål begge trekanters vinkler, og udfyld skemaet herunder med 

vinklernes størrelser. Bemærk: I enhver trekant ligger den største 

vinkel overfor den største side. 

Første trekant 

Ny trekant 

Tabel 2. 

Største Mellemste Mindste 

● Hvordan har du vist, at den anden sætning er rigtig i dit eksempel? 

● Gentag øvelsen nogle gange med andre skalafaktorer. Vælg også 

skalafaktor 0 < k < 1. 

● Hvilken rolle spiller det, om du drejer (roterer) trekanten? 


Øvelse: Flagstangen 

● En solskinsdag står du i skolegården ved siden af flagstangen. 

Du skal finde flagstangens højde. 

● Tegn først en skitse af de to ensvinklede trekanter, hvor du (i 

den geometriske model) er en side i den ene og flagstangen en 

side i den anden. 

● Begrund, hvorfor de er ensvinklede. 

● Foretag nødvendige målinger; noter resultaterne. 

● Beregn flagstangens højde. 

● Begrund, hvorfor din metode er rigtig. 

● Gør præcist rede for, hvad du har gjort af antagelser om den virkelighed, 

som din tegning er en model af. 

● Hvis nogle af dine antagelser strider mod virkeligheden, skal du 

fortælle, hvilken betydning det får for beregningen af flagstangens 

højde. 

● Hvad ville du gøre, hvis skolen ikke skinnede? 

Projekt: Maalebordsblade 4 

Undersøg 5 hvordan (og hvorfor) man fra omkring 1800 tegnede kort af 

typen ”Maalebordsblade”. 

Prøv eventuelt at tegne dele af egne kort med samme teknik – gerne i en 

forenklet form. 6 

Projektets produkt (arbejdsresultatet) kan være et eller flere af følgende: 

4 Et matematikprojekt eller et projekt i samarbejde med et eller flere fag som 

geografi, historie med flere. 

5 Benyt din lærers litteraturhenvisninger , biblioteket samt Internettet (for eksempel 

http://www.geomat.dk og http://www.stenomuseet.dk.) 

6 For at forstå princippet i konstruktionen og for at tegne dele af et kort, behøver 

man blot et stykke papir (A3-format), en blyant, en lineal, et målebånd, 1-2 borde 

og et vaterpas. 


♦ Kort 

♦ Rapport 

♦ Præsentation 

♦ Foredrag 

♦ Hjemmeside 

Samos 

Et eksempel på en ingeniørbedrift i antikken, der kunne 

udføres med hjælp fra teorien om ensvinklede og 

ligedannede trekanter. 

Samos er en græsk ø, der ligger meget tæt på det land, der i dag er Tyrkiet. 

Mellem 600 og 500 år før vor tidsregning blev der gravet en tunnel 

gennem bjerget Castro. Tunnelen var lidt over 1 km lang og havde et 

tværmål på 2m x 2m. Tunnelen skulle bruges til at skaffe vand fra en 

kilde på den ene side af bjerget til befolkningen på den anden side af 

bjerget. 

Eftertiden kan se, at tunnelen består af to halve tunneler, der midt i 

bjerget næsten rammer hinanden præcist. Det fantastiske er, at de 

rammer hinanden! De to gravehold har begge holdt en næsten perfekt 

retning, så de kunne mødes på midten. Spørgsmålet er: hvordan gjorde 

de det? 

Selve gravearbejdet er selvfølgelig det samme ligemeget om man 

graver to halve eller en hel tunnel. Men materialet skal jo også ud – og 

med to halve tunneler skal intet bæres mere end gennem et halvt bjerg. 

Der findes ingen samtidig beretning om, hvorledes Eupalinos, som stod 

for arbejdet, beregnede retningerne og ledede arbejdet. Så enhver 

fortælling er mere eller mindre begavet gætteri: 

Således gættede også en begavet ingeniør ca. 600 år senere, hvorledes 

konstruktionen blev gennemført. Hans navn var Hero. 7 Hans forklaring 

7 Det interessante er, at Hero i sin forklaring blot bruger den teori, du lige har lært. 


stod ubestridt i næsten 2000 år. Der er dog problemer med at forklare, at 

graveholdene ramte hinanden så godt, hvis man holder sig til Heros 

forklaring. 8 

Men vi vil se på princippet i Heros forklaring: Ifølge Hero går man 

rundt om bjerget i rette vinkler (og i samme højde.) Derved kan man 

beregne 2 af sidelængderne 

i en retvinklet 

trekant, hvor tunnelen 

udgør den 3. side. 

● Tilføj de to kateter 

på principskitsen! 

For at bevæge sig rundt 

om bjerget i samme højde, 

må man skifte retning 

forholdsvis mange gange. I 

gennemgangen her 

forenkles det til nogle få 

knæk, hvilket er nok til at 

illustrere princippet. Det er 

også nødvendigt at have en 7.: Principskitse med Samos, Castro og tunnel 

metode, så man kan 

markere den samme højde på turen rundt om bjerget. 

Vi har givet bjerget, kilden og udløbet. (Se næste skitse) 

Det ene problem er at grave i den rigtige retning. Det andet problem er 

at sørge for, at udløbet er placeret i samme højde som (eller en anelse 

lavere end) kilden. 

Vi starter ved kilden A og går væk fra den i en vilkårlig retning og 

kommer til til B. Vi markerer punktet i samme højde og måler 

afstanden fra kilden, for eksempel 100 m. Derfra drejer vi præcis 90° til 

venstre, går 800 m til C, drejer i en ret vinkel og går 1000 m mod D, 

drejer igen i en ret vinkel mod E og går 1400 m til F, hvor efter der 

8 Se for eksempel Tom M. Apostols overvejelser på 

http://pr.caltech.edu/periodicals/eands/articles/LXVII1/samos.html. 


drejes i en ret vinkel mod G 100 m væk. 

Skriv målene på tegningen. 

8.: En mulig rute fra kilden A til udløb G 

De to blå firkanter og den store hvide firkant er rektangler; derfor er 

deres modstående sider lige lange og man får nemt: 

|HG| = |CD| - |AB| - |EG| = 1000 m – 100 m – 100 m = 800 m 

|AH| = |DB| - |CB| = 1400 m – 800 m = 600 m 


Nu kan vi tegne en formindsket udgave af ΔAHG ved at benytte skalafaktoren 

og lave en trekant, der er ligedannet med trekanten i bjerget. 

Det betyder, at ∠AGH kan findes i den lille trekant. 

Forlænges AG som ret linje til F, ses at ∠EGF = ∠AGH, fordi de er 

topvinkler. Denne vinkel bruges til at finde retningen FG. 

Og denne retning er svaret på ingeniørens problem: nu kan han 

få sit ene gravehold til at grave i den rigtige retning. På 

nøjagtig samme måde kan han finde retningen på den anden 

side af bjerget for det andet gravehold. 

Da det er vigtigt, at de rette vinkler afsættes meget præcist, kunne man 

benytte et langt reb, der er delt i 3 længder: 5 længdeenheder, 4 

længdeenheder og 3 længdeenheder. Strammes det ud vil det være en 

retvinklet trekant; jævnfør senere sætningen: Omvendt Pythagoras. 

Dette havde længe været gængs viden. Alternativt kunne man 

konstruere vinklen med en ”passer”. 

Højden kunne kontrolleres med en form for vaterpas; dermed kunne 

man opstille 2 sigtepæle med en (næsten) vandret sigtelinje og få 

placeret en ny 3. pæl 100 m eller 800 m væk i den samme højde. 

Øvelse: Gengiv argumenterne i Samos-eksemplet 

● Du skal lave en række tegninger og i stikordsform anføre de 

argumenter, der fører frem til at man kan finde den retning ind i 

bjerget, der leder mod kilden henholdsvis udløbet. 

Øvelse: skøn over unøjagtighed 

Tegningen viser til venstre de to pæle, som 

benyttes til at finde sigtelinjen. På grund af en 

lille fejl sigtes 1mm for lavt langs den røde linje, 

hvor den grønne linje viser den rigtige retning. 

(Tegningens størrelsesfor-hold er ikke rigtige, 

for at gøre den nemmere at aflæse.) 

9.: 3 pæle og sigtelinjer 

Hvor stor er fejlen (angivet med blåt) ude ved den tredje pæl? 


Øvelse: Trekanter, der ligner hinanden 9 

10.: 2 trekanter 

På tegningen ovenover er der en blå og en rød trekant. Trekanterne er 

ligedannede. Det en stiplede linjestykke er en forstørrelse af det andet. 

De stiplede linjestykker er parallelle. 

● Hvorfor er alle linjestykkerne parallelle parvis? 

● Tegn en tilsvarende figur med to ligedannede trekanter – og 

forbind hjørnerne som her. 

● Har de tre forbindelseslinjer igen et fælles skæringspunkt (på 

tegningen er det S)? 

● Kan du finde en forklaring på observationen? 10 

På tegningen næste side er der tre trekanter, som alle er parvis 

ligedannede. Der kan dannes tre par: 

blå-rød 

blå-grøn 

rød-grøn 

For hvert par finder vi et skæringspunkt (S, S' og S''). På tegningen ser 

de tre punkter (altså S, S' og S'') ud til at ligge på en ret linje! 

● De to sidste punkter S' og S'' er fundet uden at tegne den sidste 

linje. Kontroller for dem begge at den også ville gå igennem 

henholdsvis S' og S''. 

9 Inspireret af Dr. Friedrich Reidt: ”Die Elemente der Mathematik”, Berlin 1881 

10 Nu er det ikke helt nemt ... 


● Er det en tilfældighed at de tre skæringspunkter ligger på en ret 

linje? Prøv at lav din egen tegning med lidt andre trekanter. 

11.: 3 Trekanter 

● Kan du give en forklaring på dine observationer? (Svært) 


Kendte sætninger om geometri 

Middelalderligt billede af Euklid 

(Kilde: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Euklid2.jpg)

Euklids Elementer 

Euklid var en græsk matematiker, der levede fra ca. 325 til 265 før vor tidsregning. 

Hans arbejde er en systematisk fremstilling af matematikken baseret på: 

● En definition af begreber som punkter, rette linier, figurer med videre. 

● 5 grundlæggende sætninger (postulater, forudsætninger eller aksiomer) 

○ Givet 2 punkter kan der tegnes et ret linjestyke mellem dem. 

○ Et linjestykke kan forlænges til en ret linje. 

○ En cirkel er givet ved centrum og radius. 

○ Alle rette vinkler er lige store. 

○ 2 linjer, der skæres af en 3. linje, vil skære hinanden, hvis de indre vinklers (v 

og w på figur 10) sum ikke er 180°. (Euklids parallelaksiom) 

● Disse suppleres af yderligere 5 sætninger (grundsætninger, aksiomer): 

○ Størrelser, der begge er lig med en tredje, er lige store. 

○ Hvis der lægges lige meget til lige store størrelser, fås lige store størrelser. 

○ Hvis der trækkes lige meget fra lige store størrelser, fås lige store størrelser. 

○ Størrelser, der kan dække hinanden, er ens. 

○ Det hele er større end en del. 

● Ved hjælp af ovenstående beviser Euklid for en lang række sætninger. 

Denne metode er ”det deduktive princip”. 

Tekst 1.: Euklids elementer 

Noter til Teksten: Euklids elementer, se: 11 , 12 , 13 

11 Kilder: Fri gengivelse baseret på bl.a. ”Euklids Elementer”, Gyldendal 1897 og 

http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html 

12 Hvad Euklids 2 gange 5 antagelser skal oversættes til, er oversættere og forfattere 

ikke enige om; jeg har her i parentes noteret nogle af de anvendte oversættelser. 

13 Størrelserne, der omtales, kan for eksempel være linjestykker, vinkler og arealer. 


Euklids betydning 

Du har sikkert hørt, at man kan bevise et eller andet. Det Euklid præciserer 

i de første 3 punkter (fra tekst 1 i rammen ovenover) er, hvorledes 

hans matematiske univers ser ud. Deri er der ingen beviser. Men det er 

grundlaget for at man kan bevise noget. De enkle forudsætninger, han 

går ud fra, er selvfølgelig inspireret af det, han kan opfatte med sine 

sanser. Og han går ud fra de allermest enkle forudsætninger og 

medtager ikke mere end nødvendigt for at opbygge den ideverden, som 

matematikken er. 

Mange af de sætninger, Euklid beviser, kan føres langt tilbage – mere 

end 1000 år før Euklid og til andre kulturer end den græske. Men det er 

Euklids fortjeneste, at han dels samler al den viden, der er i hans bøger, 

og dels viser, hvorledes man ud fra ”indlysende” simple forudsætninger 

kan argumentere for og bevise sætninger: både sætninger, som man 

erfaringsmæssigt vidste, var rigtige og sætninger, som var knapt så 

indlysende. Metoden med at finde mange eksempler på en regel og 

derfra generalisere kaldes ”induktion”. 

Euklids metode kaldes ”deduktion” 

Den geometri, der her omtales er ”euklidisk 

plangeometri” som omtalt i hans første 

bøger 14 (I – VI). Det vil sige, at for det 

første er geometrien her begrænset til det 2dimensionale 

rum, for det andet begrænset 

af Euklids antagelser. Specielt det ovenfor 

citerede 5. postulat har givet anledning til 

mange overvejelser i tidens løb: Nogle 

overvejelser er gået på, om det var et 

nødvendigt postulat, eller om det kunne 

bevises ved hjælp af Euklids øvrige 

antagelser? Andre overvejelser er gået på, 

om postulatet var nødvendigt, eller om man 

kunne skabe en geometri uden dette 

12.: Euklids 5. aksiom 

14 Oldtiden kendte ikke bøger i vor forstand; ”bøgerne” var håndskrevet på 

papirruller. En sådan ”bog” svarer nok snarere til et kapitel i moderne forstand, 

men der er tradition for at bruge ordet ”bog”. 


postulat? Og endelig i det 19. århundrede lykkedes det nogle 

matematikere at beskrive en geometri, der ikke benyttede det 5. 

postulat. 15 

Euklids matematik har været glimrende til at beskrive den fysiske verden 

– ja så god, at man til tider har taget det for sandheden om verden. 

Men alle matematiske beskrivelser er kun modeller og man kan ikke 

tale om, at de er sande, men snarere om de er brugbare, praktiske eller 

nøjagtige nok. 

Fra folkeskolen 16 kender du en lang række begreber og sætninger. Nogle 

få af dem – de allervigtigste - vil jeg gentage herunder. De er alle dele 

af Euklids geometri. 

Definition: Parallelle rette linier 

To rette linjer (i planen) er parallele, hvis de 

Note: Linjerne er ubegrænsede i begge retninger. 

17 

15 Se for eksempel hjemmesiden om ikke-euklidisk geometri: http://www.cut-theknot.org/triangle/pythpar/Model.shtml 

16 Se for eksempel formelsamlingen i http://pub.uvm.dk/2005/formelsamling/hel.pdf 

17 Linjer er ubegrænsede, når det tegnede endepunkt ikke er markeret med et særligt 

mærke som: lille tværstreg, udfyldt cirkel eller ikke udfyldt cirkel. Halvlinjer er 

begrænset til den ene side, men ike til den anden. Linjestykker – som siderne i en 


13.: Parallelle linjer

Definition: Midtnormal 

En midtnormal til et linjestykke 

AB er en linje, der går gennem 

AB's midtpunkt M og som står 

vinkelret på AB. 

Øvelse: Midtnormaler 

● Tegn en tilfældig trekant: ΔABC 

● Tegn eller konstruer midtnormalerne til to af siderne. 

● Midtnormalernes skæringspunkt skal du kalde O; det skal være 

centrum for en cirkel med radius r = |OA|. Tegn denne cirkel. 

● Bemærker du noget specielt? 

Sætning: Omskreven cirkel 

14.: Midtnormalen 

Hver af de tre sider i en trekant har en midtnormal. Midtnormalerne 

skærer hinanden i centrum for den omskrevne cirkel. 

trekant eller linjestykket fra A til B – går fra punkt til punkt. Fremgår det ikke af 

sammenhængen, benyttes i geometri de små tværstreger til at markere 

endepunkter. 


Figuren til højre viser et eksempel på en tilfældigt valgt trekant, trekantens 

midtnormaler og den omskrevne 

cirkel. 

Cirklens periferi (omkreds) går gennem trekantens 

hjørner og har centrum, hvor de tre 

røde midtnormaler skærer hinanden. 

Øvelse: Omskreven cirkel 

Tegn en tilfældig trekant og tegn eller konstruer 

den omskrevne cirkel. 

Definition: 

Vinkelhalveringslinje 

Den linje, der halverer vinklen, kaldes 

vinkelhalveringslinjen. 

Sætning: Indskreven cirkel 

Hver af de tre vinkler i en trekant har en vinkelhalveringslinie. Vinkelhalveringslinierne 

skærer hinanden i centrum for den indskrevne cirkel. 


15.: Trekantens omskrevne 

cirkel 

16.: Vinkelhalveringslinje

Figuren til højre viser et eksempel på en tilfældigt 

valgt trekant, trekantens vinkelhalveringslinjer 

og den indskrevne cirkel. 

Cirklens periferi (omkreds) tangerer (dvs. berører) 

trekantens sider og har centrum, hvor de 

tre røde vinkelhalveringslinjer skærer hinanden. 

Øvelse: Indskreven cirkel 

Tegn en tilfældig trekant og tegn eller konstruer den indskrevne cirkel. 

Definition: Højde 

Højden i en trekant er liniestykket fra 

en vinkelspids til den modstående 

side (eller linjen gennem den modstående 

side.) Højden står vinkelret 

på linjen gennem den modstående side. 

19.: Trekantens median 

Definition: Median 

17.: Indskreven cirkel 

18.: Trekantens højde 

Medianen i en trekant er liniestykket 

fra en vinkelspids (et hjørne) til midtpunktet 

af den modstående side. 


Øvelse: Median 

● Tegn en tilfældig trekant; den bør fylde det meste af et A4-ark. 

● Tegn eller konstruer dens tre medianer 

● Kontroller om de skærer hinanden i et punkt 

● Beregn hele trekantens areal (i cm 2 ) 18 

● Beregn også arealerne af hver af de små trekanter, der dannes 

inden i den store trekant. 

● Hvad bemærker du? 

Sprogbrug 

I en trekant er der 3 midtnormaler, 3 vinkelhalveringslinier, 3 højder 

og 3 medianer. Vi giver dem navne efter faste regler for at være præcise 

og undgå misforståelser og forvekslinger. 

● De er alle linjestykker eller linjer: derfor benyttes altid små 

bogstaver. 

● Højder skal du kalde h; går højden fra B til siden b kalder du 

den hb 

● Vinkelhalverinslinjer kalder du v; deler den vinkel A, kalder du 

den vA 

● Medianer kalder du m; går medianen fra Q til q kalder du den 

mq 

● Midtnormaler kalder du n; er det midtnormalen til siden c i trekanten, 

kalder du den nc 

18 Arealformlen er: T = ½·h·g (se nærmere sidst i kapitlet.) 


Definition: Nabovinkler og Topvinkler 

Når 2 linier skærer hinanden er der 4 vinkler; 

har de et vinkelben fælles, kaldes de nabovinkler, 

har de ikke vinkelben fælles, kaldes 

de topvinkler. (På figuren er v og u nabovinkler, 

v og w er topvinkler.) 

Sætning: Topvinkler 

Topvinkler er lige store. 

Øvelse: Bevis sætningen 

Definition: Ensliggende vinkler 

To rette linjer, der skæres af en tredie danner 8 

vinkler. 2 af disse vinkler er ensliggende, hvis de 

har samme vinkelben på den skærende linie. 

Et eksempel er v og w ( som begge har venstre 

ben på den skærende linje.). 

20.:Navne på vinkler 

21.: Vinkler ved 

skærende linje 


Definition: Parallelle rette linier 

To rette linjer (i planen) er parallele, hvis de ikke skærer 

hinanden. 

Note: Linjerne er ubegrænsede i begge retninger. 

Sætning: Parallelle linjer og ensliggende vinkler 

Hvis to rette linjer, der skæres 

af en tredie har et par ensliggende 

vinkler, der er lige store, 

er de parallelle. 

Omvendt gælder også: 

Hvis to rette linjer er parallelle 

og de skæres af en tredje, så 

vil de ensliggende vinkler 

være lige store. 

23.: Både ikke parallelle og parallelle 

linjer 

Øvelse: Overblik over sætningen 

● Tegn et 2x2 skema med søjleoverskrift: parallel og ikke parallel, 

rækkerne svarer så til lige store vinkler hhv. ikke lige store. 


22.: Parallelle 

linjer

Begrund hvilke kombinationer der er mulige hhv. umulige. 

Øvelse: Vinkelmålinger 

● Tegn 2 parallelle linjer og en tredje, der skærer disse. 

● Du skal måle alle 8 vinkler og skrive resultaterne op. 

● Sæt ens buemærke i lige store vinkler. 

● Stemmer målingerne med sætningen om parallelle linjer og 

ensliggende vinkler? 

Sætning: Trekantens vinkelsum 

Summen af vinklerne i en trekant er 180°. 

Øvelse: Bevis sætningen 

24.: Trekantens vinkelsum 

Benyt tegningen (og sætningerne ovenover.) 


Sætning: Pythagoras 19 

Kvadratet 20 på hypotenusen 21 er lig med 

summen af kateternes 22 kvadrater. 

Alternative formuleringer: 

hypotenusen 2 = katete1 2 + katete2 2 eller 

c 2 = a 2 + b 2 

Beviset udskydes til næste kapitel. 23 

Eksempel: Find hypotenusen 

I den retvinklede trekant har kateterne længderne 3 og 6. 

Beregn længden af hypotenusen. 

19 Pythagoras (fra Samos) levede i det 6. århundrede FVT, og selv om han har lagt 

navn til sætningen, var den kendt lang tid før ham. Frimærket viser et vigtigt 

eksempel på sætningen. Hvad går eksemplet ud på? Kan du i øvrigt gætte, hvad 

der står i den græske tekst? 

20 Hvis du har en side med længden 10 er kvadratet 10 2 ( = 100); det svarer til arealet 

af det kvadrat, der kan tegnes på siden med længden 10. 

21 Hypotenusen er navnet på den længste side i en retvinklet trekant. 

22 En katete er en af de to korte sider i den retvinklede trekant. 

23 Der er i øvrigt ikke tale om et bevis; der findes en meget lang række af beviser for 

denne (måske mest kendte) sætning. Prøv at søge på Internettet med søgeordene 

bevis og Pythagoras eller hop direkte til http://www.cut-theknot.org/pythagoras/index.shtml. 


25.: Pythagoras sætning

Løsning: 

Da trekanten er retvinklet, kan 

Pythagoras (sætning) bruges: 

k 1 2 + k2 2 = h 2 

Heri indsættes de kendte tal: 

3 2 + 6 2 = h 2 

9 + 36 = h 2 

45 = h 2 

h = 6,70 = 6,7 

(idet der kan ses bort fra den negative løsning) 

Hypotenusen = 6,7 

Eksempel: Find den manglende katete 

I den retvinklede trekant har den ene katete længden 2 og hypotenusen 

længden 5. 

Beregn længden af den manglende 

katete. 

Løsning: 

Da trekanten er retvinklet, kan 

Pythagoras (sætning) bruges: 

k 1 2 + k2 2 = h 2 

Heri indsættes de kendte tal: 

2 2 + k 2 2 = 5 2 

4 + k 2 2 = 25 

26.: Find hypotenusen ... 

27.: Find den anden 

katete ... 


k 2 2 = 21 

k 2 = 4,58 =4,6 

(idet der kan ses bort fra den negative løsning) 

Den anden katete = 4,6 

Øvelser: Anvendelse af Pythagoras sætning 

I det følgende betegner ΔABC en retvinklet trekant, hvor vinkel C er 

ret. Find (om muligt ;-) den manglende side, når det oplyses: 24 

1. at a = 5 og b = 12 

2. at b = 17 og a = 10 

3. at c = 8 og b = 7 

4. at c = 5 og a =4,5 

5. at b = 22 og c = 25 

6. at c = 10 og a = 12 

Sætning: Trekantens areal 

28 Arealet af en 

trekant.: 

Hvis grundlinien har længden g og højden 

længden h, er trekantens areal 

T = ½·h·g 

Bemærk: at enhver af trekantens sider kan 

være grundlinie. Grundlinien behøver ikke at 

være ”vandret”. 

24 Ved løsning af en geometriopgave laver du så vidt muligt en tegning; tegn så 

præcist som muligt. Kontroller din beregning ved at måle på tegningen. 


Trigonometri 

Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) Vinkel v sin(v) 

0 0,0000 30 0,5000 60 0,8660 

1 0,0175 31 0,5150 61 0,8746 

2 0,0349 32 0,5299 62 0,8829 

3 0,0523 33 0,5446 63 0,8910 

4 0,0698 34 0,5592 64 0,8988 

5 0,0872 35 0,5736 65 0,9063 

6 0,1045 36 0,5878 66 0,9135 

7 0,1219 37 0,6018 67 0,9205 

8 0,1392 38 0,6157 68 0,9272 

9 0,1564 39 0,6293 69 0,9336 

10 0,1736 40 0,6428 70 0,9397 

11 0,1908 41 0,6561 71 0,9455 

12 0,2079 42 0,6691 72 0,9511 

13 0,2250 43 0,6820 73 0,9563 

14 0,2419 44 0,6947 74 0,9613 

15 0,2588 45 0,7071 75 0,9659 

16 0,2756 46 0,7193 76 0,9703 

17 0,2924 47 0,7314 77 0,9744 

18 0,3090 48 0,7431 78 0,9781 

19 0,3256 49 0,7547 79 0,9816 

20 0,3420 50 0,7660 80 0,9848 

21 0,3584 51 0,7771 81 0,9877 

22 0,3746 52 0,7880 82 0,9903 

23 0,3907 53 0,7986 83 0,9925 

24 0,4067 54 0,8090 84 0,9945 

25 0,4226 55 0,8192 85 0,9962 

26 0,4384 56 0,8290 86 0,9976 

27 0,4540 57 0,8387 87 0,9986 

28 0,4695 58 0,8480 88 0,9994 

29 0,4848 59 0,8572 89 0,9998 

30 0,5000 60 0,8660 90 1,0000

Trigonometri er måling i og med trekanter. Det er ”læren om forholdet 

mellem og beregningen af siderne og vinklerne i en trekant”. 25 

Oprindelsen er græsk. ”Tri” svarer til tre, ”gon” til side eller kant og 

”metri” til måling. 

Grundlaget er standardtrekanter med hypotenusen 1. I disse kendes 

sammenhængen mellem vinkler og sider – det er det tabellen på 

kapitlets forside viser. 

Ved at forstørre eller formindske standardtrekanter kan vi finde målene i 

en hvilken som helst retvinklet trekant. Det er den teknik, der beskrives 

i dette kapitel. 

Definition: Standardtrekant 

En standardtrekant er en retvinklet trekant, 

hvor hypotenusen har længden 1 (= én.) 

Bemærk: Hvor stor denne måleenhed skal 

være er underordnet. Meter, fod, cm eller 

noget vi selv finder på at kalde én – det er 

ligegyldigt. Men når længden er bestemt, 

måles alt med denne enhed 

. 

Øvelse: Standardtrekant 

Tegn 5 (ret forskellige) retvinklede trekanter, som dog alle har 

en hypotenuse på 10 cm. Vi bruger denne længde på 10 cm som 

måleenhed; hypotenusen har altså længden én (=1). De 10 cm 

vælges kun fordi det er et nemt tal at regne med. Det kunne være 

30 cm eller 2 meter … 

25 Gyldendals Fremmedordbog 


29.: Standardtrekant

30.: Modstående katete – i forhold til en spids vinkel 

Mål nu en spids vinkel og den modstående katetes længde i hver 

trekant. 

Eksempel: Lad kateten for eksempel være 5 cm; da 5 cm 

er halvdelen af 10 cm har vi målt kateten til 0,5. Var 

kateten 3,6 cm svarer det til en katete på 3,6/10 = 0,36. 

Du udfylder nu en tabel som nedenstående med resultaterne fra 

dine 5 tegninger. 

Trekant nr. 1 2 3 4 5 

Spids vinkel 

Katetens længde i cm 

Katete / hypotenuse 

Tabel 3. 

Den spidse vinkel måles med vinkelmåler; katetens længde måles med 

lineal. Husk at omregne katetens længde som en brøk af hypotenusens 

længde. (Se ovenfor) 


Prøv at tegne én ekstra trekant med samme vinkler som din første 

trekant, men med en dobbelt så stor hypotenuse. Mål igen 

kateten og lav beregningen: katete / hypotenuse, 

Hvorfor får du næsten det samme som før? 

Sammenlign din tabel med sinustabellen på første side i kapitlet. 

Definition af sinus-funktionen: sin(v) 

Når v er en vinkel mellem 0° og 90°, er sin(v) længden af den modstående 

katete i en standardtrekant med den spidse vinkel v. 

Af øvelsen fremgik det, at 

det er ligemeget, hvor stor 

hypotenusen er. Dens 

længde benyttes blot som 

enhed. 26 

Fuldstændig tilsvarende 

kan man definere cosinus: 

26 Der er her lavet en metode, så du for hver eneste vinkel mellem 0° og 90° kan finde 

et tal (mellem 0 og 1). Hver gang du eller andre benytter samme vinkel, får I 

samme resultat. Vi siger, at vi har defineret en funktion (se senere om Funktioner.) 

I dette tilfælde kaldes funktionen sinus-funktionen. sin(35°) er tallet metoden giver, 

når man benytter vinklen 35°. sin(v) er ikke et bestemt tal. v er en ”joker” 

eller en ”pladsholder”. v skal erstattes med et bestemt tal: så afleverer 

sinusfunktionen ét bestemt svar – et tal. Det tal kalder vi: funktionsværdien. 


31: Hosliggende katete – i forhold til en 

spids vinkel

Definition af cosinus-funktionen: cos(v) 

Når v er en vinkel mellem 0° og 90°, er cos(v) længden af den 

hosliggende katete i en standardtrekant med den spidse vinkel v. 

Øvelse Aflæsning i sinustabel 

Udfyld tabellerne herunder. Benyt i begge tilfælde sinustabellen 

fra kapitlets forside. 

Vinkel v sin(v) 

30° 

85° 

39° 

45° 

64° 

4° 

17° 

72° 

• I den første tabel er den spidse vinkel kendt; du skal 

finde sin(v) fra sinustabellen. sin(v) er en længde 

• Omvendt i den anden tabel. Her startes med sinusværdien, 

og ved at benytte sinustabellen ”omvendt”, det vil 

sige læse fra højre kolonne til venstre kolonne, findes det 

gradtal, der svarer til sinusværdien. v er et vinkelmål. 

• Alle tabelopslagene kontrolleres med lommeregneren. 

Sæt for OK! Se nedenfor hvordan. 

Vinkel v sin(v) 

0,7547 

0,78 

0,18 

0,98 

0,88 

0,0088 

0,1045 

0,01219 

I stedet for at benytte tabellen kan du bruge lommeregneren: 


Tast Lommeregner viser 27 

sin sin( 

30 sin(30 

) sin(30) 

= 0,5 

Tast Lommeregner viser 

[2] eller [inv] sin sin -1 ( 

0,7547 sin -1 (0,7547 

) sin -1 (0,7547) 

= 48,99 (= 49,0°) 

Anvendelse af sinus 

Sinusfunktionen anvendes (her) til beregninger i retvinklede trekanter. 

I en retvinklet trekant optræder vinklerne A, B og C samt siderne a, b og 

c. De kan naturligvis have andre navne som P, Q og R osv. Ligeledes 

behøver de ikke at have navne. Derfor er det praktisk at lære regler og 

metoder uden bestemte navne, men konsekvent benytte ”katete” og 

”hypotenuse”. 

27 Beskrivelsen dækker bl.a. lommeregneren TI-30. Andre typer kan afvige mere 

eller mindre fra beskrivelsen. 


¤

Sætning: sin(v) 

I enhver retvinklet trekant gælder det: er v en af de spidse vinkler, er 

modstående katete=hypotenusen⋅sinv 

eller 

sinv= modstående katete 

hypotenusen 

Bevis 

Vi har givet ΔABC. 

∠C er ret 

∠A er en tilfældigt valgt spids 

vinkel 

Vi tegner en standardtrekant 

A´BĆ´ 

hvor ∠Cér ret og 

∠A´= ∠A. 

28 

32.: ΔABC som en forstørrelse af en 

standardtrekant 

På grund af 180°-gradersreglen er ∠B og ∠Bógså lige store; dvs. at 

trekanterne er ensvinklede. 

28 Hvis den spidse vinkel er A og hypotenusen hedder c, bliver formlen her som 

anført i formelsamlingen: sin(A) = a/c. 

Formelsamlingens formler gælder dog kun, hvis trekanten navngives ΔABC med C 

som den rette vinkel. 


Da trekanterne er ensvinklede er de også ligedannede; dvs. at der findes 

en skalafaktor k. 

I standardtrekanten har hypotenusen længden 1 (=én); i ΔABC bruges 

hypotenusen også som navn for længden. 

Der gælder så: 

1·k = hypotenusen 

k = hypotenusen 

I standardtrekanten er |BĆ´| = sin(A´) = sin(A); 

i ΔABC er modstående katete en forstørrelse af standardtrekantens 

katete. Forstørrelsesfaktoren er ”hypotenusen”. 

Derfor: 

modstående katete=hypotenusen⋅sinv 

Ved division på begge sider af lighedstegnet med hypotenusen fås: 

sinv= modstående katete 

hypotenusen 


QED

Sætning: cos(v) 

I enhver retvinklet trekant gælder det: er v en af de spidse vinkler, er 

eller 

29 

hosliggende katete=hypotenusen⋅cosv 

cosv= hosliggende katete 

hypotenusen 

Bevis 

Beviset forløber helt som beviset for sinus-reglen. 

Øvelse: Bevis for cosinus-sætningen 

Nedskriv beviset punkt for punkt. 

Overblik over opgavetyper (retvinklede trekanter) 

a. 2 kendte sider; benyt Pythagoras´sætning for at finde den sidste 

side. 

b. Kendt spids vinkel og hypotenuse; brug sinusreglen til beregning 

af den modstående katete. Brug cosinusreglen til beregning 

af den hosliggende katete. 

c. Kendt spids vinkel og katete; enten er kateten den modstående 

29 Hvis den spidse vinkel er A og hypotenusen hedder c, bliver formlen her som 

anført i formelsamlingen: sin(A) = a/c. 




eller også beregnes den manglende vinkel med reglen om vinkelsummen 

i en trekant. I begge tilfælde kendes så en vinkel og 

den modstående katete. 

Du får en ligning af typen (hyp = hypotenusen): 

sin(30°) = 5/hyp som løses: gang med hyp 

på begge sider af ”=” 

sin(30°)*hyp=5 divider med sin(30°) på 

begge sider af ”=” 

hyp = 5/sin(30°) udregning af højre side 

hyp = 10 

d. Kendt katete og hypotenuse; kateten er modstående i forhold 

til en af de spidse vinkler. Denne beregnes. 

Du får en ligning af typen: 

sin(A) =4,3 / 5,0 som løses: udregn højre 

side 

sin(A) = 0,86 find 0,86 i sinustabellen og 

aflæs den tilsvarende vinkel 

∠A = 59,3° afrund til ønsket 

nøjagtighed 

∠A = 59° 

Bemærk: Sinustabellen benyttes til at finde en vinkel 

med en bestemt sinusværdi (her 0,86.) Da sinusværdierne 

vokser, når vinklen vokser i intervallet fra 0 til 90, findes 

der kun én spids vinkel med en bestemt sinusværdi. 

Derfor er vi sikre på, hvor stor vinklen er. Når en tabel 

kan læses bagfra eller ”omvendt”, siger vi, at vi bruger 

den omvendte funktion. Denne har sit eget navn: sin -1 . 

Den findes også på din lommeregner på eller over 

samme tast som sin -tasten. 


Øvelse: Trekantsberegninger 

1. I ΔABC er ∠C ret, c=12 og ∠A = 30°. 

a. Lav en skitse som 

påbegyndt her; skriv 

navne på og sæt alle 

opgivne mål på. 30 

b. Beregn a 

c. Beregn b 

d. Beregn b på en anden 

måde! 

2. I ΔABC er ∠C ret, c = 24 og ∠A = 30°. 

a. Beregn a 

b. Beregn b 

3. I ΔABC er ∠C ret, c = 8,5 og ∠B = 53°. 

a. Beregn a 

b. Beregn b 

4. I trekant PQR er ∠R ret, hypotenusen er 8,5 og ∠Q = 53°. 

a. Beregn q 

b. Beregn p 

5. I en retvinklet trekant er en af vinklerne 38° og den modstående 

katete = 4,5. 

a. Beregn længden af hypotenusen 

33.: Skitse til øvelse 1 

b. Beregn længden af den sidste katete 

6. En retvinklet trekant har kateter med længderne 6 og 8. Beregn 

hypotenusen og de spidse vinkler 

7. En retvinklet trekant har en hypotenuse med længden 13 og en 

30 Enhver geometriopgave bør indledes med en skitse. 


katete med længden 12. Beregn de manglende størrelser 

8. I en retvinklet trekant har hypotenusen længden 11 og kateterne 

hhv. 7 og 8 

a. Beregn begge de spidse vinkler med sinusreglen 

b. Beregn de manglende vinkler 

c. Beregn vinkelsummen i trekanten 

d. Kommenter udregningen 

9. Du kan selv lave alle de opgaver du vil: Du skal kende en side 

og vide, at der er en ret vinkel. Så skal du have en oplysning 

mere, men hvilken er ligegyldig. 

a. Tegn den valgte figur. Benyt de kendte oplysninger til at 

beregne resten. Mål på figuren, om du har regnet rigtigt. 

Definition af tangens-funktionen: tan(v) 

v er en spids vinkel i en retvinklet trekant. 

31 

tanv= sinv 

cosv 

31 De størrelser af v, vi indtil videre benytter, er vinkler større end 0° og mindre end 

90° – hvilket gælder for alle tre introducerede funktioner. 

Senere udvides funktionernes definitionsmængde, så også andre vinkler kan benyttes. 


Sætning: tan(v) 

I enhver retvinklet trekant gælder det, at er v en af de spidse vinkler, er 

32 

modstående katete 

tanv= 

hosliggende katete 

Bevis 

tanv= sinv hypotenusen⋅sinv 

katete 

= =modstående 

cosv hypotenusen⋅cosv hosliggende katete 

● Det første ”=” følger af definitionen på tan(v) 

Det andet er rigtigt, fordi man kan forlænge en brøk med ethvert 

tal (forskelligt fra 0.) - her hypotenusen. 

Det sidste følger af sætningerne om sin(v) og cos(v). 

Øvelse: Blandede trekantsberegninger 

1. I ΔABC er ∠C ret, b=10 og ∠A =70°?. Beregn a. 

2. I ΔABC er ∠C ret, a=12 og ∠A =37°?. Beregn b. 

3. I ΔABC er ∠C ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er ∠A?. 

4. I ΔABC er ∠C ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er c?. 

5. I ΔABC er ∠Α ret, a=12 og b = 4. Hvor stor er ∠C?. 

32 Hvis den spidse vinkel er A og modstående katete a, hosliggende katete b, bliver 

formlen her som anført i formelsamlingen: tan(A) = a/b. 




Øvelse: La Tour Eiffel 

Du er et sted i Paris. Du kan se La Tour Eiffel 33 på en afstand, hvor 

vinklen mellem gaden og tårnets spids er 13°. På grund af måleusikkerheden 

kan det næsten være ethvert tal mellem 12°.og 14°. 

Hvor langt er du fra tårnet? 

Hvis du tager hensyn til usikkerheden: 

Hvor langt er du i hvert fald fra tårnet 

Og hvad kan afstanden højst være til tårnet? 

Kan der være forhold, som ikke er omtalt, der tilføjer yderligere 

usikkerhed til dit skøn over afstanden? 

Øvelse: Én sinusdefinition? 

Ved definitionen af sinus og cosinus valgte vi en tilfældig standardtrekant 

som grundlag for definitionen. 

Hvis man vælger 2 forskellige standardtrekanter, får man så to 

forskellige sinusfunktioner? 

33 Tårnets højde er 317,3 m 


Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras sætning 

Summen af kateternes kvadrater i en retvinklet trekant er lig med 

kvadratet på hypotenusen. 34 

Bevis 

34.: En retvinklet trekant – og alle sidernes kvadrater 

Det vi vil vise er – som denne tegning er udformet – at arealerne af den 

34 Det skriver vi ofte k 1 2 + k2 2 = h 2 eller a 2 + b 2 = c 2 


lå og den røde firkant i alt svarer til den grønne firkants areal. 

Der findes et utal af beviser; nogle er rent geometriske – andre benytter 

også algebra 35 . En udmærket oversigt findes for eksempel på 

hjemmesiden http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml, som 

også er inspirationen til nedenstående: 

1. Vi har en tilfældigt valgt retvinklet trekant (hvid flade i figur 32) 

– og tegnet kvadraterne på hver side (med hver sin farve). Hvis 

sidelængden på en katete er a, er arealet af det tilsvarende 

kvadrat a 2 . 

35.: Kateternes kvadrater 

2. Vi placerer de to kateters kvadrater (figur 33) i forlængelse af 

hinanden; begge har en side på den samme linie l. Har trekantens 

kateter længderne a og b bliver figurens samlede bredde a+b. 

Den kombinerede figur har arealet: summen af kateternes 

kvadrater. 

3. To trekanter tegnes ovenpå figuren (figur 34) således, at 

kvadraternes yderste rette vinkel bliver ret vinkel i hver sin 

trekant. For hver trekant gælder endvidere: 

1. Hele kvadratets lodrette side er den ene katete svarende 

til en af kateterne i den oprindelige trekant. 

35 Elementær algebra kan – meget groft – oversættes til ”bogstavregning”: Der er tale 

om algebra, når vi arbejder med ligninger (og et ukendt x), eller når vi formulerer 

regneregler med a og b, som a+b = b+a eller (a+b) 2 = a 2 +2ab + b 2 . 


2. Den anden katete ligger på l. 

36.:Kvadraterne delvist dækket af kopier af den retvinklede 

trekant 

3. Den anden katete som ligger på linjen l får en længde, så 

den nye trekant får samme kateter som den oprindelige 

trekant. 

4. De to trekantssider på l har en samlet længde på a+b; det 

havde kvadraterne på linjen l også. Derfor har de to 

trekanters et fælles punkt som vinkelspids på l. 

5. Da den oprindelige trekant og de nye har to sider og den 

mellemliggende vinkel fælles, er de kongruente (det vil 

sige, at de kan dække hinanden.) Derfor er også 

hypotenuserne ens. 

37.: Højre (hvide) trekant drejes... 


4. Nu drejes 

begge 

hvide 

trekanter 

(figur 37). 

Først den 

ene ...og så 

den anden. 

Resultatet

er, at der er opstået en ny figur (figur 36) bestående af 

resterne af de to små kvadrater og de to hvide trekanter. De grå 

områder (hvor de hvide trekanter lå) tæller ikke med. Det ses 

let, at den nye figur har det samme areal som de to kateters 

kvadrater – hvis der ikke er overlapning. Lad os vise, at 

figuren er et kvadrat med den oprindelige hypotenuse som side: 

38.: Det ligner et kvadrat? 

5. Vi har allerede tidligere bemærket, at på linien l stødte de to 

trekanter sammen i et punkt, som altså er et hjørne i den nye 

figur. De to punkter, de to trekanter blev drejet om er ligeledes 

hjørner i den nye figur. Endelig er der et fjerde punkt, hvor de 

hvide trekanters spidser tilsyneladende falder sammen. 

Da de drejede hvide trekanter har vandrette kateter, hvis længde 

svarer til kvadraterne lige nedenunder, ligger deres lodrette 

kateter på samme linje – nemlig forlængelsen af skillelinjen 

mellem kvadraterne. Vurderes afstanden fra den drejede trekants 

øverste spidse vinkel til linjen l ses, at afstanden = a+b (summen 


af kateterne) lige meget hvilken trekantspids der ses på. De to 

vinkelspidser falder altså sammen og figuren er en firkant. 

6. Alle firkantens sider har samme længde som den oprindelige 

hypotenuse. 

7. Mellem hypotenusen i den grå trekant og hypotenusen i den 

tilsvarende hvide er der 90° - på grund af drejningen. Derfor er 

to af firkantens vinkler rette. 

Ses på firkantens nederste vinkel, kan man se at den er en lige 

vinkel (180°) fratrukket de to spidse vinkler i de to grå trekanter. 

De to vinkler er de samme som de to spidse vinkler i den 

oprindelige trekant; summen af to spidse vinkler i retvinklet 

trekant er altid 180° - 90° = 90° (ifølge reglen om 

vinkelsummen i en trekant). Derfor er firkantens nederste vinkel 

90°. 

Endelig er den sidste vinkel i firkanten også ret på grund af, at 

vinkelsummen i en firkant er 360°. 

8. Firkanten (figuren) er altså et kvadrat med den oprindelige 

hypotenuse som side. 

9. Og dette kvadrat har samme areal som summen de to kateters 

kvadrater. 

Øvelse: Bevis Pythagoras sætning 

● Hvad er hovedideen i beviset? 

● Skriv A, B, C og a, b, c på den første trekant. Lad C være den 

rette vinkel. Brug også betegnelserne v = ∠A og u = ∠Β. 

QED 

● Hvis a=4 og b=3: Hvad er så ”summen af kateternes kvadrater”? 

● Skriv bogstaver for figurernes sidelængder og vinkler – 

efterhånden som du kender dem. Lav en pil fra bogstavet på 

figuren til begrundelsen i teksten. 


● I bevisets punkt 3 forklares, hvordan de to hvide trekanter 

indtegnes. Kan du forklare, hvorfor de lige præcis passer ind? 

● Lav en stor model i pap eller papir – med udklippede hvide 

trekanter. Brug den til demonstration af gangen i beviset. 

● Hvorfor er beviset ikke færdigt, når trekanterne er drejet? 

● Se kun på tegningerne: Skriv så bevisets argumenter ned punkt 

for punkt. 

● Sammenlign dine punkter med min tekst. 

● Ret evt. dine punkter. Forstå dem. Lær dem udenad. 

Sætning: Pythagoras og standardtrekanten 

For alle vinkler mellem 0° og 90° gælder: 

sin 2 (v) +cos 2 (v) = 1. 

Bevis 

Tag en vilkårlig retvinlet trekant med hypotenusen 1 og med en spids 

vinkel v. Ifølge definitionen på sinus og cosinus er længderne af den 

modstående katete sin(v) og af den hosliggende katete cos(v). Dette 

indsættes i Pythagoras (sætning). Sætningen følger umiddelbart. 

Sætning: Afstande i planet 

Vi kender to punkter i det almindelige retvinklede koordinatsystem: 

P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ). Så er afstanden mellem punkterne: 

QED 


|PQ| = 

Eksempel: Afstand fra P(2;9) til Q(8;5) 

Illustration 39.: 

For at beregne afstanden mellem P 

og Q tegnes den retvinklede 

trekant PHQ således, at PH er 

parallel med y-aksen og HQ er 

parallel med x-aksen. 

H får så koordinaterne (2 ; 5). 

Hvorfor? 

Nu benyttes (den almindelige) Pythagoras' sætning: 

k 1 2 + k2 2 = h 2 

x 2−x 1 2 y 2−y 1 2 

Vi kender ikke k 1 , men ved at den er enten +6 eller -6. 

Da (+6) 2 =(-6) 2 = 36 

Afstanden mellem H og Q er 8- 

2=6 eller 2-8=- 

6 

Tilsvarende få at afstanden mellem 

P og H er 5-9=- 

4 eller 9-5=4. 

ses, at det er ligemeget om man finder katetens længde eller den 

modsatte værdi. Vi kan trække x-værdierne fra hinanden uden at 

bekymre os om fortegnet. 

Tilsvarende gælder for den anden katete. 

Ved indsætning i Pythagoras sætning fås: 


−6 2 4 2 =h 2 ⇔ 

3616=h 2 ⇔ 

52=h 2 ⇔ 

h=52=7,21=7,2 

Det ses nemt, at havde vi benyttet sætningen ovenover, var 

beregningerne nøjagtigt de samme. 

Bevis for afstandsformlen 

Øvelse 3-4 

Bevis sætningen, idet det forløber som eksemplets beregning, 

men der benyttes P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ) i stedet for taleksemplet. 

40.: Lodret snit 

Eksempel på afstande i rummet 

Et punkt i rummet er bestemt ved 3 

koordinater sammenlignet med 2 for planet. 

Der er tilføjet en z-akse, så vi kan angive, hvor 

”højt oppe” et punkt er. 

Opgaven er: Find afstanden mellem punkterne 

P(5;7;13). og Q(8;9;11). Se figuren næste side. 

De lodrette linier fra punkterne skærer xyplanet 

i P'(5;7;0) og Q'(8;9;0). 

Hvis vi kun arbejdede i xy-planet ville vi 

derfor bruge koordinaterne (5;7) og (8;9) og 

kunne beregne afstanden mellem disse to som 

ovenfor. Altså er: 

(5-8) 2 + (7-9) 2 = |P'Q'| 2 

Nu tegnes hjælpetegningen til højre, som 


ligger i et plan udspændt af de to lodrette linjer gennem hhv. P og P' 

samt Q og Q'. Linjestykket P''Q tegnes parallelt med P'Q' – og har den 

samme længde. Linjestykket PP'' har en længde svarende til differensen 

mellem punkternes z-værdier. Ved at anvende Pythagoras på trekant 

PQP'', fås 

|P''Q| 2 +|PP''| 2 = |PQ| 2 |P'Q'| 2 +|PP''| 2 = |PQ| 2 

(5-8) 2 + (7-9) 2 +(13-11) = |PQ| 2 |PQ| = 

Det kan vises generelt, at: 

Sætning: Afstande i rummet 

Afstanden mellem punkterne P(x 1 ; y 1 ; z 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ; z 2 ) er: 

|PQ| = 

x 2−x 1 2 y 2−y 1 2 z 2−z 1 2 

Øvelse Afstandsberegninger i rummet 

Hvad er afstanden mellem punkterne P(-3 ; 8) og Q(12 ; -12) ? 


17 

41.: Perspektivtegning af rummet

Hvad er afstanden mellem punkterne 

P(5 ; -3 ; 8) og Q(0; 12 ; -12) ? 

Jan Person skal flytte til udlandet og vil gerne medtage et 

arvestykke: en gardinstang på 5,75 m. Kan den være i en 

container med indre mål 4,3 m; 2,9 m og 2,5 m? 

Hvor høj er en pyramide, hvis grundflade er et kvadrat med 

siden 100 m, og hvis sider er 4 ens ligesidede trekanter (hvor 

trekantens side er 160 m) ? 

En sendemast på 60 m stabiliseres blandt andet med en stålwire, 

der udspændes mellem et punkt midt i masten 10 m fra toppen 

og en betonblok beliggende 40 m mod syd og 75 m mod øst. På 

grund af terrænet ligger betonblokken 12 m under sendemastens 

fod. Hvor lang skulle wiren være, hvis den var en ret linie? 

Hvad er vinklen mellem en lodret linie og wiren ? 

Kommentar 

Ved beviserne for ”sinusrelationerne” og ”cosinusrelationerne” kendes alle 

sider og alle vinkler i trekanten; ikke som en bestemt størrelse men for 

eksempel som a (sidelængden) og A (vinkelstørrelsen.) Ved benyttelsen af 

formlerne må nogle af størrelserne være kendte tal; disse kan så indsættes i 

36 37 

formlen. Herved fås en ligning, som evt. kan løses. 

36 Dette forhold er typisk for alle formler. 

37 Beviserne gennemføres som om H ligger på siden AB. Dette er ikke 

en nødvendig forudsætning. Beviserne kan gennemføres stort set 

uændret, selvom dette ikke er tilfældet. 


Sinusrelationerne 

I en vilkårlig trekant ABC gælder: 

a b c 

= = 

sinA sinB sin C 

Bevis 38 

I den gule retvinklede ΔACH er hypotenusen 

b; i forhold til vinkel A er h den modstående 

katete. 

Derfor gælder: 

h = b * sin(A) 

Tilsvarende fås for Δ BCH, at hypotenusen er 

a og i forhold til vinkel B er h igen den 

modstående katete. Derfor fås: 

h = a * sin(B) 

Derfor gælder den første ligning; heraf fås sinusrelationerne som vist 

herunder: 

38 Sinus- og cosimusdefinitionerne udvides, således at definitionerne 

gælder for alle vinkler i alle tænkelige trekanter – og ikke kun spidse 

vinkler som hidtil: 

sin(90) = 1 og hvis 90

a⋅sinB=b⋅sinA ⇔ 

Divider begge sider med sin(A)⋅sinB 

a⋅sinB b⋅sinA 

= 

sinA ⋅sinB sinA⋅sinB ⇔ 

Forkort brøkerne sin(A) henholdsvis sin(B) 

a b 

= 

sinA sinB 

............................................................................................................. 

På nøjagtig samme måde kan det vises (ved at dele trekanten med en 

anden højde), at 

a c 

= 

sinA sinC 

og derfor er 

a b c 

= = 

sinA sin B sinC 

Eksempel 3-6 Beregning med sinusrelationer 

I ΔABC er ∠A= 75°; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og 

vinkler. 

Svar: 

Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder: 

QED 


a c 

= 

sinA sinC 

Ved indsætning fås: 

5 4 

= 

sin75 sinC ⇔ 

5⋅sinC 4⋅sinC 

= 

sin75 sinC ⇔ 

sinC= 4⋅sin75 

5 

∠ C = 50,60° 

= 50,6° 39 

Derefter kan ∠B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant; 

∠Β 

= 180° 

− 50,6° 

− 75° = 54,4° 

Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne en gang til: 

a b 

= 

sinA sin B 

Ved indsætning fås: 

5 

sin75 = 

b 

sin54,4 ⇔ 

5⋅sin54,4 

sin75 =b 

39 Der er normalt to løsninger mellem 0° og 180°; hvis v er løsning er 

180°-v også en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den 

største side ligger den største vinkel. Men da a > c og ∠A= 75° < 

180 50,6° = 129,4°, kan ∠C ikke være 129,4° 


= 4,20 = 4,2 

Øvelse Trekantsberegninger med sinusrelationer 

I ΔABC er ∠B= 68° og ∠C = 59°; c = 5. Beregn de manglende 

sider og vinkler. 40 

I ΔABC er ∠B= 68° og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende 

sider og vinkler. 

Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrelserne – heraf 1 eller 

2 sider og mindst en vinkel overfor en kendt side. Beregn de 

manglende størrelser. Kontroller at de beregnede mål stemmer 

overens med tegningen. Dog: hvis der er to løsninger, kan kun 

den ene passe med tegningen ;-) 

Cosinusrelationerne 

Udvidet Pythagoras 

I den gule retvinklede Δ ACH er hypotenusen b; i 

forhold til vinkel A er CH den 

modstående katete. h = |CH| 

Derfor gælder: 

*** h = b ⋅ sin(A) 

Tilsvarende er |AH| den 

hosliggende katete, hvorfor: 

|AH| = b ⋅ cos(A) 

Og: 

|AH| + |HB| = |AB|; længden af 

HB kaldes k; derfor er 

*** k = c – b ⋅ cos(A) 

Nu benyttes Pythagoras på den hvide Δ BHC: 

43.: Opdeling af én trekant i to 

retvinklede trekanter 

40 Det kan være en god ide at tegne trekanterne med passer og lineal. 


h 2 + k 2 = a 2 h og k er beregnet ovenover, se ***. 

Udregningerne indsættes: 

(b ⋅ sin(A) ) 2 + (c-b ⋅ cos(A) ) 2 = a 2 Ligningen reduceres: 41 

⇔ b 2 ⋅ sin 2 (A)+ c 2 + b 2 ⋅ cos 2 (A)– 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2 

⇔ b 2 ⋅ cos 2 (A)+ b 2 * ⋅ sin 2 (A)+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2 

⇔ b 2 ⋅ [cos 2 (A)+ sin 2 (A)]+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2 

⇔ b 2 ⋅ [1]+ c 2 – 2 ⋅ c ⋅ b ⋅ cos(A) = a 2 

eller skrevet lidt anderledes 

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc*cos(A) 

jævnfør “Pythagoras og standardtrekanten” 

De to andre varianter af cosinusrelationerne kan vises på tilsvarende vis 

ved at dele trekanten med en af de andre højder. 

Eksempel 3-8 Beregning med cosinusrelationer 

I ΔABC er a = 5 , b =6 og c = 4. Beregn ∠A. 

Svar: 

Vi benytter cosinusrelationerne herover og indsætter kendte størrelser: 

5 2 = 6 2 + 4 2 – 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ cos(A) ⇔ 

25 – 36 – 16 = - 48 cos(A) ⇔ 

17 = 48 cos(A) ⇔ 

cos(A) = 17/48 ⇔ 

∠A = cos -1 (17/48) ⇔ 

∠ A = 69,25° 

= 69,3° 

41 Bemærk, at (sin(A)) 2 skrives som sin 2 (A) 


QED

Geometri - Matematik

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?