Funktioner - Matematik

Ib Michelsen
Funktioner
Ikast 2008

Version 2008, 1.005
19-01-09, , D:\AppServ\www\08\f16.odt
Inkl eksp.kap – rettet
Inkl. rentesregning
Side 91-176 inkl (86 sider)
Potensregning mangler; tilføjet; nye opg. og eks tilføjet
● rettet øvelse 2-tabel

Indholdsfortegnelse
Sammenhænge mellem variable............................................................................................95
Eksempler på variable..................................................................................................96
Koordinatsystemet............................................................................................100
Det almindelige retvinklede koordinatsystem..............................................100
Regneforskrift....................................................................................................102
Om funktioner...................................................................................................103
Definition af funktionsbegreber......................................................................104
Funktioner: Grundbegreber.......................................................................................106
Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede.....................................................106
Oversigt: Vigtige funktionstyper...............................................................................110
Lineære funktioner............................................................................................110
Eksponentielle funktioner................................................................................111
Potensfunktioner...............................................................................................114
Råd om tegning af grafer..................................................................................116
Funktioner, ligninger mv............................................................................................118
Regneark.................................................................................................................................119
Lav et regneark............................................................................................................121
Åbn (kør) Excel..................................................................................................121
Diagram..............................................................................................................125
Grafer i regneark..........................................................................................................127
Millimeterpapir..................................................................................................127
Enkeltlogaritmisk papir....................................................................................128
Dobbeltlogaritmisk papir.................................................................................129
Lineære funktioner................................................................................................................133
Introduktion.................................................................................................................134
Definitioner........................................................................................................137
Flaske-Peter........................................................................................................137
Taxaturen igen...................................................................................................139
Ligning................................................................................................................139
Sætning: Forskriften for en lineær funktion...................................................140
Den omvendte sætning.....................................................................................141
Sætning: Beregning af a....................................................................................142
Hældningskoefficienten ..................................................................................143
Eksempel: Beregning af a og b ........................................................................144
Beregning af a og b ...........................................................................................144
Eksempel: Fra observation til model...............................................................145
Regel om tendenslinjer.....................................................................................146
Den lineære funktion: Oversigt og regler.................................................................149
93

Eksponentielle funktioner....................................................................................................151
Logaritmisk skala........................................................................................................153
Enkeltlogaritmisk papir....................................................................................154
Eksempler på eksponentielle funktioner..................................................................156
Øvelse Regneark................................................................................................158
Definition: En eksponentiel funktion..............................................................159
Tegn grafer for eksponentielle funktioner......................................................159
Eksponentielle funktioners parametre ...........................................................159
Eksponentielle funktioners parametre ...........................................................160
Den eksponentielle funktion: Oversigt og regler.....................................................163
Rentesregning........................................................................................................................165
Navngivning ved rentesregning................................................................................167
Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen........................................................169
Eksempel: Beregning af Kn .............................................................................170
Formler og ligninger.........................................................................................171
Opsparingsannuitet..........................................................................................172
Gældsannuitet....................................................................................................172
Potensfunktioner...................................................................................................................175
Tegn grafen for nogle potensfunktioner på dobbeltlogaritmisk papir.................177
Eksempler på potensfunktioner................................................................................178
Det matematiske pendul..................................................................................181
Definition: En potensfunktion.........................................................................182
Sætning: En potensfunktions parametre........................................................182
Sætning: En potensfunktions vækst................................................................184
Sætning: Grafen i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem......................185
Potensfunktionen: Oversigt og regler.......................................................................187
Oversigt over alle 3 funktionstyper...........................................................................187
94

Sammenhænge mellem variable

Eksempler på variable
Her er en tabel med to variable: den ene variabel er
"År" og den anden "Kvinder i Ikast".
Variable kan (tit) antage forskellige værdier. Her
antager variablen År værdierne 1996, 1997, ... 2006.
I tabeller står variables navne ofte ovenover værdien
(eller i en særlig kolonne: en forspalte.)
Der er ikke nogen bestemt regel for, om værdierne
skal vises i kolonner som her eller i rækker - eller
på en tredje måde. Det er blot et praktik spørgsmål.
Der er heller ikke nogen, der siger, at variables
værdier skal være tal: det kunne også være farver
eller navne, men det vil ofte være tal.
Derimod er det ikke tilfældigt, at kolonnen med år
kommer først (vi læser fra venstre): vi kan bruge
året som udgangspunkt og fx spørge: Hvor mange
kvinder boede der i Ikast i år 2000? og du kender
selvfølgelig til tabellæsning og dermed svaret: Der boede 11.248 kvinder i år 2000.
Derimod giver det omvendte spørgsmål ikke altid mening. Hvis du spørger: hvornår
boede der 11.248 kvinder i Ikast, kan du nok finde et svar, men ikke et entydigt svar. Se
fx på tabellens øverste rækker: Fra 1996 til 1997 vokser antallet af kvinder fra 11.205 til
11.269 og må have passeret 11.248 på et eller andet tidspunkt.
Den variabel, hvor der kun er ét svar hvad angår den anden, placeres i tabeller som
denne længst til venstre; er tabellen lagt ned, placeres den øverst. Den slags variable
kaldes uafhængige variable. Den anden variabel kaldes en afhængig variabel.
Forestil dig, at en slagter har hundredevis af færdigpakkede portioner med hakket
kød.
Hvilke variable kunne du foreslå til at beskrive kødet med?
Vælg en pakke med en værdi for hver variabel (som et eksempel).
Er alle værdierne tal?
Du har en stor samling af bageopskrifter i bøger og diverse udklip.
Hvilke variable kan de beskrives med?
Åbn diasshowet http://mimimi.dk/c/variabellistetv2.pps -
Lav en liste over variable, der kan knyttes til billeder.
Et nyt eksempel kunne være variable knyttet til damesko: der kunne vi bruge variable
96
Folketal pr. 1. januar efter
område, tid og køn
År Kvinder i Ikast
1996 11205
1997 11269
1998 11255
1999 11224
2000 11248
2001 11282
2002 11359
2003 11414
2004 11459
2005 11503
2006 11578
Kilde: Danmarks Statistik

som pris, farve, materiale størrelse, vægt, hælhøjde og meget andet. Størrelsen på skoene
kan så være opgivet som danske skonumre (36, 37, 38 og lignende) eller som engelske
skonumre; dvs. størrelsen kan opgives med 2 forskellige variable. Hvis den opgives
som et engelsk nummer, ville det være smart, hvis forretningen havde en tabel hængende
som nedenstående.
Dansk str. 36 37 38 39 40
Engelsk str. 4 4½ 5½ 6 7
Som skokøber læser du ovenstående tabel:
Prøv at beskrive med et par almindelige danske sætninger, hvilken information
du kan bruge ved skokøbet - i logisk rækkefølge.
Hvor godt er sammenhængen beskrevet i tabellen?
Eksempel: Henne om hjørnet
Antal øl 1 2 3 4 5 6
Pris i alt 18 36 54 72 90 108
Overalt i aviser,
i fjernsynet, på
opslag, i brochurer
og mange andre
steder ses så-
danne oplysninger, hvor to tal knyttes sammen: I året 2006 var antallet af kvinder i
Ikast 11.578. Eller fra et af de andre eksempler: Hvis du vil købe 4 øl på værtshuset
”Henne om hjørnet”, koster det 72 kroner. Antallet, du vælger at købe, kaldes som tidligere
nævnt ”den uafhængige variabel”; givet antallet kan prisen i alt bestemmes ved
opslag i tabellen: prisen kaldes ”den afhængige variabel” – den afhænger af antallet.
Sådan er tabellen tænkt: den uafhængige variabel skrives ofte i 1. række eller 1. kolonne.
I dette eksempel kunne man dog også sige: Giv mig øl for 72. kr.! Så sommetider
kan flere variable vælges som "uafhængig variabel".
Arbejderne i Vingården
Du kender sikkert lignelsen, hvor alle arbejderne fik den samme dagløn - lige meget
om de havde arbejdet 1 time eller 12 timer. Det kan vises i en tabel som denne:
Antal arbejdstimer 1 2 3 ... 12
Løn i denar 1 1 1 ... 1
Den øverste række i tabellen viser den uafhængige variable; for ethvert antal arbejdstimer
kan vi finde den tilsvarende løn.
Og det er ligeledes klart, at rækkerne i dette tilfælde ikke kan byttes om - og dermed
kan lønnen ikke vælges som uafhængig variabel. Begrundelsen er, at selvom du ved,
97

hvad lønnen er, kan du ikke fortælle, hvor mange timer der er arbejdet for den.
Oles vækst ...
Et yderligere eksempel kunne være en tabel som nedenstående, hvor du følger Oles
vækst, for at se om han vokser "normalt".
Tabellæsning
Variabeltyper
Oles alder
(måneder) 0 1 2 3 4 5
Oles vægt (g)
Oles alder
3650 4300 5300 6350 7250 7900
(måneder) 6 7 8 9 10 …
Hvor mange kvinder var der i Ikast kommune (primo) år 2000?
Hvor mange g vejede Ole, da han var 8 måneder?
Hvad koster 5 øl hos ”Henne om hjørnet”?
Kan man i eksemplet med skostørrelser bytte om på den uafhængige og
den afhængige variabel?
Hvad kunne man spørge om i stedet for ”Hvad koster 6 øl?”, hvis der byttes
om på variablene?
Geometriens standardtrekanter
Hvilke variable kender du i forbindelse med standardtrekanter?
Kan du finde eksempler på en uafhængig og en afhængig variabel?
Kan du for nogle af eksemplerne bytte om på den uafhængige og den afhængige
variabel?
98

Grafer i koordinatsystemet
Du har formodentligt set grafer i din avis: grafer, der fortæller om priser på parcelhuse
eller aktiekurser, om dollarkurser eller renter på obligationer. Det kunne også være beretningen
om, hvorledes omsætningen er vokset i et firma. Koordinatsystemet er uhyre
populært, fordi det er så velegnet til at fortælle om talsammenhænge. Og koordinatsystemer
er både lette at læse og hurtige at læse. 1
Øvelse: Aflæsning på graf
Omsætning i millioner kroner
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
Carl Larsen A/S
0
1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
år
Hvad var omsætningen i firmaet Carl Larsen A/S i 1990 ? og i 1998? Og i
2004?
Kunne grafens oplysninger vises i en tabel? Hvis ja: lav den ovenover.
Hvilke fordele er der ved at vise data i en graf?
Og hvilke fordele har tabellen?
1 Se også Niels Bo Bojesens tegning på kapitlets forside. Prøv at beskrive, hvad den fortæller.
99

Koordinatsystemet
Det forudsættes, at du kender det almindelige retvinklede koordinatsystem og
navne som x-akse, y-akse, 1. akse, 2. akse og
navne som enhed på aksen,
koordinater,
et punkt i koordinatsystemet og
punktets koordinater,
1., 2., 3. og 4. kvadrant,
begyndelsespunkt (origo)
Tegn et retvinklet koordinatsystem.
Skriv (flest mulige af) ovennævnte betegnelser på figuren.
Tegn punkterne A(-3 ; -1),
B(-3; 5), C(-1 ; 3), D(1 ; 5) og E(1 ; -1).
Forbind punkterne fra A til B til ... til E med rette linjestykker.
Hvad har du skrevet?
Det almindelige retvinklede koordinatsystem
Navnet antyder, at der findes andre koordinatsystemer: Du skal senere se både et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem og et dobbeltlogaritmisk koordinatsystem. Hver type er velegnet
til at vise en bestemt sammenhæng mellem x- og y-værdier for en række talpar.
Hvert koordinatsystem har sit særlige papir, hvorpå det kan tegnes: til det almindelige
retvinklede koordinatsystem anvendes millimeterpapiret (eller alm. ternet papir). Karakteristisk
er: længdeenheden på akserne er overalt den samme (på den samme akse):
længden af linjestykket på aksen fra 0 til 1 er den samme som længden af linjestykket
fra 100 til 101. Aksen omtales som ”en almindelig tallinje.” (Se figuren næste side.
Trykt fra: http://mimimi.dk/c/papirer/)
100

Tegning af grafer
Bemærk, at i princippet fortæller tabellen og grafen præcis den samme historie om Ole.
Det er blot to forskellige måder at præsentere Oles vækst på.
Regneforskrift
Tegn et koordinatsystem på mm-papiret overfor. Lad det fylde hele siden.
x-aksen går fra 0 til 10 (Oles alder (måneder)), y-aksen fra 0 til 12000 (Oles
vægt (g)). Indret akserne.
Tegn støttepunkter for grafen. Benyt data fra tabellen med Oles vægt.
Forbind støttepunkterne med rette linjestykker. Hvad forudsætter det
strengt taget?
Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 1. måned?
Hvor meget voksede Ole pr. dag i den 9. måned?
Hvorledes ser man forskellen på grafen?
Hvad vejede Ole, da han var 1½ måned gammel? Beskriv hvorledes du
finder svaret – og hvorvidt du kan være sikker på, at det er rigtigt.
Da momsen blev introduceret i 1967 regnede toldvæsnet ikke med, at alle kunne beregne
moms og salgspris inklusive moms uden hjælp. Derfor blev der fremstillet tabeller
som den ovenstående. Dengang var procenten 10 % - i dag er den 25 %. I dag vil man
nok beskrive metoden til at finde momsen med (med dagens procentsats) således:
Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 25 /100
eller lidt nemmere at beregne:
Pris uden moms Moms (10 %) Pris uden moms Pris med moms
1,00 0,10 1,00 1,10
2,00 0,20 2,00 2,20
3,00 0,30 3,00 3,30
4,00 0,40 4,00 4,40
5,00 0,50 5,00 5,50
6,00 0,60 6,00 6,60
7,00 0,70 7,00 7,70
8,00 0,80 8,00 8,80
9,00 0,90 9,00 9,90
10,00 1,00 10,00 11,00
Momsen af et salg = salgsprisen uden moms * 0,25
102

Med en regneforskrift vil vi beskrive sammenhængen således:
Momsfunktionen
x = salgsprisen for en vare uden moms (i kr.)
f(x) = moms for en vare der koster x kr. (i kr.)
f(x) = 0,25*x
Bemærk:
● f(x) er en standardskrivemåde for at vise, at vi beregner noget ved hjælp af værdien
x – som er en slags joker, der står for en hvilken som helst værdi. Vi kunne
lige så godt have skrevet moms(x) eller moms(salgspris_uden_moms). I stedet for
”f(x)” benytter nogle andre matematikere betegnelsen ”y”.
● At momsfunktionen her beskriver noget ude fra den virkelige verden: nemlig
hvad staten opkræver i forbindelse med et momspligtigt salg. Sådanne beskrivelser
kaldes matematiske modeller og derfor indgår der også en præcis beskrivelse
af, hvad de to variable betyder (og enheden, de måles med.)
● Selv om de to første forklaringer ikke medtages, er der stadig tale om en funktion,
men ikke længere en model. Det er muligt, at beregne funktionsværdier
(som f(40) = 10), lave tabeller med sådanne talpar, tegne funktionens graf.) 2
Moms og funktionsforskrifter
Om funktioner
Tegn et koordinatsystem på mm-papir. Lad det fylde (næsten) hele siden.
Lav en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp af prisen
uden moms beregner prisen med moms.
Lav også en matematisk beskrivelse med en regneforskrift, der ved hjælp
af prisen med moms beregner prisen uden moms. at det er rigtigt.
Kontroller modellerne på et eksempel, hvor du har en pris på 200 kr. uden
moms, beregner prisen med moms og bruger resultatet i den anden funktion
for at beregne prisen uden moms.
Du har set 3 forskellige metoder til at én værdi af en variabel (fx "3" - altså 3 øl) benyt-
2 Og en af de store fordele ved matematik er, at den både kan studeres løsrevet fra den omgivende
verden og anvendes i modeller. Og endvidere, at den samme matematik kan bruges
til at beskrive vidt forskellige modeller.
103

tes til at finde den tilsvarende værdi af en anden variabel ("54" - prisen for de 3 øl.) Metoderne
benytter hhv.
● tabel (som øleksemplet)
● graf (som i eksemplet om Carl Larsen A/S)
● regneforskrift (som i momseksemplet)
I alle tilfælde siger vi, at vi har defineret en funktion, fordi vi har beskrevet en metode
til at finde en værdi af den afhængige varible ved hjælp af en værdi af den uafhængige
variabel.
Definition af funktionsbegreber
Funktion
En funktion f er en sammenhæng mellem variable, hvor der:
• for hver værdi af den ene (uafhængige) variable
• findes præcist én tilsvarende værdi af den anden (afhængige) variable
kaldet funktionsværdien
104

Kommentar
Det er vist symbolsk på tegningen: fra værdien x (der står for en vilkårlig værdi for den
uafhængige variabel) er der tegnet en pil over til den tilsvarende værdi for den afhængige
variabel: f(x).
Definitionsmængde og Værdimængde
DM (definitionsmængden) er mængden af alle værdier, den uafhængige variabel kan antage
og hvortil der svarer en funktionsværdi
VM (værdimængden) er mængden af alle mulige funktionsværdier
Kommentar
f er sammenhængen mellem variable. Denne sammenhæng kan være beskrevet på forskellige
måder: med ord i almindeligt sprog (verbalt), med pile som ovenover, men oftere
med en tabel, en graf eller en regneforskrift.
f(x) kaldes funktionsværdien for x, men x er en ikke specificeret værdi fra DM – x er en
slags joker, der skal erstattes af en værdi fra DM. Når x erstattes med en bestemt værdi
som for eksempel 8, kan man finde f(8) ved at benytte funktionsbeskrivelsen: gå det
rigtige sted ind i den rigtige tabel, aflæse den til 8 svarende værdi på grafen, erstatte x
med 8 i regneforskriften osv. afhængig af den måde, funktionen er beskrevet på.
DM og VM er symbolsk tegnet som dele af en større mængde: I eksemplet med spædbarnet
Ole kan DM = [0 ; 15] – dvs. at vægten følges i perioden fra fødslen (Ole er 0 måneder)
til og med at han er 15 måneder, og tilsvarende er VM alle mulige vægte han
har haft i den periode: VM=[3585 ; 10895]. 3 Det vil sige, at han har vejet mellem 3,585 kg
og 10,895 kg. Punkterne i den ene mængdebolle vil i eksemplet være Oles aldre, punkterne
i den anden mængdebolle er Oles vægte (i spædbarnsperioden.)
Pilen fra x til f(x) med betegnelsen f er symbol på funktionen: hvorledes skal vi finde
funktionsværdierne. Det vil kun sjældent i praksis være med pile; i eksemplet med Ole
aflæses funktionsværdien i tabellen under x-værdien.
Elementerne i DM er (symbolske) eksempler på den uafhængige variable; elementerne
i VM er eksempler på den afhængige variable.
I værtshuseksemplet ”Henne om hjørnet” kan vi vælge at købe et eller andet antal øl:
1, 2, 3, 4, 5, 6 eller måske endnu flere. Disse tal udgør definitionsmængden. Alle mulige
priser i alt: 18, 36, 54, 72, ... udgør værdimængden.
Vi kunne beskrive et eksempel på sammenhængen således:
Prisen for 4 øl er kroner 72.
3 Bemærk, at tabellen med Oles vægte kun er nogle få af de uendeligt mange , han har haft i
perioden. Bemærk også, at spædbørn også kan tabe sig!
105

Men i matematik bruges som sagt sproget:
pris(4) = 72 eller mere generelt:
f(4) = 72
Hvis vi ser på funktioner helt generelt uden at tænke på et bestemt eksempel kaldes
den uafhængige variabel ofte x og den afhængige variabel f(x) eller y. Den første skrivemåde
minder om, at den afhængige variabel findes ved hjælp af en værdi for x; den
sidste, at vises talparret som et punkt i et koordinatsystem, benyttes den afhængige variabel
som y-værdi.
f er navnet på funktionen. Ofte bruges også g og h eller moms eller skat, såvel som sin,
cos og tan.
Funktionen er kendt, når vi på en eller anden måde kan forbinde ethvert element i DM
med et bestemt element i VM.
Funktionen er sammenhængen - og tabeller, grafer og regneforskrifter er forskellige
måder at beskrive denne sammenhæng.
Det betyder i øleksemplet: Hvilken sammenhæng er der mellem antal øl og det, du skal
betale for dem? Den kan beskrives ved at lave en tabel eller måske bare et prisskilt: 1 øl
koster 18 kr. Så ved kunderne, at forskriften for prisfunktionen er:
pris_ialt(x) = 18*x 4
Funktioner: Grundbegreber
Et diasshow, se: http://pc-p4.mimimi.dk/c/funktionsBegreber_v2.pps
Teaterabonnement i Nykøbing Teaterforening
Lav en matematisk model med regneforskrift, der kan beregne prisen på
et abonnement, idet du bruger oplysningerne herunder:
Årets kontingent er 150,00 kr. Derudover betaler medlemmerne 175,00 kr. for hver forudbestilt
billet i gruppe B; dog betales mindst for 3 billetter.
Eksempel: Udvikling i antal beskæftigede
Vi vil gerne vise, hvordan det er gået med tekstilbranchen i Herning.
4 Denne enkle sammenhæng, hvor den afhængige variabel (her prisen) fås ved at gange den
uafhængige variabel (her antallet) med en konstant faktor, kaldes ligefrem proportionalitet.
106

4500
4000
3500
3000
2500
2000
1500
1000
500
Udvikling i antal beskæftigede i tekstilindustrien i Herning fra 1993 til 2003.
Udviklingen kunne beskrives med ord. Måske ville det blive lidt uoverskueligt. Måske
er tegningen nemmere og hurtigere at opfatte? Hvert punkt svarer til et talpar med xværdi
og y-værdi. x-værdien angiver et årstal og y-værdien i samme punkt angiver antallet
af beskæftigede dette år. Vi kan altså for ethvert årstal (mellem 1993 og 2003) finde
et punkt og dermed den tilsvarende y-værdi: antallet af beskæftigede.
Tekstilindustrien i Herning
Ugens menu
Antal beskæftigede
0
1992 1994 1996 1998 2000 2002 2004
Viser tegningen i det foregående et eksempel på en funktion? Begrund
svaret.
Hvad er f(1993)? f(1996)? f(1999)? f(2004)? Vis med pile et eksempel på aflæsningen!
Hvad er DM(f)? og VM(f)? Marker intervallerne på tegningen og skriv
navnene på dem.
Kan du finde en regneforskrift for funktionen?
Kan du finde f(1992)?
Antal billetter 3 4 5 6 7
Samlet betaling 675 850 1025 1200 1375
107

For 200 år siden bestod morgenmaden i flåden af brød og brændevin. Brændevinsrationen
var for eksempel på 2 pægl om ugen.
Når 1 liter er 4,14 pægl, hvor mange liter har hver mand så fået om ugen?
Udfyld tabellen herunder
Beskriv sammenhængen mellem pægl og liter som en funktion med en
regneforskrift.
Tegn nederst på siden grafen for funktionen
Bemærk: grafen går gennem (0,0); det er et kendetegn for ligefrem proportionalitet
Antal pægl 1 2 3 4 1/16
Antal liter
Brændevin i flåden.
Det ses let, at dobbelt så mange pægl svarer til dobbelt så mange liter. 3 gange så
mange pægl svarer til 3 gange så mange liter. Og så videre. Når dette forhold gælder,
er de variable ligefrem proportionale.
108

Beskriv funktioner
I de følgende eksempler skal du for hvert eksempel finde nogle variable og en
funktion, der nogenlunde beskriver sammenhængen mellem dem. Benyt eventuelt
flere forskellige metoder til at beskrive funktionen. Det betyder, at du skal gætte –
evt. meget upræcist – på de tal, du skal bruge, og du behøver ikke at tage hensyn til
alt: mindre væsentlige detaljer og undtagelser ses der bort fra. Prøv at medtage,
hvilken måleenhed du bruger til at måle variable med (kr. , meter, kg osv.)
Model for en tur med taxa med variable: afstand og pris
Vægten af træstolper med tværsnit på 10 cm x 10 c
Vurder forbrug af maling udendørs for 1-plans træhuse af forskellig
størrelse
Model for varmeregning hvor de variable er udgift og forbrug
Model for varmeregning hvor udgiften sammenholdes med
gennemsnitlig indetemperatur
Brændetid for starinlys
Renskrift af et af eksemplerne
109

Oversigt: Vigtige funktionstyper
V har allerede beskæftiget os noget med de trigonometriske funktioner: sin og sin -1 , cos
og cos -1 samt tan og tan -1 . I årets løb skal vi også beskæftige os meget med 3 andre
funktionstyper:
Lineære funktioner
Lineære funktioner har regneforskriften:
f(x) = a*x + b,
hvor a og b kan være alle mulige reelle tal. For hver kombination af a og b fås en ny
lineær funktion. a og b kaldes funktionens parametre.
Eksempelvis kan a = ½ og b = 1:
f(x) = ½*x + 1
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
En lineær funktion (tabel)
Den type har fået navnet ”lineær funktion”, fordi grafen tegnet på mm-papir i et
sædvanligt retvinklet koordinatsystem er en ret linje.
En lineær funktion (graf)
110
f(x) = 0,5 x + 1
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1,0
-2,0

Eksponentielle funktioner
Eksponentielle funktioner har regneforskriften:
f(x) = b*a X ,
hvor a og b kan være alle mulige positive reelle tal. For hver kombination af a og b fås
en ny eksponentiel funktion. a og b kaldes funktionens parametre.
Eksempelvis kan a = 2 og b = 3:
f(x) = 3*2 X
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) 0,09 0,19 0,38 0,75 1,5 3 6 12 24 48 96
En eksponentiel funktion (tabel)
Denne type
funktioner tegnes
ofte på et specielt
papir kaldet
enkeltlogaritmisk papir, fordi grafen for en eksponentiel funktion tegnet på dette papir er
en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen eksponentiel.
Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: tallene på y-aksen følger ikke den
almindelige skala.
Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar
fra en eksponentiel funktion.
En eksponentiel funktion (graf)
f(x) = 3*2 x
100,0
10,0
1,0
-6 -4 -2 0 2 4 6
0,1
0,0
111

Koordinatsystem på enkeltlogaritmisk papir 5
Benyt det enkeltlogaritmiske papir på næste side. Skriv værdierne fra 0 til
16 på x-aksen, idet hele bredden benyttes. På y-aksen erstattes det
midterste ”1” af ”10” og det øverste ”1” af ”100”.
Skriv y-værdier ud for alle delestreger, hvor der i forvejen står et tal. Det
er en god vane - også selvom du er 100 % sikker på, hvad hver enkelt
delestreg står for.
Vis - med meget præcise pile - y-værdierne:
11, 14, 17
38, 43
52, 53, 54
75, 84, 98
Tegn en ret linje mellem punkterne (2 ; 0) og (16 ; 100)
Aflæs koordinater for alle punkter på linjen med x-værdierne 1,2,3 ... 16.
Skriv resultaterne i en tabel, hvor første række er 0, 1, 2 ... 16 og anden
række er de hertil svarende aflæste y-værdier. Aflæs y-værdier som helt
tal.
Beregn for de samme x-værdier funktionsværdier for f(x) = 2·1,2770 x .
Skriv dem i en 3. række i samme tabel afrundet til helt tal.
Sammenlign de beregnede y-værdier med de aflæste y-værdier.
5 En dekade er et interval, hvor det største tal er 10 gange større end det mindste. På det viste
enkeltlogaritmiske papir kan hele intervallet på y-aksen opdeles i 3 dekader (fx fra 1 til 10, fra
10 til 100 og fra 100 til 1000.) Derforfor kaldes dette papir også "enkeltlogaritmisk med 3
dekader". På http://pc-p4.mimimi.dk kan du også finde tilsvarende papirer med 1 til 6 dekader.
Også intervaller som et fra 7 til 70 er en dekade! Bemærk, at det har den samme længde som fra
1 til 10. Bemærk også, at når du ændrer tallene på y-aksen må det kun ske ved at gange eller
dele med 10 - evt. flere gange. Fx 4 kan ændres til 40 og 8 kan ændres til 0,008.
112

1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
113

Potensfunktioner
Potensfunktioner har regneforskriften:
f(x) = b*x a , DM(f) = R +
R + er de positive reelle tal; a kan være et vilkårligt reelt tal; b> 0. . For hver kombination
af a og b fås en ny potensfunktion. a og b kaldes funktionens parametre.
Eksempelvis kan a = 2 og b = 3:
f(x) = 3*x 2
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Denne type funktioner
tegnes ofte på et
En potensfunktion (tabel)
specielt papir kaldet
dobbeltlogaritmisk
papir, fordi grafen for en potensfunktionfunktion tegnet på dette papir altid vil være
en ret linje og omvendt: er det en ret linje på dette papir, er funktionen en
potensfunktion. Det omtales nærmere i et senere kapitel. Bemærk: hverken tallene på
x-aksen eller y-aksen følger ikke den almindelige skala.
Givet en række talpar kan man altså let afgøre, om de kunne være samhørende talpar
fra en potensfunktion.
Koordinatsystem på dobbeltlogaritmisk papir.
Benyt det dobbeltlogaritmiske papir på næste side. Skriv værdierne fra
0,1 til 10 på x-aksen.
Lav en tabel med støttepunkter for funktionen
f(x) = 5*x 2
På y-aksen indrettes aksen, så mest muligt af grafen kan være på papiret.
Erstat de fortrykte tal med dem, du vælger.
Indtegn støttepunkter for funktionens graf.
Kontroller, at der kan tegnes en ret linje gennem alle støttepunkterne.
114

115

116

1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
117
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

Råd om tegning af grafer
Grafen skal kunne være på dit papir! Men den skal heller ikke gemme sig nede i et
hjørne. Det skal du tage hensyn til, når du indretter skalaer på dine akser.
Derfor starter du med at få overblik over, hvad der er den mindste og største x-værdi,
henholdsvis mindste og største y-værdi.
Almindelige tallinjer kan indrettes ret frit: enheden kan være større eller mindre
afhængig af vor opgave. Hvis du har brug for tallene fra 10 til 20, behøver du ikke
medtage tallene fra 0 til 10. Det eneste vigtige er: at målestokken er den samme overalt
på samme akse, at enheden er valgt, så læsning af tal er nogenlunde nemt samtidigt
med, at tegningen fylder så meget som muligt.
På enkelt- og dobbeltlogaritmisk papir er der fortrykte tal på akserne. De bør
konsekvent erstattes med dine egne – klare og tydelige og store tal.
På en logaritmisk skala, kan tallene ikke stå hvor som helst: der, hvor der er fortrykt 1
(10) skal der stå en hel potens af 10. Det vil sige tal som 0,01; 0,1; 1; 10; 100; 1000; 10000
osv.
Hvis din mindste værdi på skalaen er ”17”, vælger du den potens af 10, som ligger
nærmest under 17. Her vil potensen være 10 1 = 10. Dette tal skriver du længst til
venstre på x-aksen eller længst nede på y-aksen i stedet for det 1-tal, der stod der i
forvejen. Nu skal resten af tallene rettes: det næste 1-tal (til højre eller op) rettes, så det
er den næste 10-potens: her 100, den næste bliver 1000, så 10.000 osv. Logaritmiske
skalaer kan være forskelligt indrettede med forskelligt antal dekader (dvs. interval
hvor største endepunkt er 10 gange større end mindste endepunkt.) Imellem 10 og 100
betyder ”2” ikke 2, men 20. Det rettes. Ligeledes rettes alle andre tal på aksen. Bemærk
i øvrigt, at der ikke er lige mange delestreger mellem tallene på en logaritmisk skala: jo
større tallene bliver, jo større spring bliver der mellem delestreger.
Lommeregnerøvelse
Kontroller beregningerne i tabellerne for de tre funktionstyper.
Grafer – og det rigtige papir
Hjælp: Før du tegner: se på forskriften. Hvilken type ligner det? Prøv at indtegne den
på det tilsvarende papir. Hvis linjen ikke er ret, kan der være tre forklaringer:
● Du har regnet forkert
118

Du har afsat støttepunktet forkert
Du har valgt en forkert type papir
Følgende funktioner tegnes ind på et papir, så grafen bliver en ret linje. For hver
funktion laves 5 støttepunkter i et sildeben, hvor x-værdier vælges jævnt spredt ud
over aksen fra mindst til størst. Alle x-akser skal i hvert fald indeholde intervallet fra
1 til 10.
f(x) = 3x-10
g(x) = 10/x
h(x) = 1,5x –10
k(x) = 10*1,2 x
m(x) = 10*x 2 *1,5*x
n(x) = 3x –2
Grafer for sin og cos
Tegn et koordinatsystem på millimeterpapir; x-aksen har en skala fra 0 til
90 (der fylder 18 cm), y-aksen har en skala fra 0 til 1 (der fylder 10 cm.)
Indtegn støttepunkter for sinusfunktionen: (0 ; sin(0)) , (10 ; sin(10)) , …,
(90 ; sin(90)). Forbind dem med en udglattet graf.
Tilsvarende tegnes grafen for cosinusfunktionen i samme
koordinatsystem.
Kan du se et mønster?
Kan du finde en forklaring på mønstret?
119
p(x) = -2x
r(x) = 10
s(x) = 10*0,8 x
t(x) = 10*3x
u(x) = -1,5x +10
v(x) = 22x 7 /(4x)

Funktioner, ligninger mv.
Vi benytter det almindelige retvinklede koordinatsystem til at tegne mange slags linjer og
kurver, og det er ikke altid muligt umiddelbart at se, om der er tale om en graf, eller hvad der er
tale om. Her er en oversigt, der skal gøre det lidt nemmere:
● Funktion og graf
○ En graf er det grafiske billede af funktionen
○ Grafen består af alle punkter i koordinatsystemet af typen (x ; f(x)), hvor
■ x er en værdi i DM ( = definitionsmængden) og
■ f(x) er den tilsvarende y-værdi i VM ( = værdimængden)
○ For én bestemt x-værdi findes der kun én y-værdi, som her skrives f(x); dvs.
en graf har aldrig to punkter lodret over hinanden
○ En graf er ikke nødvendigvis sammenhængende ( = kontinuert)
● Linjers, cirklers med fleres ligninger
○ En ligning er som bekendt et åbent udsagn med et lighedstegn:
■ y = 3x - 4
■ x = 3
■ y 2 = x
■ x 2 + y 2 = 3 2
○ Der indgår oftest både x og y i ligningerne, men ikke nødvendigvis
○ For hvert punkt i planen undersøger man om ligningen bliver sand, når punktets
koordinater indsættes i ligningen: hvis sand, markeres punktet.
○ Mængden af alle markerede punkter udgør sommetider en genkendelig figur: er
figuren en ret linje, har vi benyttet ligningen for den rette linje, er figuren en cirkel,
taler vi om cirklens ligning.
○ Omvendt kan man også starte med at tegne en figur – og derefter forsøge at finde
en ligning, der er sand, hvis man indsætter x- og y-værdier fra punkter på figuren.
Den fundne ligning er figurens ligning.
○ Nogle figurer kunne evt. opfattes som grafer – men ikke alle.
120

● Tendenslinjer
○ Når vi indsamler data ( = talpar) fra den fysiske verden, vil vi ofte opleve, at
sammenhængen kan beskrives med en enkel funktionssammenhæng. Men:
Regneark
■ fejl, usikkerhed, unøjagtighed og tilfældigheder kan medføre,
● at der til samme x-værdi svarer forskellige y-værdier og / eller
● de nøjagtige y-værdier afviger lidt fra den enkle fremstilling.
○ Hvis sammenhængen trods alt er tydelig, vil vi sige, at dataene er korrelerede.
○ Sådanne data kan beskrives med tendenslinjer, som er grafer for den funktion,
sammenhængen tilnærmet kan beskrives med.
● Parameterfremstilling af kurver
○ Hvis vi - som et typisk eksempel – vil beskrive en rejserute på et kort, kan vi
arbejde med en model som:
■ t = tid (målt i sekunder eller år eller? fra et eller andet begyndelsestidspunkt
som for eksempel rejsens starttidspunkt.)
■ x(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod øst (eller vest) til tiden t (for
eksempel målt i m eller km) og tilsvarende
■ y(t) = en værdi for, hvor langt man er kommet mod nord (eller syd) til tiden t.
○ Hvis der afsættes punkter for enhver t-værdi fås en kurve.
○ Kurven er en figur, der viser (noget) om funktionen, hvor DM er tiden og VM er
positionerne på rejsen.
● Funktioner
■ DM er en delinterval af de reelle tal og
■ VM er en delmængde af planen
121

122

Lav et regneark
Et regneark kan sammenlignes med et stort stykke ternet papir.
Kolonnerne nummereres A, B, C … og rækkerne 1,2,3 … Cellen
B2 er det sted, hvor kolonne B og række 2 skærer hinanden. På
figuren herunder står markøren i denne celle. Man kan se, at
der er en sort ramme om cellen og at både B og 2 er skrevet med
fed skrift.
Ideen bag programmet er:
1. At man kan lave en fornuftig og klar opstilling af små
og store regneopgaver
2. At man kan blande tekst og tal
3. At man kan anbringe formler i nogle af cellerne; disse
regnes så automatisk ud, når man ønsker det. Det
betyder, at man kan lave en mindre rettelse, og så kan
programmet let gennemregne alt igen, uden at man selv
får noget væsentligt arbejde.
Åbn (kør) Excel
6
Tast teksten, du ser i regnearket på næste side, ind
i dit eget regneark:
6 Hvis du ikke er meget dygtig til at arbejde med regneark, skal du
selv prøve at lave et regneark som beskrevet. Ellers: hjælp din
sidemand.
123

124

wfwefwee
125

Så skal de to beløb adderes (lægges sammen) og
resultatet skrives i D4. Derfor skrives formlen i
D4. D2:D3 betyder alle celler mellem disse to. De
behøver ikke at være fra samme kolonne eller
samme række.
126

Diagram
For at fremhæve resultatet, er det så formateret
med fyldfarve.
Nu kan der konstrueres et diagram ved at markere
de celler, der skal benyttes. Marker for eksempel
først teksten (Æbler og Pærer), hold CTRL nede og
marker de to tal:
Så vælges guiden diagram og diagramtypen med
videre: hvorefter man kan se et diagram: enten
som objekt i regnearket eller som selvstændigt
diagramark som her.
127

Resultatet ses herunder:
Det er muligt at formatere enkelte dele, ofte ved at man klikker
på den pågældende detalje og derefter udfylder en dialogboks.
På cirkeldiagrammet kan man se en lille gul seddel med
128

oplysninger om et cirkeludsnit; den fremkommer, når man
holder musen over udsnittet.
Lagkagediagrammet
Grafer i regneark
Millimeterpapir
Mål det røde cirkeludsnit med vinkelmåler.
Beregn gradtallet med de oplyste tal. Får du det
samme?
Fra sildeben til punkter i det almindelige koordinatsystem
Marker de data, der skal anvendes, vælg diagram og vælg
derefter XY-punkt. 7
Efter øvrige valg kan diagrammet se ud som på næste side:
7 I næsten alle opgaver er dette det naturlige valg (i matematik.)
129

Enkeltlogaritmisk papir
I et nyt eksempel ses det ret tydeligt på figuren, at punkterne
ikke ligger på en ret linje. Da det er svært - eller næsten umuligt
- at genkende alt andet end rette linjer, kan man kontrollere, om
der er tale om en eksponentiel funktion 8 , ved at indtegne punkterne
på enkeltlogaritmisk papir. I Excel ændres det almindelige
millimeterpapir til enkeltlogaritmisk papir ved at formatere
y-aksen som herunder.
8 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper
130

● Klik på y-aksen:
● Sæt flueben ved Logaritmisk skala.
● Klik OK.
Herunder ses det, at nu ligger punkternepå en ret linje.
Dobbeltlogaritmisk papir
Eksemplet her minder om det forrige, men der er ikke tale om
en eksponentiel funktion, men derimod en potensfunktion 9 . For
denne type - og kun denne type - vil punkterne ligge på en ret
linje, hvis begge akser er logaritmiske. Derfor formateres begge
9 Se forrige kapitel: Oversigt: Vigtige funktionstyper
131

akser: Først den ene, så den anden,
132

og efter begge ændringer ligger punkterne ganske rigtigt på en
ret linje: For at se , hvor godt en model passer til de oplyste
data, kan man i alle tilfælde tegne en tendenslinje. Det er en
linje, som man selv eller regnearket prøver at lægge tættest
muligt på alle punkterne i koordinatsystemet. I regnearket
gøres det sådan: højreklik på et af punkterne og vælg: Tilføj
tendenslinje (som på næste side.)
133

Hvor godt det passer, kan afgøres på øjemål, men anvender du
Excel, kan regnearket – når du har valgt funktionstypen - finde
● en tendenslinje med de parametre, der passer bedst
(dvs. at programmet finder talværdier for a og b) og
● R 2 , der et mål for, hvor klar sammenhængen er mellem
to variable er. Værdien 0 betyder, at der ingen sammenhæng
er – værdien 1, at der er en klar sammenhæng.
134

Lineære funktioner

Introduktion
Øvelse: En bageopskrift
I ”La Cuisine Gourmande” 10 findes en opskrift på en gærkage: En savarin. Forfatteren
opremser omhyggeligt, hvad der er brug for af råvarer, tilbehør, køkkenredskaber med
videre. Her ses et uddrag af informationerne:
Opskrift for 4 kager hver beregnet til 5 personer
10 g gær
2 spiseskefulde lunkent vand
250 g hvedemel blandet med 6 g salt
3 æg
10 cl mælk
10 g stødt melis
125 g smør
1 træske
4 savarinforme, diameter 14 cm
Hævetid 30 minutter
Bagetid 20 minutter
Bagetemperatur 200°C
Hvilke tal vil du ændre i opskriften, hvis der skulle bages 8 kager? til
hvad?
Ret opskriften, så den passer til 5 personer
Hvorledes vil opskriften se ud, hvis den skal passe til ca. 20 personer,
men du kun har forme med diameter 20 cm?
Matematik skal smage godt!
Til lærere: se Eksperimentel Matematik, Matematiklærerforeningen, 2007, side 62
(http://www.mat.dk/XM/xmm-bog.pdf)
Se: http://mimimi.dk/c/vingummibamser.pdf
Eksempel: En taxatur
En tur med taxa koster 30 kr. i startgebyr; derudover betales 10 kr. pr. km.
10 Michel Guérard, ”La Cuisine Gourmande” (Robert Laffont – Paris, 1978)
136

Det er nemt at lave en tabel med afstand og pris for forskellige ture:
Afstand i km 0 5 10 15 20
Pris i kr. 30 80 130 180 230
Plotter vi punkterne svarende til talparrene ind i et almindeligt retvinklet
koordinatsystem, fås:
Pris i kroner
250
200
150
100
50
0
Pris for en taxatur
0 5 10 15 20 25
Afstand i km
Hvis alle punkter, vi kunne tegne, lå på en ret linje, er der tale om en lineær funktion.
(Jævnfør definitionen senere i bogen.) Fra funktionsoversigten tidligere blev det
påstået, at funktioner med funktionsforskrifter af typen
f(x) = ax + b
er lineære funktioner.
Da der kan tegnes en ret linje gennem alle de tegnede punkter, kan funktionen
(måske?) være lineær. Men vi har jo ikke kontrolleret alle punkter.
Om taxaturen
Hvis vi går ud fra, at alle punkter på den tegnede linje svarer til
sammenhørende værdier af en taxaturs længde og dennes pris:
Hvad koster så en tur på 4 km ? Ved svaret benyttes kun tegningen.
Hvor langt kan vi køre for 200 kr.?
Kontroller ved beregning, at dine svar på ovenstående 2 spørgsmål er
rigtige
137

Eksperimenter med grafen
Følg linket:
http://pc-p4.mimimi.dk/xm/parametre/Links/retLinje.html
Flyt med punkterne A og B (med musen)
Hvilken sammenhæng er der mellem linjen gennem A og B og:
tallet a i vinduet til venstre? Beskriv det:
Hvilken sammenhæng er der mellem linjen gennem A og B og:
tallet b i vinduet til venstre? Beskriv det:
Hvilken sammenhæng er der mellem a og b og:
ligningen ”Linje”? Beskriv det:
138

Definitioner
Graf
Vi har givet en funktion, hvor både funktionens DM og VM er de reelle tal (eler en
delmængde af de reelle tal). Grafen for en funktion er mængden af alle punkter i
koordinatsystemet som (x ; f(x)), hvor alle x-værdier i DM(f) anvendes.
En lineær funktion
En funktion er lineær, hvis grafen er en ret linje eller en del af en ret linje.
En funktions regneforskrift
En funktion f kan defineres ved, at vi får oplyst DM(f) og hvorledes man for ethvert x
kan regne f(x) ud.
Definition af en konkret (ganske bestemt) funktion som model
x = Afstanden i km
f(x) = Prisen for en taxatur på x km
f(x) = 10x + 30
DM(f) = [ 0 ;∞ [ ; det betyder, at taxaturen kan være fra nul kilometer og op;
indrømmet: det er lidt skørt at køre 0 km.
VM(f) = [ 30 ;∞ [ ; det betyder at taxature koster fra 30 kr. og op.
De to første punkter (x = ... og f(x) = ...) knytter funktionen med regneforskriften f(x) =
10x +30 sammen med virkeligheden. En primitiv model for samspillet kunne være:
Flaske-Peter
Virkelighed Matematisk model
Hvad koster en taxatur
på 3 km?
Den koster 60 kr.!
Peter tager imod tomme vinflasker for købmand Olson. Han skal give kunden en
seddel, hvor der står, hvor meget kunden skal have for flaskerne. Olson har udstyret
ham med en tabel som den nedenstående:
139
x = 3
f(x) = 10x + 30
f(3) = 10*3 + 30
= 60

Antal flasker 1 2 3 4 5 6 7 8
Returbeløb i kr. 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00
Antal flasker 9 10 11 12 13 14 15 16
Returbeløb i kr. 2,25 2,50 2,75 3,00 3,25 3,50 3,75 4,00
Antal flasker 17 18 19 20 21 22 23 24
Returbeløb i kr. 4,25 4,50 4,75 5,00 5,25 5,50 5,75 6,00
Antal flasker 25 26 27 28 29 30 31 32
Returbeløb i kr. 6,25 6,50 6,75 7,00 7,25 7,50 7,75 8,00
140

Taxaturen igen
Vi har tegnet lidt af grafen – nemlig 5 støttepunkter – og de ligger på en ret linje.
Derfor ”tror” vi, at alle punkter af typen (x;f(x) vil gøre det, men det kan vi faktisk ikke
vide (endnu.) Hvis det er rigtigt, hvad vi tror, er taxafunktionen en lineær funktion.
Vi benytter, at følgende regneforskrift kan bruges til beregning af prisen:
f(x) = 10*x + 30; DM(f) = [0 ; ∞ [
Hvis vi vil finde svaret på (som ovenfor), hvor langt man kan komme for 200 kr., kan
det fås ved at løse ligningen: f(x) = 200
Ligning
f(x) = 200 ⇔
10*x + 30 = 200 ⇔
10*x + 30 – 30 = 200 – 30 ⇔
10*x = 170 ⇔
10*x/10 = 170/10 ⇔
x = 17
Beskriv funktionen på tilsvarende måde som taxatursfunktionen.
Tegn funktionens graf.
Er den lineær? Hvorfor?
Går den igennem koordinatsystemets begyndelsespunkt (0;0)?
Hvis funktioner er lineær, hvad kaldes så denne type?
indsæt hvad f(x) betyder
træk 30 fra på hver side
regn ud (reducer)
divider med 10 på hver side
regn ud (reducer)
Det vil sige, at for 200 kr. kan man køre 17 km 11
11 Den teknik, der her benyttes for at løse ligningen, er typisk. I den oprindelige ligning, er vi
på jagt efter et tal, der gør ligningen sand (dvs. skaber balance mellem højre og venstre side.)
Ved hele tiden at gøre det samme på begge sider af lighedstegnet fås nok nye ligninger, men
ligninger, der har den samme løsning som den oprindelige ligning. Ideen er at komme frem
til en så enkel ligning, at svaret ligger lige for.
141

Øvelse
Sætning: Forskriften for en lineær funktion
Hvis funktionen f er lineær,
kan funktionsforskriften for f skrives:
f(x) = ax + b.
Bevis I
Først bevises, at hvis f er en lineær funktion og dens graf går gennem begyndelsespunktet
(0;0), kan funktionsforskriften for f skrives:
f(x) = ax
Vi tegner et almindeligt
retvinklet
koordinatsystem og
tegner grafen for en helt
”tilfældigt” valgt lineær
funktion gennem
begyndelsespunktet O
(origo). I første omgang
forudsættes, at grafen går
gennem 1. kvadrant.
Herefter vælges en
tilfældig, men positiv x-værdi i første omgang; senere kan vi vise (som en øvelse), at
selv om x-værdien er negativ, eller grafen går gennem 2. kvadrant, kan beviset
gennemføres på næsten samme måde.
Der tegnes to hjælpelinjer vinkelret på x-aksen gennem 1 og x på x-aksen, så der opstår
to ensvinklede trekanter, idet begge er retvinklede og de har en fælles vinkel O.
I den farvede trekant kaldes længden af den lodrette katete for a. Da skalafaktoren
mellem trekanterne nemt ses at være k = x/1 = x, bliver længden af den anden lodrette
katete a*x. Men længden er jo også funktionsværdien i x; dvs.
f(x) = a*x
Hermed er første del af sætningen bevist, men kun hvor a og x er positive tal.
Udvid beviset
Følg linket til øvelserne på internettet:
http://pc-p4.mimimi.dk/c/retLinje.html
142

Bevis II
Vi tegner igen et almindeligt retvinklet koordinatsystem og tegner grafen for en helt
”tilfældigt” valgt lineær funktion: f ; denne gang går grafen ikke gennem origo. Samtidig
tegnes en linje parallel hermed gennem origo: Vi lader den være grafen for funktionen
g. g har forskriften
g(x) = a*x; jævnfør første del af beviset.
Der tegnes en linje vinkelret på x-aksen gennem et
tilfældigt punkt (x ; 0). Det punkt, hvor grafen for f
skærer y-aksen kaldes (0;b).
Det medfører at linjestykket fra origo til (0;b) får
længden b (hvis b som på tegningen er positiv); den
samme længde får den anden lodrette side i det
markerede parallellogram. Derfor gælder:
f(x) = g(x) + b
og da g(x) = ax, fås, at for enhver lineær funktion
gælder:
f(x) = ax + b.
Også her kunne beviset nemt ændres, så det også
gælder for negative værdier af b.
QED
Den omvendte sætning
Har en funktion forskriften
f(x) = ax + b
er funktionen f lineær.
Bevis for sætningen
Vis, at funktionsforskriften også er rigtig for x=0 og for x

Sætning: Beregning af a
En lineær funktion har en graf, der går gennem de to kendte punkter P(x1;y1) og
Q(x2;y2). a i forskriften for f kan beregnes som:
a = (y2 – y1) / (x2 – x1)
Bevis 12
Tegn i et alm. retvinklet koordinatsystem de to støttepunkter
(0 ; b) og (1 ; b+a)
Tegn en ret linje gennem punkterne
Lad linjen være grafen for funktionen g
Find forskriften for g
Begrund, at den rette linje også er graf for f – hvormed sætningen er
bevist.
Grafen for f tegnes som en retlinje gennem P og Q. ΔPQR er tegnet som en retvinklet
trekant, hvor kateterne er parallelle med koordinatsystemets akser. Længden af
kateterne er hhv. (x2 – x1) for den vandrette og (y2 – y1) for den lodrette.
Den grønne linje er tegnet gennem O
(0,0) og parallelt med den blå graf
gennem P og Q – og a kan som før
findes som længden af den lilla
12 Jævnfør øvelserne om vingummibamser (side 137.)
144

trekants lodrette katete (a = |AB|).
Ved benyttelses af sætningen om ensliggende vinkler ved parallelle linjer, ses at de to
trekanter (den lilla og den turkisfarvede) har to lige store vinkler (∠O = ∠P), de er
begge retvinklede og med 180°-reglen fås, at de er ensvinklede og derfor også
ligedannede.
Da den lilla trekant har en vandret katete med længden 1 fås skalafaktoren k som:
k = (x2 – x1)/1 = (x2 – x1) og a beregnes som:
a = (y2 – y1)/k = (y2 – y1)/(x2 – x1)
Note: I beviset er det forudsat, at x2 > x1 og y2 > y1; er det ikke tilfældet, skal beviset
ændres en smule, men kan stadig gennemføres næsten tilsvarende.
Hældningskoefficienten 13
Definition: a (i funktionsforskriften f(x) = ax + b) kaldes grafens hældningskoefficient.
Sætning: a er tilvæksten i funktionsværdien, når x-værdien vokser med 1.
Bevis:
Det ses af:
Antag, at du har kørt med en taxa to gange: første gang 3 km og anden
gang 7 km. Hvilken betegnelser (i beviset ovenover) svarer 3 til? og 7?
Første tur kostede 60 kr. og 2. tur kostede 100 kr. Hvilken betegnelser (i
beviset ovenover) svarer 60 til? og 100?
Hvad kan vi kalde differencen (y2 – y1) på almindeligt dansk – i
forbindelse med taxaturene?
Hvad kan vi kalde differencen (x2 – x1) på almindeligt dansk – i
forbindelse med taxaturene?
Hvad vil du kalde det a, der beregnes som (y2 – y1)/(x2 – x1), på
almindeligt dansk – i forbindelse med taxaturene?
f(x+1) – f(x) = (a(x+1) + b) - (ax + b) = ax +a + b – ax – b = a
13 Nogle bruger betegnelsen "stigningstallet".
145
QED

Eksempel: Beregning af a og b 14
Lige ovenover har vi fundet en formel for a med geometriske argumenter. Her vises, at
man med kendskab til punkternes koordinater kan beregne a og b ved at løse
ligninger.
Vi kender fx de to punkter P(x1 ; y1) = (3 ; 7) og Q(x2 ; y2) = (13 ; 2) på en graf for en
lineær funktion og vil finde forskriften for funktionen:
Regneforskriften er f(x) = ax + b
Da P er et punkt på grafen, gælder:
da f er lineær
a*3 + b = 7
[1] b = 7 – a*3
⇔
Tilsvarende fås:
a*13 + b = 2
[2] b = 2 – a*13
⇔
Da de to venstresider er lige store, må højresiderne også være ens:
7 – a*3 = 2 – a* 13 ⇔
7 – a*3 + a*13 = 2 – a* 13 + a*13
7 + (13-3)a = 2 ⇔
7 + (13-3)a – 7 = 2 – 7 ⇔
(13-3)a = (2-7) ⇔
(13-3)a / (13-3) = (2-7) / (13-3) ⇔
⇔
a = (2-7) / (13-3) ⇔ a = - ½
(eller a= - 0,5)
15
Ved at indsætte resultatet i [1] eller [2], fås:
b = 7 – (-½) * 3 = 7 + 1½ ⇔
b = 8½
Beregning af a og b 16
14 Sammenlign igen med øvelserne om taxaturen ovenover og om vingummibamserne (http://
mimimi.dk/c/vingummibamser.pdf)
15 Var ligningen løst ikke med bestemte tal, men med koordinaterne (x1;y1) og (x2;y2), ville
løsningen af ligningerne have givet den allerede fundne formel.
16 Det er et mål for matematikere at generalisere beregninger, regler, formler mv.; i tilfældet
her går vi fra at have fundet a og b for én bestemt funktion til at se, at alle lineære
funktioners parametre kan findes på fuldstændig tilsvarende måde.
146

Gennemfør beregningerne fra eksemplet ovenover, idet du ikke benytter
de konkrete tal, men alene anvender de generelle betegnelser for
koordinaterne: (x1 ; y1) og (x2 ; y2).
Se evt. http://pc-p4.mimimi.dk/c/sound/parameterbevislinear.pps
Eksempel: Fra observation til model
Aalborg Brutal Marathon
Navn \ meter 7598 14517 21437 28356 35276 42195
Helle Møland Mortensen 35 70 105 142 180 218
Birgitte Munch Nielsen 40 79 118 156 193 231
Langfredag d. 9. april 2004 afholdtes Aalborg Brutal Marathon. Herover er mellemtider
og sluttid for de to bedste kvinder. Vi vil undersøge, hvorledes de har løbet; ved hjælp
af tabellen laves et x-y
diagram (med regneark,
andet programmel eller
håndkraft). Vi tilføjer
tendenslinjer og finder
forskrift for funktionen og
kvalitet af tilpasningen.
Bruges ”håndkraft” er det
vigtigt, at man ikke tegner
tendenslinjen gennem
noget specielt punkt, men
forsøger at lade alle punkter være tæt på linjen, så den samlede afstand minimeres. I
det tilfælde er kvaliteten af tilpasningen et rent skøn. Både af diagrammet og beregningen
17 ses, at punkterne ligger (næsten) på en ret linje – både for nr. 1 og 2.
Når vi benytter en funktion til at beskrive virkeligheden, det vil sige laver en model,
fortæller vi både hvad der måles og hvilke måleenheder, der benyttes:
Model for Helles løb
x = afstanden, der er løbet (målt i m)
f(x) = tiden Helle har brugt til at løbe x meter (målt i minutter)
Regneforskriften:
f(x) = 0,0051*x ,
idet 0,0051 er den tid (i minutter)
Helle bruger på at løbe 1 m (mere)
minutter
250
200
150
100
50
17 For begge løbere ses, at R 2 er meget tæt på 1,000; det betyder, at begge løberes tider næsten
er en perfekt lineær funktion af afstanden. Da b=0, er samenhængen ligefrem proportional.
147
Marathon
0
0 20000 40000 60000
meter
Helle Møland
Mortensen
Birgitte Munch
Nielsen
Lineær (Birgitte
Munch Nielsen)
Lineær (Helle Møland
Mortensen)
BMN
y = 0,0055x
R 2 HM
y = 0,0051x
R = 0,9999
2 = 0,9974

Eksempel på beregning med f:
f(35276) = 0,0051*35276 = 179,9 = 180
Det vil sige, at Helles beregnede mellemtid for 35276 m er 180 minutter.
Dette resultat stemmer fint med den målte mellemtid; det gælder dog ikke helt præcist
for alle mellemtiderne.
En tilnærmet model
Nævn to grunde til at ikke alle målte mellemtider passer med de
beregnede.
Hvordan kan det ses på regneforskriften for Helles løb, at hun har løbet
med konstant hastighed?
Regel om tendenslinjer
Hvis du laver tegningen i hånden og skal lave en tendenslinje, må du ikke udvælge to
af punkterne og tegne grafen gennem dem. Så er der jo ikke taget hensyn til alle de
andre punkter (observationer).
Du skal prøve at tage lige meget hensyn til alle punkter. Hvis de fuldstændigt ligger på
en ret linje – ja så tegnes tendenslinjen gennem alle.
Du kan øve dig i at placere linjen rigtigt her:
http://pc-p4.mimimi.dk/rm3/Regression.html
Hastighed og hastighed
Bilspeedometre viser ofte forkert; for en bestemt bil er der målt den tid (i sekunder),
det tager, at køre 1 km. De målte data er anført i tabellen herunder.
Speedometeret viste 40 70 90 110
Tid i sekunder 93,0 54,7 43,3 35,4
Virkelig hastighed
Opgaven fortsætter på næste side
148

Hjælpeskema
1 km
Afstand
En lineær model for væksten i antallet af biler
Køretid
93 sekunder
1 sekund
1 minut
1 time
Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den
måles i km/sekund?
Hvad er den virkelige hastighed ved speedometervisningen 40, hvis den
måles i km/time?
Udfyld skemaet med de virkelige hastigheder.
Gør rede for, at den virkelige hastighed er en tilnærmet lineær funktion af
hastigheden, som speedometeret viste. (Med tilnærmet menes, at der må
være små og usystematiske afvigelser fra en ret linje. Men f. eks. Må
grafen ikke have bueform.)
Beskriv sammenhængen.
Hvis parameteren b er= 0, er de to variable ligefrem proportionale. Er det
tilfældet her?
Hvad vil speedometeret vise ved hastighederne 50, 80 og 130 km i timen?
Kilde: Danmarks Statistik, november 2007. (Antal biler i 1996 var: 1.423.445.)
(http://www.statistikbanken.dk/statbank5a/default.asp?w=1280)
Antal
149
140000,00
120000,00
100000,00
80000,00
60000,00
40000,00
20000,00
-40000,00
Vækst i antal biler (Hele Landet)
y = 24406x - 12905
R 2 = 0,8955
0,00
0 1 2 3 4 5 6
-20000,00
År (efter 1996)

Hvorledes kan man se på diagrammet, at der er tale om en lineær model?
Kan man se det samme på en anden måde?
Hvad betyder tallet: "24406"?
Hvad betyder tallet "-12905"?
Hvad betyder tallet "0,8955"
Lineære modeller for prisudviklingen
Benyt diagrammet herunder: Opstil en model, der beregner indekstallet
som en funktion af antal år efter 1978. Skriv løsningen her:
Indeks
250
200
150
100
50
Forbrugerprisindeks 1978 - 2000
0
0 5 10 15 20 25
År efter Primo 1978
150

Den lineære funktion: Oversigt og regler
Parametre: a (hældningskoefficent) og b (begyndelsesværdi)
Forskrift: f(x) = a*x +b
Graf: ret linje i alm. retvinklet koordinatsystem (på millimeterpapir)
Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier:
Eksempel: a = 2 og b = 3
x 0 1 2 3
y 3 5 7 9
Regel: når x-værdien bliver én større, bliver y-værdien a "større" [+a]
Lineær funktion
Forskrift f(x) = ax + b
DM R
VM R (eller {k})
Koordinatsystem Millimeterpapir
Aflæs b f(0)
"Aflæs a" f(1) - f(0)
Beregn a
Indtastning i TI 30 (y2-y1) / (x2-x1) =
Beregn b
Indtastning TI 30
(forudsat: a er lige regnet ud
og kan findes via "ANS")
y
x
2
2
y1 - [gul] [(-)] * x1=
Se også: http://mimimi.dk/c/funktionsbegreber.pps (Grundbegreber)
−
−
y
x
y −
ax
1
1
1
1
151

Eksponentielle funktioner
http://en.wikipedia.org/wiki/Rabbits_in_Australia

Logaritmisk skala
I koordinatsystemer har vi akser. I det sædvanlige retvinklede koordinatsystem er
akserne indrettet således, at hver gang vi bevæger os fx 1 cm længere ud vokser x- eller
y-værdien med en bestemt værdi: 1, 5, 13 eller en anden fast værdi uafhængig af
udgangspunktet. En sådan skala kaldes også en lineær skala. (På engelsk: metric scale)
Skriv de manglende tal på aksen – forudsat at skalaen er lineær
Hvis vi går over til en logaritmisk skala vokser x- eller mere typisk y-værdien med en
bestemt faktor! Det betyder, at vi skal gange med et bestemt tal, hvis vi bevæger os et
bestemt stykke - fx . 2 cm på aksen.
Eksempel på logaritmisk skala
Fra 1 til 3 er der ganget med 3. Fra 3 til 9 er der ganget med 3. Afstandene (fra 1 til 3 og
fra 3 til 9) er de samme på aksen. Var afstandene større, skulle vi gange med et større
tal, var de mindre, skulle vi gange med et tal mellem 1 og 3.
Skriv de manglende tal på aksen ovenover
Skriv de manglende tal på aksen, idet skalaen her er logaritmisk
Hvad skal der ganges med, når vi hopper to punkter i pilens retning?
155

Enkeltlogaritmisk papir
På enkeltlogaritmisk papir indrettes x-aksen med en
sædvanlig skala; værdierne kan være både positive og
negative.
På y-aksen anvendes kun positive værdier og alle tal skal
svare til de fortrykte tal. Bemærk, at nederst er y-værdien
angivet til 1, en tredjedel oppe findes 10, og endnu højere
oppe findes igen 10 2 gange.
Disse tal skal rettes afhængig af, hvilke y-værdier der passer
med dit datamateriale, men altid på en måde, så disse tal
ændres til 10 i en eller anden potens: Eksempler: 1, 10, 100,
1000, 10.000 osv. eller 0.1, 0.01, 0.001 ...
Er et af tallene rettet skal de øvrige rettes tilsvarende: hver
gang du går en tredjedel op, skal tallet være 10 gange større,
hver gang du går en tredjedel ned, skal tallet være 10 gange
mindre.
På denne side er der en gengivelse af et enkeltlogaritmisk
papir; dog vises kun ca. ¼ af den normale bredde. Og i
modsætning til det enkeltlogaritmiske papir, der normalt
benyttes i skolen, har dette kun 2 dekader.
I margenen er der 21 fortrykte tal: 1, 2, 3, ... 9, 1. Det
første (nederste tal) skal her være 1.
Overskriv dem alle TYDELIGT med den
korrekte værdi – også hvor den ikke ændres.
Mål hvor mange millimeter der er mellem 3
og 6. Kald tallet m.
Skriv værdien af m her: _____
Udfyld tabellen herunder; for hver af xværdierne
finder du det samme tal på den
logaritmiske skala og måler m mm højere op;
noter det tal, du kommer til som y-værdi.
Beskriv med alm. ord det du ser i tabellen.
156
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1

x 1 2 3 4 5 7 9 10 15 20 30 45 50
y
Find med din almindelige lineal punktet midt i mellem 1 og 2 på den
logaritmiske skala og aflæs værdien. (Bedst på sædvanligt enkeltlogaritmisk
papir)
Kan du også beregne det samme tal?
Find derefter punktet midt mellem 5 og 30: Aflæs værdien og beregn det
derefter.
På hjemmesiden http://pc-p4.mimimi.dk/08/funktion/eksp/blaaLogSkala.html kan du se en
logaritmisk skala med 6 dekader. Alle potenser af 10 er skrevet; de øvrige tal kan fås
ved at bevæge en skyder.
Undersøg hjemmesiden
På hjemmesiden http://pc-p4.mimimi.dk/08/funktion/eksp/eksp.html ses 2 logaritmiske
skalaer der ligger mere eller mindre forskudt.
Forklar, hvorfor de i startpositionen virker som en 30 tabel
Forklar, hvorledes man kan bruge siden som en gangemaskine
Indtil 1970'erne var regnestokken et almindeligt redskab for bl.a. ingeniører, der ofte
skulle gange tal med hinanden – før lommeregneren blev hver mands eje. I den
simpleste udgave var den blå skala skrevet på en fast lineal og den røde skala var
skrevet på en skyder, der kunne glide frem og tilbage inden i den første. Se fx.
http://www.sliderule.ca/
157

Eksempler på eksponentielle funktioner
Eksempel: Et beløb indsættes i en bank
Niels Ole sætter 10 kr. i Sparekassen; en gang årligt beregner Sparekassen renter – og
lægger beløbet til saldoen. Niels Ole glemmer alt om indskuddet, men finder bogen 16
år senere og kan så se, at hans formue i årene har ændret sig som tabellen viser:
År 1952 1956 1960 1964 1968
Saldo 10,00 12,62 15,94 20,12 25,40
Kroner
28,00
26,00
24,00
22,00
20,00
18,00
16,00
14,00
12,00
10,00
Saldoens vækst
1950 1955 1960 1965 1970
hvert år. Men Niels Ole har også fået
renter af renterne (dvs. ”renters
rente”); hans saldo vokser med den
samme procent hvert år (svarende til
større og større kronebeløb). Tegnes
de samme punkter ind i et enkeltlogaritmisk
koordinatsystem, fås figuren
til højre:
Nu ses det, at punkterne ligger på en
ret linje.
År
Kroner
158
100,00
10,00
Plotter vi punkterne svarende til
talparrene ind i et almindeligt
retvinklet koordinatsystem, får vi
figuren til venstre:
Vi tegner en ret linje tæt ved alle
punkterne og ser, at der er et mønster
i afvigelserne fra den rette linje:
en graf gennem alle punkterne ville
være bueformet. Forbinder vi alle
nabopunkter med rette linjestykker,
ville disse blive stejlere og stejlere.
Hvis væksten var lineær, blev der
tilskrevet det samme beløb i renter
Saldoens vækst
1950 1955 1960 1965 1970
År

Om "at lægge renter til ..."
I tabellen herunder ses, hvorledes der er beregnet rente af kapitalen på 10 kr., og at
denne rente herefter er lagt til kapitalen.
Hvis man kun er interesseret i at vide, hvad kapitalen er i 1953, er det dog nemmere
straks at beregne 106 % af de 10 kr. med fremskrivningsfaktoren (svarende til
skalafaktor.)
Denne kapital kan beregnes sådan:
eller med tallene fra tabellen:
Ny kapital =gammel kapital * 1,06
Ny kapital = 10 * 1,06 = 10,60
Den næste nye kapital (i 1954) fås fuldstændigt tilsvarende.
År Kapital Procent
1952 Kr. 10,00 100 %
+ rente Kr. 0,60 6 %
1953 Kr. 10,60 106%
Radioaktivitet
Hvis en kapital på 500 kr. forrentes med 10 %: hvor mange procent er
næste års saldo af dette års saldo (idet derikke hæves noget beløb)?
Hvad skal dette års saldo ganges med for at beregne næste års saldo?
Du – eller bedre: en gruppe – starter med at have 100 terninger. De simulerer (ligner /
efterligner) det radioaktive materiale. Radiaktivt materiale henfalder – dvs. den radioaktive
stråling bliver mindre og mindre. For nogle materialer går det meget hurtigt og
for andre meget – meget langsomt. Men for alle typer er der tale om, at i løbet af en
bestemt periode for hver materialetype henfalder en bestemt brøkdel af stoffet. Denne
brøk er et gennemsnit; det faktiske henfald varierer tilfældigt.
Ved denne simulation leger vi, at i tiden mellem 2 runder fjernes i gennemsnit 1/6 af
radioaktiviteten.
159

Øvelse Regneark
Noter, at du / I har 100 terninger (eller hvor mange I nu har.)
Slå med alle terningerne – fjern 6-erne – og tæl dem. Beregn de
resterende. Noter resultaterne.
Slå med de resterende terninger – fjern 6-erne – og tæl dem. Beregn de
resterende. Noter resultaterne.
Gentag sidste punkt, indtil alt materiale er henfaldet – det vil sige, at alle
terninger er fjernede.
Indtegn talparrene (x-værdier er tidspunkterne 0, 1, 2, 3 ... og yværdierne
er det tilsvarende antal resterende terninger) på
enkeltlogaritmisk papir; find tendenslinjen.
Hvis du benytter et program, der kan vise forskriften for tendenslinjen:
kunne du så have gættet, at den ville se sådan ud (omtrent)?
De nedenstående opgaver løses med et regneark 18
Find graf og forskrift for funktionen, der beregner værdien af en formue x
år efter det tidspunkt startformuen (3.000.000 mio kr.) blev sat i banken.
Hvert år tilskrives 7 % i rente.
Hvor mange år går der før formuen er fordoblet? og hvor mange år
går der, før formuen vokser fra 4.502.191 kr. til det dobbelte?
En vognmand køber en brugt lastbil for kr. 400.000 kr. Hvert år mister den
30 % af værdien. Find en tabel, en graf og en regneforskrift, der viser
sammenhængen.
I den forrige opgave om formuen på 3.000.000 kr. blev der ikke taget hensyn til
hverken skat eller inflation.
Find igen værdien af formuen (3.000.000 mio kr.) x år efter
starttidspunktet, men tag nu hensyn til:
at der hvert år betales 60 % i skat af rentetilskrivningen
og at formuen er mindre værd, fordi priserne i gennemsnit stiger med
2 % om året (kaldet inflation.)
Hvor lang tid går der nu, før formuen er fordoblet?
18 I Excel skrives: y = b*e kx =b*(e k ) x = b*a x (Dvs., at: a = e k = 2,718282 k )
160

Definition: En eksponentiel funktion
En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften:
f(x) = b∙a x ; DM(f) = R ; a>0; b>0.
Bemærkning
Du skal lægge mærke til, at begge parametrene er positive. Det medfører blandt andet,
at y-værdierne ALDRIG bliver 0 (nul) eller negative.
Tegn grafer for eksponentielle funktioner
Følg linket og lav øvelsen
http://pc-p4.mimimi.dk/c/eksponentielFunktion.html
Kan du – ved at tegne en række grafer (på enkeltlogaritmisk papir) med
forskellige valg af a og b – sige noget om a´s og b´s betydning? Lav enten
a eller b om – ikke begge på en gang. Tegn grafen gennem y-aksen (x=0).
Skriv reglerne her:
Grafen skærer y-aksen i ( , )
a > 1 ⇒ 1
a=1 ⇒
0

Fordoblingskonstant
Find a og b ?
Lad f(x) = 3*1,5 x .
Tag en af dine grafer, hvor a>1. Vælg et tal på y-aksen (y1) blandt de
mindste fra VM(f), som er nemt at finde præcist. Marker det.
Beregn et nyt tal (y2), som er dobbelt så stort. Marker det. Find de
tilsvarende x-værdier (x1) og (x2).
Beregn T2 = x2 - x1
T2 kaldes fordoblingskonstanten.
Kontroller, at vælger du to andre y-værdier (hvor den anden stadig er
dobblet så stor som den første), vil du få (næsten) samme værdi af T2.
Undersøg også fordoblingskonstanten på http://pcp4.mimimi.dk/c/T_2.html
Beregn T2 med formlen: T2 = log(2)/log(a)
Definer T½ (halveringskonstanten) for en aftagende (eksponentiel)
funktion på tilsvarende måde.
Beregn f(0) og f(1) og f(2). Tegn grafen med god afstand mellem de tre tal
på x-aksen.
Hvis du ikke kendte forskriften, men kun støttepunkter og tegning – ville
du så kunne finde regneforskriften for f? Nemt?
Eksponentielle funktioners parametre
Hvis grafen går gennem punkterne P(x1;y1) og Q(x2;y2), kan parametrene beregnes med
formlerne:
a
=
b =
( x
a
2
y
− x
1
x
1
1
)
y
y
2
1
162

Bevis
Da grafen går gennem P, må
y1 = b∙a x 1 ⇔
b = y1/a x 1
hvilket viser den sidste påstand. Tilsvarende fås på samme måde – da grafen går
gennem Q - at
b = y2/a x 2
Heraf ses, at:
y1/a x 1 = y2/a x 2 ⇔
a x 2 /a x 1 = y2/ y1 ⇔ Benyt potensregneregler på venstre side
a x 2 - x 1 = y2/ y1 ⇔
a =
( x
Bemærkning:
2
− x
1
)
y
y
2
1
Kendes grafen kan man ved aflæsning af f(0) og f(1) og en simpel beregning nemt finde
parametrene. Unøjagtigheden ved beregningen af a kan dog være ret stor.
Tegn grafer for eksponentielle funktion
Tegn grafer på enkeltlogaritmisk papir for de eksponentielle funktioner
med nedenstående parametre. Benyt støttepunkter med x-værdierne 0
og 1.
a = 1,3; b = 20;
a = 0,8; b = 15;
a = 1,04; b = 3;
a = 0,98; b = 300;
a = 1,01; b = 137;
Kontroller efter at have tegnet grafen, om støttepunktet med x-værdien
10 ligger på grafen.
163

Find forskriften
Find forskriften for en række eksponentielle funktioner, hvor du kender 2
støttepunkter. Benyt formlerne baseret på punkternes koordinater. For hver funktion
kontrolleres, om det beregnede b svarer til grafens skæring med y-aksen og om
f(1)=ab; endelig beregnes f(10) eller en tilsvarende y-værdi som sammenlignes med
den aflæste værdi for f(10):
f(x): (3; 2) og (8; 6)
g(x): (-4; 2) og (8; 6)
h(x): (3; 6) og (8; 2)
k(x): (3; 2) og (8; 2)
m(x): (-5; 2) og (-10; 6)
n(x): n(9) = 2 og n(6) = 4
Bemærkning om eksponentiel vækst
Til højre er der tegnet grafen for en
eksponentiel funktion f (som en ret linje på det
enkeltlogaritmiske papir.)
Der er også tegnet to (ens) retvinklede
trekanter; den vandrette katete har længden 1,
den lodrette (blå´s) fortæller, hvad vi ganger
f(0) med for at beregne f(1):
Mål den blå katete i mm
Mål ligeså mange mm op fra 1 på yaksen
Hvilket tal aflæses der på y-aksen?
Hvilken parameter er det?
Skriv funktionsforskriften for f
Lav kontrol med et sildeben hvor x=
1, 2, 3, 4, 5 og 6.
Hvis f(x) = 120, hvad er så f(x+1)?
f(x+2)? f(x+7)?
164
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
9
8
7
6
5
4
3
2
1

Den eksponentielle funktion: Oversigt og regler
Parametre: a (vækstfaktor) og b (begyndelsesværdi)
Forskrift: f(x) = b*a x
Graf: ret linje i enkeltlogaritmisk koordinatsystem
Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier:
Eksempel: a = 2 og b = 3
x 0 1 2 3
y 3 6 12 24
Regel: når x-værdien bliver én større, bliver y-værdien a "gange større" [*a] eller p %
større.
Eksponentiel funktion
Forskrift f(x) = b*a x
DM R
VM R+
Koordinatsystem Enkeltlogaritmisk papir
Aflæs b f(0)
"Aflæs a" f(1) /f(0)
Beregn a
Indtastning i TI 30 (x2-x1)[gul]^(y2/y1)=
Beregn b
Indtastning TI 30
(forudsat: a er lige regnet ud
og kan findes via "ANS")
x
2 − x1
y
a
1
x
y
y
1
2
1
y1/[gul] [(-)] ^x1=
165

Rentesregning

Kapital- og rentesregning
I eksemplet med Niels Ole (side 158) har vi en funktion; hvilken tekst vil
du bruge til at beskrive den?
x = ??
f(x) = ??
DM(f) = ??.
VM(f) = ??
Hvis man som første punkt havde valgt (0 ; 10) og som 2. punkt (4 ;
12,62), hvilken tekst ville du så bruge for x og f(x)?
Navngivning ved rentesregning
I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og
banken derefter tilskriver rente et antal gange med en termins mellemrum, taler vi om
kapitalfremskrivning. En termin kan være et år eller 3 måneder eller en hvilken som
helst periode mellem to rentetilskrivninger. Opgaven er at finde værdien af kapitalen
efter den sidste rentetilskrivning.
I opgaver, hvor en kapital tilskrives rente benyttes traditionelt sprogbrugen:
Startkapital = K0
Slutkapital = Kn
Rentesatsen pr. termin = r (angivet som brøk eller procent)
Antallet af terminer = n
Eksempel: Rentetilskrivning I
Når der tilskrives rente til en kapital eller en gæld på for eksempel 20.000 kr med
renten 5 % pr. termin, ser regnestykket således ud:
Oprindelig kapital 20.000,00 kr.
Rente = 20.000*5/100 kr. = 20.000*0,05 kr. = 1.000,00
kr.
Ny kapital = 21.000,00
kr.
169

Dette kan indsættes i en tabel som følgende:
Beløb i kr. Procent
Oprindelig kapital 20.000 100 %
Rente 1.000 5 %
Ny Kapital 21.000 105 %
Ofte er man ikke interesseret i rentebeløbet, men alene i at beregne den nye kapital.
Det kan naturligvis gøres direkte som 105 % af den oprindelige kapital:
Ny kapital = 20.000*105/100 kr. = 20.000*1,05 kr. = 21.000 kr.
Den nye kapital kan altså findes ved at gange den oprindelige med tallet (faktoren)
1,05. Denne faktor kaldes fremskrivningsfaktoren.
Med traditionel sprogbrug (se ovenover) fås generelt:
K1 = K0*(1+r)
Kapitalfremskrivning I
Forklar, hvad forkortelserne = K0, K1 og r står for.
Kontroller ved beregning, at ligningen K1 = K0*(1+r) er sand med
anvendelse af tallene fra tabellen.
Eksempel: Rentetilskrivning II
Hvis der skal tilskrives rente flere gange, kan tabellen fra før anvendes igen – med
udskiftning af de angivne kapitaler:
Beløb i kr. Procent
Oprindelig
kapital
21.000 100 %
Rente 1.050 5 %
Ny Kapital 22.050 105 %
Som ovenfor kan den nye kapital beregnes direkte:
Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning)
= 21.000*105/100 kr. = 21.000*1,05 kr. = 22.050 kr.
Huskes beregningen af den nye kapital efter 1. rentetilskrivning, fås:
Ny kapital (efter 2. rentetilskrivning)
= ( 20.000*1,05 ) * 1,05 kr. = 20.000*1,05 2 kr. = 22.050 kr.
170

Generelt fås:
K2 = K0*(1+r) 2 og argumentet kan naturligvis gentages uendeligt mange gange, så man
får:
K3= K0*(1+r) 3
K4 = K0*(1+r) 4
...
n 19
Kn = K0*(1+r)
Kapitalfremskrivning II
Sætning: Kapitalfremskrivningsformlen
Hvis:
Startkapital = K0
Slutkapital = Kn -
Rentesatsen pr. termin = r
Antallet af terminer = n
gælder:
Kn = K0*(1+r) n
Forklar, hvad forkortelsen: K2 står for.
Beregn - både som ovenfor i tabellen og ved multiplikation med potenser
- kapitalerne efter 3, 4, og 5 rentetilskrivninger.
(1+r) kaldes fremskrivningsfaktoren.
Du har forhåbentligt noteret dig, at Kn = K0*(1+r) n , blot er en anderledes skrivemåde for
den almindelige eksponentielle funktion: f(x) = b∙a x .
19 Denne måde at bevise en sætning på kaldes et induktionsbevis. Formelt rigtigt bevises den
ved først at vise, at sætningen er rigtig for n=1; dernæst at vise, at er sætningen rigtig for
n=m, vil den også være rigtig for n=m+1. (Det er ovenover kun vist med n=2, men metoden
kunne anvendes generelt.)
171

Kapitalfremskrivning III
Kan du oversætte de betegnelser, vi normalt bruger i forbindelse med eksponentielle
funktioner, til navnene herover? Skriv svaret herunder:
Eksempel: Beregning af Kn
En eksamensopgave i 1993 lød:
”3000 kr. indsættes på en konto til 5 % p.a.
Bestem hvor meget der står på kontoen efter 14 år.”
Jeg noterer mig, at der er tale om indbetaling af et beløb een gang, som i flere terminer
forrentes med samme rente. ”p.a.” betyder pro anno, det vil sige (når der ikke skrives
andet) at terminen er et år og at der en gang om året tilskrives rente – her 5 %. Derfor
kan jeg benytte kapitalfremskrivningsformlen. I opgaveteksten vil jeg markere tallene
(som gjort) og skrive besvarelsen som herunder:
Løsning
Da der er tale om kapitalfremskrivning, noteres:
Startkapital = K0 = 3000
Slutkapital = Kn = ???
Rentesatsen pr. termin = r = 0,05
Antallet af terminer = n =14
Disse tal indsættes i :
Kn = K0*(1+r) n
Kn = 3000*1,05 14
a = ??
b = ??
x = ??
f(x) = ??
DM(f) = ??.
VM(f) = ??
Kn = 5939,794 = 5939,79
Efter 14 år står der 5.939,79 kr. på kontoen
20
20 Bemærk, at i en "tekstopgave" beregnes svaret og derefter formuleres svaret klart og tydeligt
på almindeligt dansk. Svaret fremhæves (her ved understregning), så det er klart, at det er
svar på opgavens spørgsmål.
172

Eksempel: Beregning af andet end Kn
Find K0
Kn = K0*(1+r) n ⇔
Find r
Kn = K0*(1+r) n ⇔
n
K n = ( 1 +
K
0
Find n
r)
Kn = K0*(1+r) n ⇔
K
( 1 + r)
K
K
⇔
K
K
n = K n 0
n n
= ( 1 + r)
0
r = n
n n
= ( 1 + r)
K n n
log( ) = log[( 1 + r)
] = n * log( 1 +
K
0
0
⇔
K
K
n −
Udregning med tal fra: Beregning af Kn (side 172)
5939,
79
log( )
3000 = 13,
99 = 14,
0
n = log( 1,
05)
hvilket stemmer med det forventede.
Formler og ligninger
0
r)
⇔
1
⇔
K n log( )
K0
=
log( 1 + r)
Lige meget hvilke betegnelser der anvendes, kan vi beregne funktionsværdien med
kendte parametre og kendt x-værdi ( = n). Kendes omvendt f(x) (= Kn), kan x-værdien
beregnes. Mangler du kun oplysning om en af parametrene, kan den beregnes med
kendskab til de andre 3 oplysninger.
Dette er typisk for alle formler. Har vi en formel, hvor der optræder variable, og
kendes værdierne af de variable (eller parametrene) på nær en, kan dennes værdi
beregnes ved at indsætte de kendte tal og derefter løse ligningen.
21 log(x) er en funktion som mange andre; på din lommeregner kan du direkte finde
funktionsværdier. Funktionen omtales yderligere i appendiks log.
173
n
21

I nogle tilfælde kan der være flere løsninger. Det er normalt ikke tilfældet her. På de
følgende sider vises gennemregning af typiske opgaver.
Opsparingsannuitet
Hvis man sætter et beløb på b kr, i banken, venter en termin, igen sætter b kr. i banken,
venter en termin, igen sætter b kr. i banken ... Hvis man i alt sætter n gange b kr. i
banken på denne måde med en termins mellemrum mellem hver indbetaling kan
saldoen lige efter sidste indbetaling udregnes med formlen herunder:
Hvis:
Hver af indbetalingerne = b
Rentesatsen pr. termin = r
Antallet af betalinger = n
gælder:
A
n
=
( 1 + r)
b
r
n
− 1
hvor An er værdien af alle indbetalingerne inkl. rente lige efter den sidste indbetaling.
Ved udregning på lommeregner: 1+r kan klarer du som hovedregning!? Men: Husk at
sætte parentes om hele tælleren. Hvorfor?
Bemærk i øvrigt, at selvom der er n betalinger, er der kun (n-1) terminer melem første
og sidste indbetaling. Det har formlen taget højde for!
På tegningen herunder vises med de tynde streger mærket 1, 2, ..., n, hvornår
indbetalingerne finder sted. Med den kraftige blå pil markeres tidspunktet for
opgørelsen af annuitetens værdi
1 2 3 ........ n
Gældsannuitet
Tid 22
Hvis man låner penge i banken og får en gæld på G kr. og tilbagebetaler gælden med n
lige store ydelser – hver på y kr., hvor den første ydelse betales en termin efter lånets
udbetaling, den næste ydelse en termin senere og så fremdeles gælder formlen herunder:
22 Tid måles i terminer; 1 er tid for første betaling, 2 er tid for anden betaling osv.
174

0 1 2 3 ........ n
Hvis:
Hver af ydelserne = y
Rentesatsen pr. termin = r
Antallet af ydelserer = n
gælder:
G =
1
y
−
( 1 +
r
r)
− n
hvor G er gælden 1 termin før første ydelse.
På tegningen er vist tidspunkterne for gældens optagelse (med kraftig rød pil) og med
tynde streger er vist tidspunkterne for ydelsernes betaling. Bemærk: første ydelse
betales en termin efter lånets udbetaling.
Eksempel: Annuitetsopgaver
Find A, G, b og y.
Findes ved indsætning i den relevante formel.
Find r og n.
Findes ofte med tabel. n kan findes ved at løse ligningen. Både n og r kan findes ved
lineær interpolation. Regneark og nogle lommeregnere kan også finde løsningen.
Lineær Interpolation
G = 600.000
n = 30
y = 30.000
r = ??
Vi gætter på – meget groft – at rentesatsen er mellem 2 og 6 procent, beregner hvad
gælden ville være i begge tilfælde og tegner dette diagram:
175

800000
700000
600000
500000
400000
300000
200000
Gælden ved forskellige rentesatser
0 1 2 3 4 5 6 7
G
Lineær (G)
Hvis den rette linje var grafen for funktionen Gæld, kunne vi aflæse, at rentesatsen er
ca. 3,1 %.
Det er kun omtrent rigtigt. Funktionen er ikke lineær og derfor fås et unøjagtigt
resultat. Ved kontrolberegning fås at rentesatsen ligger mellem 2,8 % og 2,9 %. For at få
et nøjagtigere resultat, kan proceduren gentages med gæt på, at det rigtige resultat
ligger i intervallet 2,5% til 3,5%.
Lineær interpolation
Opsparing og gæld
Beregn G for r = 0,028 og 0,029
Find derefter på en tegning et nøjagtigere skøn over r
Kontroller nøjagtigheden
Vælg et beløb du kan spare op hvert år – til bil, udbetaling på
ejerlejlighed o.l. Vælg også et antal år og en realistisk rentefod.
Find den opsparede kapital for forskellige ”antal år”.
Prøv derefter at regne baglæns: Find med de 3 af tallene det 4. - som du
kender:-)
Prøv noget tilsvarende for et lån (gældsformlen.) Forestil dig for eksempel
at du har sparet 50.000 kr. op som udbetaling til en lejlighed; nu skal du
bare låne resten.
176

Potensfunktioner
Herakles og Hydra

Tegn grafen for nogle potensfunktioner på dobbeltlogaritmisk papir
På dobbeltlogaritmisk papir går x-værdierne fra 1 til 100, y-værdierne fra
1 til 1000. Ret de fortrykte tal.
For hver af nedenstående funktioner beregnes mindst 5 støttepunkter
med x-værdier jævnt fordelt i intervallet [1 ; 100] – hvis de kan indtegnes
på det givne papir. Skriv støttepunkterne i et "sildeben".
For hver af nedenstående funktioner tegnes grafen som en ret linje
gennem støttepunkterne.
Kan det ikke lade sig gøre, skal du finde fejlen!
Funktionerne er:
f x=x 2
g x=0,3⋅x 3
h x=17⋅ x
k x= 1000
x 2
m x=150⋅x −1,5
Når du har tegnet graferne skal du for dem alle fem finde parametrene a
og b. Det gøres ved at vælge 2 punkter på hver graf og benytte formlerne
(se også side 185:)
a =
y
y1
x
x1
y y
2 log( )
2 log( )
b = =
x x
1 2
1a 2a
For hver funktion sammenligner du de beregnede parametre med
tallene i den oprindelige forskrift. Har du fundet den samme
funktion?
179

Eksempler på potensfunktioner
Standse-, Reaktions- og Bremselængde 23
Fra man opdager forhindringen til man sætter foden på bremsen (= reaktionstiden)
kører man et stykke: reaktionslængden. Jo
hurtigere man kører, jo længere bliver
reaktionslængden. Regnes der med konstant
reaktionstid, betyder dobbelt så høj
hastighed dobbelt så lang reaktionslængde.
Der er tale om ligefrem proportionalitet.
Fra det øjeblik bremsen er aktiveret til bilen
holder stille, kører den et stykke:
bremselængden. Ifølge Færdselsstyrelsen
kan der regnes med tabellens tal:
Bremselængde (m)
Tendenslinie: lineær
Ved hjælp af
40
30
regneark
20
tegnes en
10
række
diagrammer
0
med punkter svarende til talparrene:
Forsøger du at tegne en lineær tendenslinje ses, at
punkterne ligger nogenlunde tæt ved linjen, men at
der er et tydeligt mønster i afvigelserne: punkterne
ligger snarere på en bue end på en ret linje.
Forsøger man tilsvarende med en eksponentiel
tendenslinje fås samme resultat: punkterne ligger tæt
ved tendenslinjen, men afviger stadig systematisk.
23 http://www.sikkertrafik.dk/595a0029
90
80
70
60
50
0 20 40 60 80 100 120
Hastighed (km/t)
180
Bremselængde (m)
Hastighed
(km/t)
Bremselængde (m)
30 6
50 16
60 24
70 32
80 40
110 80
100
10
Tendenslinie: eksponentiel
1
0 20 40 60 80 100 120
Hastighed (km/t)

Forsøger du endelig (se næste side) med en tendenslinje af typen potens, ses:
● Afvigelserne er blevet mindre og
● Der er ingen systematiske afvigelser (synlige.)
● Funktionsforskriften er: f(x) = 0,007*x 2,0
100
Dette er et eksempel på en potensfunktion.
Eksempel: Omvendt proportionalitet
Cirkus Micro, der har plads til 300 tilskuere i teltet, har omkostninger på 15.000 kr. pr.
forestilling. Hvis der var fuldt hus til hver forestilling, kunne man få omkostningerne dækket
med en billetpris på 50,00 kr. (=15.000/300 kr.). Da man ikke kan regne med fuldt hus
hver gang, beregnes, hvor mange tilskuere der skal komme ved forskellige billetpriser,
for at omkostningerne kan dækkes. 24
X f(x)
40 375
50 300
60 250
70 215
80 188
90 167
100 150
110 137
120 125
130 116
140 108
150 100
200 75
250 60
300 50
x = Billetpris (i kr.)
f(x) = Nødvendigt antal tilskuere (ved prisen
x)
f(x) = 15.000/x
en 3 gange så stor x-værdi svarer til en trediedel af y-værdien.
Det giver ikke (økonomisk) mening at
foreslå en billetpris på 40 kr., idet der så skal
være flere tilskuere end der er plads til.
Talparrene vises som punkter i
koordinatsystemet herunder.
Sammenhængen mellem x- og y-værdier
kaldes omvendt proportionalitet: Dobbelt så
stor x-værdi svarer til halvt så stor y-værdi,
Vælg et tilfældigt udgangspunkt: Prisen 100 (x) og det dertil svarende nødvendige
antal tilskuere: 150 (fx). Ganger du prisen med 3 fås 100*3 = 300, skal du dele antal
24 Dette er noget andet end at vurdere, om der på et givet spillested kommer det nødvendige
antal tilskuere. Og der skulle jo helst komme flere ;-)
181
Bremselængde (m)
10
Tendenslinie: potens
y = 0,007x 1,9843
R 2 = 0,9992
1
1 10 100 1000
Hastighed (km/t)

tilskuere med 3: 150/3 = 50. Find talparret i tabellen!
Hvis du delte prisen med 2: 100/2 = 50, skal du gange antal tilskuere med 2: 150*2 = 300.
Find også dette talpar i tabellen.
Grafen for f kaldes en hyperbel (eller en hyperbelgren).
Antal tilskuere .
400
300
200
100
0
Cirkus Micro
0 100 200 300 400
Billetpris
Fra potensregning vides, at f(x) kan omskrives:
f(x) = 15000/x = 15000*x -1
Det vil sige, at en omvendt proportional funktion blot er en speciel potensfunktion (se
definitionen lidt senere), hvor a = -1.Ændres begge skalaer til logaritmiske skalaer, ser
koordinatsystemet således ud:
Antal tilskuere
1000
100
10
1
Cirkus Micro
y = 15.00019x -1
1 10 100 1000
Billetpris
182

Det kan ikke ses på tegningen, men blev tendenslinjen forlænget, ville den skære yaksen
i 15000 – hvis denne y-akse skar x-aksen ved x-værdien 1.
Indkøb for 100 kr.
I Dorthe Petersens familie køber man hver uge for 100
kr. hakket kalv og flæsk. Da byens supermarkeder ofte
har tilbud på dette, svinger priserne meget. Derfor er
det ikke den samme mængde, Dorthe får i de
forskellige uger.
Det matematiske pendul
Projektopgave
Udfyld skemaet med kg og priser:
Indtast resultaterne i regneark; lad
regnearket finde funktionsforskriften og R 2 .
Beskriv x og f(x) med ord.
Skriv regneforskriften for f.
Stemmer funktionsværdierne i tabellen
med den fundne funktionsforskrift.
Var R 2 = 1? Hvad betyder det?
Bræt
l
Kort beskrevet er et matematisk pendul et lille lod ophængt i en tynd tråd som vist
herover. Opgaven er at undersøge, finde og beskrive sammenhængen mellem variable.
Nærmere beskrivelse af opgaven og vejledning findes
http://pc-p4.mimimi.dk/08/funktion/pot/pendulProjekt.pdf
183
Pris pr. kg Mængde i kg
39,85
29,95
40,00
25,00
3,2
4

184

Definition: En potensfunktion
En potensfunktion er en funktion med forskriften:
f(x) = b ●x a ; DM(f) = R+ ; b>0.
Betydning af parametrene a og b
Funktionsværdien f(1)
Sætning: En potensfunktions parametre
Funktionens parametre kan beregnes med formlerne, idet (xi,yi) er punkter på grafen.
2 log( )
log( ) − log( )
1 2 1
a = =
log( ) log( )
2 log( x ) x − 2 x1
x1
y y
b = =
x x
y
y y y
1 2
1a 2a
Kan du – ved at tegne en række grafer med forskellige valg af a og b –
sige noget om a´s og b´s betydning? Benyt både mm-papir og
dobbeltlogaritmisk papir.
a > 0
a = 0
a < 0
b ?
f(x) = 2•x 3
Beregn f(1) = ?
f(x) = b•x 3
Beregn f(1) = ?
f(x) = b•x a
Beregn f(1) = ?
185

Beregning af parametre
Tegn på dobbeltlogaritmisk papir en ret linje gennem (6,25 ; 2,50)
og (85,00 ; 9,20).
Vælg 2 andre punkter på linjen: (x1 ; y1) og (x2 ; y2). Aflæs koordinaterne
Beregn a = log(y2 / y1) / log(x2 / x1)
Aflæs b (som f(1) ).
Beregn b:
b = y1 / x1 a .og
b = y2 / x2 a .
Blev b ens ved alle metoder?
Beregn med de fundne værdier af a og b: f(6,25) og f(85). Har du regnet
rigtigt?
Overflader og rumfang
Udfyld skemaet herunder:
Terning nr. 1 2 3 4 5 6
Kantlængde for terning 2,4 3,1 3,7 4,8 6,2 8,8
x = overflade for terning
y= rumfang af terning
Find y som en funktion af x med regneark.
Hvor godt passer støttepunkterne til den fundne funktion?
Hvordan kunne du også have fundet funktionen?
Beregning af parametre med kontrol
Grafen for f går gennem punkterne (2;7) og (4;60).
Grafen for g går gennem punkterne (2;6) og (4;12).
Grafen for h går gennem punktet (7;2) og h(60) = 4.
Endelig gælder, at k(0,5) = 6 og k(10) = 0,3.
Tegn på dobbeltlogaritmisk papir 4 grafer for funktionene f, g, h og k.
186
Fortsættes ...

Sammenlign vækst af x og f(x)
Betragt potensfunktionen f(x) = 4*x 3 som et typisk eksempel.
Vælg en tilfældig x-værdi som x=2.
Beregn: f(2) = 4*2 3 =4*8 = 32
Hvis du vil finde funktionsværdien for en 5 gange større x-værdi er der to muligheder:
1. f(2*5) = f(10) = 4*10 3 = 4000 og
◦ hvor vi blot udnyttede definitionen af f
2. f(2*5) = 4*(2*5) 3 =4*2 3 *5 3 = f(2)*5 3 = 32*125 = 4000
◦ hvor vi benytter potensregler
Læg mærke til de markerede udtryk, som viser en almengyldig regel:
Sætning: En potensfunktions vækst
For en potensfunktion f(x) = b*x a gælder det,
at hvis f(x0) = y0, vil
f(x0*k) = y0*k a
eller med andre ord:
Når x-værdien ganges med k bliver y-værdien ganget med k a
Kommentar
Find de fire funktioners forskrift med sætningen side 185.
Kontroller beregningen af a og b ved at indsætte de kendte x-værdier for
at se om funktionsværdien er den kendte y-værdi.
Prøv også at beregne en anden tilfældig valgt funktionsværdi og se ved
aflæsning, om resultatet svarer til tegningen.
Bevis ovenstående sætning
Bemærk, at sætningen medfører, at grafen i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem
bliver en ret linje.
Den omvendte sætning gælder i øvrigt også:
187

Sætning: Grafen i det dobbeltlogaritmiske koordinatsystem
Hvis grafen for en funktion tegnet i det dobbltlogaritmiske koordinatsystem er en ret
linje, er funktionen en potensfunktion.
Når en størrelse vokser med p % findes den nye værdi ved at gange den gamle med
(1 + p %) - sammelign med kapitalfremskrivning.
Funktionen f(x) = 5*x 1,8 . Lad x-værdien vokse med 25 %
Hvad skal den gamle y-værdi ganges med for at finde den nye?
Hvor mange procent er der så lagt til den gamle y-værdi?
Den rette linje i ovenstående dobbeltlogaritmiske koordinatsystem viser
sammenhængen mellem vægt og energibehov for en række forskellige vadefugle.
Vægten måles i gram og energibehovet måles i kJ/døgn.
Hvad er energibehovet for en vadefugl (ifølge modellen), der vejer 140 g?
Hvad sker der med energibehovet, når vægten 5-dobles?
Find forskriften for funktionen.
Kontroller dine tidligere svar med anvendelse af funktionsforskriften og /
eller grafen
188

Løsning af en eksamensopgave
Sammenhængen mellem diameter og højde for visse amerikanske træer kan beskrives ved
modellen
y=21,4⋅x 0,631
hvor x (meter) er træets diameter 1,5 meter over jorden, og y (meter) er træets højde.
Et bestemt træs diameter er over en periode vokset med 40 %.
a) Hvor mange procent højere er dette træ blevet?
Kilde: T. McMahon: Size and shape in biology, Science 179, 1973.
(Hf, Matematik C, maj 2006, opgave 8)
Besvarelse
At x-værdien forøges med 40 % svarer til at x-værdien ganges med faktoren k = 1,40
Da sammenhængen beskrives med en potensfunktion ( f x=b⋅x a
) gælder det:
at når x-værdien vokser med faktor k vokser y-værdien med faktor k a .
I eksemplet her fås ved indsætning, at y-værdien vokser med faktoren: 1,40 0,631 .= 1,2365 = 1,237
Dvs. at et træ, der har en 40 % større diameter, er 23,7 % højere (ifølge modellen.) 25
Omvendt proportionalitet
x 4 8 84
y 24 96
I mange opgaver vil der være givet en x-værdi og den tilsvarende y-værdi som her
(hhv. 4 og 24.)
Opgaven består så så i at finde tilsvarende talpar, hvor den ene værdi kendes.
Løsningsmetoden er: at ganges en x-værdi med k, skal den tilsvarende y-værdi deles
med k. Eller hvis x-værdien deles med k, skal y-værdien ganges med k.
Du vil finde tallet under x-værdien 8. Faktoren k (tallet du ganger 4 med) er
selvfølgelig 2, derfor skal y-værdien deles med 2: Den nye y-værdie er altså 24/2 = 12.
Nu skal du finde tallet over y-værdien 96: 24 er ganget med 4; altså skal 4 deles med 4.
Over 96 skrives 4:4 = 1.
Men hvad skal der stå under 84? Her kan du ikke straks se, hvad 4 er ganget med. Du
kan finde k = 84/4 = 21. Find så y-værdien! Eller prøv en anden måde: Benyt tallene ved
siden af, hvor x=1 og y = 96. Her fås k=84 som x-værdien ganges med og y-værdien
deles med. Forhåbentligt med samme resultat som før.
25 Bemærk, at der optræder en overflødig oplysning i opgaven – hvilket er usædvanligt.
189

Potensfunktionen: Oversigt og regler
Parametre: a (eksponenten) og b ("begyndelsesværdi" ved x=1)
Forskrift: f(x) = b*x a
Graf: ret linje i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem
Sammenhæng mellem ændringer for x- og y-værdier:
Eksempel: a = 2 og b = 3
x 1 2 3 4
y 3 12 27 48
Regel: når x-værdien ganges med k, ganges y-værdien med k a
Forskrift f(x) = b*x a
DM R
VM R+ (eller {k})
Potensfunktion
Koordinatsystem Dobbeltlogaritmisk
Aflæs b f(1)
"Aflæs a" "Benyt formel"
Beregn a
Indtastning i TI 30 log(y2/y1) ) / (log(x2/x1) =
Beregn b
Indtastning TI 30
(forudsat: a er lige regnet ud
og kan findes via "ANS")
log( y2 / y1)
log( x / x
)
y
x
1
a
1
y1/x1 ^ [gul] [(-)] =
Oversigt over alle 3 funktionstyper
http://mimimi.dk/c/funktionsTyper.pdf
2 1
190