Vejledende oversættelse til dansk - Home page of Henrik Kragh ...

Figur 1:
§2. Opgave. Gennem to givne punkter A og B (…gur 1) er trukket to parallelle
linier AA 0 og BB 0 . Endvidere betegner a og b to tal, som står i et givet forhold til
hinanden, men hvis sum ikke er nul. Det forlanges, at de to parallelle skæres af en
tredie ret linie på en sådan måde, at når A 0 og B 0 er de respektive skæringspunkter,
så er
a:AA 0 + b:BB 0 = 0.
Løsning. Man trækker den rette linie AB og deler den i punktet P , således at
AP : P B = b : a; så vil enhver gennem P løbende linie, som skærer de parallelle,
som [for eksempel] A 0 P B 0 , og ingen andre linier, have den søgte egenskab.
Thi, på grund af de ensvinklede trekanter AA 0 P og BB 0 P forholder sig
AA 0 : BB 0 = AP : BP = AP : ¡P B = b : ¡a,
og altså er a:AA 0 + b:BB 0 = 0, som det blev forlangt.
Men der kan heller ikke være andre rette linier, som ikke går gennem P og skærer
de parallelle på den forlangte måde. Lad nemlig A 00 B 00 være en sådan ret linie, som
møder de parallelle i A 00 og B 00 . Man lægger da gennem P en linie A 0 B 0 parallel
med A 00 B 00 , som skærer de parallelle AA 0 og BB 0 i A 0 og B 0 , og endvidere lægger
man en linie P P 00 parallel med AA 0 , BB 0 , som møder A 00 B 00 i P 00 . Da er A 0 A 00 =
B 0 B 00 = P P 00 , og altså a:A 0 A 00 + b:B 0 B 00 = (a + b) P P 00 . Men det er netop bevist, at
a:AA 0 + b:BB 0 = 0, hvorved a (AA 0 + A 0 A 00 ) + b (BB 0 + B 0 B 00 ) = (a + b) P P 00 , dvs.
a:AA 00 + b:BB 00 = (a + b) P P 00 , altså ikke = 0.
§3. Tilføjelse. a) Hvad der er blevet bevist om en ret linie, som skærer de
parallelle, gælder åbentlyst også for en plan, der skærer dem. Enhver plan lagt
gennem P , og ingen andre, vil skære de to parallelle sådan, at når A 0 og B 0 er
skæringspunkterne, gælder a:AA 0 + b:BB 0 = 0. Går planen imidlertid ikke gennem
P og møder den gennem P trukne linie parallel med AA 0 , BB 0 i P 00 og AA 0 , BB 0 i
A 00 , B 00 , så gælder altid a:AA 00 + b:BB 00 = (a + b) P P 00 .
b) Beliggenheden af punktet P afhænger blot af beliggenheden af punkterne A
og B, som den ligger på en ret linie med, og af forholdet a : b; derimod afhænger
den på ingen måde af den vinkel, som de parallelle gennem A og B danner med
2