Vejledende oversættelse til dansk - Home page of Henrik Kragh ...

Vejledende oversættelse af udvalg fra
A. F. Möbius: Der barycentrische Calcul, 1827
Henrik Kragh Sørensen
18. april 2000
Første kapitel. Om tyngdepunkter
§1. Påmindelse. Betegnelsen af en del af en ret linie ved at stille to bogstaver
ved siden af hinanden, som man benævner delens grænsepunkter [endepunkter], skal
her ikke alene benyttes som udtryk for den absolutte værdi af delen, men samtidig
ved de forskellige rækkefølger af bogstaverne angive, om denne værdi skal betragtes
som positiv eller negativ i forhold til den en gang fastlagte postive retning af linien.
Et punkt kan nemlig bevæge sig i to forskellige retninger på en ret linie, iblandt
hvilke den ene er modsatrettet den anden. Den ene af disse retninger kaldes den
positive, og den anden den negative. Hvis nu A og B er to vilkårlige punkter på
en ret linie, så forstår man ved AB værdien af den mellem A og B indeholdte del
af linien, taget positivt eller negativt alt efter hvorvidt et punkt, som gennemløber
linien, for at nå fra det førstnævnte punkt A til det efterfølgende B skal bevæge sig
i den positive eller den negative retning.
Heraf følger, at der altid gælder AB + BA = 0; og hvis C angiver et tredie
punkt på samme rette linie, uanset om dette tredie punkt ligger mellem A og B
eller udenfor på samme side som A eller på samme side som B, så gælder
I. BC + CA + AB = 0
II. CB ¡ CA = AB, osv.
Mellem to forskellige rette linier er den positive retning på den ene generelt helt
uafhængig af den positive retning på den anden. Men hvis linierne er parallelle, så
vil vi, efter fastlæggelse af den positive retning på den ene, bestemme den positive
retning på den anden, således at når et punkt bevæger sig parallelt med den anden,
indtil det falder sammen med den første linie, så er de begge også identiske med
hensyn til den positive retning.
Hvis altså A; B; C; D er de …re på hinanden følgende spidser i et parallelogram,
så har man AB = DC og BC = AD, hvorimod AB + CD = 0 og BC + DA = 0.
— Hvis endvidere P (…gur 1) er skæringen af de to rette linier AB og A 0 B 0 , og hvis
AA 0 og BB 0 løber parallelt med hinanden, så forholder sig AP : BP = AA 0 : BB 0 ,
uanset hvorvidt de to paralleller AA 0 og BB 0 ligger på samme side eller på forskellige
sider af punktet P ; blot er i første tilfælde eksponenten af begge forholdene positivt,
mens den i det sidste tilfælde er negativ.

Figur 1:
§2. Opgave. Gennem to givne punkter A og B (…gur 1) er trukket to parallelle
linier AA 0 og BB 0 . Endvidere betegner a og b to tal, som står i et givet forhold til
hinanden, men hvis sum ikke er nul. Det forlanges, at de to parallelle skæres af en
tredie ret linie på en sådan måde, at når A 0 og B 0 er de respektive skæringspunkter,
så er
a:AA 0 + b:BB 0 = 0.
Løsning. Man trækker den rette linie AB og deler den i punktet P , således at
AP : P B = b : a; så vil enhver gennem P løbende linie, som skærer de parallelle,
som [for eksempel] A 0 P B 0 , og ingen andre linier, have den søgte egenskab.
Thi, på grund af de ensvinklede trekanter AA 0 P og BB 0 P forholder sig
AA 0 : BB 0 = AP : BP = AP : ¡P B = b : ¡a,
og altså er a:AA 0 + b:BB 0 = 0, som det blev forlangt.
Men der kan heller ikke være andre rette linier, som ikke går gennem P og skærer
de parallelle på den forlangte måde. Lad nemlig A 00 B 00 være en sådan ret linie, som
møder de parallelle i A 00 og B 00 . Man lægger da gennem P en linie A 0 B 0 parallel
med A 00 B 00 , som skærer de parallelle AA 0 og BB 0 i A 0 og B 0 , og endvidere lægger
man en linie P P 00 parallel med AA 0 , BB 0 , som møder A 00 B 00 i P 00 . Da er A 0 A 00 =
B 0 B 00 = P P 00 , og altså a:A 0 A 00 + b:B 0 B 00 = (a + b) P P 00 . Men det er netop bevist, at
a:AA 0 + b:BB 0 = 0, hvorved a (AA 0 + A 0 A 00 ) + b (BB 0 + B 0 B 00 ) = (a + b) P P 00 , dvs.
a:AA 00 + b:BB 00 = (a + b) P P 00 , altså ikke = 0.
§3. Tilføjelse. a) Hvad der er blevet bevist om en ret linie, som skærer de
parallelle, gælder åbentlyst også for en plan, der skærer dem. Enhver plan lagt
gennem P , og ingen andre, vil skære de to parallelle sådan, at når A 0 og B 0 er
skæringspunkterne, gælder a:AA 0 + b:BB 0 = 0. Går planen imidlertid ikke gennem
P og møder den gennem P trukne linie parallel med AA 0 , BB 0 i P 00 og AA 0 , BB 0 i
A 00 , B 00 , så gælder altid a:AA 00 + b:BB 00 = (a + b) P P 00 .
b) Beliggenheden af punktet P afhænger blot af beliggenheden af punkterne A
og B, som den ligger på en ret linie med, og af forholdet a : b; derimod afhænger
den på ingen måde af den vinkel, som de parallelle gennem A og B danner med
2

Figur 2:
AB. Hvis a og b har samme fortegn, så må det samme fortegn tilkomme de dermed
proportionale BP og P A; da ligger derfor P mellem A og B, og nærmere A eller B
alt efter om a > b eller b > a. For b = a er P midtpunktet af AB. Hvis a og b har
modsatte fortegn, så gælder det samme for BP og P A, og derfor har P B og P A
samme fortegn. I dette tilfælde ligger P altså udenfor AB, og det på den måde, at
det ligger på samme side som A eller på samme side som B, alt efter om P B eller
P A er den største af de to afstande, dvs. alt efter om a > b eller b > a. Også her
ligger P altså nærmest det af de to punkter A og B, som har den absolut største
koe¢cient.
c) Hvis man tænker sig vægte anbragt i A og B, som er proportionale med tallene
a og b, så er P tyngdepunktet for dette system. Omvendt kalder man derfor også P
for tyngdepunktet for punkterne A og B med de respektive koe¢cienter a og b.
§4. Opgave. At skære tre paralleller AA 0 , BB 0 , CC 0 (…gur 2), som går gennem
tre givne punkter A, B, C — uanset om parallellerne selv er indeholdt i planen
ABC eller ej — med en plan, således at når A 0 , B 0 , C 0 betegner de respektive
skæringspunkter og a, b, c betegner tal, som står i givne forhold til hinanden og ikke
har nul som sum, der gælder
a:AA 0 + b:BB 0 + c:CC 0 = 0.
Løsning. 1) Man forbinder to vilkårlige iblandt de tre punkter, f.x. A og B, med
en ret linie, og deler denne i P , således at BP : P A = a : b, altså således at P er
tyngdepunktet for A og B med de respektive koe¢cienter a og b.
2) Man trækker P C og vælger deri punktet Q sådan, at CQ : QP = a + b : c,
altså således at Q er tyngdepunktet for P og C med de respektive koe¢cienter a + b
og c.
Enhver plan lagt gennem punktet Q, og ingen andre, vil da tilfredsstille opgaven.
For at bevise dette, trækker man endnu en linie P P 0 gennem P parallel med
de parallelle AA 0 , BB 0 , CC 0 . Hvis nu en eller anden plan lagt gennem Q skærer de
3

parallelle gennem A; B; C; P i A 0 ; B 0 ; C 0 ; P 0 , så er (i kraft af §3.a) på grund af 1)
og på grund af 2)
hvoraf det følger
a:AA 0 + b:BB 0 = (a + b) P P 0 ,
(a + b) :P P 0 + c:CC 0 = 0,
a:AA 0 + b:BB 0 + c:CC 0 = 0.
Men at en eller anden anden plan, som ikke går gennem Q, ikke kan opfylde
opgavens fordringer, bevises således. Hvis en sådan plan snitter parallellerne gennem
A; B; C; P i A 00 ; B 00 ; C 00 ; P 00 og endnu en parallel trukket gennem Q i Q 00 , så er på
grund af 1)
a:AA 00 + b:BB 00 = (a + b) :P P 00
og på grund af 2)
hvoraf det følger
altså ikke = 0.
(a + b) :P P 00 + c:CC 00 = (a + b + c) :QQ 00 ,
a:AA 00 + b:BB 00 + c:CC 00 = (a + b + c) :QQ 00 ,
§8. Sådan som man i de foregående opgaver gik fra to til tre og fra tre til …re
givne punkter, kan man nu også fortsætte fra …re til fem punkter og så videre.
Dermed kan man generelt bevise følgende sætning.
Hvis et vilkårligt antal = º punkter A; B; C; : : : ; N med respektive koe¢cienter
a; b; c; : : : ; n er givne, hvis sum ikke er = 0, så kan man altid …nde et og kun et
punkt S — tyngdepunktet — med den beska¤enhed, at når man trækker parallelle
gennem de givne punkter og gennem S i en vilkårlig retning og skærer disse med en
vilkårligt lagt plan, som skærer de parallelle respektivt i A 0 ; B 0 ; C 0 ; : : : ; N 0 og S 0 , så
vil man altid have
a:AA 0 + b:BB 0 + c:CC 0 + : : : + n:NN 0 = (a + b + c + : : : + n) SS 0 ,
og altså, hvis planen går gennem selve punktet S,
a:AA 0 + b:BB 0 + c:CC 0 + : : : + n:NN 0 = 0.
For med det samme at godtgøre denne sætning i al dens generalitet, …nder man
(i‡g. §2) tyngdepunktet for vilkårlige to af de givne punkter, f.x. A og B med koe¢cienterne
a og b. Hvis dette [tyngdepunkt] kaldes P og en parallel trukket derigennem
skærer den vilkårligt lagte plan i P 0 , så er
og derfor
a:AA 0 + b:BB 0 = (a + b) :P P 0 ,
a:AA 0 + b:BB 0 + c:CC 0 + : : : + n:NN 0
= (a + b) :P P 0 + c:CC 0 + : : : + n:NN 0 .
4

På denne måde er det givne system med º punkter og deres koe¢cienter blevet
bragt tilbage til et andet [system] med º ¡1 punkter P; C; : : : ; N med koe¢cienterne
hvor hvilket summen af koe¢cienterne
a + b; c; : : : ; n,
(a + b) + c + : : : + n
og summen af produkterne mellem koe¢cienterne og afsnittene af de parallelle er
identisk med summen af koe¢cienterne og [hhv.] summen af produkterne i det første
system. Ligeledes lader dette andet system af º ¡1 punkter sig forvandle til et tredie
med º ¡ 2 punkter, og så fremdeles, indtil man endelig efter º ¡ 1 transformationer
kommer til et enkelt punkt S, for hvilket koe¢cienten og produktet af denne koef-
…cient og det til S hørende afsnit SS 0 er identisk med summen af koe¢cienterne og
summen af produkterne i det oprindeligt givne system.
At der forøvrigt kun kan …ndes et punkt af denne art, og man derfor altid må
…nde det samme punkt, uanset hvilken rækkefølge man forbinder de givne punkter,
følger let deraf, at hvis et andet punkt § besad samme egenskab, så vil der for enhver
plan gennem § gælde
a:AA 0 + : : : + n:NN 0 = 0,
altså også selvom den [planen] ikke gik gennem S. Men dette modsiger det foregående,
idet en sådan plan, hvis den skærer en parallel gennem S i S 0 , må opfylde
som altså ikke er = 0.
a:AA 0 + : : : + n:NN 0 = (a + : : : + n) :SS 0 ,
§9. Det er hidtil blevet antaget, at summen af de til de givne punkter hørende
koe¢cienter ikke er = 0. Men hvis de er det, så indser man øjeblikkeligt, at et sådant
system ikke kan have noget konstruerbart tyngdepunkt, thi i modsat fald ville, på
grund af a:AA 0 + b:BB 0 + : : : = (a + b + : : : = 0) :SS 0 , også enhver anden plan, som
ikke går gennem S, også opfylde fordringen i opgaven, a:AA 0 + b:BB 0 + : : : = 0. Men
dette er generelt, dvs. for enhver beliggenhed af de givne punkter, overhovedet ikke
muligt. En særlig undersøgelse af dette specielle tilfælde er altså påkrævet.
Lad altså punkterne A; B; C; : : : ; N med deres respektive koe¢cienter a; b; c; : : : ; n,
hvis sum a + b + c + : : : + n = 0, være givet. Så kan ikke også b + c + : : : + n = 0, da
dette ville betyde a = 0, og punktet A i dette tilfælde slet ikke skulle betragtes som
værende eksisterende. Til punkterne B; C; : : : ; N med deres koe¢cienter b; c; : : : ; n
kan man således bestemme tyngdepunktet efter den i §8 beskrevne metode. Lad
dette være T , og lad en vilkårlig plan skære de gennem A; B; : : : ; N; T dragne parallelle
i A 0 ; B 0 ; : : : ; N 0 ; T 0 . Så er b:BB 0 + : : : + n:NN 0 = (b + : : : + n) :T T 0 = ¡a:T T 0 .
Dermed bliver a:AA 0 + b:BB 0 + : : : + n:NN 0 = a:AA 0 ¡ a:T T 0 , og vores opgave går
dermed ud på at lægge planen således, at a:AA 0 ¡ a:T T 0 = 0, dvs. AA 0 = T T 0 .
På grund af parallelliteten af linierne AA 0 og T T 0 opfylder enhver plan, som går
parallelt med linien AT , og ingen andre.
Hvis altså, i et givet system af punkter, summen af koe¢cienter = 0, så kan man
altid reducere det til to punkter — hvis det altså ikke blot består af to punkter, —
5

og for enhver plan, som er parallel med den linie, der forbinder disse to punkter,
og for ingen andre, er summen af produkterne a:AA 0 + : : : = 0. Det ene af disse
to punkter var hidtil et af de givne punkter — men man kan selvfølgelig også tage
tyngdepunktet for ‡ere af dem, — det andet er tyngdepunktet for de resterende.
Det lader sig derfor altid gøre at …nde ‡ere par af sådanne punkter, når antallet af
givne punkter er større end to. Blot er de rette linier, som forbinder alle disse par,
parallelle, idet der ellers ville …ndes planer, som ikke var parallelle med en og samme
rette linie, og alligevel opfyldte opgavens fordring.
I kraft af de…nitionen af tyngdepunktet som et [punkt], i hvilket alle planer,
som opfylder vores opgave, skærer, og fordi parallelle betragtes som linier, der først
skærer hinanden i det uendeligt fjerne, kan vi derfor også sige: tyngdepunktet ligger
i det tilfælde, hvor summen af koe¢cienterne er = 0 uendeligt fjernt, i en retning,
som er bestemt af de sidst fundne paralleller.
Andet kapitel. Den barycentriske kalkule
§13. Ved regninger, som dem vi udførte ovenfor, byder en mindre forkortelse sig
til nærmest af sig selv. Da nemlig leddene i alle ligningerne er produkter af numeriske
koe¢cienter med afsnit af parallelle linier, hvoraf det ene endepunkt bestandig ligger
i en plan, mens det andet enten er et givet punkt eller et deraf bestemt punkt, og
følgelig intet andet adskiller afsnittene end disse sidstnævnte punkter, så kan vi, uden
at måtte frygte forvirring, udtrykke afsnittene i ligningerne blot ved de bogstaver,
der beskriver disse punkter. Hvis altså f.x. S er tyngdepunktet for A; B; C med
koe¢cienterne a; b; ¡c, og følgelig a:AA 0 +b:BB 0 ¡c:CC 0 = (a + b ¡ c) SS 0 , så skriver
man i stedet aA + bB ¡ cC = (a + b ¡ c) S.
Og faktisk kunne man ikke på en simplere måde ved algebraens tegn udtrykke
sætningen, at S er tyngdepunktet for A; B; C med vægtene a; b; ¡c, og at man tænker
sig at have forenet disse vægte i S. Imidlertid er vores formel noget mere end
blot et forkortet udtryk for denne sætning, i hvilket tilfælde den [formlen] blot havde
haft form af en algebraisk ligning, uden at det lod sig gøre at foretage algebraiske
operationer derpå. Idet man ikke længere tager A; B; C; : : : blot som punkter, men
derimod som de tilhørende afsnit — hvilket man i regningerne ikke behøver tænke
nærmere over — fremstiller hver formel samtidig en hovedegenskab ved tyngdepunktet
i algebraens sprog, og bliver derved tilgængelig for samme behandling som enhver
anden algebraisk ligning.
§14. Det er nu regningen med sådanne forkortede formler, som jeg har kaldt den
barycentriske, dvs. den fra begrebet om tyngdepunktet a‡edte, kalkule; en kalkule,
som ikke kun behandler virkelige talstørrelser, men tydeligt nok også har at gøre med
punkter, men som alligevel ikke i helheden afviger fra de sædvanlige regnemåder i
algebraen. For den bedre oversigt anser jeg det for tjenligt endnu en gang kort at
sammenfatte grundreglerne i den nye kalkule, selvom de i tilstrækkeligt omfang er
indeholdt i det foregående.
§15. 1) Genstandene for den barycentriske kalkule er punkter og numeriske koef-
…cienter til disse. De førstnævnte bliver betegnet med store bogstaver fra alfabetet,
6

de sidstnævnte med de små [bogstaver] og deres fortegn er sat foran. Sådan kaldes
f.x. aA, eller +aA i sammenhængen, punktet A med koe¢cienten a; og ¡bB [kaldes]
punktet B med koe¢cienten ¡b. Hvis koe¢cienten er enheden, så sættes kun
fortegnet derfor foran punktet som A eller +A, ¡B, dvs. A med koe¢cienten 1 og
B med koe¢cienten ¡1.
2) At S er tyngdepunktet hørende til punkterne A; B; C; D; : : : med de respektive
koe¢cienter a; b; c; d; : : :, udtrykkes ved
I. aA + bB + cC + dD + : : : = (a + b + c + d + : : :) S,
således at på den ene side af lighedstegnet står punkterne med deres koe¢cienter og
på den anden side tyngdepunktet med en koe¢cient, som er den algebraiske sum af
alle koe¢cienterne.
3) At punkterne A; B; C; : : : med koe¢cienterne a; b; c; : : : har samme tyngdepunkt
som punkterne E; F; : : : med koe¢cienterne f; g; : : :, forudsætter at summen
af koe¢cienterne af de første punkter a + b + c + : : : = summen af koe¢cienterne af
de sidte f + g + : : :; dette udtrykker ligningen
II. aA + bB + cC + : : : = fF + gG + : : : .
Hvis summerne af de oprindeligt givne koe¢cienter i to systemer med samme
tyngdepunkt ikke er identiske, så skal man blot multiplicere hver koe¢cient i det ene
system med summen af koe¢cienterne i det andet system, for at fremstille denne
lighed og dermed kunne udtrykke identiteten af tyngdepunkterne ved en ligning.
4) Ligningen
III. aA + bB + cC + : : : = 0,
som kun kan gælde under forudsætning af, at summen af koe¢cienterne a + b +
c + : : : = 0, viser at systemet af punkterne A; B; C; : : : med koe¢cienterne a; b; c; : : :
intet tyngdepunkt har.
5) Alle ligninger i den barycentriske kalkule har en af de tre former I, II eller
III, og må også beholde disse former ved alle omformninger, som man foretager sig
med dem. De algebraiske operationer, som man kan anvende på sådanne ligninger,
begrænser sig derfor til følgende to:
a) At man på begge sider af ligningen adderer eller subtraherer identiske [størrelser];
blot må det, der adderes eller subtraheres, ikke kun være et tal, men må være
et punkt eller aggregatet af ‡ere punkter med deres koe¢cienter.
b) At man på begge sider af ligningen multiplicerer eller dividerer; blot må multiplikatoren
eller divisoren ingen punkter indeholde, men må kun være et tal.
6) Alle ligninger omfattet under formerne I., II., III. har dette tilfældes med
hinanden, at de forbliver ligninger, selvom man udelader de bogstaver, som betegner
punkter (eller yderligere [uddybet], som betegner de til punkterne hørende afsnit af
paralleller). Grunden til denne lighed mellem koe¢cientsummerne på begge sider af
tegnet (=) …ndes i den i forrige kapitel udviklede teori. Hvis man ikke ønskede andet
end at fremstille i tegn, at et vist punkt er tyngdepunkt for et givet system, eller at
to systemer har samme tyngdepunkt, så ville det være unødvendigt at tage hensyn
til dette krav om ens koe¢cientsummer, og man ville dermed opnå en endnu kortere
formel. Da denne kortere [formel] i ‡ere tilfælde er meget formålstjenlig, så vil vi for
7

at skelne sådanne formler fra de egentlige ligninger, i stedet for tegnet (=) benytte
tegnet (´), og derfor i stedet for ligningen I. skrive formlen
og i stedet for ligningen II skrive formlen
også selvom
ikke er
aA + bB + cC + : : : ´ S,
aA + bB + cC + : : : ´ fF + gG + : : : ,
a + b + c + : : :
= f + g + : : : .
§16. Når man har bevist en sætning i geometrien ved hjælp af algebraen, eller
en opgave skal løses, så er det nødvendigt, at man foruden kendskab til algebraen
selv, for det første også er i stand til at iklæde sætningens eller opgavens geometriske
betingelser i algebraiske formler, og for det andet at man igen forstår at oversætte
det resultat, som man opnår gennem passende regninger med disse formler, til geometriens
sprog. Men sætningerne i den foregående § viste kun den barycentriske
kalkules mekanisme, kun formen og behandlingen af dens [kalkulens] ligninger. Og
selvom disse ligninger i sig selv ikke er af rent aritmetisk men samtidig af geometrisk
natur, idet de altid refererer til et bestemt system af punkter, så blev der alligevel
ikke gjort nogle umiddelbare anvendelser af den ovenfor beskrevne geometriske betydning
deraf. Det står derfor stadig foran os at opstille de sætninger, ved hjælp
af hvilke man ved geometriske undersøgelser af en …gurs egenskaber kan komme til
barycentriske ligninger, og omvendt kan komme fra de sidste til de første, eller med
andre ord, at vise hvordan og for hvilke egenskaber ved en …gur de velkendte [oft
gedachten?] formler kan optræde som betingelsesligninger.
§18. a) Hvis A; B; C betegner de tre spidser i en trekant, så har udtrykkene for
arealerne ABC, BCA, CAB samme værdi, og CBA, BAC, ACB har den modsatte.
b) Lad B; C; D være tre punkter på en ret linie, og lad A være et punkt udenfor
denne. Således som i §1
CD + DB + BC = 0,
så er med fortsættelse fra A summen af trekanterne
og
ACD + ADB + ABC = 0,
ACD : ADB : ABC = CD : DB : BC.
[check]
c) Lad A; B; C; D være …re vilkårlige punkter, som be…nder sig i en plan, hvoraf
der ikke ligger tre på en ret linie. Man forbinder dem parvist med rette linier, og
lader Z være skæringspunktet mellem de rette linier AB og CD. (Thi der vil altid
være mindst en af de rette linier gennem A og et af de tre punkter B; C; D, som
8

skærer den rette linie gennem de to andre punkter. Denne ene kaldes her AB.) Derfor
er, idet C; D; Z ligger på en ret linie:
og, idet A; B; Z ligger på en ret linie
ADZ + AZC + ACD = 0
BDZ + BZC + BCD = 0,
CBZ + CZA + CAB = 0
DBZ + DZA + DAB = 0.
Man adderer disse …re ligninger med tegnene ¡, +, ¡, +, og ophæver alle udtrykkene
indeholdende Z hinanden, og det giver
¡ACD + BCD ¡ CAB + DAB = 0,
for hvilken man også kan sætte de symmetriske formler
eller
osv. Sml. §1, I. og II.
I. BCD ¡ CDA + DAB ¡ ABC = 0,
II. DBC + DCA + DAB = ABC,
Sætninger om anvendelsen af den barycentriske kalkule
§21. Sætning. Når aA + bB ´ C, så ligger C på en ret linie med A og B, og
a : b = BC : CA.
Bevis. Ifølge §2 og 3 ligger tyngdepunktet C for to punkter A og B på en ret
linie med samme, og bliver bestemt derved, at man deler linien BA i C efter det
forhold, som koe¢cienterne a : b.
§23. Sætning. Når
aA + bB + cC ´ D;
og A; B; C ikke ligger på en ret linie, så ligger D sammen med A; B; C i en plan (§4
og 5), og
a : b : c = trekanterne DBC : DCA : DAB.
Bevis. Iblandt de tre summer, som lader sig sammenstille ved at tage to af de
tre koe¢cienter a; b; c sammen, er mindst en altid ikke = 0. Lad a + b være denne
sum; hvis man sætter
I. aA + bB = (a + b) Z;
så bliver
II. D ´ (a + b) Z + cC:
9

På grund af II ligger nu (§21) C; D; Z på en ret linie, og
og det følger, at
1) a + b : c = CD : DZ = BCD : BDZ = ACD : ADZ (§18.b)
2) DBZ : DZA = DBC : DCA (§18.a)
På grund af I ligger Z også på den rette linie AB, og
3) a : b = BZ : ZA = DBA : DZA,
og på grund af 2)...4) er a : b = DBC : DCA.
Fra 3) følger det endvidere, at
og ved at forbinde med 1)
b : a + b = DZA : DBZ + DZA = ADZ : DBA (§18.b),
b : c = ACD : DBA = DCA : DAB,
og heraf følger sætningens proposition ved 4).
Tredie kapitel. Ny metode til at bestemme beliggenheden af
punkter
Bestemmelse af et punkt i en plan
§31. Man tager som fundamentalpunkter tre vilkårlige punkter A; B; C i planen,
som ikke ligger på en ret linie. De tre forbindende rette linier BC, CA, AB kaldes
fundamentallinier, og den trekant ABC, som de indeslutter, hedder fundamentaltrekanten.
Sætter man nu pA + qB + rC ´ P , så modsvarer vilkårligt givne værdier af
to af de i p : q : r indeholdte forhold et vist punkt P i planen. Og omvendt, hvis et
eller andet punkt P i planen er givet, så kan også værdierne af forholdene p : q : r
altid og uden tvetydighed bestemmes (§24.b).
Derfor kalder man igen pA + qB + rC for udtrykket for punktet P .
I kraft af §23 kan også de gensidige forhold mellem de tre trekanter P BC, P CA,
P AB, som P udspænder med fundamentalpunkterne, anses som koordinater.
Fjerde kapitel. Om udtryk for rette linier og planer
§37. Hvis E og E 0 betegner to punkter, så er E + wE 0 udtrykket for et punkt på
den igennem E og E 0 bestemte rette linie, og nærmere bestemt for ethvert vilkårligt
punkt på denne line, når det står frit for at give forholdet 1 : w enhver vilkårlig
værdi (§29). Man kan derfor kalde E + wE 0 selv for udtrykket for den rette linie
EE 0 , så snart w deri tages som en variabel størrelse, idet konstruktionen deraf giver
alle på denne linie liggende punkter.
10

I. Udtryk for rette linier i en plan
§38. Lad nu E og E 0 være to punkter i en plan; fundamentalpunkterne for denne
[plan] kaldes A; B; C og i forbindelse med disse lader man
eE = aA + bB + cC, e 0 E 0 = a 0 A + b 0 B + c 0 C.
Så gælder, når man i stedet for w sætter den variable v således at w = ve0
e ,
E + wE 0 ´ eE + ve 0 E 0 = (a + a 0 v) A + (b + b 0 v) B + (c + c 0 v) C.
Dette sidste udtryk med den variable v er altså udtrykket for en ret linie, som går
gennem de to punkter
aA + bB + cC og a 0 A + b 0 B + c 0 C
i planen, og altså det generelle udtryk for en ret linie i en plan, idet udtrykkene for
begge punkter er af helt generel form.
Niende kapitel. Transformation af barycentriske udtryk til
ligninger mellem parallelle koordinater og omvendt.
§118. Opgave. For punkterne A; B; C; D; : : : er koordinaterne givet med hensyn
til et vilkårligt system af tre akser X; Y; Z. Med hensyn til den samme aksesystem
skal man …nde koordinaterne til punktet
P ´ pA + qB + rC + sD + : : : .
Løsning. Kald de givne koordinater for A; B; C; : : : respektivt for a; a 0 ; a 00 ; b; b 0 ; b 00 ;
c; c 0 ; c 00 osv. og [kald] dem [koordinaterne] for P for x; y; z. Nu betyder (i‡g. §13 og
§8) udtrykket
p ´ pA + qB + : : :
intet andet, end at — når man trækker parallelle gennem punkterne P; A; B; C; : : :
i vilkårlig retning, og disse skærer en vilkårligt lagt plan i P 0 ; A 0 ; B 0 ; C 0 ; : : : — der
gælder
p:AA 0 + q:BB 0 + r:CC 0 + : : : = (p + q + r + : : :) P P 0 .
Man giver derfor først de parallelle samme retning som aksen X og tager som den
skærende plan planen Y Z, så er alle afsnittene selve de med X parallelle koordinater,
altså AA 0 = a, BB 0 = b, CC 0 = c, osv., og P P 0 = x, altså
og
pa + qb + rc + : : : = (p + q + r + : : :) x
x =
pa + qb + rc + : : :
.
p + q + r + : : :
11

På den samme måde …nder man, når man tager parallellerne parallelt med aksen
Y eller Z, og vælger planen ZX eller XY som skærende plan:
y = pa0 + qb 0 + rc 0 + : : :
p + q + r + : : :
, z = pa00 + qb00 + rc00 + : : :
.
p + q + r + : : :
§120. Opgave. Et punkt P på en ret linie er givet ved dets afstand x fra et
vilkårligt begyndelsespunkt for linien. At …nde udtrykket for P med hensyn til to,
på samme linie liggende, punkter fundamentalpunkter A og B, som er givne ved
deres afstande a og b fra begyndelsespunktet.
Løsning. Man sætter
P ´ pA + qB,
og er ifølge det foregående
altså
og
altså
x =
pa + qb
p + q ,
p (x ¡ a) + q (x ¡ b) = 0,
p : q = x ¡ b : ¡ (x ¡ a) ,
P ´ (x ¡ b) A ¡ (x ¡ a) B.
§129. Opgave. Ud fra udtrykket for en kurve i en plan at …nde kurvens ligning
mellem parallelle koordinater, og omvendt ud fra ligningen at udlede udtrykket.
Løsning. Lad udtrykket for kurven være
pA + qB + rC,
hvor p; q; r er givne funktioner af en variabel v. Så …nder man, idet man tager CA
og CB som akser og repektive længdemål, den søgte ligning mellem x og y, når man
eliminerer v fra ligningerne
(p + q + r) x = p, (p + q + r) y = q.
I det omvendte tilfælde søger man at udtrykke x og y som, hvor det muligt rationale,
funktioner af en tredie variabel v, som opfylder den givne ligning mellem x og y.
Når man substituterer disse funktioner for x og y i
II*) xA + yB + (1 ¡ x ¡ y) C,
opnår man det søgte udtryk (§123.b).
§130. Eksempler. 1) Det er i §61 blevet bevist, at ethvert udtryk for en kurve
af anden orden kan føres tilbage til den simple form
®A + vB + v 2 C
12

ved en forandring af fundamentalpunkterne. For nu at …nde ligningen hørende til
denne kurve, så sætter man i kraft af det foregående
³
® + v + v 2´
³
x = ®, ® + v + v 2´
= v.
Heraf følger
v = ® y
x ,
og når man ved hjælp heraf eliminerer v fra den ene eller den anden ligning, så får
man
x 2 + xy + ®y 2 = x,
som er ligningen for en linie af anden orden også i den sædvanlige forstand, dvs. for
et keglesnit. Som det allerede blev antydet i §63, så ses det også af denne ligning, at
linien er en ellipse, en hyperbel eller en parabel alt efter om ® tages større, mindre
eller lig 1
4 .
Sætter man længderne CA og CB, målt med en og samme måleenhed, resp.
lig a og b, så skal man blot, når koordinaterne i ligningen skal udtrykkes i samme
for x og y, så får man
måleenhed, substituere x
a
og y
b
b 2 x 2 + abxy + ®a 2 y 2 = ab 2 x.
Egenskaben, til hvilken type keglesnit ligningen hører (® større, mindre, lig 1
4 )
bliver herved ikke forandret.
2) Lad følgende udtryk for en linie af tredie orden være givet:
så er ³
1 + v + v 3´
x = 1,
altså v = y
, og når man eliminerer v:
x
A + vB + v 3 C,
x 3 + x 2 y + y 3 = x 2 .
³
1 + v + v 3´
y = v,
Linien er altså også ifølge sin ligning af tredie orden.
Figur 28 giver et billede af denne kurve. Den har (§78) et vendepunkt i A, hvor
, så bliver udtrykket til:
den har AB som tangent. Sætter man v = 1
w
w 3 A + w 2 B + C,
og det ses af §79, at kurven har en spids af første art ved A og bliver berørt af CB.
13