BEF-PCSTATIK PC-Statik Bjælkeberegning efter EC2

U D V I K L I N G K O N S T R U K T I O N E R 

BEF-PCSTATIK 

PC-Statik 

Bjælkeberegning efter EC2 

Dokumentationsrapport 

ALECTIA A/S 

Teknikerbyen 34 

2830 Virum 

Denmark 

Tlf.: +45 88 19 10 00 

Fax: +45 88 19 10 01

U D V I K L I N G K O N S T R U K T I O N E R 

BEF-PCSTATIK 

PC-Statik 

Bjælkeberegning efter EC2 

Dokumentationsrapport 

2008-12-08 

17681-BEF-PCSTATIK-318422-2.doc 

Revision : 1/EC 

Revisionsdato : 2008-12-08 

Sagsnr. : 17681 

Projektleder : JFJ 

Udarbejdet af : MKC/PKB 

Godkendt af : JFJ

Udvikling Konstruktioner PC-Statik 

BEF-PCSTATIK Bjælkeberegning efter EC2 

Indholdsfortegnelse 

1 Indledning.........................................................................3 

2 Kort beskrivelse af programmet.........................................4 

ALECTIA A/S 

2.1 Kold beregning............................................................................. 4 

2.2 Brandberegning............................................................................ 5 

3 Fortolkning af EC2 - Kold tilstand.......................................6 

3.1 Momentkapacitet .......................................................................... 6 

3.2 Forskydning og Vridning ................................................................ 6 

3.3 Deformationer.............................................................................. 6 

3.4 Revnevidder................................................................................. 7 

3.5 Minumumsarmering og afstand mellem armering ............................. 7 

4 Teoretisk baggrund - Kold tilstand.....................................8 

4.1 Bæreevne ved bøjning .................................................................. 8 

4.2 Bæreevne ved kombineret forskydning og vridning ......................... 19 

4.3 Beregning af forankringskraft ....................................................... 21 

4.4 Beregning af stivhed ................................................................... 23 

4.5 Svind ........................................................................................ 27 

4.6 Revnevidder............................................................................... 30 

5 Beregningseksempel - Kold tilstand ................................. 31 

5.1 Belastning ................................................................................. 32 

5.2 Materialer .................................................................................. 33 

5.3 Minimumsarmering ..................................................................... 34 

5.4 Afstandskrav for armering ........................................................... 35 

5.5 Beregning af moment kapacitet.................................................... 37 

5.6 Kombineret forskydning og vridning.............................................. 39 

5.7 Forankringskraft ......................................................................... 40 

5.8 Teoretiske krybetal ..................................................................... 41 

5.9 Beregning af stivhed ................................................................... 42 

5.10 Svind ........................................................................................ 44 

5.11 Nedbøjning ................................................................................ 46 

5.12 Revnevidder............................................................................... 46 

6 Fortolkning af EC2 - brandtilstand ................................... 50 

6.1 Reduktion af tværsnit og materialeparametre................................. 50 

17681-BEF-PCSTATIK-318422-2.doc Side 1 af 66



ALECTIA A/S 

6.2 Momentbæreevne....................................................................... 50 

6.3 Forskydningskapacitet................................................................. 50 

7 Teoretisk baggrund - brandtilstand.................................. 51 

7.1 Reduktion af tværsnit.................................................................. 51 

7.2 Armering ................................................................................... 52 

7.3 Bæreevne ved bøjning ................................................................ 52 


7.5 Beregning af forankringskraft....................................................... 55 

8 Beregningseksempel - brandtilstand................................ 56 

8.1 Geometri og materialeparametre .................................................. 56 

8.2 Regningsmæssige laster og snitkræfter ......................................... 57 

8.3 Reduceret betontværsnit ............................................................. 57 

8.4 Længdearmering ........................................................................ 59 

8.5 Bøjlearmering ............................................................................ 60 

8.6 Bæreevne ved bøjning ................................................................ 62 


8.8 Forankringskraft ......................................................................... 66 




1 Indledning 

ALECTIA A/S 

Nærværende rapport er KS dokumentationen, som er udført i forbindelse 

med udvikling af beregningsprogram for en bjælke efter EC2, både for nor- 

male lastkombinationer og brandtilfældet. 

Rapporten er opdelt således, at første afsnit beskriver programmets opbyg- 

ning og gennemgår kort den kolde beregning og brandberegningen. 

Hernæst gennemgås de fortolkninger, der er foretager af EC2, både for den 

kolde beregning og den varme beregning for få en konsistent løsning. 

Hernæst kommer et teoriafsnit, hvor teorien bag den kolde beregning og 

brandberegningen gennemgås. 

Til slut gennemgås to separate eksempler. Et for den kolde beregning, hvor 

moment- og forskydningskapacitet, samt nedbøjninger og revnevidder be- 

stemmes, og ét hvor en bjælke brandpåvirkes, og hvor moment og forskyd- 

ningskapacitet bestemmes for de reducerede tværsnitsparametre. 

Ansvarsforhold 

NB: Resultaterne af beregningsmodulerne skal ALTID efterkontrolleres af 

køber/bruger! Betonelement-Foreningen og de øvrige ophavsmænd på- 

tager sig INTET ANSVAR for fejl og mangler ved beregningsmodulernes 

informationsindhold mv. eller for svigt ved - eller tab som følge af - 

produkter fremstillet under anvendelse heraf. 




2 Kort beskrivelse af programmet 

ALECTIA A/S 

Programmet er opbygget således, at brugeren i den kolde beregning indta- 

ster bjælkens geometri, herunder tværsnitsdimensioner, spændvidde og ar- 

mering. Ved at trykke på knappen ”Gå til brandberegning” bringes brugeren 

videre til brandberegningsmodulet. Her indtastes yderligere oplysninger som 

skal bruges specielt i brandberegningen, såsom hvilke sider af bjælken der er 

brandpåvirket, brandtiden og hvilken slags stål der er anvendt til armering. 

2.1 Kold beregning 

For den kolde beregning indtastes både laster, tværsnit og materialer. Det er 

muligt at indtaste tre linjelaster og tre enkeltkræfter. Lasterne og længden 

giver anledning til forskydningskræfterne og momentet som tværsnittet skal 

kunne optage, samt den nødvendige forankring. Den første linjelast p1 er ud- 

bredt over hele bjælkens længde mens geometrien på de andre laster skal 

opgives af brugeren. Bæreevnen af tværsnittet er afhængig af hhv. tværsnit 

og materialer. For tværsnit forstås dimensionerne på det rektangulære be- 

tontværsnit, samt placering af længdearmering og afstand mellem bøjler. For 

materialer skal programmet have flydespændingen for bøjle- og længdearmeringens 

samt betonens trykstyrke. Endvidere skal cot( ) vælges af bruge- 

ren. 

I anvendelsesgrænsetilstanden beregner programmet både revnevidder og 

deformationer baseret på hhv. kort- og langtidslasten samt det aktuelle 

tværsnit. Ved beregningen af nedbøjningen tages hensyn til både krybning, 

svind. 

Figur 1 - Skærmbillede ved kold beregning 




2.2 Brandberegning 

ALECTIA A/S 

I brandberegningen regnes bjælken udsat for en standardbrand, hvor bruge- 

ren definerer brandens varighed samt hvilke overflader der eksponeres. 

I den kolde beregning angives desuden materialeparametre for beton og ar- 

mering. 

Når alle parametrene er oplyst bestemmer programmet temperaturen i 36 

punkter jævnt fordelt i betontværsnittet hvorudfra tykkelsen af den beskadi- 

gede zone af bjælkens tværsnit, ”randzone” bestemmes. Temperaturen be- 

stemmes også i længdearmeringen og i bøjlerne og reduktionen af armerin- 

gens flydespænding og E-modul ved forhøjede temperaturer bestemmes i 

henhold til EC2-1-2 og EC2-1-2 DK NA:2007. 

Herefter står blot tilbage at bestemme tværsnittets moment- og forskyd- 

ningskapacitet, M ud og V ud, samt angive forankringskravet til hovedarmering 

over lejer, N a. Dette gøres nøjagtig som for den kolde beregning, dog med 

den forskel, at der skal anvendes en særlig arbejdslinie for brandpåvirket be- 

ton. 

Figur 2. Skærmbillede ved brandberegning 




3 Fortolkning af EC2 - Kold tilstand 

ALECTIA A/S 

I forbindelse med udvikling af programmet har det været nødvendigt, at for- 

tolke EC2, således at en konsistens løsning kan tilvejebringes. I nærværende 

afsnit beskrives de fortolkninger, der er foretaget i forhold til EC2. 

3.1 Momentkapacitet 

Afsnit 3.1.5’s formel (3.1.4) bestemmer spændingsblokken i betonens 

trykzone. 

Iht. afsnit 3.2.7 (4) sættes armeringens regningsmæssige elasticitets- 

modul lig 200 GPa, som er lig det karakteristiske elasticitetsmodul for 

armeringen. 

Iht. afsnit 5.8.6 (3) kan formel (3.1.4) anvendes hvis Ecm ændres til 

= 1,4 iht. det natio- 

E cd, hvor E cd findes ved at reducerer E cm med c 

nale anneks. I Eurocode anbefales en reduktion på 1,2. Dette er ikke 

en traditionel måde at indføre en sikkerhed på, idet partialkoefficien- 

ten påsættes en middel stivhed. 

Iht. 5.8.6 (4) kan krybning indføres ved, at ændre alle tøjningsvær- 

dierne. Dette betyder at overarmerede tværsnit kan få en højere bæ- 

reevne, end den der virker i korttidstilstanden. Der er derfor set bort 

fra dette ved beregning af momentkapaciteten. 

3.2 Forskydning og Vridning 

Effektivitetsfaktorerne for vridning og forskydning bestemmes efter EN 

1992-1-1 DK NA:2007 afsnit 5.6.1(3)P. 

Forskydning bestemmes efter afsnit 6.2.3 (3) der behandler forskyd- 

ningsbæreevne med lodrette bøjler. 

Ved beregning af vridning, er vridningens belastning af længdearme- 

ringen ikke medtaget. 

Ved beregning af bøjler udsat for vridning henvises til ”Betonkonstruk- 

tioner efter DS411, 3.udg. af Bjarne Chr. Jensen”, da dette ikke er 

behandlet i EC2. 

Med ovenstående undtagelser bestemmes vridning Iht. 6.3.2. 

Ved kombinering af forskydning og vridning kombineres betonbidrage- 

3.3 Deformationer 

ne og stålbidragende hver for sig. 

Langtidsdeformationen bestemmes ved at summere de bidrag, der er 

til langtidsdeformationen, som er beskrevet nedenfor. 




ALECTIA A/S 

Korttidsdeformationen bestemmes ved at bestemme korttidsdeforma- 

tionerne ud fra differencen mellem korttids og langtidslasten, hvoref- 

ter langtidsdeformationen adderes. 

Ved beregning af tværsnittets urevnede og revnede stivhed regnes 

med at forholdet mellem spænding og tøjning er lineært for både be- 

ton og armering. 

3.3.1 hensyntagen til tension stiffening 

Der medtages bidrag fra tension stiffening, som der åbnes mulighed for 

iht. afsnit 5.8.6 (5). Som det kritiske moment benyttes det moment 

der giver anledning til en overskridelse af trækspændingerne i bun- 

den af tværsnittet for korttidstilstanden, mens det påsatte moment er 

taget fra henholdsvis kort- og langtidstilstanden. 

3.3.2 Deforamtioner fra krybning 

Iht. 5.8.6 (4) indføres krybning ved, at proportionere tøjningsværdierne 

med faktoren ( 1 

) . 

Iht. 3.1.4 (4) skal krybningens manglende linearitet tages i betragtning 

hvis betonens trykspænding til tiden t0 overstiger 0, 45 f ck ( t0 

) . I 

programmet medtages aldrig krybningens manglende linearitet. 

Krybetallet kan bestemmes Iht. 3.1.4 (2), hvor henvisningen til anneks 

B benyttes. 

3.3.3 Deformationer fra svind 

Svindtøjningen bestemmes Iht. 3.1.4(6), hvor henvisningen til anneks 

B benyttes. De tidsafhængige faktorer ds ( t, 

t s ) og as (t) 

sættes 

3.4 Revnevidder 

på den sikre side til 1. 

Krumningen som følge af svind bestemmes Iht. 7.4.3(6). 

Udbøjningstillæget bestemmes efterfølgende ved 

en bjælke med konstant krumning. 

2 

, som for 

u 1/ 8 

Ls 

Revnevidder bestemmes efter 7.3.4, hvor der som ct eff 

f ctm , hvilket afsnit 7.1(2) giver mulighed for. 

3.5 Minumumsarmering og afstand mellem armering 

17681-BEF-PCSTATIK-318422-2.doc Side 7 af 66 

f , 

benyttes 

Minimumsarmering og afstand mellem bøjler bestemmes Iht. 9.2.1 og 

9.2.2. 

Afstanden mellem langsgående armeringsstænger og dæklaget skal 

brugeren selv kontrollere.



4 Teoretisk baggrund - Kold tilstand 

4.1 Bæreevne ved bøjning 

ALECTIA A/S 

I forbindelse med styrkeeftervisning af armerede betonsøjler og vægge an- 

vendes den generelle metode i EC2’s afsnit 5.8.6. Den generelle metode ba- 

serer sig på en ikke lineær arbejdskurve af betonen og en lineær elastisk ide- 

al plastisk arbejdskurve af armeringen. 

4.1.1 Betons karakteristiske arbejdskurve 

Betonen arbejdskurve bestemmes iht. formel (3.14) i EC2’s afsnit 3.1.5 ved 

 

c 

f cm 

hvor 

k 

2 

k 

 

 

1 k 2 

E 

 

cm c1 

1, 

05 , hvor Ecm, fcm og c1 

fastlægges iht. EC2’s tabel 3.1 

f cm 

c 

 

 

c1 

I afsnit 5.8.6 (3) skal fcm erstattes med fcd og Ecm erstattes med 

Ecd Ecm 

/ c . Dette betyder at den karakteristiske arbejdskurve for beto- 

nen bliver 

 

c 

f ck 

hvor 

2 

k 

 

 

1 

k 2 

Ecm 

k 1, 

05 

f 

ck 

c1 

Denne funktion er plottet nedenfor i Figur 1. Det interessante ved arbejds- 

kurven er at der indgår middel elasticitetsmodulet i stedet for det karakteri- 

stiske, som det ellers er anvendt igennem en årrække i DS-sammenhæng. 

Det ses af Figur 1 at der for hver enkelt betontype er en specifikt bestemt ar- 

bejdskurve. 




ALECTIA A/S 

1,2 

1 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

sc/f ck 

12 MPa 

16 MPa 

20 MPa 

25 MPa 

30 MPa 

35 MPa 

40 MPa 

45 MPa 

50 MPa 

0 

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 

Figur 3 Arbejdskurve for beton ved forskellige betontrykstyrker. 

I Figur 2 er arbejdskurven for en beton med en karakteristisk trykstyrke på 

35 MPa plottet i anvendelsesstadiet og i brudstadiet. Kurverne er benævnt 

henholdsvis den karakteristiske arbejdskurve og den regningsmæssige ar- 

bejdskurve. 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

sc [Mpa] 

Karakteristisk 

arbejdskurve 

0 

0 0,0005 0,001 0,0015 0,002 0,0025 0,003 0,0035 0,004 

Figur 4 Karakteristisk og regningsmæssige arbejdskurve for en beton 35 


ec 

Regningsmæssig 

arbejdskurve 

Af Figur 1 ses det hvorledes stivheden af de svage betontyper er stivere rela- 

tivt til styrken end de stærkere betoner. 

ec



ALECTIA A/S 

Sammenligner man stivheden af betonen med udtrykket fra DS411, der er 

givet ved 

E 

f 

ck 

0 51000 

DS411 3.2.5 (4)P 

13 fck 

fås en sammenhæng som vist i Figur 3. 

I Figur 3 er der ligeledes medtaget en sammenligning af betons elasticitets- 

modul, beregnet efter formlen foreslået af M. Ros 1 . 

E 

0 

fck 

55000 

15 f 

2500 

2000 

1500 

1000 

500 

0 

E/f ck 

ck 

EC2 E_0/f_ck 

EC2 E_cm/f_ck 

DS411 

M. Ros's formel 

f ck [MPa] 

0 10 20 30 40 50 60 

Figur 5 Betonens stivhed og dens afhængighed af trykstyrken sammenlignet med DS411. 

Det ses at elasticitetsmodulet i EC2 stemmer rimeligt overens med Ros’s 

formel. 

4.1.2 Armeringens arbejdskurve 

Armeringen opfattes som værende lineær elastisk ideal plastisk, som vist i 

Figur 4. I modsætning til i DS411 er stålets elasticitetsmodul det samme i 

anvendelsesgrænsetilstanden og i brudstadiet. Det antager værdien 200000 

MPa. 

1 Sammenligningen med forsøg fremgår af Beton 1 del 1, M. P. Nielsen, Lyngby 1999 




ALECTIA A/S 

600 

500 

400 

300 

200 

100 

0 

ss [MPa] 

Karakteristisk 

arbejdskurve 

Regningsmæssig 

arbejdskurve 

0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 

Figur 6 Stålets arbejdskurve med en karakteristisk flydeapænding på 550 MPa. 

4.1.3 Tværsnitsanalyse 

I nærværende afsnit beskrives, hvorledes et bjælketværsnits bæreevne be- 

stemmes på baggrund af den generelle metode i EC2. 

Først beregnes bidraget fra betonen i tryk. Det antages at betonens træk- 

styrke er nul. Herefter beregnes bidrag fra armeringen og sluttelig kobles alle 

bidrag i ligningerne for den statiske ækvivalens. 

Betonbidraget 

y 

c 

0 

Figur 7 Definitioner, som anvendes ved tværsnitsanalyse 

c 


x 

h 

es



ALECTIA A/S 

Trykspændingerne i betonen bestemmes ud fra 

 

c 

 

 

2 

c1 

k 

 

 

c c1 

 

k 

2 

c 

2 

c c1 

f 

cd 

Variationen af spændingen over tværsnittet findes ved at indføre tøjningen 

y 

som c 0 t 

0 , hvorved c kan omskrives til 

x 

0 

2 2 

1 t 

c1kt 

0 t 0 

k 

c1 

0 

c 

fcd 

... 

tk f 

2 

c k t 

1 2 c1t 

 

0 

0 

1 k 2 

c1 

 

For overskuelighedens skyld indføres følgende konstanter 

A 

 

 

0 

, D k fcd 

 

0 

0 

, B 2 k 

k 

c1 

c1 

Herved reduceres udtrykket for betonspændingen til 

 

c 

1 At 

Dt 

1 Bt 

 

Dt 

 

 

a b 

c1 

2 

t 

 

1 bt 

Ud fra ovenstående udtryk er det muligt at bestemme resultanten af beton- 

spændingerne i trykzonen, ved integration 

1 

Nc c 

 

hvor 

bx 

dt 

0 

 

x h 

x 

for x h 

for x h 


c1 

(Gælder for en ikke forspændt 

Indsættes udtrykket for c fås, når b er bredden af tværsnittet 

N 

N 

N 

N 

c 

c 

c 

c 

1 

 

bxD 

t 

 

 

1 

bxD 

t 

2 

 

2 

1 

 

2 

bxD 

1 

 

2 

1 

bxD1 

 

2 

 

A B 

 

 

2 

 

1 Bt 21 

Bt 

A B 

 

A B 

2 1 B 

41 

B 

2ln1 

B 

2 

2B 

 

cd 

1 Bt 

 

... 

B 

2 1 B 

4 1 B 

2ln 

1 B 

 

A 

 

2 

3 

2b 

 

2 

t 

dt 

 

1 Bt 

3 

 

 

 

A B 

1 B 

2 2 

B 

3 

2B 

B 

1 

 

Integralet kontrolleres ved differentiation 

3 

B 

3 

1 

ln 

3 

B 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2B 

1 

2ln 

 

1 

B 

1 

 

bjælke)



dN 

dt 

ALECTIA A/S 

c 

dN 

dt 

c 

dN 

dt 

c 

A B 

bxDt 

 

B 

3 

B 

A B 

B 

bxDt 

3 

 

 

B 

A B 

B 

bxDt 

3 

 

B 

1 Bt 

dNc 

dt 

 

bxDt 

 

 

 

2 

t 

 

1 Bt 

Det ses at integralet er i orden. 

2 1 Bt 2B1 

Bt 

1 Bt 

2 2 1 B t 2Bt 

 

A B 

 

bx 

c 

B 

2B 

 

 

1 Bt 

B 

 

 

 

 

 

2 

B B t B 

A B 

3 2 

2 2 

B t 

 

 

bxDt 

 

 

3 

1 Bt 

 

 

B 1 Bt 

Herefter kan afstanden y’ fra resultantens placering til nullinien bestemmes. 

Dette gøres ved at bestemme resultantens moment omkring nullinien. 

y' 

N 

c 

y' 

N 

c 

y' 

N 

c 

y' 

N 

c 

y' 

N 

c 

1 

2 

bx t 

cdt 

 

 

1 

2 

bx D 

t 

 

2 

 

2 1 

bx D 

t 

3 

 

3 

1 

 

2 3 

bx D 

1 

 

3 

 

 

1 2 

bx D1 

 

3 

 

A B 

 

3 

2 

 

1 Bt 31 

Bt 31 

Bt 

A B 

 

 

1 Bt 

A B 

3 

2 

2 1 B 

91 

B 

181 

B 

6ln1 

B 

... 

4 

6B 

3 A B 

3 

2 

21 

B 

91 

B 

181 

B 

6ln1 

B 

 

3 

6B 

 

4 

3 

t 

dt 

 

1 Bt 

 

 

 

 

A B 

1 B 

3 3 2 2 

2B 

4 

3B 

4 

 

2B 

1 

 

3B 

1 

 

 

 

... 

 

 

 

6B 

1 

6ln 

 

1 B 

 


2B 

Integraler kontrolleres ved differentiation. 

dy' 

N 

dt 

c 

dy' 

N 

dt 

c 

dy' 

N 

dt 

c 

2 

bx Dt 

 

 

2 

bx Dt 

 

 

 

2 

bx Dt 

 

2 

2 

2 

A B 

B 

4 

B 

a b 

B 

 

4 

B 

dy' 

Nc 

dt 

 

2 2 

bx Dt 

 

 

3 

 

t 

 

 

1 Bt 

Det ses at integralet er i orden. 

2 1 Bt 3B1 

Bt 

4 

B 

4 

1 

ln 

4 

B 

3 

2 

1 Bt 3B1 

Bt 3B1 

Bt 

2 3 

A B 

B 3B 

t 3B 

t 

 

4 

B 

2 

A B 

bx t 

c 

1 Bt 

2 

B t 

B 

3B 

 

 

1 Bt 

4 3 

3B 

3B 

t 

1 Bt 

B 

 

 

 

 

 

Resultantens placering målt fra nullinien kan herved bestemmes som 

3 2 

1 

 

 

 

 

 

 

 

2 

2 

6B 

t 3B 

3B 

t B



ALECTIA A/S 

y' 

N 

y' 

 

N 

c 

c 

 

 

3 

 

1 

y' 

2 

 

 

x 3 

 

3 

x 

 

1 

2 

3 

 

A B 

3 3 2 2 

2B 

1 3B 

1 6B1 

 

A B 

2 2 

B 1 2B1 

 

A B 

3 3 2 2 

2B 

1 3B 

1 6B1 

 

2B 

4 

 

1 

 

 

 

2 

 

 

1 

 

 

 

 

 

 

2B 

 

 

 

 

A B 

1 B 

2 2 

B 

3 

4 

2 

B 

3 

B 

1 

 

2B 

1 2ln 

 

1 B 

 

1 B 

6ln 

 

1 B 

 

 

 

1 B 

2ln 

 

1 B 

 

 

1 B 

6ln 

 

1 B 

 

 


 

 

For en bjælke uden forspænding eller tryknormal kræfter vil det altid være 

tilstrækkeligt at antage at 0 svarende at der altid er træk i bunden af 

bjælken. Herved kan ovenstående formelsæt reduceres til: 

y' 

 

x 

Bx 

N 

A B 

3 2 

2B 

3B 

6B 

6ln( 

1 

B) 

 

 

1 

4 

2 2B 

3 A B 

2 

 

1 

B 2B 

2ln( 

1 

B) 

3 

B 

 

c 

2 

f cd 

 

 

 

1 D A B 

2 

 

1 

B 2B 

2ln( 

1 

B) 

 

3 

2 f B 

cd 

Ved beregning af en bjælke, er den umiddelbare antagelse at tøjningen i top- 

pen af bjælken er lig betonens brudtøjning. Benyttes denne antagelse er det 

muligt at beregne ”arealet under spændingsblokken” og ”placering af trykre- 

sultanten”. Produktet af disse to bidrag svare derefter til betonens moment- 

bidrag. Disse resultater er vist i Tabel 1. 

Tabel 1 Standadt parametre for betonens spændingsblok under forudsætning af at tøjningen i 

toppen af bjælken er lig brudtøjninge. 

f ck [MPa] 12 20 30 35 40 45 50 70 90 

e c1 0 / 00 1,77 1,97 2,16 2,25 2,32 2,40 2,46 2,70 2,80 

e cu1 0 / 00 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 2,8 2,8 

N c/(Bf cdx) 0,851 0,817 0,787 0,774 0,763 0,752 0,742 0,651 0,603 

y'N c/(Bf cdx²) 0,459 0,452 0,447 0,445 0,444 0,442 0,440 0,412 0,389 

y'/x 0,540 0,554 0,569 0,575 0,582 0,587 0,593 0,633 0,645 

Den umiddelbare forventning om at tøjningen i toppen af bjælken er lig brud- 

tøjningen, er ikke altid en korrekt antagelse. Der er i nedenstående tabel op- 

timeret på brudtøjningen således at produktet af ”arealet under spændings- 

blokken” og ”placering af trykresultanten” bliver størst muligt. Generelt kan 

det ikke konkluderes at disse værdier er det mest optimale for tværsnittet, 

da armeringens placering og mængden af armering kan have væsentlig ind- 

flydelse på hvilken spændingsblok der giver den optimale bæreevne.



Tabel 2 Standart parametre for betonens spændingsblok ved en optimeret tøjning. 

ALECTIA A/S 

f ck [MPa] 12 20 30 35 40 45 50 70 90 

e c1 0 / 00 1,77 1,97 2,16 2,25 2,32 2,40 2,46 2,70 2,80 

e c 0 / 00 2,6 2,8 3,0 3,1 3,1 3,2 3,3 2,8 2,8 

N c/(Bf cdx) 0,837 0,804 0,776 0,765 0,751 0,743 0,736 0,651 0,603 

y'N c/(Bf cdx²) 0,473 0,464 0,456 0,452 0,448 0,445 0,442 0,412 0,389 

y'/x 0,565 0,577 0,587 0,591 0,597 0,599 0,601 0,633 0,645 

Disse værdier er plottet i Figur 8 sammen med værdierne fra EC2, for en rek- 

tangulær spændingsblok. Det vandrette platou er identisk med de værdier 

der benyttes i DS411. På figuren ses at der er væsentlige forskelle mellem 

spændingsblokken i DS411 og EC2. Det må ud fra nedenstående forventes at 

der findes mindre momentkapaciteter ved betonstyrker med en karakteristisk 

værdi omkring 50MPa, da både betonens ”arealbidrag” og ”momentbidrag” er 

faldet. 

0,900 

0,700 

0,500 

fcd [MPa] 

0,300 

0 20 40 60 80 100 

Figur 8 Standard parametre for betonens spændingsblok iht. EC2 og DS411. 

4.1.4 Armeringsbidrag 

EC2 - Brudtøjning: (1) 



EC2 - Opt. tøjning: (1) 



EC2 - Forsimplet: (1) 



Ved beregning af armeringsbidraget, skal der tages hensyn til krybningen. 

Det gøres ved at øge betonens tøjning med faktoren 1 

ef . Dette for ikke 

indflydelse på betonens spændingsblok, men på de samhørende arme- 

ringstøjninger og udbøjninger. 

c c 

2 

c fcd 

Tværsnittet der benyttes har et lag trykstænger med et areal A T og to lag 

trækstænger A 1 og A 2 med den geometriske placering givet ved c T , c 1 og 

c 2 . 


( 

1) 

: 

( 2) 

: 

( 3) 

: 

Nc 

Bh f 

y 

h 

c 

c 

c 

cd 

y N 

Bh



ALECTIA A/S 

½h aT 

c2 

y 

c1 

AT 

A1 

A2 

ef 

Figur 9 Bestemmelse af armeringens bidrag til den statiske ækvivalens 

0 

c 


x 

For en given værdi af den variable x og betonens tøjning i tværsnits overkant 

kan tøjningerne i træklaget T og i tryklagene 1 og 2 1 og 2 bestem- 

mes ved. 

 

 

 

T 

1 

2 

 

 

 

1 

 

ef 

1 

 

ef 

1 

 

ef 

x cT 

0 

x 

h x c1 

0 

x 

h x c 

0 

x 

2 

Flydespændingen i armeringen er givet af den mindste værdi af flydespæn- 

dingen og tøjningen gange elasticitetsmodulet. Derved er normalkræfterne i 

armeringen givet ved. 

N 

N 

N 

T 

1 

2 

x cT 

min 

x 

h 

x c 

min 

x 

h 

x c 

min 

x 

4.1.5 Statisk ækvivalens 

1 

 

1 

2 

ef 

A 

1 

 

ef 

0 

1 

 

ef 

T 

E 

sc 

A E 

0 

sc 

A E 

0 

1 

2 

Det er nu muligt at opstille ligningerne for den statiske ækvivalens, som vil 

bestemme tværsnittets bæreevne. Først opstilles projektionsligningen, der 

beskriver sammenhængen mellem tøjningen i tværsnittets top og nullinie- 

dybden x. 

: 0 T N1 

N 2 

N N 

c 

sc 

; 

h 

; 

; 

A 

M 

t 

f 

A 

ycd 

1 

A 

f 

2 

 

 

 

ycd 

f 

ycd



ALECTIA A/S 

Der er uendelig mange kombinationer af tøjning og nullinje dybde, som op- 

fylder vandrette projektion. Programmet finder den optimale løsning med 

hensyn til momentkapaciteten der kan bestemmes ved nedenstående ligning. 

M b NT 

( x cT 

) N1( 

h x c1) 

N 2 ( h x c2 

) N c y' 

4.1.6 Sammenligninger med forsøg 

Der er nedenfor udført en meget begrænset sammenligning med forsøg. For- 

søgende der er benyttet i nærværende sammenligning er illustreret i Tabel 3 

og Figur 10 

Tabel 3 - Forsøgsdata fra DEUTSCHER AUSSCHUSS FÜR STAHLBETON, Hæfte 151, af Fritz 

Leonhardt og René Walther, Berlin 1962 

Forsøg L [m] f yk[Mpa] f ck[Mpa] p [kN/m] P [kN] a [m] a 1 [m] 

9-1 5,8 474 38,2 1,47 58,9 1,89 2,02 

9-2 5,8 474 39,4 1,47 58,9 1,89 2,02 

10-1 4,7 474 36,1 1,47 50,6 2,16 0,4 

10-2 4,7 474 36,1 1,47 55,0 2,19 0,4 

Forsøg L [m] f yk[Mpa] f ck[Mpa] p [kN/m] 

17-1 6,0 474 38,9 13,7 

17-2 6,0 474 38,9 13,7 

2Ø26 

190 

320 270 

Figur 10 Tværsnit og forsøgsopstilling tilhørende Tabel 3 

Der er udført en sammenligning med momentet ved forsøg og beregnede værdier 

Iht. DS411 og EC2. Det ses at for nærværende tværsnit at de beregnede værdier 

fra EC2 er lidt mindre end dem beregnet ved DS411. 


a 

a1 

L 

p



135 

120 

105 

90 

75 

60 

45 

30 

15 

ALECTIA A/S 

0 

Mberegnet [kNm] 

DS411 

MForsøg [kNm] 

0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 


EC2 

Tabel 4 - Sammenligning af momenter ved forsøg og beregning med hhv. DS411 og EC2.



4.2 Bæreevne ved kombineret forskydning og vridning 

ALECTIA A/S 

Undersøgelsen af bjælkens forskydningsbæreevne foretages under hensynta- 

gen til vridningsbidraget. Idet forskydningskraften kan placeres excentrisk i 

forhold til bjælkens centerlinie, skal bøjlearmeringen og betontværsnittet, 

udover at optage forskydningskraften, også optage vridningsmomentet. 

4.2.1 Forskydning 

Effektivitetsfaktoren for forskydning er jf. EC2 DK NA:2007 (5.103Na) 

 

0, 

7 

f ck 

 

200 

Først bestemmes bæreevnen af bøjlerne, når bjælken er påvirket alene af 

forskydning. For bjælker med lodrette bøjler bestemmes bæreevnen som 

V 

Rd 

Asw 

z· 

f ywd ·cot( ) 

 

min 

s 

acwbwz 

1 fcd 

 

 

cot( ) tan( ) 

Bøjler 

Beton 

Hvor den øverste ligning antager flydning i bøjlearmeringen, mens den ne- 

derste ligning antager trykbrud i betonen. 

Idet bjælken ikke er påvirket af normalkræfter kan koefficienten α cw sættes 

lig 1,0, jf. EC2-1-2:2005 afsnit 6.2.3(3) NOTE 3, og ν 1 sættes lig ν. 

4.2.2 Vridning 

Effektivitetsfaktoren for vridning er jf. EC2 DK NA:2007 (5.104Na) 

f ck 

 

0, 

70, 

7 

200 

Er bøjlerne alene vridningspåvirket bestemmes bæreevnen som den mindste 

af følgende to udtryk: 

T 

Rd 

Asw 

Ak 

· f 

min 

s 

2 

· acw· 

f 

cd 

ywd 

·cot( ) 

· A · t 

k 

ef 

·sin( )·cos( ) 

Bøjler 

Beton 

Den øverste ligning forudsætter flydning i armeringen, men den nederste lig- 

ning forudsætter trykbrud i betonen. 




ALECTIA A/S 

tef 

Figur 11 Tværsnit påvirket til vridning. 

b 

h 

2( 

b h) 

( b t 

)( h t 

tef er den effektive vægtykkelse. t ef kan regnes til A/u, men bør ikke regnes 

mindre end to gange afstanden mellem betonens yderkant og længdearme- 

ringens midtpunkt. 

Det bør for bemærkes at vridningsbidraget til bøjler ikke specifikt er nævnt i 

EC2 men beregnes i programmet, samt at der er set bort fra vridningens bi- 

drag til længdearmeringen ved moment maks. Længdearmeringen behandles 

for forankring som beskrevet i næste afsnit. 

4.2.3 Kombineret vridning og forskydning 

Når bjælken påvirkes af kombineret forskydning og vridning, skal det eftervi- 

ses, at nedenstående udtryk er opfyldt. Som det fremgår, kan vridningsmo- 

mentet udtrykkes ved forskydningskraften. Således kan forskydningskraften 

isoleres og forskydningsbæreevnen bestemmes. Nedenstående beregning 


A 

u 

A 

k 

 

 

 

b· 

h 

gennemføres både for flydning i armering og for trykbrud i betonen. 

T 

V 

V 

V 

T 

Ed 

Rd , c 

Ed 

Ed 

Ed 

 

 

 

 

V 

 

V 

e 

T 

Rd , c 

Ed 

Rd , c 

Rd , c 

1, 

0 

1 

 

V 

Rd , c 

e· 

VRd 

, c TRd 

, c 

 

 

 

TRd 

, c· 

VRd 

, c TRd 

, c · V 

TRd 

, c · VRd 

, c 

 

V · e T 

Rd , c 

, 

 

1, 

0 

 

 

T 

Rd , c 

Ed 

V 

Ed 

 

 

 

1, 

0 

 

· e 

 

ef 

ef 

)



4.3 Beregning af forankringskraft 

ALECTIA A/S 

Forankringskraften bestemmes for henholdsvis forskydning og vridning, hvor 

efter de kombineres. Første behandles forankringskraften for forskydning, 

hvorefter denne del af beregning benyttes til bestemmelse af virdningskraf- 

ten. 

Programmet benytter altid den maksimale reaktion fra den regningsmæssige 

last, når forankringskraften beregnes. Derfor beskriver beregningerne fra for- 

skydningsberegningen ikke nødvendigvis bjælkens bæreevne. 

4.3.1 Forankringskraft ved ren forskydning 

V 

Na 

z·cot() 

Figur 12 Forankringskraft ved ren forskydning. 

q 

Fc 

Forankringskraften ved forskydning bestemmes ved at betragte Figur 12. Un- 

derforudsætning af at der er tilstrækkelig med bøjler til at den resulterende 

kraft angriber ½· z ·cot( ) fra vederlaget kan forankringskraften bestemmes 

som. 

N aF 

½· z·cot( 

) 

V ½· V ·cot( ) 

z 

4.3.2 Forankring ved ren vridning 

Ved vridningsoptagelse er det antaget at tværsnittet virker som et tyndfliget 


z 

tværsnit som vist på Figur 13. For at kunne bestemme forankringskraften skal 

det først bestemmes hvorledes vridningen fordeler sig på tværsnittene. Den 

samlede vridning som funktion af forskydningsspændingerne kan be- 

stemmes som. 

T 

VL 

( b t) 

VV 

( h t) 

 

· t·( 

h t)( 

b t) 

 

· t·( 

b t)( 

h t) 

2t( 

h t)( 

b t)



ALECTIA A/S 

 

tef 

Figur 13 Tværsnit påvirket til vridning. 

 

 

b 

 

Dette er ensbetydende med 

 

T 

2t( h tef 

)( b tef 

) 

h 


NaL 

NaV 

NaV 

NaL 

Forskydningskraften i hver af de fire skiver kan nu bestemmes som. 

V 

V 

L 

V 

 

2t 

 

2t 

ef 

ef 

T 

( h t )( b t 

ef 

T 

( h t )( b t 

ef 

ef 

ef 

· t·( 

h t 

) 

· t 

) 

ef 

ef 

·( b t 

T 

) 

2( 

b t 

ef 

ef 

T 

) 

2( 

h t 

Forankringskraften i de fire hjørner kan nu bestemmes på samme måde som 

vist på Figur 12, hvor z udskiftes med hhv. (b-t) og (h-t). Herefter kan foran- 

kringskraften i hjørnerne bestemmes som. 

N 

N 

aL 

aV 

T 

 

4( 

b t 

ef 

T 

 

4( 

h t 

ef 

·cot( ) 

) 

·cot( ) 

) 

4.3.3 Kombineret forankring 

Der forankring der opgives i programmet er givet som forankringen i bunden 

af bjælken. Forankringskraften er principielt N a N aF N aL N aV . På den 

sikre side i programmet bestemmes kraften som vist nedenfor, således at 

forankringskraften kan deles i to og fordeles mellem de to hjørner. 

a 

aF 

N N 

N 

N 2·max 

; 

aL 

aV 

) 

ef 

)



4.4 Beregning af stivhed 

ALECTIA A/S 

Ved beregning af stivhed skelnes mellem fire forskellige tilfælde. De forskelli- 

ge tilfælde er vist i nedenstående tabel. I de to følgende afsnit beskrives kort 

hvordan stivheden beregnes af et urevnet og revnet tværsnit med krybning. 

Såfremt der regnes uden krybning gælder de samme metoder, hvis krybetal- 

let sættes til nul. Fælles for de to metoder er at der benyttes en lineærela- 

stisk model. 

I ovenstående beregninger sættes poisons forhold til 0, selvom der i afsnit 

3.1.3 (4) er beskrevet at det kan variere mellem 0,2 og 0 for henholdsvis 

urevnet og revnet tværsnit. 

Tabel 5 DS/EN 1990:2007 - Tabel A1.4 

Urevnet tværsnit Revnet tværsnit 

Korttid (Ingen krybning) 

EIK,U EIK,R Langtid (Med krybning) EIL,U EIL,R 4.4.1 Bidrag fra krybning 

I forbindelse med den lineærelastiske model medtages krybning ved at bru- 

geren af beregner en værdi af , som er forholdet mellem armeringens ela- 

sticitetsmodul og betonens elasticitetsmodul. Grunden til at dette er den 

mest rationelle måde at behandle anvendelsesstadiet, er at den udbøjning, 

revnevidde man ofte ønsker at beregne i anvendelsesstadiet er for en kombi- 

nation af korttids og langtidslast. I den forbindelse er det langtidslasten der 

give anledning til krybning. 

Krybning behandles i EC2 afsnit 3.1.4. I noten til punkt 2 gives der mulighed 

for at benytte anneks B. Denne mulighed benyttes i programmet. Her be- 

stemmes det teoretiske krybetal ved. 

0 RH · ( f cm )· ( t0 

) 

EC2 B.2 

Her bestemmes faktorer, der tager højde for den relative fugtighed, ved 

1 

RH / 100% 

 

1 

 

 

3 

 

0, 

1· 

h0 

 

1 

RH / 100% 

 

1 

 

· 1· 

 

0, 

1· 

3 

 

h0 

 

RH 

for f cm 35MPa 

EC2 B.3a 

 

RH 2 for f cm 35MPa 

EC2 B.3b 

Hvor 

7 , 0 

/ f 

2 , 0 

/ f 

1 

35 cm 

2 35 cm 

EC2 B.8c 




ALECTIA A/S 

h Ac 

b / 2 

0 


og faktoren der tager hensyn til betonstyrken som 

( f cm ) 16, 

8 / f cm 


mens den tidsafhængie faktor bestemmes som. Det skal i den forbindelse 

bemærkes at det i programmet altid er valg en cementtype N, hvilket medfører 

at 0 . 

 

 

9 

 

 

t 0 t0, 

T · 1 

t 

1, 

2 

0, 

T 

2 t 

0, 

T 

 

1 

 

 


( t0 

) 


0, 

20 

0, 

1 

t0 

4.4.2 Beregning af urevnet stivhed 

Beregningen af stivheden i det urevnede tværsnit beskrives kort nedenfor. I 

tabellen svar i til indekser, hvor T står for stålet i trykzonen, 1 det første lag 

trækarmering, 2 det andet lag trækarmering og B betonen. Resultaterne er 

Inertimomentet I for tværsnittet og stålets statiske moment om tyngdepunk- 

tet. 

 

E 

i 

T 

1 

2 

B 

y 

* 

EI 

A 

A 

A 

b· 

h 

A 

* 

Ai 

y 

* 

A 

U 

i 

cm 

E 

Es 

/( 1 

) 

* 2 

A [ mm ] 

T 

1 

2 

* 

i 

i 

cm 

i 

y [ mm] 

c ½h 

t 

i 

½h 

c 

½h 

c 

0 

/( 1 

)· I 

1 

2 

* 3 

A y [ mm ] 

i 

i 

* 

T yT 

* 

1 y1 

* 

2 y2 

* 

B yB 

* 

i yi 

A 

A 

A 

A 

A 

* 

* 

A ·( y y ) 

* 

A · y 


T 

4 

I [ mm ] 

i 

* 

* 

A ·( y y ) 

bh 

T 

* 

* 

A ·( y y ) 

1 

12 

1 

2 

1 

2 

3 

I 

i 

B 

2 

2 

2 

* 2 

3 

S [ mm ] 

* 

* 

A ·( y y ) 

T 

i 

T 

* 

* 

A ·( y y ) 

1 

* 

* 

A ·( y y ) 

Afsluttende beregnes det kritiske moment, der er momentet der medfører 

den første revne. Til beregningen af momentet benyttes f ctm som den spæn- 

ding i undersiden af bjælken der giver anledning til den første revne. 

2 

1 

2 

S 

i



M 

cr 

ALECTIA A/S 

I· 

f ctm 

 

h / 2 y 

4.4.3 Beregning af revnet stivhed 

* 

Beregningen af stivheden i det revnede tværsnit beskrives kort nedenfor. I 

tabellen svar i til indekser, hvor T står for stålet i trykzonen, 1 det første lag 

trækarmering, 2 det andet lag trækarmering og B betonen. Resultaterne er 

transformerede inertimomentet I for tværsnittet og stålets transformerede 

statiske moment om tyngdepunktet. Som indgang i tabellen skal y' kendes, 

* * 

men den kan beregnes ved at løse følgende ligning y A 

y / A 

. 

 

E 

i 

T 

1 

2 

B 

* 

Ai 

y 

y' 

* 

A 

EI 

U 

i 

cm 

A 

A 

A 

b· 

y' 

A 

i 

E 

E 

T 

* 

i 

i 

cm 

s 

/( 1 

) 

* 2 

A [ mm ] 

1 

2 

y [ mm] 

i 

c 

t 

h c 

h c 

½ y' 

/( 1 

)· I 

1 

2 

* 3 

A y [ mm ] 

i 

i 

* 

T 

* 

1 

* 

2 

A 

A 

A 

½b( 

y') 

A 

y 

y 

y 

* 

i 

T 

1 

2 

2 

4.4.4 Beregning af stivhed incl. tension stiffening 

y 

i 

4 

I [ mm ] 

* 

A ·( y 

* 

A ·( y y') 

* 

A ·( y y') 

b( 

y') 

' i i i 


1 

12 

T 

1 

2 

i 

T 

1 

2 

3 

 

I 

y') 

i 

1 

4 

2 

2 

2 

b( 

y') 

3 

3 

S [ mm ] 

* 

A ·( y 

T 

i 

T 

* 

A ·( y 

1 

T 

* 

A ·( y 

Tensionstiffning er beskrevet i EC2 afsnit 7.4.2 pkt (3), hvor der står at for 

konstruktioner hvor spændingstilstanden bevirker at konstruktionselementet 

er et sted mellem fuldt revnet og urevnet, da kan udbøjningen bestemmes ud 

fra formel 7.18 

u u 1 

hvor 

revnet 

uurevnet er fordelingskoefficient, der tager hensyn til tension stiffening og 

 

1 

 

 

 

den bestemmes ved 

 

 

 

 

2 

sr 

(7.19) 

s 

2 

T 

S 

y') 

y') 

y') 

i



ALECTIA A/S 

For urevnet tværsnit er =0, hvilket vil sige at der ikke er en kontinuert 

overgang mellem revnet og urevnet for = 0,5. 

er en koefficient der tager hensyn til lastvarigheden. For vægge og 

søjler, hvor en stor andel af lasten som regel er egenvægt, skal 

sættes til 0,5, hvilket altid benyttes i programmet. 

s er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse om 

at tværsnittet er fuldt revnet. 

sr er spændingen i trækarmeringen beregnet ud fra en antagelse af 

urevnet tværsnit, men påvirket af den last der netop forsager den 

første revne. Dette betyder at sr bestemmes ved at bestemme 

den spænding trækarmeringen der skal til at fremkalde spændingen 

f ctm i den nederste betonfiber. 

u R er udbøjningen bestemt ud fra det revnede tværsnit. 

u U er udbøjningen bestemt ud fra det urevnede tværsnit. 

For ren bøjning kan ovenstående formel simplificeres til 

1 1 

 

EI EI 

Hvor 

R 

1 

1 

EI 

EI R er det revnede stivhed. 

EI U er det urevnede stivhed. 

U 

Det er vigtig at gøre sig klart, at ved at medtage tension stiffening i bereg- 

ning af udbøjning, da vil de beregnede udbøjninger og spændinger ikke angi- 

ve en statisk ækvivalent løsning. Programmet opgiver spændingerne svarer 

til tværsnit med revner. 




4.5 Svind 

4.5.1 Svindtøjning 

ALECTIA A/S 

Svind behandles i EC2 afsnit 3.1.4. I punkt 6 forklares at den totale svindtøj- 

ning bestemmes som summen af udtørringssvind og autogent svind. 

Autogent svind 

Det tidsafhængige autogente svind findes ved følgende formel. 

ca ( t) as ( t)· 

ca ( ) 

EC2 3.12 

Den tidsafhængige faktor der benyttes til at bestemme det autogente svind 

er as (t) 

. Formlen er som vist nedenfor. 

0, 

2· 

t 

( t) 

1 

exp 


as 

På den sikre side sættes as (t) 

for det autogente svind til 1, svarende til at 

tiden går i mod uendelig. Den tidsafhængige variation af as (t) 

er vist i Figur 

14. På figuren ses at det allerede efter et år er en god tilnærmelse at antage 

at as ( t) 

1 . 

bas(t)=eca(t) / eca(∞) 

1,2 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0 100 200 300 400 500 600 700 

t [døgn] 

Figur 14 Tøjning fra autogent svin som funktion af tiden. 

Baseret på nedenstående formel kan det autogente svind for tiden uendelig 

beregnes. 

6 

ca ( ) 2, 

5·( 

f ck 10)· 

10 





Udtørrings svind 

ALECTIA A/S 

Udtørringssvindet er afhængigt af tre parametre, der beskriver henholdsvis 

tiden, tværsnittet og betonen. Faktoren der beskriver tværsnittes bestem- 

mes nedenfor. 

h 

2A 

c 

0 (3.10) 

b 

k h bestemmes ved iteration i tabel 3.3 

h 0 100 200 300 500 

k h 1 0,85 0,75 0,7 

(Tabel 3.3) 

Den eneste tidsafhængige faktor der benyttes til at bestemme udtørringssvindet 

er ds (t) 

. 

ds 

( t t s ) 

( t, 

t s ) 

( t t ) 0, 

04 h 

(3.10) 

s 

3 

0 

På den sikre side sættes ds (t) 

til en, i det det forudsættes at betonens alder 

på det betragtede tidspunkt t er meget større end t s som er betonens 

alder ved begyndelse af udtørringssvindet. Den tidsafhængige faktor er vist 

på Figur 15 for forskellige teoretiske højder af tværsnittet h 0 . Det ses at 

denne antagelse er god for almindelige husbygningskonstruktioner, hvor 0 

svare til tykkelse på en væg eller en dæk konstruktion og halvdelen af bred- 

den for et kvadratisk tværsnit. 

bds(t) 

1,2 

1,0 

0,8 

0,6 

0,4 

0,2 

0,0 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 


t [år] 

Figur 15 Den tidsafhængige faktor for udtørringssvind som funktion af h0. 

100 

200 

500 

1000 

h



ALECTIA A/S 

Tøjningen cd , 0 bestemmes ifølge noten i afsnit 3.1.4(6) bestemmes iht. anneks 

B. For Cementklasse N er 1 4 ds og 2 0, 

12 ds 

3 

RH 

1, 

551 

 

 

100% 

 

RH 

(B.12) 

 

, 85( 

220 110· 

 

 

 

)·exp 

 

 

f cm 

 

10MPa 

 

 

cd , 0 0 ds1 

ds2 

(B.11) 

cd ( t) ds ( t, 

t s ) k h· 

cd 

Det totale svind 

(3.9) 

, 0 

Det totale svind tøjning bestemmes nu som summen af henholdsvis det au- 

togente svin og svindet fra udtørring. 

( ) ( t) 

 

( t) 

cs t cd ca 

4.5.2 Svinddeformation 

I EC2 afsnit 7.4.3 (6) beskrives hvorledes svind bidrager til udbøjningen. Må- 

den hvorved svind medtages er ved at søjlen eller vægge får et udbøjningstil- 

læg for svind, som beregnes ved 

1 

us · 

8 

cs 

S 

I 

L 

2 

s 

u s er udbøjningstillægget fra svind 

cs er den frie svindtøjning, der bestemmes iht. afsnit 3.1.4 i EC2 

S er det transformerede statiske moment af armeringen om tværsnit- 

tets tyngdepunkt 

I er tværsnittets transformerede inertimoment for henholdsvis revnet 

og urevnet stadiet 

I tilfælde af at der er tale om et assymetrisk armeret tværsnit, hvor spæn- 

dingstilstanden i tværsnittet bevirker at tværsnittet er et sted mellem urevnet 

og fuldt revnet bestemmes u s som 

u 

s 

1 S L, 

R S 

· 

 

sc 

8 

 

I L, 

R I 

L, 

U 2 

1 L 

L, 

U 

 

 

 


s




ALECTIA A/S 

Revnevidder bestemmes iht. afsnit 7.3.4. Revnevidderne bestemmes ud fra 

en antagelse om at tværsnittet er fuldt revnet. Dette betyder at de beregne- 

de udbøjninger og revnevidder ikke svarer til den samme spændingstilstand. 

Den maksimale revnevidde bestemmes ud fra EC2’s formel (7.8): 

k sr, 

maks 

 

w 

sm 

cm 

s r, 

maks er den maksimale revneafstand 

sm er middeltøjningen i armeringen under den relevante lastkombinati- 

on, inklusiv virkningen af tvangsdeformationer og under hensynta- 

gen til virkningen fra tension stiffening. 

cm er middeltøjningen i betonen mellem revnerne 

Forskellen mellem sm og cm kan beregnes som 

 

 

f ctm s kt 

1 e p, 

eff 

p, 

eff 

s 

sm cm 

0, 

6 

E 

E 

s 

s er spændingen i trækarmeringen under antagelse af revnet tværsnit 

e Es/Ecm p, eff 

h c, 

eff 

er armeringsforholdet bestemt som A s /( b· 

hc,eff 

) 

min2 , 5( 

h d eq ) ; ( h x) 

/ 3 ; h / 2 

k t 0,4 for langtidsbelastning og 0,6 for korttidsbelastning 

Den maksimale revneafstand beregnes som 

s 

r, 

maks 

k c k k k 

3 

1 

2 

4 

 

ø 

eq 

p, 

eff 

1, 

3·( 

h x) 

k 1 0,8 (for armering med stor vedhæftning) 

k 2 0,5 (for bøjning) 

k 3 3,4 

k 4 0,425 

c Er dæklaget over længdearmeringen 

ø eq Er den ækvivalente armeringsdiameter for armeringen i trækzonen 

2 2 

øeq n1 ø1 

n2ø 

2 / n1ø1 n2ø 

2 

h Tværsnittets højde 

x Afstanden for toppen af tværsnittet til nullinjen 


s



5 Beregningseksempel - Kold tilstand 

ALECTIA A/S 

I nærværende eksempel foretages en beregning af en betonbjælke med et 

tværsnit som vist på Figur 17. Bjælken er simpelt understøttet med et spænd 

på 10,0m. bjælken er belastet af en jævnt fordelt fladelast som er nærmere 

beskrevet i afsnit 5.1 Belastning. Betonen der benyttes er en beton 40, og 

længdearmeringen har en brudstyrke på 550MPa mens bøjlernes flydestyrke 

er 410MPa. Bjælken er placeret i passivt miljø. 

A 

x 

Figur 16 Statiske system, samt belastning 

40 60 60 40 

Figur 17 Søjletværsnit og dimension 

L 

35 

465 

60 

40 


2Y16 

Y8 pr. 200 

2Y14 

3Y20 

p d 

B 

z 

h 

e 

x 

b 

y



5.1 Belastning 

ALECTIA A/S 

Ind på bjælkens ene side spænder der et huldæk med en egenlast inkl. lette 

vægge og installationer på 3,4 kN/m 2 . Huldækket spænder 5 m. 

Egenlast huldæk inkl. lette vægge og installationer 3,4 kN/m 2 

Nyttelast (last for kontor og let erhverv) 3,0 kN/m 2 

Egenlast af bjælke: 240,60,2 = 2,9 kN/m 

I brudgrænsetilstanden er lasten den maksimale af værdierne beregnet i 

Tabel 7. Ud over tallene i tabellen skal det supplerende oplyses et den resulte- 

rende last i brudgrænsetilstanden har en excentricitet på 50mm. 

Tabel 6 Brudgrænse - EN 1990 DK NA:2007 - tabel A1.2(B) 

Regningsmæssig last (6.10a) 

(1,0·1,2·3,4)·2,5+1,0·1,2·2,9 13,7 kN/m 

Regningsmæssig last (6.10b) 

(1,0·1,0·1,0·3,4+1,0·1,5·3)·2,5+1,0·1,0·2,9 22,7 kN/m 

Den regningsmæssige last beregnes i henhold til Tabel 7 og Tabel 8, og resul- 

taterne er vist i Tabel 9. 

Tabel 7 EN 1990 DK NA:2007 - tabel A1.1 

y0 y1 y2 Nyttelast 

Kategori A: arealer til boligformål 0,5 0,3 0,2 

Tabel 8 DS/EN 1990:2007 - Tabel A1.4 

Kombination 

Permanente laster Gd Variable laster Qd Ugunstig Gunstig Dominerende Ikkedominerende 

Karakteristisk Gkj,sup Gkj,inf Qk,1 y0,iQk,i Hyppig G kj,sup G kj,inf y 1,1Q k,1 y 2,iQ k,i 

Kvasiper - 

manent 

G kj,sup G kj,inf y 2,1Q k,1 y 2,iQ k,i 

Tabel 9 Anvendelsesgrænse - DS/EN 1990:2007 - Tabel A1.4 

Karakteristisk last: (korttid) (3,4+1,0·3)×2,5+2,9 = 18,9 kN/m 

Hyppig last: (3,4+0,3·3)×2,5+2,9 = 13,7 kN/m 

Kvasipermanent last: (Langtid) (3,4+0,2·3)×2,5+2,9 = 12,9 kN/m 




ALECTIA A/S 


5.2 Materialer 

5.2.1 Beton 

MPa 

f 

E 

MPa 

MPa 

f 

for 

f 

MPa 

f 

for 

f 

f 

MPa 

MPa 

f 

f 

MPa 

MPa 

f 

f 

MPa 

f 

cm 

cm 

ck 

cm 

ck 

ck 

ctm 

ck 

cm 

c 

ck 

cc 

cd 

ck 

35220 

) 

10 

/ 

( 

22 

51 

, 

3 

50 

)) 

10 

/ 

( 

1 

·ln( 

212 

50 

· 

30 

, 

0 

48 

8 

6 

, 

28 

4 

, 

1 

/ 

40 

· 

1 

/ 

· 

40 

3 

, 

0 

) 

3 

/ 

2 

( 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2.2 Længdearmering 

MPa 

E 

E 

MPa 

MPa 

f 

f 

MPa 

f 

sk 

sd 

c 

y 

yd 

y 

200000 

458 

2 

, 

1 

/ 

550 

/ 

550 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.2.3 Bøjlearmering 

MPa 

E 

E 

MPa 

MPa 

f 

f 

MPa 

f 

sk 

sd 

c 

yw 

ywd 

yw 

200000 

342 

2 

, 

1 

/ 

410 

/ 

410



5.3 Minimumsarmering 


ALECTIA A/S 

Ved krav til længdearmering tjekkes både den maksimale og minimale arme- 

ring op i mod den aktuelle armering i trækzonen, som er: 

A s 

 

 

 

4 

4 

2 

2 

2 

3 ·( 20mm) 

2 ·( 14mm) 

300 

98 1250mm 

Den maksimale armering i trækzonen er givet ved 

2 

As, MAX 0, 04Ac 

0, 

04· 

200mm· 

600mm 

4800mm 

¨ 

Ved beregning af minimumsarmering skal første den ækvivalente effektive 

højde bestemmes, hvor efter minimumsarmeringen kan bestemmes. 

d eq 

A 

ø1· 

A1 

ø2 

· A2 

 

A A 

s, 

min 

 

 

1 

2 

560mm· 

300 

500· 

98 

 

545mm 

300 

98 

f ctm 

0, 

26· 

bt 

· d 

maks 

f yk 

 

0, 

0013· 

bt 

· d 

2 

181mm 

 

 

3, 

51 

0, 

26· 

200· 

545 

458 

0, 

0013· 

200· 

545 

Det ses nedenfor at kontrollen af længdearmering er i orden 

As, min As 

As, 

max 

2 

181mm 

2 

1250mm 

 

2 

4800mm 

5.3.2 Bøjlearmereing 

Det aktuelle armeringsforhold for bøjler er givet ved 

 

 

2 

2 ( 8mm) 

Aaw 4 

32 

 

0, 

00201 

s· 

b·sin( 

) 250mm· 

200mm· 

1 50000 

2 

181mm 

 

 

2 

142mm 

 

 


 

 

(9.1N) 

W (9.4) 

Mimimumsarmeringen er ifølge det nationale anneks givet ved 

0, 

063 / f 0, 

063 40MPa 

/ 410MPa 

0, 

000971 (9.5N) 

w, 

min 

f ck yk 

Det ses at bøjlearmeringen opfylder minimumskravet.



5.4 Afstandskrav for armering 

5.4.1 Dæklag 

ALECTIA A/S 

Dæklaget kontrolleres ikke af programmet og skal altid kontrolleres af bruge- 

ren. 

Først bestemmes minimumsdæklaget cmin Iht. 4.4.1.2. Det er som bereg- 

ningsforudsætninger antaget passiv miljøklasse. 

cmin, 

b 

 

cmin cmin, 

cdur, 

dur 

, st cdur, 

add 

 

10mm 

10mm 

 

 

10mm 

0 0 0 

10mm 

10mm 

 

 

Det nominelle dæklag bestemmes Iht. 4.4.1.1, og da der i beregningsforudsætningerne 

er antaget normal kontrolklasse er cdev 

= 5mm. 

cnom cmin 

cdev 

10mm 

5mm 

15mm 

Afstanden fra bjælkens overflade til bøjlerne er: 

bund : 

top : 

40 

20 / 2 

8 

35 16 

/ 2 8 

 

22mm 

19mm 

I begge tilfælde er dæklagstykkelsen tilstrækkelig. 

 

40 60 60 40 

Figur 18 bjælketværsnit med placering af armering 

35 

465 

60 

40 





ALECTIA A/S 

Afstanden mellem længdearmeringen, kontrolleres ikke af programmet og 

skal altid kontrolleres af brugeren. 

Det mindste krav for afstanden mellem to armeringsstænger bestemmes Iht. 

8.2. Her antages at stenstørrelsen d g er 32mm. hvorefter det findes, at den 

mindste afstand mellem to armeringsstænger er 37mm. 

ø 

 

mind g 5mm 

37mm 

20mm 

 

 

Den mindste vandrette afstand mellem armeringsstængerne er 40mm, mens 

den mindste lodrette afstand er 43mm. Det ses således at kravet er over- 

holdt. 

5.4.3 Bøjlearmering 

I beregningseksemplet er afstanden mellem bøjlerne valgt til 250mm, og den 

maksimale tilladte afstand mellem bøjlerne er 409mm som beregnet neden- 

for. Kravet er således opfyldt. 

S I , max 

0, 

75d( 

1 

cot( 

)) 0, 

75· 

545mm·( 

1 

0) 

409mm 




5.5 Beregning af moment kapacitet 

ALECTIA A/S 

Som beskrevet i afsnit 4.1 Bæreevne ved bøjning, er det umiddelbart et godt 

estimat at gætte på at tøjningen i toppen af tværsnittet er lig brudtøningen. 

Herved kan værdierne for den ækvivalente spændingsblok for betonen direk- 

te hentes fra Tabel 1. 

5.5.1 Vandret ligevægt 

Ved vandret ligevægt gættes på at tøjningen i trykarmeringen er 2 , 163 0 

00 . 

Herved findes følgende normalkræfter i armeringen. 

N 

N 

N 

T 

1 

2 

 

 

 

 

T 

A 

A 

1 

2 

A 

f 

f 

T 

yd 

yd 

E 

sc 

 

 

 

2, 

163 

2stk· 

3stk· 

0 

00 

 

4 

 

4 

· 2stk· 

2 

·( 16mm) 

· 200000MPa 

2 

·( 14mm) 

· 458MPa 

2 

·( 20mm) 

· 458MPa 

173, 

9kN 

141, 

1kN 

432, 

0kN 


 

4 

Betonbidraget kan opskrives som følger 

N c N c 

· b· 

fcd 

· x 0, 

763· 

200mm· 

28, 

6MPa· 

x 

b· 

fcd 

· x 

 

 

Ved at opstille ligevægten kan x findes. 

173, 

9kN 

141, 

1kN 

432, 

0kN 

x 

91, 

6mm 

0, 

763· 

200mm· 

28, 

6MPa 

5.5.2 Kontrol af tøjning 

 

 

 

T 

1 

2 

 

 

x cT 

0 

x 

91, 

6 35 

3, 

5 0 

00 

91, 

6 

 

 

x h cT 

0 

x 

91, 

6 600 100 

3, 

5 0 

00 

91, 

6 

 

 

x h cT 

0 

x 

91, 

6 600 40 

3, 

5 0 

00 

91, 

6 

 

 

 

2, 

163 

0 

00 

15, 

60 

17, 

90 

0 

00 

0 

00 

 

 

 

2, 

163 

 

 

 

0 

00 

458 

2, 

29 

200000 

458 

2, 

29 

200000 

Det ses af ovenstående, at gættet på tøjningen i armeringen er korrekt, samt 

at antagelsen om flydning i trækarmeringen ligeledes er korrekt. 

5.5.3 Brudmoment 

Brudmomentet kan nu bestemmes Iht. afsnit 4.1.5 Statisk ækvivalens 

0 

00 

0 

00



ALECTIA A/S 

M b NT 

( x cT 

) N1( 

x h c1) 

N 2 ( x h c2 

) N c y' 

173, 

9( 

91, 

6 35) 

141, 

1( 

91, 

6 600 100) 

432, 

0( 

91, 

6 600 40 ) 

9, 

8kNm 

57, 

6kNm 

202, 

3kNm 

21, 

3kNm 

291, 

1kNm 

0, 

444· 

200mm· 

28, 

6MPa·( 

91, 

6mm) 

På Figur 19 er momentet vist som funktion af tøningen. I dette tilfælde findes 

den maksimale moment når tøjningen er lig brudtøjningen, mens der i andre 

tilfælde kan findes større moment for en tøjning der er mindre end brudtøj- 

ningen 

350,0 

300,0 

250,0 

200,0 

150,0 

100,0 

50,0 

M [kNm] 

0,0 

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 

Figur 19 - Beregnet moment som funktion af tøjningen i oversiden af bjælken 

5.5.4 Meoment belastning 

1 2 1 

2 

M pL · 22, 

7kN 

/ m·( 

10m) 

283, 

8kNm 

291, 

1kNm 

8 8 

Det ses heraf at momentkapaciteten er tilstrækkelig. 


2 

2 

e [ 0 /00] 

OK



5.6 Kombineret forskydning og vridning 

ALECTIA A/S 

hældningen på det skrå betontryk vælges til cot( ) 2 og excentriciteten er 

i henhold til afsnit 5.1 Belastning 50mm. 

5.6.1 Forskydning 

Den indre momentarm og effektivitetsfaktoren bestemmes ved 

y' 

 

z d eq 1 

· 

x 545mm 

( 1 

0, 

582)· 

91, 

6mm 

506, 

9mm 

x 

40 

0, 7 0, 

50 

200 

(5.103Na) 

hvorefter den regningsmæssige forskydningsbæreevne kan bestemmes ved 

V Rd 

5.6.2 Vridning 

2 

 

2 

4 ( 8mm) 

506, 

9mm· 

342MPa· 

2 

min 

250mm 

 

1· 

200mm· 

506, 

9mm· 

0, 

5· 

28, 

6MPa 

 

2 ½ 


 

 

139, 

3kN 

579, 

3kN 

Effektivitetsfaktoren og den effektive tykkelse bestemmes ved 

40 

0, 70, 

7 0, 

35 

200 

Bøjler 

Beton 

(5.104Na) 

t 

t 

t 

t 

ef 

ef 

ef 

ef 

 

 

 

 

2· 

40mm 

A 600mm· 

200mm 

 

U 2( 

600mm 

200mm) 

b / 2 200mm 

/ 2 

h / 2 600mm 

/ 2 

 

 

 

 

80mm 

75mm 

100mm 

600mm 

Programmet benytter altid den maksimale tef som er 80mm. 

hefefter kan den regningsmæssige vridningsbæreevne kan bestemmes ved 

A k 

T Rd 

( 200mm 

80mm)( 

600mm 

80mm) 

62400mm 

2 

2 

4 ( 8mm) 

2 

 

62400mm 

· 342MPa· 

2 

250mm 

min 

2 

2· 

0, 

351· 

· 28, 

6MPa· 

62400mm 

· 80mm 

 

1 

1 

1 

 

sin(cot ( 2))·cos(cot 

( 2)) 

 

 

 

2 

17, 

15kNm 

39, 

94kN 

Bøjler 

Beton



5.6.3 Kombineret vridning og forskydning 

V 

V 

Ed 

Ed 

ALECTIA A/S 

 

 

VRd 

V 

V 

V 

Rd , c 

, c 

Rd , c 

· T 

· e T 

· T 

Rd , c 

Rd , c 

Rd , c 

· e T 

Rd , c 

Rd , c 

 

 

139, 

3· 

17, 

15 

139, 

3· 

0, 

050 

579, 

3· 

39, 

94 

579, 

3· 

0, 

050 

5.6.4 Forskydnings/vridnings belastning 

17, 

15 

39, 

94 

99, 

1kN 

335, 

8kN 

Først undersøges betontrykket som skal undersøges ved vederlaget. 

1 1 

V pL · 22, 

7kN 

/ m· 

10m 

113, 

5kN 

335, 

8kN 

2 2 

Bøjler 

Beton 

Dernæst undersøges forskydningskraften i bøjlerne. Her kan forskydningskraften 

z·cot( ) fra vederlaget benyttes til at eftervise bæreevnen. 

L 

V p 

z·cot( 

) 

2 

10m 

 

· 

22, 

7kN 

/ m 

506, 

9mm· 

2 

90, 

4kN 

2 

 

5.7 Forankringskraft 


 

 

 

 

 

OK 

99, 

1kN 

Forankringskraften bestemmes iht. 4.3 Beregning af forankringskraft. 

5.7.1 Forankringskraft ved ren forskydning 

N aF 

½· V·cot( 

) ½· 113, 

5kN· 

2 113, 

5kN 

5.7.2 Forankring ved ren vridning 

N 

N 

aL 

aV 

T 

 

4( 

b t 

ef 

T 

 

4( 

b t 

5.7.3 Kombineret forankring 

ef 

113, 

5kN· 

50mm 

·cot( ) 

· 2 23, 

6kN 

) 4( 

200mm 

80mm) 

113, 

5kN· 

50mm 

·cot( ) 

· 2 5, 

5kN 

) 4( 

600mm 

80mm) 

OK 

N ; N 113, 

5kN 

2·max23, 

6kN; 

5, 

5kN 

160, 

8kN 

N a 

N aF 2·max aL aV



5.8 Teoretiske krybetal 

ALECTIA A/S 

Krybning behandles i EC2 afsnit 3.1.4. I noten til punkt 2 gives der mulighed 

for at benytte anneks B. Denne mulighed benyttes i programmet. 

0, 

7 

0, 

7 

35 35 

1 

 

0, 

802 


48 

f cm 

0, 

2 

0, 

2 

35 35 

2 

 

0, 

939 


48 

f cm 

h 

 

2A 

b 

2· 

600mm· 

200mm 

 

150mm 

2· 

600mm 

2· 

200mm 

c 

0 EC2 B.6 

RH 

1 

RH / 100% 

 

1 

 

· 1· 

2 

0, 

1· 

3 

 

h0 

 

1 

RH / 100% 

 

1 

 

· 0, 

802· 

0, 

939 1, 

58 

0, 

1· 

3 

 

h0 

 

16, 

8 16, 

8 

( f cm ) 2, 

42 

f 40 

cm 

for f cm 35MPa 

EC2 B.3b 


Der er i programmet valg en cementtype N hvilket medfører at 0 . 

t 

0 

t 

0, 

T 

9 

· 

 

2 t0, 

1, 

2 

T 

 

 

1 

 

 

9 

28døgn· 

 

 

2 28døgn 

 

1 

 

 

28 


1, 

2 

1 


1 

1 

( t0 

) 

0, 

49 


0, 

20 

0, 

20 

0, 

1 

t 0, 

1 

28døgn 

0 

( )· ( t ) 1, 

58· 

2, 

42· 

0, 

49 1, 

87 


0 

RH · f cm 0



ALECTIA A/S 


5.9 Beregning af stivhed 

5.9.1 Beregning af urevnet stivhed 

Først beregnes den urevnede stivhed Iht. afsnit 4.4.2 Beregning af urevnet 

stivhed. I beregningerne skelnes mellem stivheden for korttid og langtid. 

kNm 

mm 

mm 

MPa 

mm 

y 

h 

f 

I 

M 

kNm 

mm 

MPa 

I 

E 

EI 

mm 

A 

y 

A 

y 

B 

T 

mm 

S 

mm 

I 

mm 

y 

A 

mm 

y 

mm 

A 

i 

MPa 

MPa 

E 

E 

ctm 

cr 

cm 

U 

K 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

cm 

s 

4 

, 

50 

8 

, 

8 

2 

/ 

600 

51 

, 

3 

· 

10 

· 

4182 

2 

/ 

· 

147295 

10 

· 

4182 

)· 

0 

1 

/( 

35220 

)· 

1 

/( 

8 

, 

8 

129384 

1136025 

1054 

4182 

1136025 

129384 

3609 

120000 

1344 

338 

1391488 

260 

5352 

2 

334 

64 

349656 

200 

1748 

1 

625 

171 

605119 

265 

2283 

] 

10 

[· 

] 

10 

[· 

] 

[ 

] 

[ 

] 

[ 

68 

, 

5 

) 

0 

1 

/( 

35220 

200000 

) 

1 

/( 

4 

6 

* 

2 

4 

6 

, 

* 

* 

3 

3 

4 

6 

3 

* 

2 

* 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kNm 

mm 

mm 

MPa 

mm 

y 

h 

f 

I 

M 

kNm 

mm 

MPa 

I 

E 

EI 

mm 

A 

y 

A 

y 

B 

T 

mm 

S 

mm 

I 

mm 

y 

A 

mm 

y 

mm 

A 

i 

MPa 

MPa 

E 

E 

ctm 

cr 

cm 

U 

L 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

cm 

s 

0 

, 

66 

2 

, 

22 

2 

/ 

600 

51 

, 

3 

· 

10 

· 

5225 

2 

/ 

· 

64194 

10 

· 

5525 

)· 

87 

, 

1 

1 

/( 

35220 

)· 

1 

/( 

2 

, 

22 

146901 

3256803 

2660 

5225 

3256803 

146901 

3659 

120000 

3649 

868 

3989175 

260 

15343 

2 

891 

158 

1002408 

200 

5012 

1 

1880 

540 

1734779 

265 

6546 

] 

10 

[· 

] 

10 

[· 

] 

[ 

] 

[ 

] 

[ 

28 

, 

16 

) 

87 

, 

1 

1 

/( 

35220 

200000 

) 

1 

/( 

4 

6 

* 

2 

4 

6 

, 

* 

* 

3 

3 

4 

6 

3 

* 

2 

*



ALECTIA A/S 


5.9.2 Beregning af revnet stivhed 

Dernæst beregnes den urevnede stivhed Iht. afsnit 4.4.2 Beregning af urev- 

net stivhed 

48141 

10 

· 

1367 

)· 

0 

1 

/( 

35220 

)· 

1 

/( 

3 

, 

157 

40847 

6426010 

' 

2475 

1367 

6426010 

40847 

260 

2474898 

7 

, 

78 

31464 

2155 

868 

2997051 

560 

5352 

2 

559 

205 

874140 

500 

1748 

1 

279 

34 

79921 

35 

2283 

] 

10 

[· 

] 

10 

[· 

] 

[ 

] 

[ 

] 

[ 

68 

, 

5 

) 

0 

1 

/( 

35220 

200000 

) 

1 

/( 

4 

6 

, 

* 

* 

3 

3 

4 

6 

3 

* 

2 

* 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mm 

I 

E 

EI 

mm 

A 

y 

A 

y 

B 

T 

mm 

S 

mm 

I 

mm 

y 

A 

mm 

y 

mm 

A 

i 

E 

E 

cm 

R 

K 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

cm 

s 

 

 

 

38035 

10 

· 

3096 

)· 

87 

, 

1 

1 

/( 

35220 

)· 

1 

/( 

9 

, 

227 

72488 

16522654 

' 

5195 

3096 

16522654 

72488 

789 

5195444 

114 

45587 

5095 

1692 

8592068 

560 

15343 

2 

1364 

371 

2506020 

500 

5012 

1 

1263 

244 

229122 

35 

6546 

] 

10 

[· 

] 

10 

[· 

] 

[ 

] 

[ 

] 

[ 

28 

, 

16 

) 

87 

, 

1 

1 

/( 

35220 

200000 

) 

1 

/( 

4 

6 

, 

* 

* 

3 

3 

4 

6 

3 

* 

2 

* 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mm 

I 

E 

EI 

mm 

A 

y 

A 

y 

B 

T 

mm 

S 

mm 

I 

mm 

y 

A 

mm 

y 

mm 

A 

i 

E 

E 

cm 

R 

L 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

i 

cm 

s



5.9.3 Beregning af stivhed incl. tension stiffening 

ALECTIA A/S 

Stivheden beregnes med hensyntagen til tension stiffening efter afsnit 4.4.4 

Beregning af stivhed incl. tension stiffening. 

 

cr 

M 

 

I 

cr, 

K 

L, 

R 

( h y c) 

50, 

4kNm 

16, 

28· 

6 

3096· 

10 mm 

 

cr, 

1 

0, 

5 

 

 

 

K 

maks 

 

cr, 

 

1 

1, 

0 

 

L 

EI 

EI 

L 

K 

5.10 Svind 

1 

 

 

EI L 

, R 

 

K 

K 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 

 

1 

0, 

953 

 

38038kNm² 

38774kNm² 

1 

 

 

EI K 

, R 

 

4 

2 

2 

1 

 

( 600mm 

227, 

9mm 

40mm) 

88, 

0MPa 

1 

EI 

1 

0, 

951 

 

48141kNm² 

49705kNm² 

 

 

L, 

U 

1 

EI 

 

 

 

 

88, 

0MPa 

 

1 

0, 

5 

 

281, 

6MPa 

 

88, 

0MPa 

 

1 

1, 

0 

 

125, 

5 128, 

6MPa 

 

1 

1 0, 

953 

K , U 

 

 

 

 

1 

1 0, 

951 

1 

 

64194kNm² 

 


2 

1 

1 

 

147295kNm² 

 

Svind bestemmes iht. afsnit 4.5.1 Svindtøjninger 

5.10.1 Autogent svind 

Det autogente svind for tiden uendelig bestemmes ved. 

 

1 

0, 

951 

2 

 

0, 

953



ALECTIA A/S 

0, 

075 

(3.12) 

6 

6 

ca ( ) 

2, 

5·( 

f ck 10)· 

10 2, 

5·( 

40 10)· 

10 

Det tidsafhængige autogente svind findes nu ved at gange med en iht. afsnit 

4.5.1 Svindtøjninger 

0 0 

ca ( t) as ( t)· 

ca ( ) 

1· 

0, 

075 00 0, 

075 00 

(3.12) 

5.10.2 Udtørrings svind 

Udtørringssvindet bestemmes so vist nedenfor. 

h 

2A 

b 

2· 

600mm· 

200mm 

 

150mm 

2· 

600mm 

2· 

200mm 

c 

0 (3.10) 

k h bestemmes ved iteration i tabel 3.3 

( 150 100) 

1. 0 ( 1. 

0 0. 

85) 

0, 

925 

( 200 100) 

k h 

(Tabel 3.3) 

Tøjningen cd , 0 bestemmes ifølge noten i afsnit 3.1.4(6) bestemmes iht. anneks 

B. For Cementklasse N er 1 4 ds og 2 0, 

12 ds 

3 

3 

RH 55% 

 

1, 

551 

1, 

551 

1, 

292 

 

100% 

 

 

100% 

 

RH 

(B.12) 

 

cd , 0 

 

0, 

85( 

220 110· 

 

 

ds1 

 

)·exp 

 

 

 

 

0, 

85( 

220 110· 

4)·exp 

0 

 

 

, 12 


ds2 

f cm 

 

10MPa 

 

 

 

 

 

MPa 

48 

10 

0, 

407 

0 

00 

0 

00 

(B.11) 

Ved beregning af udtørringssvindet sættes ds (t) 

på den sikre side til en iht. 

afsnit 4.5.1 Svindtøjninger. 

( t) 1· 

0, 

925· 

0, 

407 0, 

377 

(3.9) 

cd 

ds ( t, 

t s ) kh 

· cd , 0 

5.10.3 Det totale svind 

Det totale svind tøjning bestemmes nu som summen af henholdsvis det au- 

togente svin og svindet fra udtørring. 

cs t cd ca 

0 

00 

 

( ) ( t) 

 

( t) 

0, 

377 

 

0 

00 

0 0 

0 

00 0, 

075 00 0, 

452 00



5.11 Nedbøjning 

ALECTIA A/S 

Nedbøjningen bestemmes først for langtidslast alenen. 

u 

L 

 

5 

384 

pL 

L 

EI 

L 

4 

5 12, 

9kN 

/ m·( 

10m) 

 

384 38774kNm² 

Tillægs udbøjningen for korttidslast er 

u 

k L 

 

5 

384 

4 

( pk 

pL 

) L 

 

EI 

K 

5 ( 18, 

8 

384 

43, 

3mm 


4 

12, 

9) 

kN / m·( 

10m) 

49705kNm² 

4 

15, 

7mm 

Udbøjningen for svind bestemmes iht. afsnit 4.5.2 Svinddeformation. 

1 S L, 

R S L, 

U 2 

us · 

sc 1 Ls 

8 

 

I L, 

R I 

 

L, 

U 

1 

· 0, 

452 

8 

9, 

2mm 

0 

00 

 

 

0 

 

, 953 

5195· 

10 

3096 

· 10 

6 

6 

m 

m 

3 

4 

 

1 0, 

953 

2660· 

10 

5225· 

10 

Nu kan nedbøjningen i langtidstilstanden bestemmes som 

u L, 

fin u L us 

43, 

3mm 

9, 

2mm 

52, 

4mm 

og nedbøjningen i korttidstilstanden som 

uk , fin uL 

u K L us 

43, 

3mm 

15, 

7mm 

9, 

2mm 

68, 

2mm 


6 

6 

m 

m 

3 

4 

 

 

( 

10m) 

 

Revnevidder bestemmes iht. afsnit 4.6 Revnevidder. Således bestemmes 

først enkelte tværsnitskonstanter, hvorefter revnevidden i langtidstilstanden 

beregnes. Aflsuttende beregnes revnevidden i korttidstilstanden som revne- 

vidden plus revnevidde tilvæksten i korttidstilstanden. 

ø eq 

2 

n1ø1 

n2ø 

 

n ø n ø 

1 

1 

2 

2 

2 

2 

 

2 

2· 

14 

2· 

14 

 

 

3· 

20 

3· 

20 

2 

18, 

1mm 

c h d eq øeq 

/ 2 600mm 

545mm 

18, 

1mm 

/ 2 45, 

7mm 

 

e 

 

E 

cm 

Es 

200000 

 

16, 

28 

/( 1 

) 35220 /( 1 

1, 

87) 

2



ALECTIA A/S 


5.12.1 Langtidslast 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mm 

mm 

h 

mm 

mm 

mm 

x 

h 

mm 

mm 

mm 

d 

h 

h 

eq 

eff 

c 

300 

2 

/ 

600 

2 

/ 

124 

3 

/ 

) 

9 

, 

227 

600 

( 

3 

/ 

) 

( 

138 

) 

545 

600 

( 

5 

, 

2 

) 

( 

5 

, 

2 

min 

, 

0504 

, 

0 

124 

· 

200 

) 

20 

·( 

2 

) 

14 

·( 

2 

· 

2 

4 

2 

4 

, 

 

 

 

 

mm 

mm 

mm 

mm 

h 

b 

A 

eff 

s 

eff 

p 

 

 

 

MPa 

mm 

kNm 

MPa 

m 

m 

kN 

c 

x 

h 

EI 

E 

M 

R 

L 

S 

L 

s 

6 

, 

281 

) 

40 

9 

, 

227 

600 

( 

² 

38038 

200000 

· 

) 

10 

·( 

/ 

9 

, 

12 

· 

8 

1 

) 

( 

· 

2 

2 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

000845 

, 

0 

00115 

, 

0 

200000 

282 

6 

, 

0 

200000 

0504 

, 

0 

· 

28 

, 

16 

1 

0504 

, 

0 

51 

, 

3 

4 

, 

0 

6 

, 

281 

6 

, 

0 

1 , 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MPa 

MPa 

MPa 

MPa 

MPa 

E 

E 

f 

k 

s 

s 

s 

eff 

p 

e 

eff 

p 

ctm 

t 

s 

cm 

sm 

 

 

 

 

 

 

 

mm 

mm 

mm 

mm 

mm 

mm 

x 

h 

ø 

k 

k 

k 

c 

k 

s 

eff 

p 

eq 

maks 

r 

484 

216 

) 

9 

, 

227 

600 

·( 

3 

, 

1 

0504 

, 

0 

1 

, 

18 

425 

, 

0 

· 

5 

, 

0 

· 

8 

, 

0 

7 

, 

45 

· 

4 

, 

3 

) 

·( 

3 

, 

1 

, 

4 

2 

1 

3 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Den maksimale revneafstand beregnes herved som 

mm 

mm 

s 

w cm 

sm 

maks 

r 

L 

k 

25 

, 

0 

00115 

, 

0 

· 

216 

, 

,



ALECTIA A/S 


5.12.2 Korttidslast 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mm 

mm 

h 

mm 

mm 

mm 

x 

h 

mm 

mm 

mm 

d 

h 

h 

eq 

eff 

c 

300 

2 

/ 

600 

2 

/ 

148 

3 

/ 

) 

3 

, 

157 

600 

( 

3 

/ 

) 

( 

138 

) 

545 

600 

( 

5 

, 

2 

) 

( 

5 

, 

2 

min 

, 

0457 

, 

0 

138 

· 

200 

) 

20 

·( 

2 

) 

14 

·( 

2 

· 

2 

4 

2 

4 

, 

 

 

 

 

mm 

mm 

mm 

mm 

h 

b 

A 

eff 

s 

eff 

p 

 

 

 

MPa 

mm 

kNm 

MPa 

m 

m 

kN 

c 

x 

h 

EI 

E 

M 

M 

R 

K 

S 

L 

K 

s 

125 

) 

40 

3 

, 

157 

600 

( 

² 

48141 

200000 

· 

) 

10 

·( 

/ 

) 

9 

, 

12 

9 

, 

18 

·( 

8 

1 

) 

( 

)· 

( 

2 

2 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

000376 

, 

0 

000337 

, 

0 

200000 

125 

6 

, 

0 

200000 

0457 

, 

0 

· 

28 

, 

16 

1 

0457 

, 

0 

51 

, 

3 

6 

, 

0 

125 

6 

, 

0 

1 , 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MPa 

MPa 

MPa 

MPa 

MPa 

E 

E 

f 

k 

s 

s 

s 

eff 

p 

e 

eff 

p 

ctm 

t 

s 

cm 

sm 

 

 

 

 

 

 

 

mm 

mm 

mm 

mm 

mm 

mm 

x 

h 

ø 

k 

k 

k 

c 

k 

s 

eff 

p 

eq 

maks 

r 

575 

223 

) 

3 

, 

157 

600 

·( 

3 

, 

1 

0457 

, 

0 

1 

, 

18 

425 

, 

0 

· 

5 

, 

0 

· 

8 

, 

0 

7 

, 

45 

· 

4 

, 

3 

) 

·( 

3 

, 

1 

, 

4 

2 

1 

3 

, 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Den maksimale revneafstand beregnes herved som 

mm 

mm 

mm 

s 

w 

w cm 

sm 

maks 

r 

L 

k 

K 

k 

34 

, 

0 

000376 

, 

0 

· 

223 

250 

, 

0 

, 

, 

,



5.13 Beregning med program 

ALECTIA A/S 

Det ses på nedenstående figur at der er overensstemmelse mellem de bereg- 

nede værdier i eksemplet og programmet. 

Figur 20 - Eksempel beregnet med program 




6 Fortolkning af EC2 - brandtilstand 

ALECTIA A/S 

I forbindelse med udvikling af programmet har det været nødvendigt, at for- 

tolke EC2, således at en konsistens løsning kan tilvejebringes. I nærværende 

afsnit beskrives de fortolkninger, der er foretaget i forhold til EC2. 

6.1 Reduktion af tværsnit og materialeparametre 

Middelreduktionskoefficienten k_cm bestemmes ikke, som angivet i 

(B.11), idet den kun tager højde for påvirkning fra to sider. 

Til bestemmelse af reduktionen af betonen trykstyrke ved forhøjede 

temperaturer anvendes tabel 3.2a, EC2-1-2 ikke, da den svarer til en 

tøjning på 2,0%. I stedet anvendes tabel 1, 2 og 3 i EC2-1-2 DK 

NA:2007. For varmvalset frikølet stål anvendes tabel 3.2a, EC2-1-2 

til bestemmelse af armeringens reducerede E-modul. 

I henhold til EN 1992-1-1 afsnit 3.3.2(3) varierer betonens densitet 

som funktion af temperaturen. For at forenkle beregningerne ses der 

bort fra dette bidrag. 

Der regnes kun på kvartsholdig beton. 

6.2 Momentbæreevne 

I EC2-1-2 afsnit B.2(9) stå der følgende 

”Når det reducerede tværsnit er fundet, og styrken og elasticitetsmo- 

dulet er fastlagt for brandpåvirkningen, følger branddimensioneringen 

ved normal temperatur, svarende til den, der er vist i figur B.2, med 

anvendelse af γ m,fi værdier.” 

Figur B.2 er indsat under afsnittet om metode B1, og da der i det nati- 

onale anneks EC2-1-2 DK NA:2007 står, at metode B1 ikke må an- 

vendes, tolkes ovenstående, som at dimensioneringen af den brand- 

påvirkede betonbjælke følger alm. kold statik med den arbejdslinie 

der gælder for brand. 

Til bestemmelse af bjælkens momentkapacitet anvendes spændings- 

blokken angivet på figur 3.1, EC2-1-2. 

Der tages ikke hensyn til krybning i brandberegningen af bjælken 

6.3 Forskydningskapacitet 

Beregningen af bjælkens forskydningskapacitet ved brand følger den 

kolde beregning. Der henvises således til afsnit 3.2 Forskydning og 

Vridning for fortolkning af EC2. 




7 Teoretisk baggrund - brandtilstand 

7.1 Reduktion af tværsnit 

ALECTIA A/S 

Bjælken regnes udsat for en standardbrand og undersøges vha. ”zonemeto- 

den”, jf. EC2-1-2 afsnit B.2, hvor højden og bredden inddeles i seks parallelle 

zoner alle med samme tykkelse. Det giver i alt 36 zoner. For hver zone be- 

stemmes middeltemperaturen og den tilsvarende gennemsnitlige trykstyrke, 

f cd(θ). 

Figur 21. Inddeling af tværsnit i zoner 

Til at bestemmes middeltemperaturen i hver zone anvendes følgende form- 

ler, jf. EC2-1-2 DK NA:2007. 

Ensidet påvirket tværsnit 

-1,9 k( t) x 

 

1( xt , ) 312 log 10(8 

t 1) e sin( - kt ( ) x) 

2 

hvor 

cp 

kt () 

750 t Hvor ρ er betonens densitet, c er den specifikke varmekapacitet 

og λ er varmeledningsevnen. 

Tosidet påvirket tværsnit, med tykkelse 2w 

1(0, 

t) 

2( xt , ) 1( xt , ) 1(2w- xt , ) 

(0, t) 

(2 w, t) 

Tresidet påpvirket tværsnit 

b 

2( xt , ) 1( 

yt , ) 

3( x, y, t) 2( x, t) 1( 

y, t) 

 

(0, t) 

p 

1 1 

Temperaturen i zonerne sættes til minimum 20 grader. 

h 

1 




ALECTIA A/S 

Reduktionsfaktoren for betonens trykstyrke, k c(θ), bestemmes for hver en- 

kelt zone ved tabelopslag i tabel 3.1 EC2-1-2. Der betragtes kun kvartshol- 

digt tilslag. Herefter bestemmes middelreduktionskoefficienten k c,m: 

En- eller tosidet påvirket 

(1 - 0, 2 / n) 

n 

kcm , k ( ) 

i 1 

c i 

n 

Tresidetpåvirket 

(1 - 0, 2 / n) 

n 

kcm , k ( ) 

2 i 1 

c i 

(2 n) 

-hvorefter tykkelsen af det beskadigede betonareal bestemmes 

kcm 

, 

azw 1- 

k c( M) 

 

hvor k (θ ) betegner reduktionskoefficienten ved M-punktet. 

c m 

For et tresidet påvirket tværsnit, bestemmes summen af reduktionsfaktorer- 

ne, k c(θ i), ved på den sikre side at summere op over reduktionsfaktorerne i 

tværsnittets nederste halvdel, hvor tværsnittet er hårdets påvirket af bran- 

den. 

7.2 Armering 

På samme måde, som for betonen, bestemmes nu temperaturen i armerings- 

jernene. Armeringens materialeparametre ved forhøjede temperaturer redu- 

ceres i henhold til EC2-1-2 Tabel 3.2a klasse N-værdier, varmvalset. 

Det samme sker for bøjlearmeringen. Temperaturen bestemmes her i 10 

punkter jævnet fordelt på den nederste halvdel af bøjlen. 

0,1b’ 0,2b’ 0,2b’ 0,2b’ 0,2b’ 0,1b’ 

Figur 22. Temperaturbestemmelse i nederste halvdel af bøjlen 


I det følgende afsnit gennemgås teorien bag bæreevnebestemmelsen af en 

brandpåvirket bjælke efter EC2-1-2. Først beregnes bidraget fra betonen i 

tryk. Det antages, at betonens trækstyrke er nul. Herefter bestemmes bidra- 


0,2h’ 

0,2h’ 

0,1h’



ALECTIA A/S 

get fra armeringen, og til slut kobles alle bidragenei ligningerne for statisk 

ækvivalens. 

7.3.1 Betonbidrag 

Når reduktionen af betonens tværsnit og reduktionen af armeringens styrke- 

parametre er fundet, kan tværsnittets moment- og forskydningsbæreevne 

bestemmes. Det gøres ved at betragte arbejdslinien for beton under tryk ved 

forhøjede temperaturer, se EC2-1-2:2006 Figur 3.1. Som det fremgår af 

EC2-1-2:2006 3.2.2.1 bestemmes betonens trykarbejdskurve under brand 

som: 

c, 

 

c( ) for 

3 

c1, 

 

 

c1, 

 

3 

f 

 

2 

c1, 

 

 

Her er ε den aktuelle tøjning, ε c1,θ er tøjningen ved maksimal spænding og 

kan aflæses i tabel 3.1, EC2-1-2:2006. Idet arbejdslinien for en brandpåvir- 

ket bjælke ikke er lig arbejdslinien for en kold bjælke, vil en bjælke udsat for 

brand i 0 min. ikke have samme bæreevne, som en kold bjælke. 

Trykspændingen i betonen kan omskrives til: 

 

0 t 

 

c1, c1, 

 

c 3 f 3 cd 3 

 

f 

3 cd 

0 1, 

0 3 

c 

3 

2 

 

t 

2 

0 

c1, 

 

-hvor konstanterne A og B indføres: 

 

3 1, 

2 c 

A , 

 

0 

t 

σ=B f 

A+t 

B 

c 3 3 cd 

3 

 

c 

1, 

 

0 

Hermed kan betonresultanten bestemmes: 

1 1 

t 

N b'xdt b'xf B dt 

3 3 

A t 

c c cd 

 

2 

2 


t 

t 

2 2 

1 t - At A 1 2t - A 

N 

c b'xfcdB ln arctan 

2 

6A t A 

A 3 A 3 

 

1



ALECTIA A/S 

2 

1 1- A A 1 2- A 

ln arctan - ... 

2 

 

6A1AA 3 A 3 

Nc b'xfcdB 

2 2 

1 - A A 1 2 - A 

ln - arctan 

2 

6A A A 3 A 3 

 

Idet trykzonehøjden, x, er mindre end bjælkens totale højde, kan ζ sættes lig 

0. 

Herefter bestemmes betonresultantens moment omkring nullinien. 

1 2 

2 t 

y'Nc b'Bfcdxdt 

3 3 

A t 

3 

1 2 A 1 

y'Nc b'Bfcdx ln 3 3 

3 

A 

 

2 13 3 

y'Nc b'Bfcdx lnA 

t 

 

3 Afstanden fra betonresultanten til nullinien er 

y'N y ' 

N 

c 

c 

Hvilket giver en indre momentarm på 

c A c A 

z h- x -y'- A A 

1 1 2 2 

1 2 

1 

 

Hvor A 1 og A 2 betegner armeringsarealet af henholdsvis trækarmering 1 og 

trækarmering 2. 

7.3.2 Armeringsbidrag 

Armeringsbidraget for et given ε 0 og h c bestemmes ved: 

Trykarmeringen 

x - c 

 

Nac min x 

 

Trækarmeringen 

1 

A E 

A f 

ef 0 sc s 

sc yd 

h- 

x -c 

1 

 

A E 

Nat min x 

A f 

st yd 

ef 0 st s 

For brandberegningen medregnes ikke bidrag fra krybning, hvor det effektive 

krybetal, φ ef, kan sættes lig 0. 




7.3.3 Statisk ækvivalens 

ALECTIA A/S 

Fra bidraget fra beton og armering opstilles følgende ligninger for vandret 

projektion og moment: 

N N N -N 0 

Rd c ac at 

Momentækvivalens 

1 1 1 

M h- x y'N h-cN - h-cN 2 2 2 

Rd c ac at 


Der henvises til teoriafsnittet for bæreevne ved kombineret forskydning og 

vridning ved den kolde beregning, se afsnit 4.2 Bæreevne ved kombineret 

forskydning og vridning. 

7.5 Beregning af forankringskraft 

For teorien bag beregning af forankringskraften henvises der ligeledes til teo- 

rien for den kolde beregning, se afsnit 4.3 Beregning af forankringskraft. 




8 Beregningseksempel - brandtilstand 

ALECTIA A/S 

I det følgende gennemgås et eksempel, hvor en betonbjælke undersøges for 

en standardbrand på 60 min. 

Nedenstående billede viser en udskrift af skærmbilledet for dette eksempel. 

Figur 23. Skærmbillede af brandbelastet bjælke. 

8.1 Geometri og materialeparametre 

Bjælken har dimensionerne 300 x 600 mm, og er armeret med trækarmering 

6 Y16 i to lag og trykarmering 3 Y16. 

Bjælken er tresidet brandpåvirket. Yderligere data for bjælken fremgår af 

Tabel 10. 

Tabel 10. Geometri og materialeparametre for betonbjælken. 

Spændvidde 

Tværsnit 

L 5,00 m h 600 mm 

b 300 mm 

Længdearmering 

d (mm) c (mm) antal 

Tryklag 16 40 3 

Træklag 16 90 3 

Træklag 16 40 3 

Bøjler d (mm) a (mm) cot(q) 

Type 1 8 150 1,8 

Type 2 8 300 1,8 

Partialkoefficienter Længdearmering 

gbeton 1 fyk 550 MPa 

garm 1 fyd 550 MPa 

Beton 

Bøjlearmering 

fck 25 MPa fyk 410 MPa 

f cd 25 MPa f yd 410 MPa 




8.2 Regningsmæssige laster og snitkræfter 

ALECTIA A/S 

Bjælken er påvirket af en regningsmæssig last på 40,3kN/m. Det giver føl- 

gende regningsmæssige snitkræfter i bjælken: 

1 2 

Md 40,3 kN / m(5,0 m) 125,9kNm 

8 

1 

Vd 40,3 kN / m5,0m 100,8kN 

2 

8.3 Reduceret betontværsnit 

Figur 24. Bjælketværsnit og tværsnit opdelt i zoner. 

Bjælken opdeles i zoner - 6 på hver side, så der i alt fås 6x6 felter. I henhold 

til EC2-1-2 DK NA:2007 kan den specifikke varmekapacitet, c p, sættes lig 

1000 J/kg o C, og varmeledningsevnen, λ, sættes lig 0,75W/m o C. Betonens 

densitet sættes konstant lig 2300kg/m 3 . 

Først bestemmes konstanten k(t). 

3 

o 

2300 kg / m 1000 

J / kg C 

k(60 

min) 14,63 

o 

750 0,75 W / m C 60min 

Temperaturen kan nu bestemmes i centerpunktet for hver felt. Først be- 

stemme θ 1. For det nederste felt længst til venstre ser beregningen således 

ud: 

40 110 110 40 

40 

470 

50 

40 

25 50 50 50 50 50 25 


50 

100 

100 

100 

100 

100 

50



ALECTIA A/S 

1,914,6325mm 

 

1x(25 mm, 60 min) 312 log 10(860min1) 

sin( 14, 63 25 

mm) 

2 

o 

390,0 C 

1,914,6350mm 

 

1y(50 mm, 60 min) 312 log 10(860min1) 

sin( 14, 63 50 

mm) 

2 

o 

155,1 C 

(0 mm, 

60 min) 312 log (8 60min1) 1 10 

o 

836,8 C 

1,914,630mm (2 150mm - 25 mm, 

60 min) 312log (8 60min1) 1 10 

 

o 

sin( 14,63 (2150mm - 25 mm)) 0,0 C 

2 

(2 150 mm, 60 mm) 

312 log (8 60min1) 1 10 

 

o 

sin( 14,632150 

mm) 0,0 C 

2 

836,8 

o 

2(25 

mm, 60 min) (390, 0 - 0, 0) 390, 0 C 

836,8 0,0 

sin( 14,630 mm) 

2 

1,914,63 (2150 mm) 

1,914,63 (2150mm-25 mm) 

390,0 155,1 

o 

3(25 

mm,50 mm, 60 min) 390, 0 155,1- 472, 8 C 

836,8 

For hele betontværsnittet ser temperaturfordelingen ud som angivet i Tabel 

11. 

Tabel 11. Temperaturfordeling i betontværsnit, o C. 

550,0 390,0 47,4 20,0 20,0 47,4 390,0 

450,0 390,0 47,4 20,0 20,0 47,4 390,0 

350,0 390,0 47,4 20,0 20,0 47,4 390,0 

250,0 390,0 47,4 20,0 20,0 47,4 390,0 

150,0 390,0 47,4 20,0 20,0 47,4 390,0 

50,0 472,8 193,7 155,1 155,1 193,7 472,8 

y / x 25,0 75,0 125,0 175,0 225,0 275,0 

Ud fra ovenstående temperaturer bestemmes nu reduktionsfaktorer, k c(θ), 

for betonens trykstyrke. Ved opslag i EC2-1-2 tabel 3.1, kvartsholdigt tilslag, 

fås følgende værdier: 

Tabel 12. Reduktionsfaktorer, kc(θ), i betontværsnit. 

550,0 0,76 1,00 1,00 1,00 1,00 0,76 

450,0 0,76 1,00 1,00 1,00 1,00 0,76 

350,0 0,76 1,00 1,00 1,00 1,00 0,76 

250,0 0,76 1,00 1,00 1,00 1,00 0,76 

150,0 0,76 1,00 1,00 1,00 1,00 0,76 

50,0 0,64 0,95 0,97 0,97 0,95 0,64 

y / x 25,0 75,0 125,0 175,0 225,0 275,0 




ALECTIA A/S 

Hernæst bestemmes middelreduktionskoefficienten, kc,m. På den sikre side 

bestemmes denne ved at summere reduktionsfaktorerne for den nederste 

halvdel af tværsnittet. 

 

n 

i 1 

k ( ) 2 (0,64 0,76 0,76 0,951,00 1,00 0,97 1,00 1,00) 

c i 

1-0,2/3 n 

kcm , k ( ) 0,84 

2 i 1 

c i 

(2 n) 

Idet reduktionskoefficienten ved M-punktet, k c(θ M), ved en 60 min. brand og 

det pågældende bjælketværsnit kan aflæses til 1,0, bestemmes tykkelsen af 

den beskadigede zone i betonen ved: 

0, 84 

az 150mm1- 24,2mm 

1 

Det ses således, at betontværsnittet skal reduceres med 24,2 mm på alle de 

tre brandpåvirkede sider. 

8.4 Længdearmering 

På samme måde, som ved betontværsnittet, kan temperaturen nu bestem- 

mes i armeringen. Først undersøges temperaturen i de langsgående arme- 

ringsjern. Ved at udtage koordinaterne til center af alle armeringsjern, be- 

stemmes temperaturen i det nederste jern længst til venstre ved: 

1,914,6340mm 

 

1x(40 mm,60 min) 312 log 10(860min1) 

sin( 14,6340 mm) 

2 

o 

229,4 C 

1,914,6340mm 

 

1y(40 mm,60 min) 312 log 10(860min1) 

sin( 14,6340 mm) 

2 

o 

229,4 C 

(0 mm, 

60 min) 312 log (8 60min1) 1 10 

o 

836,8 C 

1,914,630mm (2 150mm - 40 mm, 

60 min) 312log (8 60min1) 1 10 

 

o 

sin( 14,63 (2150mm - 40 mm)) 0,0 C 

2 

(2 150 mm, 60 mm) 

312 log (8 60min1) 1 10 

 

o 

sin( 14,632150 

mm) 0,0 C 

2 

836,8 

o 

2(40 

mm,60min) (229, 4 0) 229, 4 C 

836,8 0,0 

sin( 14,630 mm) 

2 

1,914,63 (2150 mm) 

1,914,63 (2150mm-40 mm) 

229, 4 229, 4 

o 

3(40 

mm, 40 mm,60min) 229, 4 229, 4 - 395,9 C 

836,8 

For al længdearmering ser resultatet af temperaturbestemmelsen ud, som 

vist i Tabel 13. 




Tabel 13. Temperaturer i længdearmering 

ALECTIA A/S 

560,0 229,4 20,0 229,4 

90,0 241,9 20,0 241,9 

40,0 395,9 229,4 395,9 

y / x 40,0 150,0 260,0 

Ud fra disse temperaturer, kan reduktionen af stålets flydespænding og ela- 

sticitetsmodul bestemmes. Idet der anvendes varmvalset og frikølet stål, fås 

ved aflæsning i EC2-1-2, tabel 3.2a og EC2-1-2 DK NA:2007 Tabel 1: 

Tabel 14. Reduktion af styrkeparametre for længdearmering 

o C Esθ/E s f syθ/f yk 

Tabelopslag 400 0,80 0,77 

Lineær interpolation 395,9 0,70 0,65 


For de øvrige armeringsjern, ser resultatet ud, som vist i Figur 14. 

Tabel 15. Reduktion af stålparametre i armeringsjern. Øverste linie angiver reduktionen af 

trykarmering, mens de nederste to linier angiver reduktionen af trækarmering. 

8.5 Bøjlearmering 

T/ o C E sθ/E s f syθ/f yk T/ o C E sθ/E s f syθ/f yk T/ o C E sθ/E s f syθ/f yk 

Tabelopsl. 200 0,90 0,88 0 1,00 1,00 200 0,90 0,88 

Lineær int. 229,4 0,87 0,85 20,0 1,00 1,00 229,4 0,87 0,85 

Tabelopsl. 300 0,80 0,77 20 1,00 1,00 300 0,80 0,77 

Tabelopsl. 200 0,90 0,88 20 1,00 1,00 200 0,90 0,88 

Lineær int. 241,9 0,86 0,83 36,8 1,00 1,00 241,9 0,86 0,83 

Tabelopsl. 300 0,80 0,77 100 1,00 0,96 300 0,80 0,77 

Tabelopsl. 300 0,80 0,77 200 0,90 0,88 300 0,80 0,77 

Lineær int. 395,9 0,70 0,65 229,4 0,87 0,85 395,9 0,70 0,65 

Tabelopsl. 400 0,70 0,65 300 0,80 0,77 400 0,70 0,65 

Samme procedure gennemføres nu for bøjlearmeringen. Som tidligere nævnt 

bestemmes temperaturen i bøjlerne i 10 punkter jævnt fordelt på den neder- 

ste bøjlehalvdel. På samme måde som for længdearmeringen bestemmes nu 

koordinaterne til de punkter, hvori temperaturen skal bestemmes. For det 




ALECTIA A/S 

nederste punkt længst til venstre ser beregningen af temperaturen således 

ud: 

1,914,6328mm 

 

1x(28 mm, 60 min) 312 log 10(8 

60 min 1) sin( 14, 63 28 

mm) 

2 

o 

352,4 C 

1,914,6328mm 

 

1y(28 mm, 60 min) 312 log 10(8 

60 min 1) sin( 14, 63 28 

mm) 

2 

o 

352,4 C 

(0 mm, 

60 min) 312 log (8 60min1) 1 10 

o 

836,8 C 

1,914,630mm (2 150mm - 28 mm, 

60 min) 312log (8 60min1) 1 10 

 

o 

sin( 14,63 (2150mm - 28 mm)) 0,0 C 

2 

(2 150 mm, 60 mm) 

312 log (8 60min1) 1 10 

sin( 14,630 mm) 

2 

1,914,63 (2150 mm) 

 

o 

sin( 14,632150 

mm) 0,0 C 

2 

836,8 

o 

2(28 

mm, 60 min) (352, 4 0, 0) 352, 4 C 

836,8 0,0 

1,914,63 (2150mm-28 mm) 

352, 4 352, 4 

o 

3(28 

mm, 28 mm, 60 min) 352, 4 352, 4 - 556, 4 C 

836,8 

For hele bøjlen ser resultatet ud som angivet i Tabel 16. 

Tabel 16. Temperaturfordeling i nederste halvdel af bøjle 

245,6 352,4 352,4 

136,8 352,4 352,4 

28,0 556,4 377,2 352,4 352,4 377,2 556,4 

y / x 28,0 76,8 125,6 174,4 223,2 272,0 

Det giver en middeltemperatur på 396,3°C. 

På samme måde, som for længdearmeringen, bestemmes nu reduktionen af 

armeringens flydespænding og elasticitetsmodul ved forhøjede temperaturer. 

Aflæsning i Tabel 3.2a EC2-1-2 og Tabel 1 EC2-1-2 DK NA:2007 giver: 

Tabel 17. Reduktion af styrkeparametre for bøjlearmering 

Temp. E sθ/E s f syθ/f yk 


Lineær interp. 396,3 0,70 0,65 





ALECTIA A/S 

Hermed er reduktionen af betontværsnittet samt reducerede styrkeparametre 

for bøjler og længdearmering fundet. 


I det følgende afsnit eftervises bæreevnerne fundet i beregningsprogrammet. 

Det gøres ved at anvende den trykzonehøjde, x, som programmet har fundet 

frem til. Ved at gætte på en kanttøjning, ε, tjekkes det om der er vdnaret li- 

gevægt. Er der vandret ligevægt, kan mometkapaciteten og forskydningsbæ- 

reevnen bestemmes. Er ligningen for vandret ligevægt ikke opfyldt, gættes 

der på en ny kanttøjning, og ligevægt tjekkes på ny. Således fortsættes der, 

indtil ligevægtsligningerne er opfyldt og tværsnittets bæreevne mht. moment 

og forskydning er fundet. 

8.6.1 Momentkapacitet 

1. gæt 

Af beregningsprogrammet fremgår det at bjælkens trykzonehøjde, x, er 

74,16mm. Der gættes nu på en kanttøjning, ε, på 0,00250. 

3 0, 0025 

A 2 1,26 

0, 00250 

0, 0025 

B 3 3,00 

0, 00250 

Først bestemmes betonens trykresultant: 

2 

1 11,26 1,26 

 

ln ... 

2 

 

61,26 (11,26) 

 

1 2 1,26 

N 

c 251,6mm 74,16mm 25MPa 3,00 arctan ... 296,0kN 

1, 26 3 0, 840 3 

 

 

1 1 1 

ln(1) arctan 

 

 

 

6 1,26 1, 26 3 3 

Herefter bestemmes armeringsbidraget fra henholdsvis tryklaget, træklag 1 

og træklag 2. 

74,16mm 

40mm 

2 5 

 

0, 00250 603mm 2, 0 10MPa0, 914 126, 

9kN 

Nac min 74,16mm 

2 

 

603mm 550MPa 0,898 298,1kN 

600mm 

- 74,16mm - 90mm 

2 5 

 

0, 00250 603mm 2, 0 10MPa0, 905 1605kN 

Nat ,1 min 74,16mm 

2 

 

603mm 550 0,889 295,0kN 




2. gæt 

ALECTIA A/S 

600mm 

74,16mm 40mm 

2 5 

 

0, 00250 603mm 2, 0 10MPa0,755 1501kN 

Nat,2 min 74,16mm 

2 

 

603mm 550 0,719 238,6kN 

For at tjekke, om der er ligevægt opskrives ligningen for vandret projektion: 

Vandret projektion : 

N N N N 296,0kN 126,9kN 294,3kN 237,1kN -110,7kN 

c ac at,1 at,2 

Som det fremgår, er bjælkens trykresultanter ikke lig trækresultanter, og 

bjælken er derfor ikke i ligevægt. 

Det ses at det første gæt på en kanttøjning ikke opfylder ligevægtsligningen. 

Derfor foretages nu et nyt gæt på ε lig 0,00375. 

3 0, 0025 

A 2 0,840 

0, 00375 

0, 0025 

B 3 1,33 

0, 00375 

Først bestemmes betonens trykresultant: 

2 

1 10,840 0,840 

 

ln ... 

2 

 

60,840 (1 0,840) 

 

1 2 0,840 

N 

c 251,6mm 74,16mm 25MPa 1,33 arctan 

 

... 

0,840 3 0, 840 3 

 

 

1 1 1 

ln(1) arctan 

 

 

 

6 0,840 0, 840 3 3 

343,3kN 

Herefter bestemmes armeringsbidraget fra henholdsvis tryklaget, træklag 1 

og træklag 2. 

74,16mm 

40mm 

2 5 

 

0, 00375 603mm 2, 0 10MPa0, 914 190, 

4kN 

Nac min 74,16mm 

2 

 

603mm 550MPa 0,898 298,1kN 

600mm 

74,16mm 90mm 

2 5 

 

0, 00375 603mm 2, 0 10MPa 0, 905 2407kN 


2 

 

603mm 550 0,889 295,0kN 

600mm 

- 74,16mm - 40mm 

2 5 

 

0, 00375 603mm 2, 0 10MPa0, 755 2251kN 


2 

 

603mm 550 0,719 238,6kN 

For at tjekke, om der er ligevægt opskrives ligningen for vandret projektion: 

Vandret projektion : 

N N N N 343,3kN 190,4kN 295,0kN 238,6kN 0,11 0 

c ac at,1 at,2 




ALECTIA A/S 

Det ses, at summen tilnærmelsesvis er lig nul, hvilket stemmer med virkelig- 

heden, da bøjlen ikke er påvirket af normalkraft. Der er således ligevægt i 

systemet! 

For at bestemme momentkapaciteten af tværsnittet opstilles først betonresul- 

tantens moment omkring nullinien: 

3 

1 2 0,840 1 

y'Nc 251,6mm1,3325 MPa(74,16 mm) ln 15,20kNm 

3 

3 0,840 

Afstanden fra betonresultanten til nullinien bestemmes: 

y'Nc15,20kNm y' 44,28mm 

N 343,3kN 

c 

Og dermed kan momentbæreevnen bestemmes: 

Momentligevægt 

1 MRd 600mm74,16mm 44,28mm343,3 kN... 

2 1 600mm 40mm190, 4 kN... 

2 1 1 

600mm 90mm295,0kN 600mm 40mm238,5kN 266,2kNm 

2 2 

Det tjekkes, om armeringen i den nederste armeringsstang flyder 

Spænding i nederste armeringsstang: 

 

s 

 

5 

(600mm - 74,16 mm - 40 mm) 

2, 

0 100,76 0, 00375 3734MPa 

min 74,16mm 

 

 

550MPa 0,72 395,5MPa 

Det ses således, at armeringen flyder. 


Effektivitetsfaktoren for forskydning og vridning bestemmes ved: 

Effektivitetsfaktor,forskydning 

25MPa 

0,7 0,575 

200 

Effektivitetsfaktor,vridning 

25MPa 

 

0,7 0,7 0, 403 

200 

Den indre momentarm, z: 

2 2 

603mm 40mm 603mm 90mm 

z 600mm- (74,16 - 44,28 mm) - 505mm 

40mm 90mm 




ALECTIA A/S 

Forskydningsbæreevne bestemmes ved at betragte bidrag fra forskydning og 

bidrag fra vridning. For ren forskydning fås følgende forskydningskapacitet 

for bøjle type 1 og 2. 

V 

V 

Rd,1forskydning Rd,2forskydning 2 

100,5mm 

 

505mm 410MPa 0,65 1,8163,5kN 150mm 

min 

1, 0 251, 6mm 505mm0,57525MPa 775,5kN 

1 

1, 8 1, 8 

2 

100,5mm 

 

505mm 410MPa 0,65 1,8 81,8kN 

300mm 

min 

1, 0 251, 6mm 505mm0,57525MPa 775,5kN 

1 

1, 8 1, 8 

Det ses, at en centralt belastet bjælke vil have en forskydningsbæreevne på 

163,5kN ved bøjle type 1 og 81,8kN ved bøjle type 2. 

Vridningsmomentet optages som forskydning langs bjælkens sider i tværsnit 

med tykkelsen t ef, 

251,5mm 575,8mm 

tef 

87,5mm 

2 (251,5mm 575,8 

mm) 

Arealet A k bestemmes: 

A (251, 6mm 87,5 mm) (575, 8mm87,5 mm) 80090 mm 

k 

Hvilket giver følgende vridningsbæreevne for de to bøjletyper. 

2 

 

100,5mm 

2 

 

80090mm 4190,651,8 25,9kNm 

TRd,1 min 150mm 

2 

20,4031,025MPa 

80090mm87,5mmsin(0,507) cos(0,507) 59,9kNm 

2 

 

100,5mm 

2 

 

80090mm 419 0,65 1,8 13,0kNm 

TRd,2 min 300mm 

2 

20,4031,025MPa 

80090mm87,5mmsin(0,507) cos(0,507) 59,9kNm 

Kombineres bidraget fra vridning med bidraget fra ren forskydning fås føl- 

gende forskydningsbæreevne ved kombineret belastning: 

Forskydningsbærevne type 1, flydning i armering 

163,5kN 25,9kN 

VRd,1 114kN 

163,5kN 0,069mm25,9kNm Forskydningsbæreevne type 2, flydning i armering 

81,8kN 13,0kN 

VRd,2 57,0kN 

81,8kN 0,069mm 13,0kNm 


2



ALECTIA A/S 

Forskydningsbæreevne, trykbrud i beton 

775,5kN 59,9kN 

VRd,2 411kN 

775,5kN 0,069mm 59,9kNm 

Som det fremgår, har den excentrisk påvirkede bjælke en forskydningsbære- 

evne på 114kN ved bøjle type 1 og 57,0 kN ved bøjle type 2. 

8.8 Forankringskraft 

Forankringskraften bestemmes som for den kolde beregning. 

Forankring: 

1 1,8 

Fa 69mm100,8kN 0,5 100,8kN 1,8 128,8kN 

2 251,6mm 87,5mm 

Det ses således, at den langsgående trækarmering skal forankres for en kraft 

på 128,9kN.

BEF-PCSTATIK PC-Statik Bjælkeberegning efter EC2

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?