Statistik - szymanski spil

Statistik
1. STIKPRØVER
Population: Den mængde af størrelser, om hvilken man ønsker at kunne drage nogle konklusioner.
Eksempler på mulige populationer: Danske gymnasieelever, verdens befolkning, beviser for
matematiske sætninger i danske undervisningsbøger gennem tiderne, ulve i Norge, 3mm skruer
fra firmaet Jernmand og flybilletter bestilt over nettet.
Stikprøve: En stikprøve er en delmængde af en population.
Det er ud fra stikprøven, at der skal kunne drages konklusioner vedrørende populationen.
Sikkerheden af konklusionerne vil vokse, når stikprøvestørrelsen øges, men den vil vokse
langsommere og langsommere, så der efterhånden skal en stor forøgelse af stikprøvestørrelsen
til at give en lille forøgelse af sikkerheden. Og hvis stikprøven udtages med henblik på
hypotesetest, skal man f.eks. ved en binomialtest sikre sig, at stikprøvens størrelse er så meget
mindre end populationen, at man kan se bort fra, at man ikke arbejder med tilbagelægning
(uafhængige eksperimenter), der er karakteristisk for binomialfordeling.
Bias: En stikprøve siges at være biased, hvis nogle af elementerne i populationen har haft mindre
sandsynlighed for at komme med i stikprøven end andre.
Bias betyder ’skævhed’. En biased stikprøve er ikke repræsentativ for populationen, dvs. den
kan ikke bruges til at estimere de statistiske deskriptorer for populationen.
Eksempler:
1) Den danske befolknings TV-forbrug undersøges ved en telefonundersøgelse med
fastnetnumre. Stikprøven bliver biased, fordi mennesker, der oftere er hjemme og kan tage
telefonen, nok ser mere fjernsyn end dem, der sjældnere er hjemme (og derfor ”har haft
mindre sandsynlighed for at komme med i stikprøven end andre”).
2) I 1936 indsamlede The Literary Digest mere end to millioner tilkendegivelser fra læserne
om, hvem de ville stemme på, og kom frem til en kæmpe sejr til republikaneren Alf Landon
over demokraten Franklin Roosevelt. Stikprøven var biased, da bladets læsere var mere
højreorienterede end befolkningen generelt.
3) En forsker ønsker at undersøge vægten på skovmus og fanger dem i fælder ved at lokke
dem med mad. Stikprøven bliver biased, fordi skovmusene skal overvinde frygten for
fælden for at gå i den, hvilket er mere sandsynligt for en sulten mus, der altså som
udgangspunkt er tyndere end en ’gennemsnitsmus’.
4) Alle undersøgelser, hvor personer selv kan vælge at deltage, bliver biased, da motivationen
for at deltage på en eller anden måde kan hænge sammen med svarene.
Korrelation: For at forstå beskrivelsen af næste begreb, skal man forstå udtrykket at korrelere.
Kort sagt siges to størrelser (variable) at korrelere, hvis de (gensidigt) afhænger af hinanden.
Lidt længere sagt korrelerer to variable, der observeres i par, hvis man, når man kigger på de par,
hvor den første variabel er større end sin gennemsnitsværdi oftest også har, at den anden variabel er
større end sin gennemsnitsværdi (positiv korrelation) eller mindre end sin gennemsnitsværdi
(negativ korrelation).
En noget længere (og helt præcis) formulering ville kræve formler.
Eksempler:
I tilfælde 3) med skovmusene er variablen vægt negativt korreleret med variablen sult, hvis det
oftest er sådan, at når man har en mus, der vejer mindre end gennemsnittet, så er den mere sulten
end gennemsnittet.
I samme eksempel er de to variable sult og vovemod positivt korrelerede, hvis det er sådan, at en
mus, der er mere sulten end gennemsnittet også vover mere end gennemsnittet.

Skjulte variable: En skjult variabel er en uvedkommende variabel, der korrelerer – enten
positivt eller negativt – med både den uafhængige og den afhængige variabel.
Begreberne uafhængig og afhængig variabel er ikke brugt tidligere, så her kommer nogle
eksempler (numrene svarer til numrene for eksemplerne fra bias-begrebet):
1) Her er den uafhængige variabel sandsynligheden for at få fat på en person (dvs. at få
foretaget telefoninterviewet), mens den afhængige variabel er TV-forbruget. Den skjulte
variabel er så ’ophold i hjemmet’, fordi den korrelerer positivt med både sandsynligheden
for at få fat på folk (jo mere tid der bruges i hjemmet, jo større er chancen for at være
hjemme når fastnettelefonen ringer) og med TV-forbruget (jo mere man er i hjemmet, jo
mere fjernsyn vil man som oftest se).
2) Her er den uafhængige variabel sandsynligheden for at få en tilkendegivelse fra en
stemmeberettiget amerikaner, mens den afhængige variabel kunne være sandsynligheden
for at stemme på Franklin Roosevelt. Her er den skjulte variable ’højreorienterethed’, da den
korrelerede positivt med sandsynligheden for at tilkendegive sin stemme (fordi avisen
appellerede til højreorienterede) og korrelerede negativt med det at stemme på Franklin
Roosevelt (da en højreorienteret sjældnere ville stemme på Franklin Roosevelt end en
’gennemsnitsamerikaner’).
(Hvis ”Franklin Roosevelt” var erstattet med ”Alf Landon”, havde korrelationen været
positiv.)
3) Her er den uafhængige variabel sandsynligheden for at fange den enkelte mus, mens vægten
af den enkelte mus er den afhængige variabel. Den skjulte variabel er ’sult’, da den
korrelerer positivt med sandsynligheden for at musen fanges (jo mere sult, jo større
sandsynlighed) og korrelerer negativt med musens vægt (jo mere sult, des mindre vægt).
Systematiske fejl: Afvigelserne mellem de statistiske deskriptorer i en model opstillet ud fra en
biased stikprøve og de statistiske deskriptorer for selve populationen.
Da der grundet usikkerheder som udgangspunkt altid vil være afvigelser mellem en model og
virkeligheden, kræver overstående korte formulering en uddybning.
Hvis man forestiller sig, at man kan tage stikprøver, der ikke er biased, fra en population, vil
værdierne for deskriptorerne for de enkelte stikprøver godt nok afvige fra populationens sande
værdier, men ved at tage gennemsnittet af stikprøverne og øge disses antal, vil man komme
tættere og tættere på de sande deskriptorer.
Dette er ikke tilfældet, hvis de enkelte stikprøver er biased. Så vil gennemsnitsværdierne for de
enkelte deskriptorer ikke nærme sig de sande værdier, når antallet af stikprøver øges, men
derimod nogle bestemte ’falske’ værdier for deskriptorerne.
De systematiske fejl er altså i princippet afvigelserne mellem de sande værdier og ovennævnte
falske værdier, der fås ved at tage gennemsnittet af ’uendeligt’ mange biased stikprøver (hvor
det er underforstået, at stikprøverne udtages på samme måde hver gang, så der altså er tale om
den samme form for bias).
Eksempler:
1) Her bliver den systematiske fejl, at undersøgelsen viser et for stort TV-forbrug, fordi den
skjulte variabel ”ophold i hjemmet” korrelerer positivt med både sandsynligheden for at få
fat på folk og med TV-forbruget.
2) Her bliver den systematiske fejl, at undersøgelsen viser en for lille vælgertilslutning til
Franklin Roosevelt, fordi den skjulte variabel ”højreorienterethed” korrelerede positivt med
sandsynligheden for at tilkendegive sin stemme og negativt med det at stemme på Franklin
Roosevelt.
3) Her bliver den systematiske fejl, at undersøgelsen viser en for lille gennemsnitsvægt af
musene, fordi den skjulte variabel ’sult’ korrelerer positivt med sandsynligheden for at
musen fanges negativt med musens vægt.

Stratifikation: Inddeling af populationen i disjunkte delmængder (dvs. at alle elementer i
populationen placeres i en og kun en delmængde).
Stratifikation betyder laginddeling (strata ~ lag). For at sikre sig mod, at en stikprøve bliver
biased, kan man inddele population i nogle dele baseret på en forhåndsvurdering eller efter at
have noteret sig en skævhed i stikprøven (poststratifikation). Ved en vælgerundersøgelse kan
man f.eks. vurdere, at mænd og kvinder stemmer forskelligt, unge, midaldrende og ældre
stemmer forskelligt og underklasssen, middelklassen og overklassen stemmer forskelligt. Man
skal så opdele i 23 3 18 forskellige lag.
Det væsentlige er så at sørge for, at hvert lag er repræsenteret med samme procentdel i
stikprøven som i populationen.
”En sætning”: Hvis stikprøveudtagningen indeholder en skjult variabel, bliver stikprøven
biased, og dermed indeholder undersøgelsen en systematisk fejl.
Eksempel 1.
OPGAVEEKSEMPLER MED BESVARELSE:
Opgave:
På en skole med 700 elever ønsker en af de politiske ungdomsorganisationer at få
mulighed for at stille et bord op, hvor eleverne i spisefrikvarteret kan hente materialer
og få information. Da skolens ledelse siger nej, opfordrer organisationen alle elever til
at tilkendegive, om de er for eller imod dette.
127 afgav deres stemme og heraf støttede 92 forslaget. Organisationen omdeler derefter
løbesedler, hvor de skriver: ”Elevundersøgelse viser, at over 70 % støtter de politiske
organisationers ret til at uddele materialer på skolen”.
a) Kommentér denne påstand med brug af statistiske begreber som stikprøve,
population, systematiske fejl og skjulte variable.
Besvarelse:
Populationen er skolens 700 elever, men selve formuleringen på løbesedlerne kan være misvisende,
da ”skolen” kan bruges bredt om skoler generelt eller konkret om netop denne skole, hvorfor
undersøgelsen kan fremstå, som om den er taget på en større population (alle danske skoleelever).
Stikprøven er de 127 elever, der afgav deres stemme.
Stikprøven er stor nok til, at man kan sige noget om populationen, men problemet er, at selve
stikprøveudtagningen indeholder en skjult variabel, der kunne kaldes ”politiske engagement”. Hvis
man er politisk engageret, er der nok større sandsynlighed for, at man deltager i afstemningen (dvs.
den skjulte variabel ”politisk engagement” korrelerer positivt med ”sandsynligheden for at deltage i
undersøgelsen”). Desuden vil en politisk engageret person have større sandsynlighed for at støtte
forslaget om, at politiske organisationer skal have lov til at uddele materiale (dvs. ”politisk
engagement” korrelerer også positivt med ”sandsynligheden for at stemme for forslaget”).
Dermed er stikprøven biased.
Og da ”politisk engagement” korrelerer positivt med både sandsynligheden for at deltage i
afstemningen og for at stemme for, vil den systematiske fejl i undersøgelsen være en for høj
procentdel for forslaget.

Eksempel 2.
Opgave:
Vil indtagelse af urtete styrke helbredet hos de ældre? Dette ønsker en gruppe studerende
at undersøge. Over en periode på 6 måneder besøger de nogle tilfældigt udvalgte beboere
på et plejehjem og serverer urtete for dem. Efter 6 måneder viser det sig, at de beboere,
der fik serveret urtete, faktisk har færre sygedage, end de som ikke fik serveret noget.
De studerende publicerer resultatet af deres undersøgelse under overskriften: ”Urtete
styrker helbredet hos de ældre”.
a) Kommentér denne påstand ved at stille mindst tre kritiske spørgsmål til
undersøgelsen.
Besvarelse:
Kritiske spørgsmål:
1) Ved de ældre, at forsøget går ud på, at de måske bliver raskere?
2) Er det undersøgt, hvor mange beboere, der drak urtete i forvejen, og er der taget højde for disse i
forsøget?
3) Hvad var de ældres sygedage før besøget, og er ændringen signifikant?
4) Var der social aktivitet (mere omsorg/opmærksomhed) i forbindelse med serveringen?
5) Hvor mange personer indgik i forsøget (er stikprøven stor nok)?
6) Er det tjekket, om enkelte personer i de to grupper påvirkede det samlede resultat markant (var
der f.eks. en langtidssyg i den ene gruppe)?
Eksempel 3.
Opgave:
I Hite-rapporten, der omhandler amerikanske kvinders seksuelle adfærd, er en af
konklusionerne: ”Amerikanske kvinder er langt mere frigjorte, end hidtil antaget”.
Undersøgelsen kom til veje gennem udsendelse af spørgeskemaer til 100.000 kvinder,
hvoraf 4.500 svarede.
a) Kommentér påstanden med brug af statistiske begreber som stikprøve, population,
systematiske fejl og skjulte variable.
Besvarelse:
Populationen er alle amerikanske kvinder, og stikprøven er 4500.
Stikprøven er egentlig rigelig stor til at kunne beskrive hele populationen, men da de 4500 svar er
fremkommet efter at have spurgt 100.000 kvinder (dvs. kun 4,5% har svaret), ville selv en ”god”
stratifikation som udgangspunkt for udvælgelsen af de 100.000 kvinder ikke kunne forhindre, at
stikprøven blev biased. Så selvom de udtagne 100.000 kvinder var repræsentative for den
amerikanske befolkning, så er den endelige stikprøve på 4500 kvinder ikke.
Det ses nemlig, at selve stikprøveudtagningen indeholder en skjult variabel, der kunne kaldes ”lyst
til at snakke om seksualitet”. Hvis kvinden har lyst til at snakke om seksualitet, er der større
sandsynlighed for, at hun svarer på spørgeskemaet (dvs. ”lyst til at snakke om seksualitet” er
positivt korreleret med ”sandsynlighed for at svare på spørgeskemaet”). Tilsvarende vil en kvinde,
der har lyst til at snakke om sin seksualitet nok også være mere frigjort end gennemsnittet. Dvs.
”lyst til at snakke om seksualitet” er positivt korreleret med ”frigjorthed”).
Og dermed ses det, hvorfor stikprøven blev biased.
Da ”lyst til at snakke om seksualitet” korrelerer positivt med både ”sandsynlighed for at svare på
spørgeskemaet” og ”frigjorthed”, vil undersøgelse indeholde den systematiske fejl, at de
amerikanske kvinder kommer til at fremstå mere frigjorte, end de er.

1. Politiken
2. Statistiske undersøgelser
5/1 2009: Gråd kan forlænge dine problemer
En tudetur virker ikke altid rensende og lettende, viser ny undersøgelse.
De fleste kender følelsen af at kunne trænge til en rigtig tudetur for at få afløb for de negative følelser,
der har hobet sig op.
Men selv om en tudetur kan gøre underværker, bør man ikke altid opfordre folk til at få grædt ud, skriver
Forskning.no. En undersøgelse, som forskere fra University of South Florida og Tilburg University i USA
står bag, tyder nemlig på, at der også findes en dårlig form for gråd.
60 procent får det bedre efter tudetur
Forskerne har taget udgangspunkt i 3000 indrapporterede grædeoplevelser fra personer, der for nylig havde
grædt. Et af de interessante spørgsmål, forskerne ville have svar på, var, om forsøgspersonerne havde følt sig
bedre tilpas efter tudeturen. Det gjorde 60 procent, mens 30 procent svarede, at de følte humøret var
uændret. 10 procent mente dog, at de havde fået det værre.
Opgave:
1) Hvad er populationen, og hvad er stikprøven?
2) Kommenter undersøgelsen med hensyn til bias, skjulte variable og systematiske fejl.
2. Berlingske Tidende 20/1 2009: Gå til fest og undgå demens
Det kan hjælpe at fylde sin kalender med aftaler og gå til fester, hvis man vil undgå f.eks. Alzheimers.
Folkesygdommen demens kan måske afhjælpes, ved at man går til fest, networker og udbygger sin
omgangskreds.
Det antyder ny forskning foretaget ved Karolinska Institutet i Sverige. I Danmark er der, i følge Alzheimers
Foreningen mellem 70.000 og 80.000 mennesker med en form for demenssygdom. Ca. 60 procent af disse
skyldes Alzheimers.
Forskerne fandt, at socialt aktive mennesker, der ikke har stress, har 50 procent mindre risiko for at udvikle
demens sammenlignet med kvinder og mænd, der er ensomme og triste.
Aktiv livsstil
Forskernes resultater viderebringes af the journal Neurology. Til udgivelsen siger Hui-Xin Wang, der ledede
projektet:
- Tidligere undersøgelser viste, at kronisk sorg og tristesse kan influere på dele af hjernen, så
som hippocampus, og sandsynligvis føre til demens.
Hippocampus er den del af hjernen, der er vigtig for menneskets orienteringsevne og hukommelse.
- Men vores resultater antyder, at en rolig men også udadvendt personlighed sammen med en aktiv livsstil,
sandsynligvis mindsker udviklingen af demens yderligere.
Firedoblet i år 2040
Videnskabsmænd regner med, at antallet af mennesker med demens vil være firedoblet i år 2040. En
understregning af, hvor vigtigt det er at forstå sygdommen bedre, siger forskerne.
506 ældre ikke-demente deltog i det svenske demens-projekt. Deltagerne skulle redegøre for deres livsstil,
vaner og personlighed, hvorefter man fulgte dem gennem seks år.
I løbet af den tid udviklede 144 demens, mens resten, der var mere socialt aktive og mindre stressede, havde
50 procent mindre risiko for at få diagnosen demens.
Opgave:
1) Hvad er populationen, og hvad er stikprøven?
2) Stil et eller flere kritiske spørgsmål til undersøgelsen – helst med inddragelse af skjulte variable.

3. LMFK-bladet nr.1 – Januar 2009
I septembernummeret 2008 anmodede vi læserne om via et elektronisk spørgeskema at vurdere
LMFK-bladet. Vi takker alle, der gav sig tid til at svare og kan på baggrund af undersøgelsen
konkludere og kommentere på nedenstående måde.
Der er 152, der har svaret. Det er langt under 10% af medlemmerne, hvilket er en skuffende lav
deltagelse.
Samlet set har vi på baggrund af de indkomne svar god grund til at være tilfredse med bladet.
84% er samlet set tilfredse eller meget tilfredse med bladet. 4% er utilfredse, ingen er meget
utilfredse.
Meget tyder på, at medlemmerne stort set læser det, der er relevant for de foreninger, de er
medlemmer af.
Bladets afsnit med korte meddelelser, invitationer, konkurrencer og lignende anses af
hovedparten af læserne som værende relevant og som en vigtig informationskanal, så disse
sider må der ikke pilles ved.
Opgave:
1) Hvad er populationen, og hvad er stikprøven?
2) Kommenter første og sidste punkt i konklusionen med hensyn til bias, skjulte variable og
systematiske fejl.
3) Stil mindst ét kritisk spørgsmål til det midterste punkt.
4. Magisterbladet, 1. nummer 2009
Evnerne afgør lønnen – ikke uddannelsen
Læs naturvidenskab – så er du sikker på, at lønningsposen bliver godt fyldt, når du kommer ud på
arbejdsmarkedet.
Den opfattelse deler mange, men en ny undersøgelse skyder den i sænk. Det er nemlig ikke uddannelsen,
men evnerne der afgør, hvor mange nuller der kommer på lønningschecken. Og her er de matematiske og
logiske evner udslagsgivende, viser et forskningsprojekt, som er et samarbejde mellem SDU, CBS’ Centre
for Economic and Business Research og Danmarks Erhversforskningsakademi (DEA).
”Indtil nu har vi opfattet løngabet mellem humanister og naturvidenskabelige kandidater som et resultat af
uddannelse. Men nu viser det sig, at lønforskellen grundlægges inden studiestart. Kommende studerende
med sproglige evner har altså allerede tabt lønkampen, før de beslutter sig for, om de vil være ingeniører
eller retorikere. Det, at man eksempelvis er god til sprog, bliver nemlig ikke belønnet lige så godt på
arbejdsmarkedet som matematisk begavelse, ligegyldigt om der står cand.mag. eller cand.merc. på
eksamensbeviset”, siger Tage Koed Madsen, professor ved SDU.
Humanister tjener kun omkring 70 procent af den løn, andre kandidater tjener, og det spiller ikke ind, om
man er ansat i det offentlige eller det private – samme forskel ses, hvis man kun kigger på de privatansatte.
Heller ikke det, at humanister oftere er kvinder, som typisk får lavere løn end mænd, holder som forklaring,
viser projektet. Derfor har man hidtil forklaret lønforskellen med, at uddannelsesvalget er afgørende, men det
afviser undersøgelsen.
Forskergruppen bag den overraskende konklusion har analyseret data for alle personer i Danmark, der tog en
studentereksamen i perioden 1982-1990. De viser ikke overraskende, at man er tilbøjelig til at vælge
uddannelse efter, hvilken linje man læst i gymnasiet. En samfundssproglig er altså mere tilbøjelig til at vælge
en lang videregående samfundsfaglig uddannelse end en nysproglig student. Det overraskende er derimod, at
der ses en tydelig lønforskel mellem matematiske og sproglige studenter, der er endt med at læse samme
videregående uddannelse. Ligeledes viser dataene, at personer, der har en matematisk-fysisk eller en
matematisk-samfundsfaglig studentereksamen, får en højere løn end personer med andre kombinationer.
Ifølge forskergruppen viser det, at gode evner inden for matematik og logik giver bonus på arbejdsmarkedet,
mens fx lingvistiske evner ikke udløser de samme lønninger.
Opgave: 1) Hvad er populationen, og hvad er stikprøven.
2) Kommentér undersøgelsen med hensyn til skjulte variable og systematiske fejl.

5.Strækøvelser er spild af tid (Jyllandsposten 29. januar 2009)
Spring bare strækøvelserne over, når du har overstået løbeturen. Forskning viser nemlig, at
det er en skrøne, at udstrækning forebygger ømme ben.
Strækøvelser er spild af tid. Man får hverken blødere og længere muskler eller bliver mindre øm i benene
dagen efter, at man har dyrket motion, blot fordi der strækkes ud i 5-10 minutter.
Det fastslår eksperter, som kalder det en skrøne, at udstrækningsøvelser har nogen som helst virkning for
motionister. Forskning gennem de seneste 10 år viser, at udstrækning ikke påvirker restitutionen af
musklerne efter træning. »Det gør ingen forskel, om man strækker ud eller lader være efter en løbetur i
skoven. Mange vil nok påstå, at de kan mærke forskel, men det kan de reelt ikke,« siger sportsfysiolog Thue
Kvorning, der er fysisk træner ved Team Danmark. Han siger, at det ikke har hold i virkeligheden, at
udstrækning er relevant for at undgå ømhed efter træning. »Det holder heller ikke, at man skal strække ud
for at undgå, at musklerne bliver kortere,« siger Thue Kvorning.
Musklen er en elastik
Han bakkes op af Peter Magnusson, Bispebjerg Hospital, der for 10 år siden kom med de første
forskningsresultater om udspændingens ringe betydning. Han fortæller, at musklerne opfører sig som en
elastik. Når man strækker dem ud, bliver de længere, men ganske kort efter har de igen trukket sig sammen
til den normale længde. Når sportsfolk oplever, at udstrækningsøvelserne gør dem mere smidige, handler det
ikke om en fysisk forandring af musklen, men om en ændret smertetærskel hos sportsudøveren.
»De studier, der er lavet, viser, at udspænding ikke har nogen effekt for muskelømhed eller
skadesforebyggelse,« fastslår Peter Magnusson.
Han tilføjer dog, at det i nogle sportsgrene er en fordel at arbejde målrettet med smidigheden. Det gælder
f.eks. hækkeløb. Løbere har derimod ingen gavn af udstrækning.
Opgave: Stil mindst tre kritiske spørgsmål til undersøgelsen.
6. Overarbejde gør dig dum (Magisterbladet nr. 2 2009)
Dit ordforråd bliver mindre, og din evne til at tænke logisk lider skade, hvis dit overarbejde løber løbsk. Det viser en
undersøgelse blandt en stor gruppe engelske midaldrende embedsmænd og –kvinder.
Undersøgelsen er foretaget af det finske arbejdsmiljøinstitut sammen med University College i London. 2.214 ansatte i
centraladministrationen er testet i to perioder med nogle års mellemrum. Studierne viser en tydelig sammenhæng
mellem lange arbejdsuger og nedsatte åndsevner.
Alle undersøgelsens deltagere havde fuldtidsarbejde, da en række grundlæggende data blev samlet ind i perioden 1997
til 1999. Mange arbejdede omkring 40 timer om ugen, mens andre havde arbejdsuger, der var længere end 55 timer.
Deltagerne blev testet igen i årene 2002 til 2004. Gruppen med lange arbejdsuger klarede sig klart dårligst, når de igen
blev testet for en række kognitive færdigheder. De var dårligst til at formulere sig. De havde mindre ordforråd og
vanskeligheder med både udtale og betydning af ord. De huskede heller ikke nær så godt som gruppen, der arbejdede 40
timer om ugen.
Sammenhængen mellem lang arbejdstid og nedsatte kognitive færdigheder synes entydig. Forskerne bag undersøgelsen
har vendt og drejet øvrige faktorer som alder, køn, ægteskabelig status, uddannelse, indkomst, handicap, psykosociale
faktorer, søvnproblemer og usund levevis. Resultatet af undersøgelsen står uanfægtet: Det er overarbejdet, der gradvist
æder sig ind på evnen til embedsmændenes logiske og sproglige færdigheder.
Leder af projektet er finske dr. Marianna Virtanen. Den nye viden indgår i det såkaldte Whitehall II Study og er
offentliggjort i American Journal of Epidemiology.
Opgave: Argumentér for hvordan de nævnte ’øvrige faktorer’ kunne have fungeret som skjulte variable.
7. Opgave: Beskriv en undersøgelse, du vil lave. Det skal fremgå meget klart, hvad
populationen er, og du skal beskrive, hvordan stikprøven udtages – evt. med inddragelse af
stratificering.
Kommentér din undersøgelse med hensyn til bias, skjulte variable og systematiske fejl.

3. Hypotesetest
Indledning:
Et statistisk test er en procedure til at vurdere, om et datamateriale er i overensstemmelse med en
fremsat hypotese.
Bemærk ordet ”vurdere”. Man kan ikke afgøre, om der er overensstemmelse, men ’kun’ give en
(velbegrundet) vurdering.
Begreber:
Hypoteser:
Nulhypotesen H0: Den hypotese, der afprøves i et statistisk test. Angives i form af den antagne
værdi for den parameter, der testes på, f.eks. en middelværdi: H0: 0.
Den alternative hypotese H1: Den hypotese, som nulhypotesen holdes op imod. Med ovenstående
nulhypotese kan den alternative hypotese være:
a) H : Tosidet test
1 0
b) H : Venstresidet test
1 0
c) H : Højresidet test
1 0
Signifikans: Et resultat siges at være statistisk signifikant, hvis det er usandsynligt, at det er
indtruffet ved et tilfælde. Det kan også udtrykkes ved, at der foreligger signifikans.
Signifikansniveauet er den sandsynlighed, der fastsætter, hvad der skal regnes som ’usandsynligt’.
Dette niveau er ikke fast. Det oftest benyttede er = 0,05.
Hvis resultatet er usandsynligt, forkastes nulhypotesen.
Områder:
Acceptområde A: Det område (den mængde), inden for hvilket den målte parameter skal ligge, hvis
nulhypotesen skal accepteres.
Det kritiske område K: Det område (den mængde), inden for hvilket den målte parameter skal ligge, hvis
nulhypotesen skal forkastes.
Ved et tosidet test ligger det kritiske område på hver sin side af acceptområdet. Hvis man f.eks. arbejder
ud fra en antagelse om, at den målte parameter er normalfordelt med middelværdi og spredning og
har fastsat et signifikansniveau på 5%, vil det kritiske område være
K ; 1,96 1,96 ;
A 1,96 ; 1,96
.
,
mens acceptområdet er
Ved et venstresidet test ligger det kritiske område til venstre for acceptområdet. Med samme antagelse
K ; 1,645
A 1,645 ;
.
som ovenfor fås det kritiske område og acceptområdet
Tallet 1,645 er fundet ud fra, at der skal være 5% chance for at havne i det kritiske område.
Detalje: Ved normalfordelinger og andre kontinuerte fordelinger kan ’snittet’ lægges præcist ved de 5%.
Dette er ikke tilfældet ved diskrete fordelinger. Så her er der brug for en mere præcis formulering, der
siger, at signifikansniveauet er den maksimale sandsynlighed, der fastsætter, hvad der skal regnes som
’usandsynligt’.
Dvs. at med signifikansniveauet 5% kan man f.eks. være nødt til at vælge en kritisk mængde, som der
måske kun er 1,3% sandsynlighed for at ramme indenfor (bemærk at de 1,3 bare er et eksempel på et tal
mindre end 5).
Fejltyper:
Hypotesen accepteres Hypotesen forkastes
Sand hypotese
Falsk hypotese
Fint
Fejl af 2. art /
Type II-fejl /
-fejl
Fejl af 1. art /
Type I-fejl /
-fejl
Fint