Vejgeometri - Vestergaards Matematik Sider

© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 13
Øvelse 10
Vis, at hvis a1, a2, a3, a4
er skalarer (tal), har determinanten nedenstående egenskab.
Specielt er determinanten lineær i hver af argumenterne!
(20)
Bemærkning 11
det( av 1 1+ av 2 2, av 3 3+ a4v4)
= aa det( v, v ) + aa det( v, v ) + a a det( v , v ) + aa det( v , v )
1 3 1 3 1 4 1 4 2 3 2 3 2 4 2 4
Selv om emnet ikke skal behandles her, skal det lige nævnes, at krumningen af en
rumlig kurve netop defineres ved r'' 1 () s . Krumningen af en rumlig kurve er derfor altid
større end eller lig med 0. I planen kan vi med definition 6 derimod udmærket have en
negativ krumning!
2.5 Krumningscirkel
I dette afsnit skal vi se, at man, hvis vektorfunktionen er tilstrækkelig pæn i en omegn af
et punkt P, kan tilnærme banekurven i nærheden af dette punkt med en cirkel med en
radius, som er omvendt proportional med den numeriske værdi af krumningen i P.
Definition 12
2 kurve
Lad rt ( ), t∈I være en regulær parametriseret C −
. For et vilkårligt t∈I lader
vi P være det til parameteren t svarende punkt, dvs. OP = r ( t)
. Antag, at krumningen
κ() t ≠0.
Da defineres krumningscirklen i punktet P som den cirkel, der har radius lig
med R() t = 1 κ () t og som har centrum i punktet C bestemt ved:
1
(21)
OC = OP + ⋅n
κ()
t
hvor n = tˆer
normalvektoren i det ledsagende koordinatsystem i P. Denne enhedsvek-
tor er ifølge (7) og (8) givet ved formlen ()
nt = r't () r't () . Størrelsen ρ () t = 1 κ () t kaldes
for krumningsradius, der eventuelt kan være negativ.
På figur 5 på næste side peger normalvektoren fra P ud af den kraftige stiplede linje.
Det er den lille kraftigt optrukne cirkel C
, som er krumningscirklen. Den anden cirkel
vil blive beskrevet i den næste sætning, som retfærdiggør begrebet krumningscirkel.
Bemærk, at hvis man gennemløber kurven i modsat retning, så vil krumningen, jvf. bemærkning
7, godt nok skifte fortegn, men normalvektoren vil også blive vendt 180°.
Det betyder, at krumningscentrum ifølge (21) vil være uændret