Vejgeometri - Vestergaards Matematik Sider

36
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
Opgave 221
rt () = ( R⋅cos(), t R⋅sin()) t er en parameterfremstilling for en cirkel med radius R.
a) Hvis t angiver tiden, hvor stor er så farten i kurven? Er den fast?
b) Foretag et passende parameterskifte, så farten i banekurven får den faste værdi 25
m/s. Radius er lig med 400 m.
c) Generaliser resultatet fra b) til en cirkel med radius R og hvor farten i kurven er v0
.
d) Overvej forskellige parameterfremstillinger, som svarer til at bilens fart øges i
cirkelkurven, eller mindskes.
Opgave 222
Givet den parametriserede kurve
rt ( ) = (cos( t),sin( t)); t≥0. 1 2 1 2
2 2
a) Beskriv banekurven.
b) Vis, at farten er vokser proportionalt med tiden.
c) Er accelerationens størrelse konstant?
d) Er selve accelerationen konstant?
Opgave 231*
Kurven med parameterfremstillingen
3 ⎛ ⎞
⎛xt () ⎞ cos() t
π
rt () = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟;
t∈]0,
[
3
4
⎝yt () ⎠
⎜sin ( t)
⎟
⎝ ⎠
er en del af en såkaldt Asteroide. Du skal i denne opgave bestemme den naturlige para-
2 2
meterfremstilling for kurven, idet du undervejs gør brug af, at cos ( t) + sin ( t)
= 1,
også
kaldet ”idiot-formlen”.
a) Bestem et udtryk for hastighedsvektoren.
b) Vis, at farten ved omskrivning kan skrives på formen 3 sin( t)cos( t)
.
π
c) Vis, at kurvelængde-funktionen med udgangspunkt i t0
= kan skrives på følgende
4
3 2 1
form: st () = 2( sin() t − 2)
.
d) Brug c) til at vise, at den naturlige parameterfremstilling for kurven, med udgangs-
π
punkt i t0
= kan skrives på formen
4
2 1
2
( 1−
( s + ) )
2 1
32
( s + )
32
⎛ ⎞
⎜ 3 2 ⎟
3 3
r1 s = s∈
−
4 4
() ⎜ ⎟;
] , [
⎜ ⎟
⎝ 3 2 ⎠