Vejgeometri - Vestergaards Matematik Sider

© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 9
(6) r1() s = r( ϕ()), s s∈I1 (7) 1
1 r'( t)
r'() s = r'( ϕ()) s ⋅ϕ '() s = r'() t ⋅ =
r'() t r'() t
I (7) har vi anvendt (2). Den viser, at hastighedsvektoren for r1 overalt har længden 1.
Kurven gennemløbes altså med den konstante fart 1! Det er ofte svært i praktiske opgaver
at bestemme den naturlige parameterfremstilling, da det involverer, at man finder
et udtryk for den inverse funktion til kurvelængdefunktionen.
2.4 Tangentdrejning og krumning
2
Givet en regulær parametriseret C − kurve rt (), t∈I . Lad dens naturlige parameterfremstilling
være 1 . Vi vil for ethvert punkt langs kurven definere to vektorer:
(), r s s I ∈
1
t() s = r'(), s n() s = tˆ() s
(8) 1
Vektoren t er altså tangentvektoren, mens den såkaldte normalvektor fås som tværvektoren
til tangentvektoren. Ifølge forrige afsnit har tangentvektoren længden 1, hvoraf
det fremgår, at i ethvert punkt af kurven udgør et ortonormalsystem – dvs.
vektorerne har længde 1 og er indbyrdes ortogonale. Systemet kaldes derfor passende
for det ledsagende koordinatsystem langs kurven. Betegnelserne
n
( t(), s n() s )
t og n er almindelige
i litteraturen. Førstnævnte bør ikke forveksles med parameteren t! I det følgende skal vi
studere, hvordan tangentvektoren drejer, når man bevæger sig langs kurven.
Definition 5
Givet et fast punkt P0 på kurven svarende til parameteren s 0 . Vi definerer da ( ) som
den vinkel, som tangentvektoren
s θ
t() s danner med den faste tangentvektor
t( s0) i 0 .
Situationen er illustreret på figur 3.
P
Figur 3
Vi kan nemmere overskue situationen, hvis vi sammen med t( s0)
og ns ( 0)
tegner de
repræsentanter for vektorerne t() s og ns ( ) , som har udgangspunkt i P0
: