Vejgeometri - Vestergaards Matematik Sider

© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk 39
Opgave 247
I matematikken defineres de to funktioner cosinus hyperbolsk og sinus hyperbolsk ved
1 x x
henholdsvis: cosh( x) ( e e )
−
1 x x
= + og sinh( x) ( e e )
−
= − .
2
a) Brug definitionerne til at vise, at ( cosh( x) ) ′ = sinh( x)
og ( )
b) Betragt følgende parametriserede kurve:
⎛xt () ⎞ ⎛a⋅cosh() t ⎞
rt () = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟;
t∈ R
⎝yt ( ) ⎠ ⎝b⋅sinh( t)
⎠
2
sinh( x) ′ = cosh( x)
.
Bestem et udtryk for krumningen af denne kurve i punktet svarende til parameterværdien
t.
c) Angiv et udtryk for krumningsradius i punktet svarende til parameterværdien t.
d) Angiv et udtryk for centrum for krumningscirklen i punktet svarende til parameterværdien
t.
e) Vis, at banekurven for ovenstående parametriserede kurve fremstiller den ene gren
af hyperblen med ligning:
2 2
⎛ x⎞ ⎛ y⎞
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ =
⎝a⎠ ⎝b⎠ Opgave 248*
Lad rt ( ) være en regulær parametriseret kurve. Vis, at vinklen mellem tangenterne til
kurven i punkterne svarende til parametrene t1 og 2 er givet ved
t
Δθ = θ( t ) − θ ( t ) = ( κ⋅ v)
dt
2 1
hvor κ er krumningen og v er hastigheden. Hjælp: Vis først, at påstanden holder, hvis
der er tale om en naturlig parameterfremstilling, idet du bruger definitionen κ= dθ ds.
Opgave 251
Givet en kurve med parameterfremstilling
t
t
∫
1
2
3 ⎛ ⎞
⎛xt () ⎞ t −1
rt () = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟;
t∈
−3,3
yt () 2
⎝ ⎠
⎜t + 2t⎟
⎝ ⎠
1
] [
a) Bestem hastighedsvektoren og accelerationsvektoren til ethvert tidspunkt.
b) Vis, at der er tale om en regulær parametriseret kurve.
c) Bestem et udtryk for krumningen.
d) Bestem nogle kurvepunkter, hvor krumningen er 0.
e) Brug grafregneren til at skitsere banekurven.