Vejgeometri - Vestergaards Matematik Sider

32
Opgaver
© Erik Vestergaard – www.matematiksider.dk
I denne sektion har jeg angivet nogle opgaver, som kan være med til at uddybe resultaterne
fra kapitlerne 2, 3 og 4, samt give inspiration til ekstra udforskning. Nogle af opgaverne
har vigtige anvendelser inden for faget fysik, og kan måske benyttes som projektopgaver!
Opgaverne er nummereret, så de to første cifre angiver det afsnit, de hører
til. For eksempel er opgave 245 den femte opgave i afsnit 2.4. Opgaver af lidt større
sværhedsgrad er markeret med en *.
Opgave 211
Givet en kurve med parameterfremstilling
2 ⎛ ⎞
⎛xt () ⎞ t + 1
rt () = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟;
t∈
−2,5;2,5
1 3
⎝yt () ⎠ ⎜ t − t+
2⎟
⎝ 3 ⎠
] [
a) Bestem hastighedsvektoren og accelerationsvektoren til ethvert tidspunkt.
b) Vis, at der er tale om en regulær parametriseret kurve.
c) Brug grafregneren til at skitsere banekurven.
d) Kurven har et såkaldt dobbeltpunkt, hvormed menes et punkt, som mødes to gange.
Beregn koordinaterne til dette punkt og bestem de to tidspunkter, hvor det passeres.
Bestem endvidere vinklen mellem tangentvektorerne i dobbeltpunktet.
e) Bestem punkter, hvori der er vandret, henholdsvis lodret tangent.
f) Hvis man udvider definitionsmængden til hele R, så viser det sig, at banekurven
nærmer sig asymptotisk til en ret linje, når t →∞.
Prøv at bestemme ligningen for
denne linje enten ved at prøve dig frem på grafregneren eller ved brug af polynomiets
division.
Opgave 212
Kurven givet ved følgende parameterfremstilling kaldes for en hypotrochoide:
⎛xt () ⎞ ⎛2⋅ cos() t + 3cos(2) ⋅ t ⎞
rt () = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟;
t∈[0,2
π ]
⎝yt () ⎠ ⎝ 2sin() ⋅ t −3sin(2) ⋅ t ⎠
a) Bestem udtryk for hastighedsvektoren og accelerationsvektoren.
b) Bestem farten i punktet svarende til tidspunktet t = 0 .
c) Tegn banekurven, eventuelt ved hjælp af grafregneren.