Billeddannende
Billeddannende
Billeddannende
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Vi skal snakke om lys generelt. Først som elektromagnetiske bølger for at få<br />
sammenhængen med bølgelæren vi havde i sidste lektion og elektromagnetismen fra<br />
sidste år(34.1-2+6 SJ6.ed, 34.2-3+7 SJ7.ed). Dernæst skal vi se hvordan lys kan<br />
tilnærmes som stråler (35.1+3-8 SJ 6.-7. ed), analysere strålegangene ved spejle og<br />
gennem linser (36.1-4 SJ 6.-7. ed) og slutteligt se hvordan øjet og et mikroskop virker<br />
i princippet (36.7-9 SJ 6.-7. ed).<br />
Lys<br />
Partikel- eller bølgemodel<br />
Fra antikkens grækere op til slutningen af det 17. årh. blev lys opfattet som en byge af<br />
partikler. En meget fremtrædende fortaler for denne opfattelse var Sir Isaac Newton,<br />
som i 1672 fremsatte sin partikelteori for lys 1 .<br />
Men i 1678 fremsatte hollænderen Christiaan Huygens en på daværende tidspunkt<br />
meget kontroversiel teori, hvori han beskrev lys som et bølgefænomen. Teorien blev<br />
generelt afvist, bl.a. med det argument, at en lysbølge ved passage af en forhindring<br />
ville blive afbøjet, sådan at det ville være muligt at se om hjørner.<br />
I 1801 påviste englænderen Thomas Young, at to lysstråler kan udslukke hinanden<br />
(interferere destruktivt). Dette, sammen med en række andre resultater, kulminerende<br />
med Maxwells beskrivelse i 1873 af lys som en elektromagnetisk bølge (figur 1), til<br />
en udbredt accept af bølgebeskrivelsen af lys på bekostning af den tidligere<br />
partikelmodel.<br />
figur 1. En representation af en linear polariseret elektromagnetisk bølge som bevæger sig i xaksens<br />
retning med hastigheden c. Bemærk hvordan det E og B oscillerer omkring x aksen som<br />
sinus bølger.<br />
Maxwells ligninger havde stor succes, fordi de svarede på mange af datidens<br />
spørgsmål, og så kan man måske også driste sig til at synes at de er elegante, hvis man<br />
kan mene noget sådant om fysik.<br />
1 Det skal nu ikke forstås sådan at han var langt foran sin tid med en moderne teori for lys. Newton<br />
beskæftigede sig også en del med alkymi og andre af datiden aristokratiske sysler. På trods af disse<br />
knapt så heldige ting må vi stadig se hans afhandling, Principia Mathematica, som et mesterværk. Den<br />
lancerede i det væsentlige den videnskabelige tankegang. Måske det litterære værk, som har haft størst<br />
betydning for moderne tankegang i det sidste årtusinde.<br />
1/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
q<br />
∫ E⋅ dA=<br />
(Gauss’ lov)<br />
ε 0<br />
(1.1)<br />
∫ B⋅ dA<br />
= 0 (Gauss’ lov) (1.2)<br />
dΦ<br />
B<br />
∫ E⋅ ds=<br />
(Faraday’s lov)<br />
dt<br />
(1.3)<br />
d E<br />
d µ 0I µ 0ε0 dt<br />
Φ<br />
∫ B⋅ s=<br />
+ (Ampére-Maxwll’s lov) (1.4)<br />
, E er det elektriske felt, B er det magnetiske felt, dA er et lille areal gennem hvilket<br />
felterne betragtes, ds er en lille lukket vej over hvilken der skal integreres, og Φ<br />
ΦE B<br />
er hhv. den elektriske og magnetiske fluks gennem den integrerede vej. ε 0 er<br />
permittiviteten af vakuum, q er ladning, I er strøm.<br />
Vi skal se hvordan man ud fra Faraday’s (1.3) og Ampere-Maxwells (1.4) love kan<br />
vise, at elektromagnetiskstråling er bølger, som udbreder sig med lysets fart i vakuum.<br />
I vakuum er der af gode grunde ingen ladninger, og derfor heller ingen strøm, så q = 0<br />
og I = 0. Man kan vise at Faraday’s og Ampere-Maxwells love kan omskrives til<br />
∂E ∂B<br />
=−<br />
∂x ∂ t<br />
(1.5)<br />
∂B ∂E<br />
=−µε<br />
0 0<br />
∂x ∂ t<br />
(1.6)<br />
Vi skal ikke vise det her, men skulle der være lidt tid juleaften eller sådan noget, så er<br />
det alle tiders underholdning at vise det. Lad os nu differentiere (1.5) og indsætte (1.6)<br />
så får vi:<br />
2 2<br />
∂ E ∂ ⎛∂B⎞ ∂ ⎛∂B⎞ ∂ E<br />
=− µε<br />
2 ⎜ ⎟=− ⎜ ⎟=<br />
0 0<br />
(1.7)<br />
2<br />
∂x∂x⎝ ∂t ⎠ ∂t⎝ ∂x ⎠ ∂t<br />
Så gør vi det sammen bare omvendt. Vi differentierer (1.6) og indsætter (1.5).<br />
2 2<br />
∂ B ∂ ⎛∂E⎞ ∂ ⎛∂E⎞ ∂ B<br />
=− µε 2 0 0 ⎜ ⎟=− µε 0 0 ⎜ ⎟=<br />
µε 0 0<br />
(1.8)<br />
2<br />
∂x∂x⎝ ∂t ⎠ ∂t⎝ ∂x<br />
⎠ ∂t<br />
1<br />
Hvis nu der havde stået 2<br />
v<br />
i stedet for µ 0ε 0,<br />
ville vi have genkendt bølgeligningen<br />
med det samme. Så hvis vi kalder lysets fart c og kan vi se at:<br />
1<br />
2<br />
c<br />
= µε 0 0 ⇒ c =<br />
1<br />
µ ε<br />
(1.9)<br />
Altså har vi vist at Maxwells ligninger forudsiger elektromagnetiske bølger, som<br />
udbreder sig gennem vakuum med lysets fart.<br />
Det elektromagnetiske spektrum<br />
Vi har lige set at lysets hastighed i vakuum er en naturkonstant. Der er også en nær og<br />
simpel sammenhæng mellem lysets hastighed, c, frekvensen, υ 2 , og bølgelængden, λ,<br />
nemlig:<br />
c = λυ<br />
2 Læg mærke til at lyset frekvens betegnes med υ , ikke at forveksle med lysets fart som kaldes c i<br />
vakuum. Lysets fart i andre medier kaldes stadig v.<br />
0 0<br />
2/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Det vil sige, ved højere frekvens er bølgelængden lavere, og omvendt.<br />
Figur 2. Det elektromagnetiske spektre.<br />
Som I ved er elektromagnetisk stråling karakteriseret ved frekvensen eller<br />
bølgelængden som vist på figuren. Læg mærke til at det synlige spektrum kun udgør<br />
en ganske lille del af den elektromagnetiske stråling.<br />
Maxwell’s ellers så succesrige bølgemodel kunne imidlertid ikke forklare, hvorfor<br />
energien af elektroner løsrevet fra en metaloverflade ved den såkaldte fotoelektriske<br />
effekt er uafhængige af lysets intensitet.<br />
Albert Einstein kunne i 1905 forklare den fotoelektriske effekt ved at lysets energi<br />
−34<br />
kommer i udelelige portioner E = hυ kaldet fotoner, hvor h≅6,63⋅10<br />
Js er Plancks<br />
3<br />
konstant . Løsrivelsen af en elektron sker således ved overførslen af energien fra én<br />
foton, hvorfor elektronens efterfølgende kinetiske energi ikke er uafhængig af lysets<br />
intensitet. Intensiteten er blot et udtryk for antallet af fotoner. Dét var der dog ikke<br />
mange der troede på, ikke engang Plank, blandt andre tvivlere kan nævnes Bohr og<br />
Hertz. I 1921 fik Einstein dog Nobel prisen, så på det tidspunkt var man da blevet<br />
nogenlunde enige om rigtigheden af Einsteins betragtninger.<br />
Dette var startskuddet til den moderne fysik. I første omgang var Niels Bohr ikke<br />
overbevist om den her kvantisering af Einsteins lys, men der var en del ting som Bohr<br />
ikke kunne forklare om sine atomer. I den klassiske fysik ville brintatomet ikke<br />
overleve længere en 0,5 s. Bohr lancerede efter nogen tids tøven en kvantiserings teori<br />
for elektronernes energi omkring atomkerne. Han forkastede fuldstændigt den<br />
klassiske fysik. Einstein derimod kæmpede resten af sit liv for at finde<br />
sammenhængen mellem den klassiske fysik og denne nye kvantefysik. I mellemtiden<br />
nåede han også lige at fremsætte relativitetsteorierne.<br />
3 Planck havde allerede på det tidspunkt indført kvantisering til at forklare strålingsspektret af en<br />
glødetråd.<br />
3/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Partikel-bølge-dualiteten<br />
Som antydet er fotonenergiens afhængighed af lysets frekvens, men var Einsteins<br />
teori ikke en tilbagevenden til Newtons partikelteori. Fotonerne er nemlig kendetegnet<br />
ved en fase, sådan at to fotoner i modfase kan udslukke hinanden. Lyset har således<br />
både partikel- og bølgenatur (den såkaldte partikel-bølge-dualitet), og adskiller sig<br />
derfor fundamentalt fra alle dagligdagsfænomener. Den menneskelige hjerne er bedst<br />
til at begribe ting, som kan opfattes med vores sanser, og må derfor kombinere to<br />
modstridende mentale billeder, partikler og bølger, for at ’forstå’, hvad lys egentlig er.<br />
Partikel-bølge-dualiteten er ikke speciel for lys, men kendetegner ifølge<br />
kvantemekanikken al stråling og al stof (elektroner, protoner, neutroner, atomer,<br />
molekyler, osv.), og dermed alle universets bestanddele! Det viser sig, at lys i en<br />
given sammenhæng udviser enten partikel- eller bølgeadfærd, og man kan således<br />
komme langt i sin beskrivelse af lysfænomener ved skiftevis at anvende en<br />
partikelmodel eller en bølgemodel. Dette er selvfølgelig utilfredsstillende, og der<br />
findes da også én samlet teori for lys kaldet kvanteelektrodynamikken. Men en samlet<br />
teori for andre partikler findes ikke. Det er moderne fysikeres fineste mål at finde en<br />
sådan teori for alt, men det er ikke pensum i dette kursus.<br />
I det følgende vil vi nøjes med at fokusere på lysets bølgeegenskaber og endda<br />
tilnærme det med en beskrivelse af strålegangen og den følgende geometri.<br />
Når vi beskæftiger os med fysik, opstiller vi ofte modeller, til at beskrive de<br />
fænomener vi observerer. Der findes hovedsagligt 3 modeller der beskriver lys under<br />
forskellige forhold.<br />
Geometrisk optik: Bølgelængden er kort i forhold til dimensionerne på udstyret og<br />
fotonernes energi er lav i forhold til energifølsomheden af måleudstyret.<br />
Bølge optik: Bølgelængden er i samme størrelsesorden som udstyret og fotonernes<br />
energi er lav i forhold til energifølsomheden af måleudstyret.<br />
Partikel optik: Hvis bølgelængden er kort, dvs. frekvensen og energien er høj, kan<br />
bølgefænomener igen negligeres kan den elektromagnetiske stråling betragtes om<br />
partikler.<br />
Geometrisk optik<br />
Inden for den geometriske optik beskrives lysudbredelsen vha. bølgefronter og<br />
strålegange under anvendelse af den såkaldte strålegangstilnærmelse.<br />
I strålegangstilnærmelsen antages lys i homogene medier at udbrede sig efter rette<br />
linier kaldet strålegange, sådan at lyset kun skifter retning ved overgange mellem<br />
medier med forskellige brydningsindeks.<br />
Strålegangstilnærmelsen er kun gyldig for λ d , hvor d er udstrækningen af de<br />
objekter, herunder huller, som lyset møder på sin vej (figur 3). I tilfælde (b) og (c) er<br />
strålegangstilnærmelsen således ikke opfyldt, idet lyset skifter retning, selvom det<br />
hele tiden udbreder sig i luft. At lyset på denne måde løber om hjørner, når det møder<br />
små forhindringer, kaldes diffraktion.<br />
4/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
figur 3. En plan bølge med bølgelængden λ møder en barriere med et hul med størrelsen d. (a)<br />
Når λ > d vil åbningen virke som en punkt kilde og udsende<br />
sfæriske bølger.<br />
Lys ved en grænseflade<br />
Når en lysstråle møder en grænseflade mellem to forskellige medier, vil en del af<br />
lysstrålen blive reflekteret og den resterende del blive transmitteret (figur 4) (tænk på<br />
et vindue, som man både kan se igennem og samtidig se sit spejlbillede i).<br />
figur 4. Lys reflekteres og brydes i en glasoverflade.<br />
Refleksion<br />
Lad os se på hvordan en lysstråle reflekteres. Huygen betragtede en lysstråle som<br />
bølger. Han mente at, fra enhver bølgefront udgik der ringformede bølger. Kun de<br />
bølger der interfererer konstruktivt vil overleve. Det vil sige at de bølger der har toppe<br />
samme sted overlever. Det betyder at en bølgefront vil forblive en bølgefront. Hvis vi<br />
betragter en lysstråle (eller bølgefront), som reflekteres vil vi kunne finde<br />
refleksionsvinklen. Den reflekterede stråle udbreder sig i den retning, hvor<br />
betingelsen for konstruktiv interferens er opfyldt (figur 5):<br />
cos( ) BC<br />
γ = og cos( ')<br />
AC<br />
AD<br />
γ = (1.10)<br />
AC<br />
5/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Og da BC er lig AD , er cos( γ ) = cos( γ ') og da γ = 90°−<br />
θ og γ '= 90°− θ ',<br />
fås at<br />
θr = θi<br />
Svarende til at refleksionsvinklen er lig indfaldsvinklen. Denne sammenhæng er kendt<br />
som refleksionsloven.<br />
figur 5. Huygens forklaring på refleksion. Lyset reflekteres kun i den retning hvor der er positiv<br />
interferens.<br />
Et spejls overflade skal være glat, sådan at en lysstråle reflekteres i en ganske bestemt<br />
retning (jvf. begrebet spejlblank) (figur 6).<br />
figur 6. En blank overflade reflekterer lys I samme retning, mens en ru overflade spreder lyset.<br />
Hud er ru og ikke glat, og da refleksion af lys fra hud desuden finder sted ned til<br />
forholdsvis stor dybde, er huden mat og ikke blank. Vi skal senere i kurset se mere på<br />
hvad der sker når lys rammer huden. Implementeringen af denne dybderefleksion har<br />
forbedret livagtigheden af computeranimerede figurer som Gollum, hvilket udløste en<br />
teknisk Oscar til den danske datalogiprofessor Henrik Wann Jensen.<br />
Brydning<br />
Lad os betragte det transmitterede lyse. Med Huygens argumentation vil der være en<br />
bølgefront hvor der er konstruktiv interferens. På figur 7 er der illustreret en lystråle,<br />
der rammer en grænseflade. Lad os først gøre nogle simple geometriske betragtninger.<br />
Først<br />
BC<br />
AD<br />
sinθ<br />
1 = og sinθ<br />
2 = (1.11)<br />
AC<br />
AC<br />
6/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Man kan også beskrive afstanden BC , som lysets hastighed i medium 1 gange den<br />
tid det tager lyset at bevæge sig fra B til C, altså BC = v1∆ t,<br />
på samme måde vil<br />
AD = v2∆t.<br />
Hvis man indsætter det i ligning 1.12 og deler de to ligninger med<br />
hinanden får man<br />
Eller<br />
sinθ<br />
AC v ∆t<br />
v<br />
= =<br />
sinθ<br />
AC v ∆t<br />
v<br />
1 1 1<br />
2 2<br />
2 2<br />
For v v gælder således θ > θ og omvendt.<br />
1 > 2 1 2<br />
2<br />
sinθ1<br />
v1<br />
= (1.12)<br />
sinθ<br />
v<br />
figur 7. På samme måde som lyset reflekteres, brydes lyset også kun i den retning hvor der er<br />
positive interferens.<br />
Lyset brydes altså, når det møder en overgang mellem to medier, hvori det udbreder<br />
sig med forskellig fart (på samme måde som en rullende tønde skifter retning, når den<br />
ruller fra asfalt til græs eller omvendt). Eller som snorbølger har forskellig fart i snore<br />
med forskellige tykkelser. Det er lysets brydning, der får en pind til at ”knække”, når<br />
den nedsænkes i vand.<br />
8<br />
Når en foton bevæger sig, sker det altid med lysets fart 310 m c ≈ ⋅ s . Når lys udbreder<br />
sig i stof, vil de fotoner, som rammer et atom eller et molekyle, kunne blive<br />
absorberet, hvorved fotonen går til grunde og overfører sin energi til stoffets<br />
elektroner. En del af den absorberede energi vil blive genudsendt i form af nye<br />
fotoner, der fortsætter deres udbredelse gennem materialet, hvorimod den resterende<br />
del bliver til varme og fører til en svækkelse af lysstrålen. Da der går tid mellem en<br />
fotons absorption og genudsendelse, vil lys udbrede sig langsommere i stof end i<br />
vakuum, idet lyset således udbreder sig langsommere, jo tættere stoffet er. Lys<br />
udbreder sig praktisk talt med samme fart i luft som i vakuum, hvorimod det i glas og<br />
vand udbreder sig ca. 1,5 gang langsommere, og i et metal som aluminium ca. 200<br />
gange langsommere.<br />
Et materiales brydningsindeks, n, udtrykker, hvor mange gange langsommere lys<br />
udbreder sig i det pågældende materiale ift. vakuum/luft:<br />
7/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Udtryk (1.12) kan således skrives<br />
c<br />
n ≡ ≥ 1<br />
(1.13)<br />
v<br />
sinθ1<br />
n2<br />
= eller<br />
sinθ<br />
n<br />
2 1<br />
n1sinθ1 n2sinθ 2<br />
hvilket er kendt som brydningsloven eller Snells lov.<br />
= (1.14)<br />
I øvrigt fås<br />
λ c/ υ c<br />
λ<br />
= = = n ⇒ λn<br />
= (1.15)<br />
λn vn / υ vn n<br />
Bølgelængden bliver således mindre, når en lysstråle går fra luft til et andet medie,<br />
idet lysstrålen herved bremses op.<br />
Total intern brydning<br />
Lad os se på en lysstråle som udbredes i et medium med brydningsindeks n1.<br />
Lysstrålen møder en grænse med vinklen, θ 1 , til et andet medium med n2. (figur 8)<br />
Som vi har set bestemmes brydningen til det nye medium efter Snells lov (1.14), men<br />
lad os se på tilfældet hvor n1 > n2, altså hvor lyset kommer fra et medium med højere<br />
brydnings, fx glas til et medium med lavere brydningsindeks, fx luft. Vinklen af det<br />
brudte lys vil være givet ved:<br />
Da 1<br />
n<br />
1<br />
n > kan dette ikke gælde for alle 1<br />
2<br />
n<br />
θ = θ . (1.16)<br />
1 sin 2 sin<br />
n2<br />
1<br />
θ , så hvis 1<br />
θ bliver større end en kritisk<br />
vinkel, θ c , vil lyset ikke brydes, men reflekteres. θc er givet ved<br />
n2<br />
sinθ c = , (for n1 > n2) (1.17)<br />
n1<br />
På den måde vil lyset altså blive i det første medium. Dette fænomen kaldes total<br />
intern brydning, eller total refleksion.<br />
figur 8. En bølge bevæger sig fra et medium med højere refraktionsindeks til et medium med<br />
lavere refraktionsindeks. Hvis indfaldsvinklen er for stor kan lyset ikke brydes, men reflekteres<br />
tilbage.<br />
8/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Lyslederkabler, eller optiske fibre, er konstrueret med en kerne med at højt<br />
brydningsindeks n1 omgivet af en kappe med brydningsindekse n2 hvor det netop<br />
gælder at n1 > n2, (figur 9a). Udenom igen er der en kappe for at beskytte fiberen.<br />
Lyset i fiberen kan ikke slippe ud andre stede end enderne. På den måde kan men<br />
sende lys over lange afstande, eller få det bragt til steder, som ikke er så nemt<br />
fremkommelige. Som det ses af (figur 9b) kan en optisk fiber bøjes, men hvis den<br />
bøjes så meget at lyset ikke længere rammer væggen med en vinkel θ 1 > θ c vil lyset<br />
slippe ud af fiberen.<br />
figur 9. En optisk fiber. (A) En optisk fiber består af en kerne med højt refraktionsindeks<br />
omgivet af et lag med lavere brydnings indeks. (B) Lyset kan ikke undslippe kernen så længe<br />
fiberen ikke bøjes for meget.<br />
Dispersion<br />
En lysstråles udbredelsesfart i et materiale, og dermed materialets brydningsindeks,<br />
afhænger af lysets bølgelængde: n (λ). For glas og de fleste andre materialer er n (λ)<br />
en aftagende funktion, og rødt lys brydes således mindre end blåt lys ved en overgang<br />
mellem luft og glas (figur 10).<br />
figur 10. Refraktionsindekset er en funktion af bølgelængden.<br />
Prisme<br />
9/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Ovenstående fænomen er kendt som dispersion og forklarer, hvorfor en hvid lysstråle<br />
splitter op i sine farvebestanddele, når den sendes gennem et glasprisme (figur 11).<br />
Det var i øvrigt vha. sådant et prisme, at Newton opdagede, at det hvide sollys<br />
indeholder alle regnbuens farver.<br />
figur 11. En bestemt bølgelængde af lys vil brydes som δ, men andre bølgelængder vil brydes<br />
anderledes. På den kan hvidt lys spildtes op i forskellige farver.<br />
Regnbue<br />
Hvidt sollys reflekteret i en vanddråbe vil pga. dispersionen splitte op i de forskellige<br />
farver (figur 12), sådan at man i regnvejr med solen bag sig vil se en regnbue med<br />
centrum i forbindelseslinien mellem solen og øjnene. Jo lavere solen står på himlen,<br />
jo mere af en halvcirkel vil regnbuen således udgøre. Den del af sollyset, som tager en<br />
ekstra tur rundt i regndråben, inden det bryder ud igen, ses som en væsentligt svagere<br />
andenordens regnbue, i hvilken farverækkefølgen er byttet om.<br />
figur 12. (A) Lysets gang gennem en regndråbe. (B) Regnbuen som den observeres.<br />
Farvebegrebet<br />
Når hvidt sollys rammer et grønt blad, vil en del af lyset blive absorberet, og en del af<br />
lyset vil blive reflekteret, eks. op i vores øjne, så vi kan se bladet. De<br />
klorofylmolekyler, som udgør bladets grønkorn, absorberer hovedsageligt i den røde<br />
del af spektret, som derfor vil mangle i det reflekterede lys. Når vores øjne opfanger<br />
lys, hvori den røde del af spektret mangler, fortolker vores hjerner lyset som værende<br />
grønt, idet rød og grøn er hinandens komplementærfarver. Farvebegrebet er således<br />
ikke kun en egenskab ved lyset, men er i høj grad bestemt af vores hjerner. Hvis<br />
ovenstående mekanisme ikke fungerer, er man rød-grøn farveblind. En nissehue er<br />
tilsvarende rød, fordi den hovedsageligt absorberer i den grønne del af spektret. En<br />
appelsin er orange, fordi den absorberer i den blå del af spektret, idet blå og orange er<br />
10/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
hinandens komplementærfarver, osv. En tavle er sort, fordi den absorberer i hele den<br />
synlige del af spektret, og et stykke kridt er hvidt, fordi det ikke absorberer i den<br />
synlige del af spektret.<br />
Optisk billeddannelse<br />
I det flg. beskrives spejle og linsers virkemåde inden for strålegangstilnærmelsen,<br />
hvor lyset under antagelsen λ d udbreder sig efter rette linier. Optisk<br />
billeddannelse udnytter det faktum, at et objekt udstråler lys i alle retninger, hvad<br />
enten det lyser af egen kraft eller blot reflekterer lys fra en lyskilde.<br />
Plane spejle<br />
Spejlbilledet af et punkt O i et plant spejl findes ved at følge et antal strålegange fra O<br />
under overholdelse af refleksionsloven, idet spejlbilledet I er der, hvor strålerne ser ud<br />
til at divergere fra. Bemærk, at I’s placering er uafhængig af observatørens placering<br />
(figur 13).<br />
figur 13. Spejlbilledet af et punkt O spejlbilledet I.<br />
Da strålerne ikke har passeret I, er I et virtuelt billede. Hvis strålerne passerer gennem<br />
billedet, kaldes det et reelt billede. Alle spejlbilleder fra plane spejle er virtuelle<br />
billeder. For et udstrakt legeme, som f.eks. en person, der kigger sig i spejlet, følges<br />
strålegangene fra et tilstrækkeligt antal karakteristiske punkter. Denne metode til at<br />
fastlægge billeddannelsen i et spejl eller en linse kaldes strålegangsanalyse.<br />
For plane spejle gælder, at spejlbilledet er lige så langt bag spejlet, som objektet er<br />
foran det, og dermed er det plane spejls forstørrelse M givet ved<br />
II 1 2<br />
M ≡ = 1<br />
(1.18)<br />
OO<br />
Konkave spejle og konvekse spejle<br />
Et spejl på indersiden af en kugleoverflade kaldes et konkavt spejl, og et spejl på<br />
ydersiden af en kugleoverflade kaldes et konvekst spejl.<br />
Brændpunkt og brændvidde<br />
1 2<br />
11/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Når et tyndt bundt parallelle lysstråler (plan bølge) reflekterer fra et konkavt spejl, vil<br />
de reflekterede stråler med god tilnærmelse mødes i det samme punkt (konvergerende<br />
kuglebølge) (figur 14). Dette punkt kaldes spejlets brændpunkt, og afstanden fra<br />
spejlet til brændpunktet er spejlets brændvidde. Da lyset fra en uendeligt fjern<br />
punktkilde netop er kendetegnet ved at være en plan bølge, er det konkave spejls<br />
brændpunkt således der, hvor der dannes et virkeligt billede af en uendeligt fjern<br />
punktkilde.<br />
figur 14. Refleksionen af parallelle stråler i et konkavt spejl.<br />
Virkelige billeder i modsætning til virtuelle billeder kan projekteres op på en skærm.<br />
På skærmen placeret i brændpunktet ville der således fremkomme et skarpt billede af<br />
den uendeligt fjerne punktkilde, hvorimod billedet i alle andre afstande ville være<br />
udtværet (ude af fokus).<br />
Når en tynd lysstråle i form af en plan bølge reflekterer fra et konvekst spejl, vil der<br />
med god tilnærmelse dannes en divergerende kuglebølge (figur 15). Punktet, hvorfra<br />
denne kuglebølge ser ud til at udgå, er det konvekse spejls brændpunkt.<br />
figur 15. Billedformation af et billede i et sfærisk spejl.<br />
Spejlloven<br />
figur 16 viser en strålegangsanalyse for et konkavt spejl.<br />
12/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
figur 16. Strålegangsanalyse af et konkavt sfærisk spejl. Billedet I formes af objektet O, som<br />
ligger uden for spejlets centrum.<br />
C: Spejlets krumningscentrum (kuglens centrum)<br />
R: Spejlets krumningsradius<br />
Da det herved fremkomne virkelige billede er vendt på hovedet (inverteret), anvendes<br />
h −h'<br />
fortegnskonventionen h’ < 0, sådan at tanθ = = og dermed<br />
p q<br />
h'q<br />
M = =− (1.19)<br />
h p<br />
Forstørrelsen M er altså et udtryk for, hvor mange gange længere væk fra spejlet<br />
billedet er i forhold til objektet. Desuden fortæller det negative fortegn at billedet er<br />
inverteret.<br />
Yderligere ses at<br />
h'<br />
R−q tanα<br />
= = sådan at =− .<br />
h −h'<br />
p−R R−q h p−R Kombineret med (1.19) giver dette<br />
R−q q ( R−q) p q( q−R) 1 1 1 1<br />
= ⇒( R− q) p= q( p−R) ⇒ = ⇒ − = −<br />
p − R p Rqp Rqp q R R p<br />
svarende til<br />
1 1 2<br />
+ = (1.20)<br />
p q R<br />
1 Et objekt i form af en uendeligt fjern punktkilde ( p →∞⇒ p = 0 ) har således<br />
R q = 2 ,<br />
så da en uendeligt fjern punktkilde pr. definition afbilledes i brændpunktet, er<br />
brændvidden, f, givet ved<br />
R<br />
f = (1.21)<br />
2<br />
Der gælder dermed flg. spejllov for kugleformede spejle:<br />
1 1 1 2<br />
= + = (1.22)<br />
f p q R<br />
13/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Ud fra kendskab til spejlets udformning (R eller f) gør spejlloven det således muligt<br />
at beregne billedafstanden, q, ud fra objektafstanden, p, idet q angiver, hvor langt fra<br />
spejlet man skulle anbringe en skærm for at få et skarpt billede (i afstanden q fra<br />
spejlet er billedet i fokus).<br />
Sfærisk aberration<br />
En tyk lysstråle reflekterer ikke ned i ét punkt, men bliver smurt ud over et område<br />
mellem spejlets brændpunkt og spejlets overflade. Dermed vil spejlbilledet af en<br />
punktkilde være uskarpt (figur 17). Denne afbildningsfejl, som kendetegner<br />
kugleformede spejle, kaldes sfærisk aberration.<br />
figur 17. Sfærisk aberration.<br />
Sfærisk aberration kan begrænses ved at afskærme spejlet, sådan at det kun er en<br />
begrænset del af lyset, som bidrager til billeddannelsen. En sådan afskærmning vil i<br />
sagens natur gøre billedet mindre lys stærkt. Sfærisk aberration kan helt undgås ved at<br />
anvende parabelformede spejle (figur 18), men sådanne parabolspejle er langt dyrere<br />
at fremstille end kugleformede spejle.<br />
figur 18. Parabolske spejle kendetegnes ved at lyset fra en fjern kilde konvergerer i et punkt.<br />
Paraksialtilnærmelsen<br />
Vi vil betragte kugleformede spejle, som enten er små eller afskærmede. De<br />
betragtede spejle vil således kun reflektere tynde lysstråler, og dermed vil vi kunne se<br />
bort fra den sfæriske aberration og opnå skarpe spejlbilleder. Et tyndt bundt lysstråler<br />
er tilnærmelsesvist parallelle, og derfor kaldes denne tilnærmelse for<br />
paraksialtilnærmelsen, eller parallaksetilnærmelsen.<br />
Tynde linser<br />
I det følgende skal vi udlede linseloven for tynde linser.<br />
Først ser vi på en halvlinse. Eller mere nøjagtigt ser vi på overgangen mellem to<br />
medier med brydningsindeksene n1 og n2. Senere skal vi bruge vores viden om en<br />
halv linse til at beskrive en hel linse, men lad os tage et halvt skridt ad gangen.<br />
14/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Overfladen af materialet med brydnings n2 beskrives af en cirkel (eller kugle, men vi<br />
ser blot på to dimensioner) med centrum i C. Objektet, O, er placeret i mediet med n1<br />
og billedet, I, i mediet med n2.<br />
figur 19. En halvlinse med n1 < n2.<br />
Snell’s lov beskriver forholdet mellem den indkomne og den transmitterede stråle ved<br />
grænsefladen mellem to medier.<br />
n1sinθ1 = n2sinθ 2<br />
(1.23)<br />
Lad os arbejde inden for parallaksetilnærmelsen hvor vinklerne er små. Derfor er<br />
θ ≈ θ og Snell’s lov bliver:<br />
sin 1 1<br />
n1θ1 = n2θ2<br />
Vi skal nu benytte af reglen om at en udvendig vinkel i en trekant er lig de to<br />
modsatte indvendige vinkler. Det ses af figur 19 at<br />
(1.24)<br />
θ1 = α + β<br />
β = θ2+ γ<br />
(1.25)<br />
Hvis vi indsætter dette i den tilnærmede Snells lov fås:<br />
nα+ n γ = n −n β (1.26)<br />
( )<br />
1 2 2 1<br />
Nu skal vi igen bruge en af approksimationerne for små vinkler, nemlig at tanθ ≈ θ .<br />
Derfor er:<br />
d d d<br />
α ≈ , β ≈ , γ ≈<br />
p R q<br />
Dette indsættes i den foregående ligning:<br />
n1 n2 n2 − n1 + = (1.27)<br />
p q R<br />
På den måde kan vi slippe af med vinklerne finde en sammenhæng mellem objektets<br />
og billedes placering blot ud fra radius og refraktionsindeks. Det betyder at alle stråler<br />
fra O samles i I, blot de rammer den sfæriske overflade med en lille vinkel. Vi skal nu<br />
bruge dette til at se på en hel linse. Vi skal antage at linsen er tynd, det vil sige at dens<br />
tykkelse t
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
figur 20. En linse med to radier, og en masse hjælpelinjer til at bestemme billedets placering.<br />
Lad os se på en linse slebet med to overflade radier R1 og R2 (figur 20). Objektet O er<br />
placeret med afstanden p1 fra overflade 1. Vi antager også at luften har<br />
brydningsindekset 1 og linsen har brydningsindekset n. Da bliver ligning (1.10):<br />
1 n n−1<br />
+ =<br />
p1 q1 R1<br />
Dette beskriver spejlingen på den første overflade af linsen. Nu bruger vi ligning<br />
(1.28)<br />
(1.10) igen for at beskrive brydningen i den anden overflade. Da er n1 = n og n2 = 1.<br />
n 1<br />
+<br />
p q<br />
1−n<br />
=<br />
R<br />
(1.29)<br />
2 2 2<br />
Nu bruger vi tricket at billedet som bliver dannet af den første overflade virker som<br />
objekt for den anden overflade. Derfor forholder p2 sig til q1 som følger.<br />
Virtuelt billede fra overflade 1 (figur 20 øverst): p2 = -q1 + t.<br />
Virkeligt billede fra overflade 1 (figur 20 nederst): p2 = -q1 + t.<br />
Men hvis t 0 er for virkelige billeder, og brændvidden er dermed<br />
positiv for samlelinser: f ≡ q →∞ > 0 .<br />
p<br />
En samlelinse er også kendetegnet ved, at den kollimerer lyset fra en punktkilde<br />
placeret i brændpunktet: for p = f.<br />
p →∞<br />
16/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
1 ⎛ 1 1 ⎞<br />
= ( n −1) −<br />
f R R<br />
⎜<br />
⎝ 1 2 ⎠ ⎟ (1.31)<br />
Dette kaldes linsemagerens ligning. Hvis vi indsætter den i den ovenstående ligning<br />
fåes linseloven:<br />
1 1 1<br />
+ = (1.32)<br />
p q f<br />
En tynd linse er et materiale (eks. glas eller plastik), som vha. lysets brydning ændrer<br />
en lysstråles udbredelsesretning (figur 21)<br />
figur 21. Effekten af en samlelinse og en spredelinse.<br />
De her beskrevne linser er udformet med kugleformede overflader, der ses bort fra<br />
linsernes tykkelse, og der arbejdes inden for paraksialtilnærmelsen.<br />
Samlelinser<br />
En samlelinse er kendetegnet ved, at den fokuserer en kollimeret (parallel) lysstråle<br />
ned i et punkt i den såkaldte brændplan, der ligger i en brændviddes afstand f fra<br />
linsen (figur 22). Da lys kan ramme en linse fra to sider, er linser kendetegnet ved to<br />
brændpunkter på hver sin side af linsen.<br />
17/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
figur 22. Samlelinse hvor lyset ikke kommer ind langs aksen. Billedet samles i fokusplanet.<br />
Hvis den kollimerede lysstråle er parallel med linsens hovedakse, fokuseres den ned i<br />
det bageste brændpunkt F2 (figur 21, øverst).<br />
Spredelinser<br />
En spredelinse er kendetegnet ved, at den af lyset fra en uendeligt fjern punktkilde<br />
danner et virtuelt billede i sit forreste brændpunkt F1 (figur 21, nederst). Brændvidden<br />
er dermed negativ for spredelinser: f ≡ q →∞ < 0 .<br />
p<br />
Strålegangsanalyse<br />
For en samlelinse/spredelinse tegnes flg. 3 strålegange fra det nødvendige antal<br />
karakteristiske punkter (figur 23):<br />
1. Parallelt med hovedaksen og transmitteret gennem bageste/væk fra forreste<br />
brændpunkt.<br />
2. Mod midten af linsen og lige igennem, (med det argument, at linsens to overflader<br />
her er parallelle).<br />
3. Gennem forreste/mod bageste brændpunkt og transmitteret parallelt med<br />
hovedaksen.<br />
figur 23. Strålegangsanalyse for tynde linser (a) når objektet er plaseret uden for brændpunktet<br />
af en samlelinse (b) når objeketet er placeret inden for brændpunktet af en samlelinse og (c)<br />
foran brændpunktet af en spredelinse.<br />
Ud fra de to ligedannede trekanter beskrevet af hovedaksen, strålegang 2 og hhv.<br />
objekt og billede fås som for spejle:<br />
h'q<br />
M = =− . (1.33)<br />
h p<br />
18/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Virkelige billeder (q > 0) er således inverterede (M < 0), hvorimod virtuelle billeder<br />
er ret op og ned.<br />
Fresnellinser<br />
Den brydning af en lysstråle, som fører til en linses billeddannelse, finder sted ved<br />
linsens overflade. Dette udnyttes i såkaldte Fresnellinser til kraftigt at reducere en<br />
linses tykkelse og dermed vægt under fastholdelse af den samme brændvidde (figur<br />
24). De herved opståede kanter forstyrrer dog billeddannelsen så meget, at<br />
Fresnellinser kun anvendes, når billedkvaliteten er mindre vigtig end vægt og<br />
brudstyrke, hvilket eks. er tilfældet i billygter, eller landings guide lyset på en et<br />
hangarskib.<br />
figur 24. Fresnel linsen til venstre har samme brændvidde, men meget mindre masse.<br />
Linsefejl<br />
I ovenstående beskrivelse af linser har vi ligesom for spejle anvendt<br />
paraksialtilnærmelsen. Ligesom kugleformede spejle fokuserer kugleformede linser<br />
heller ikke en tyk lysstråle ned i ét punkt (figur 25). Det er således kun de (paraksiale)<br />
stråler med en lille vinkel i forhold til hovedaksen, der fokuseres ned nær<br />
brændpunktet. Kugleformede linser er altså også kendetegnet ved sfærisk aberration,<br />
som kan afhjælpes ved afskærmning, hvilket gør billedet svagere, eller ved<br />
anvendelse af væsentligt dyrere parabelformede linser.<br />
figur 25. Sfærisk aberration for en samlelinse.<br />
Ifølge spejlloven er udfaldsvinkel lig indfaldsvinkel uanset bølgelængden af lyset.<br />
Brydningsloven derimod er dispersiv, idet brydningsindekset, og dermed<br />
brydningsvinklen, afhænger af lysets bølgelængde. Da lys med kortere bølgelængde<br />
brydes kraftigst, har blåt lys kortere brændvidde end rødt lys, hvilket giver anledning<br />
til en linsefejl kaldet kromatisk aberration (”kroma” betyder farve på græsk) (figur<br />
19/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
26). Det er muligt at korrigere for kromatisk aberration ved at anvende sammensatte<br />
linsesystemer bestående af samle- og spredelinser lavet af materialer med forskellige<br />
brydningsindeks.<br />
figur 26. Kromatisk aberration<br />
Øjet<br />
Det menneskelige øje (figur 27) minder på mange måder om et kamera, idet en<br />
samlelinse danner et virkeligt, inverteret billede på den lysfølsomme nethinde.<br />
Nethinden består af ca. 125 millioner lysfølsomme celler (svarende til 125<br />
megapixels), der kommunikerer synsoplevelsen til hjernen gennem ca. 1 million<br />
nervetråde. Punktet, hvor nervetrådene forlader øjet, indeholder ingen lysfølsomme<br />
celler og kaldes derfor det blinde punkt. De farvefølsomme tapceller er koncentreret<br />
nær øjets bageste del, hvorimod de mere lysfølsomme stavceller er koncentreret i den<br />
øvrige del af øjet og derfor giver anledning til det meget lysfølsomme perifere syn.<br />
Regnbuehinden iris, som bestemmer øjenfarven, fungerer som lukkermekanisme, idet<br />
den regulerer lysmængden ved at variere pupillens størrelse.<br />
figur 27. Tværsnit af øjet.<br />
Øjets billeddannelse<br />
I modsætning til et kamera fokuserer øjet ved at ændre linsens brændvidde, hvilket<br />
gøres ved at en muskel varierer linsens krumning.<br />
Når øjet fokuserer på noget, der er langt væk, er øjets muskler slappe og linsen har sin<br />
maksimale brændvidde svarende til afstanden mellem linsen og nethinden. Når øjet<br />
skal fokusere på noget, der er tættere på, øges linsens krumning, sådan at<br />
brændvidden mindskes, og billedet dannes på nethinden.<br />
Synskorrektion<br />
20/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
Øjets linse har en maksimal krumning og dermed en mindste brændvidde, og øjet kan<br />
derfor ikke fokusere på objekter, der befinder sig tættere på end den såkaldte<br />
nærpunktafstand.<br />
En langsynet person har en stor nærpunktafstand og kan dermed ikke mindske<br />
øjenlinsens brændvidde tilstrækkeligt til at fokusere på ting, der er tæt på. Øjenlinsens<br />
evne til at krumme sig sammen falder naturligt med alderen. Dette skyldes at<br />
proteinerne i linsen denaturer. Når nærpunktet er længere end en armslængde væk,<br />
taler man om gammelmandssyn. Langsynethed kan korrigeres ved at en samlelinse i<br />
form af et par briller eller kontaktlinser hjælper øjet med at fokusere, idet denne<br />
samlelinse danner et virtuelt billede, der er længere væk end nærpunktet (figur 28).<br />
Den maksimale afstand, som øjet kan fokusere på, kaldes fjernpunktet. Som angivet<br />
på ovenstående tegning ligger fjernpunktet uendeligt langt væk for mennesker med<br />
normalt syn.<br />
figur 28. Korrektion af et langsynet øje.<br />
En nærsynet person er imidlertid ikke i stand til at afslappe sin øjenlinse tilstrækkeligt<br />
til at fokusere på ting, der er langt væk, og har altså en endelig fjernpunktsafstand.<br />
Nærsynethed kan korrigeres ved at indsætte en spredelinse foran øjet, idet denne<br />
spredelinse danner et virtuelt billede, der er tættere på end fjernpunktet (figur 29).<br />
21/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
figur 29. Korrektion af et nærsynet øje.<br />
Det billede, som briller eller kontaktlinser danner, er således objekt for øjets linse.<br />
Styrken af brilleglas eller kontaktlinser defineres som P<br />
1<br />
P ≡ (1.34)<br />
f<br />
En styrke på eks. -4 svarer således til en spredelinse med en brændvidde på f = -25<br />
cm.<br />
Det meste af øjets fokusering finder sted i hornhinden, og det er derfor muligt at<br />
foretage synskorrektion ved at ændre på hornhindens form, hvilket i praksis gøres ved<br />
at fordampe et antal cellelag vha. en laserstråle. Ved korrektion for nærsynethed skal<br />
hornhinden gøres tyndere på midten, hvorimod det omvendte er tilfældet ved<br />
korrektion for langsynethed.<br />
Forstørrelsesglas<br />
Nærpunktet er grænsen for hvor tæt på øjet det er muligt at fokusere på et objekt.<br />
Nærpunktet er ca. 25 cm fra øjet. Når man skal se på små ting opnår man altså ikke<br />
noget ved at flytte objektet tættere end ca. 25 cm på øjet. Ved antagelsen om små<br />
h<br />
vinkler ses at θ 0 = 25cm<br />
. Hvis et forstørrelsesglas (samle linse) placeres så objektet er<br />
tæt på linsens fokus punk, skabes et billede af objektet. Den angulære forstørrelse er<br />
givet ved<br />
m<br />
0<br />
θ<br />
= (1.35)<br />
θ<br />
, hvor θ0 er vinklen uden linse og θ er vinklen som objektet ses med gennem linsen.<br />
Den angulære forstørrelse er størst når billedet er ved nærpunktet, altså når q = -25cm.<br />
Fra linseligningen (1.32) ses<br />
22/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
1 1 1 25cm⋅<br />
f<br />
+ = ⇒ p =<br />
p − 25 f 25cm+<br />
f<br />
(1.36)<br />
h<br />
Af figuren ses at tanθ<br />
≈θ ≈ .<br />
p<br />
Den maximale forstørrelse bliver derfor:<br />
θ h/ p 25cm<br />
mmax<br />
= = = 1+<br />
(1.37)<br />
θ0<br />
h/25cm f<br />
Øjet er dog mest afslappet hvis objektet ser ud til at være uendelig langt væk. Det er<br />
netop tilfældet hvis objektet er i linsens fokuspunkt. Da vil det gælde at<br />
h<br />
tanθ<br />
≈θ ≈ , og derfor at:<br />
f<br />
25cm<br />
mmin<br />
= (1.38)<br />
f<br />
Mikroskopet<br />
Et mikroskop er i princippet opbygget af to liner, en objekt linse og en fokuslinse.<br />
Objektlinse har en ganske kort fokus længde, fo < 1cm og fokuslinse har en har en<br />
fokuslængde fe ~ cm. Afstanden mellem linserne, L, er meget længere end<br />
fokuslængderne. Objektet placeres tæt på, men udenfor objekt linsens fokuspunkt, og<br />
der skabes et inverteret billede tæt på fokuslinses fokuspunkt. Fokuslinsen virker som<br />
23/24
<strong>Billeddannende</strong> Fysik<br />
Noter til lektion 2<br />
et forstørrelsesglas på det inverterede billede. Den laterale forstørrelsen er som<br />
tidligere vist<br />
−q1−L M o = ≈ (1.39)<br />
p1 fo<br />
Og som vi tidligere har vist er den angulære forstørerlse<br />
25cm<br />
me<br />
= (1.40)<br />
fe<br />
Mickroskpets forstørrelse er defineret som produktetet af den laterale forstørrelse og<br />
den angulære forstørrelse<br />
−L<br />
25cm<br />
M ≈ (1.41)<br />
f f<br />
opgaver<br />
35.9<br />
35.13<br />
35.16<br />
N.a. Se herunder<br />
N.a. Se herunder<br />
36.31<br />
Opg. 36.29 6th ed.<br />
Opg 36.31 6th ed.<br />
o e<br />
24/24