Note om kurveintegraler

Vi benytter nu at v er uniformt kontinuert til at vise at vi ved at gøre δ tilstrækkelig
lille også kan gøre forskellen mellem S og middelsummen Sm lille idet vi vælger
de samme punkter si i middelsummen.
Til ethvert ε > 0 kan vi da finde et δ > 0, så |v(si)−v(s ′ i
δ. Derfor vil
idet
|S − Sm| = |S −
n
i=1
|γ ′ (si)|(ti − ti−1)| <
n
i=1
)| < ε
2(b−a) når |si−s ′ i
ε
2(b − a) (ti − ti−1) = ε
2
||u ′ (si) + iv ′ (s ′ i )| − |γ′ (si)|| ≤ |u ′ (si) + iv ′ (s ′ i ) − γ′ (si)|
= |v ′ (si) − v ′ (s ′ i)| <
ε
2(b − a)
og idet også |si − s ′ i | < δ. Samtidig kan vi ved om nødvendigt at gøre δ mindre
sikre at |Sm − b
a |γ′ (t)|dt| < ε
2 . Det følger at |S − b
a |γ′ (t)|dt| < ε når ti −ti−1 <
δ. Derfor er S ≤ b
a |γ′ (t)|dt + ε. Da S vokser ved tilføjelse af delepunkter må
uligheden gælde for alle inddelinger og dermed også for supremum, dvs. L(γ) ≤
b
a |γ′ (t)|dt + ε. Da dette gælder for ethvert ε > 0 er L(γ) ≤ b
a |γ′ (t)|dt.
Der gælder også at der for ethvert ε > 0 findes inddelinger, så L(γ) ≥ S ≥
b
a |γ′ (t)|dt − ε hvorfor L(γ) ≥ b
a |γ′ (t)|dt. Det følger nu at L(γ) = b
som påstået.
Integralet
Til definition af integralet
gen af intervallet
hvor ti−1 ≤ si ≤ ti.
γ
S =
| <
a |γ′ (t)|dt
f(z)dz betragter vi middelsummer svarende til opdelin-
n
f(γ(si))(γ(ti) − γ(ti−1))
i=1
Hvis der findes et tal K for hvilket der til ethvert ε > 0 findes et δ > 0, så
|S − K| < ε når ti − ti−1 < δ, defineres
f(z)dz = K.
γ
Der er med denne definition ikke nogen sikkerhed for at integralet eksisterer, men
hvis det eksisterer, er værdien K entydigt bestemt. Antag nemlig at også K ′ = K
opfylder betingelsen. Så lader vi ε = |K ′ − K|/2 og finder δ ′ > 0 og δ > 0
svarende hertil for K ′ og K. For en opdeling hvor |ti − ti−1| < min(δ ′ , δ), gælder
der da |K ′ − K| < |K ′ − S| + |S − K| < ε/2 + ε/2 = ε hvilket strider mod
definitionen af ε.
2