Note om kurveintegraler

Kurveintegraler
Vi betragter en kontinuert kurve γ : [a, b] → U ⊆ C og en kompleks funktion
f : U → C som er kontinuert på U. Intervallet [a, b] er et lukket interval af
endelig længde b − a idet vi går ud fra at a < b.
Vi ønsker at definere længden af kurven γ og integralet
γ f(z)dz.
Kurvelængden
Hertil betragtes opdelinger af intervallet a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Vi betragter
summen S = n
i=1 |γ(ti)−γ(ti−1)|. Hvis vi indskyder et ekstra delepunkt ti−1 <
s < ti, erstattes leddet |γ(ti) − γ(ti−1)| af |γ(s) − γ(ti−1)| + |γ(ti) − γ(s)| som på
grund af trekantsuligheden er ≥ |γ(ti) − γ(ti−1)|. Det betyder at summen S øges
ved tilføjelse af flere delepunkter. Hvis endvidere S1 og S2 er summer svarende til
to opdelinger, kan vi danne en opdeling hvori delepunkterne fra begge opdelinger
benyttes. Der gælder da for den tilsvarende sum S at S ≥ S1 og S ≥ S2.
Vi definerer kurvelængden L(γ) = sup{S} idet supremum tages over summerne
svarende til alle opdelinger af intervallet. Længden kan med denne definition blive
∞ hvis summerne kan blive vilkårligt store.
Vi skal vise at hvis γ er differentiabel, og differentialkvotienten γ ′ er kontinuert på
intervallet [a, b], er kurvelængden endelig, og den er givet ved L(γ) = b
a |γ′ (t)|dt.
Beviset bygger på at en reel funktion g : [a, b] → R som er kontinuert på det
lukkede og begrænsede interval, også er uniformt kontinuert. Det betyder at der
til ethvert ε > 0 findes et δ > 0, så |t − s| < δ ⇒ |g(t) − g(s)| < ε. Bemærk at til
forskel fra definitionen på punktvis kontinuitet kan det samme δ benyttes overalt
på intervallet.
Betragt nu summen S = n
i=1 |γ(ti) − γ(ti−1)| svarende til en opdeling af intervallet.
Vi ønsker at anvende middelværdisætningen. For at gøre det må vi
betragte real- og imaginærdel af γ(t) = u(t) + iv(t) hver for sig. Anvendt på de
reelle funktioner u og v siger middelværdisætningen at der findes punkter si og s ′ i
hvor ti−1 < si, s ′ i < ti, så u(ti) − u(ti−1) = u ′ (si)(ti − ti−1) og v(ti) − v(ti−1) =
v ′ (s ′ i)(ti − ti−1). Kombineres disse får vi γ(ti) − γ(ti−1) = (u ′ (si) + iv ′ (s ′ i))(ti −
ti−1) hvorfor summen kan skrives som S = n
i=1 |u′ (si) + iv ′ (s ′ i )|(ti − ti−1).
Udtrykket for S har stor lighed med middelsummer for integralet b
a |γ′ (t)|dt som
er af formen Sm = n
i=1 |γ′ (si)|(ti − ti−1) hvor ti−1 ≤ si ≤ ti. Til ethvert ε > 0
findes der da et δ > 0, så |Sm − b
a |γ′ (t)|dt| < ε når ti − ti−1 < δ for alle
delepunkterne.
1

Vi benytter nu at v er uniformt kontinuert til at vise at vi ved at gøre δ tilstrækkelig
lille også kan gøre forskellen mellem S og middelsummen Sm lille idet vi vælger
de samme punkter si i middelsummen.
Til ethvert ε > 0 kan vi da finde et δ > 0, så |v(si)−v(s ′ i
δ. Derfor vil
idet
|S − Sm| = |S −
n
i=1
|γ ′ (si)|(ti − ti−1)| <
n
i=1
)| < ε
2(b−a) når |si−s ′ i
ε
2(b − a) (ti − ti−1) = ε
2
||u ′ (si) + iv ′ (s ′ i )| − |γ′ (si)|| ≤ |u ′ (si) + iv ′ (s ′ i ) − γ′ (si)|
= |v ′ (si) − v ′ (s ′ i)| <
ε
2(b − a)
og idet også |si − s ′ i | < δ. Samtidig kan vi ved om nødvendigt at gøre δ mindre
sikre at |Sm − b
a |γ′ (t)|dt| < ε
2 . Det følger at |S − b
a |γ′ (t)|dt| < ε når ti −ti−1 <
δ. Derfor er S ≤ b
a |γ′ (t)|dt + ε. Da S vokser ved tilføjelse af delepunkter må
uligheden gælde for alle inddelinger og dermed også for supremum, dvs. L(γ) ≤
b
a |γ′ (t)|dt + ε. Da dette gælder for ethvert ε > 0 er L(γ) ≤ b
a |γ′ (t)|dt.
Der gælder også at der for ethvert ε > 0 findes inddelinger, så L(γ) ≥ S ≥
b
a |γ′ (t)|dt − ε hvorfor L(γ) ≥ b
a |γ′ (t)|dt. Det følger nu at L(γ) = b
som påstået.
Integralet
Til definition af integralet
gen af intervallet
hvor ti−1 ≤ si ≤ ti.
γ
S =
| <
a |γ′ (t)|dt
f(z)dz betragter vi middelsummer svarende til opdelin-
n
f(γ(si))(γ(ti) − γ(ti−1))
i=1
Hvis der findes et tal K for hvilket der til ethvert ε > 0 findes et δ > 0, så
|S − K| < ε når ti − ti−1 < δ, defineres
f(z)dz = K.
γ
Der er med denne definition ikke nogen sikkerhed for at integralet eksisterer, men
hvis det eksisterer, er værdien K entydigt bestemt. Antag nemlig at også K ′ = K
opfylder betingelsen. Så lader vi ε = |K ′ − K|/2 og finder δ ′ > 0 og δ > 0
svarende hertil for K ′ og K. For en opdeling hvor |ti − ti−1| < min(δ ′ , δ), gælder
der da |K ′ − K| < |K ′ − S| + |S − K| < ε/2 + ε/2 = ε hvilket strider mod
definitionen af ε.
2

Vi vil vise at der for en kontinuert funktion f, og en kontinuert kurve γ der er differentiabel
med kontinuert differentialkvotient γ ′ , eksisterer integralet
γ f(z)dz
og
b
f(z)dz = f(γ(t))γ ′ (t)dt
γ
a
Ved benyttelse af middelværdisætningen kan vi omskrive middelsummen. Ligesom
ovenfor må vi skrive γ(t) = u(t) + iv(t) og anvende middelværdisætningen
på real- og imaginærdel hver for sig. Vi kan da skrive
S =
n
f(γ(si))(γ(ti) − γ(ti−1)) =
i=1
n
i=1
f(γ(si))(u ′ (s ′ i ) + iv′ (s ′′
i ))(ti − ti−1)
hvor ti−1 < s ′ i , s′′ i < ti. Hvis punkterne si, s ′ i og s′′ i havde været ens ville S
have været en middelsum for integralet b
a f(γ(t))γ′ (t)dt. Dette integral eksisterer
idet realdelen og imaginærdelen af integranten med de givne forudsætninger
er kontinuerte. Integralet kan derfor bestemmes ved at integrere real- og imaginærdel
hver for sig. Lad nu ε > 0 være givet. Vi kan da finde δ0 > 0, så
| n i=1 f(γ(si))γ ′ (si)(ti − ti−1) − b
a f(γ(t))γ′ (t)dt| < ε når ti − ti−1 < δ0.
Vi vil nu benytte at u ′ (t) og v ′ (t) er uniformt kontinuerte. Der findes da et δ1 > 0,
så |u ′ (si) − u ′ (s ′ i )| < ε når |si − s ′ i | < δ1, og et δ2 > 0, så |v ′ (si) − v ′ (s ′′
i )| < ε
når |si − s ′′
i | < δ2.
Lad M være maksimum af |f(γ(t))| for a ≤ t ≤ b. M eksisterer da |f(γ(t)| er
kontinuert. Vi vil sammenligne S med middelsummen Sm = n
i=1 f(γ(si))γ ′ (si)(ti−
ti−1) for integralet b
a f(γ(t))γ′ (t)dt.
For en opdeling med ti − ti−1 < δ = min(δ0, δ1, δ2) ser vi da at
|S − Sm| ≤
n
M(ε + ε)(ti − ti−1) = 2Mε(b − a)
i=1
Da også |Sm − b
a f(γ(t))γ′ (t)dt| < ε er
b
|S − f(γ(t))γ ′ (t)dt| < (2M(b − a) + 1)ε
a
For tilstrækkelig fine opdelinger vil S derfor tilnærme b
a f(γ(t))γ′ (t)dt vilkårligt
godt. Det beviser at
γ
b
f(z)dz = f(γ(t))γ ′ (t)dt
a
3

Integralet er translationsinvariant
Lad g(z) = f(z − z0) fremkomme af funktionen f ved at forskyde definitionsområdet
med z0. Lad tilsvarende kurven λ(t) = γ(t) + z0 fremkomme af γ ved
at forskyde billedet med z0 i den komplekse plan. Så gælder der at g(λ(t)) =
f(λ(t) − z0) = f(γ(t)). Betragt en middelsum S = n
i=1 g(λ(si))(λ(ti) −
λ(ti−1)) for
n i=1 f(γ(si))(γ(ti) − γ(ti−1)) som er en middelsum for
f(z)dz. De to in-
γ
tegraler har derfor de samme middelsummer svarende til samme inddelinger af
intervallet [a, b] og samme valg af punkter si. Det følger da at
g(z)dz = f(z)dz
λ g(z)dz. Den kan omskrives til S = n
i=1 f(γ(si))(λ(ti)−λ(ti−1)) =
λ
4
γ