Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Sætning 12 (dobbeltvinkelformlerne)
a) sin( 2x) = 2sin xcos
x
2 2 2 2
b) cos( 2x) = cos x − sin x = 2cos x − 1= 1−
2sin
x
Bevis:
a) Vi sætter x = y i sætning 11d og får:
sin( 2x) = sin( x + x) = sin xcosx + cos xsinx = 2sinxcosx
b) Vi sætter x = y i sætning 11b og får:
2 2
cos( 2x) = cos( x + x) = cos xcos x − sin xsin x = cos x − sin x
Ved at bruge idiotformlen kan man udlede de andre former af 12b.
De logaritmiske formler hedder sådan, fordi de laver et produkt om til en sum, ligesom
logaritmefunktionen. Oprindelig blev de brugt til komplicerede astronomiske beregninger
(før man opfandt lommeregneren) af bla. Tycho Brahe. De logaritmiske formler gav også
inspiration til skotten John Napier, som opfandt logaritmerne.
Sætning 13 (de logaritmiske formler)
a)
s + t s − t
sins
+ sint
= 2sin cos
2 2
b)
s + t s − t
sins
− sint
= 2cos sin
2 2
c)
s + t s −t
cos s + cost
= 2cos cos
2 2
d)
s + t s −t
cos s − cost
= 2sin sin
2 2
Bevis:
Beviset for a) og b) hænger sammen:
s t
Sæt x = + s t
og y = − 2
2
Så er x + y = s og x − y = t
Anvendes dette i 11c og 11d, så fås
13