Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

More documents

Recommendations

Info

Sætning 17 (LS) Lad a ∈[ −11 , ]. Løsningerne til ligningen sinx = a er alle af formen arcsin a + 2πz , z ∈Z eller af formen π − arcsin a + 2πz , z ∈Z . Før beviset kommer et eksempel: Eksempel Løsningerne til ligningen sinx = 1 2 skal findes. Nu er sin π 6 ligningen er og = 1 2 , så arcsin 2 1 = π 6 . Sætningen fortæller nu, at alle løsningerne til (bemærk, at π π 5 − = π 6 6 ). π π π π π π 6 6 6 6 6 6 ..., − 4π , − 2π , , + 2π , + 4π , + 6π ,... 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 ..., −4π , − 2π , , + 2π , + 4π , + 6π ,... Bevis (for sætning 17): Vi skal finde alle retningspunkter på enhedscirklen, som har andenkoordinaten a. Q Alt i alt er P retningspunktet for vinklerne arcsin a + 2πz , z ∈Z . P y=a På figuren ses, at der kun er to muligheder, nemlig punkterne P og Q. Punktet P er retningspunktet for arcsin a men også for arcsina +2π, arcsina +4π, .... og for arcsina −2π, arcsina −4π, .... 21
Af symmetrien i figuren ser man, at Q er retningspunkt for π − arcsin a + 2πz , z ∈Z Vi har nu fundet alle de relevante løsninger. Sætning 18 (LS) Lad a ∈[ −11 , ]. Løsningerne til ligningen cos x = a er alle af formen arccos a + 2πz , z ∈Z eller af formen − arccos a + 2πz , z ∈Z Bevis: P Øvelse. Se på figuren til venstre. Q x=a Sætning 19 (LS) Lad a ∈R . Løsningerne til ligningen tan x = a er alle af formen arctan a + πz , z ∈Z 22
Page 1 and 2: Matematikkens mysterier - på et ob
Page 3 and 4: 8.0 Introduktion I dette kapitel sk
Page 5 and 6: Et andet, og måske mere naturligt
Page 7 and 8: Den minder en del om sinusgrafen. F
Page 9 and 10: Bevis P x P -x Af figuren ses, at r
Page 11 and 12: Opgaver 2.1 Formlerne 6-9 kan også
Page 13 and 14: ⇓ ⇓ ⇓ 2 2 2 x y x y x y x y P
Page 15 and 16: sins = sin( x + y) = sinxcosy + cos
Page 17 and 18: PQ ≤ PS ≤ RS ⇓ sinh ≤ h ≤
Page 19 and 20: cosx⋅ 3cos x − ( 2 + sin x)(
Page 21: Ved tangensfunktionen kan man bruge
Page 25 and 26: Der er to løsninger, nemlig v = ar
Page 27 and 28: 8.6 Svingninger Betragt en gang gra
Page 29 and 30: Denne figur viser graferne for f (
Page 31 and 32: y > t Endelig betragtes den første
Page 33 and 34: 8.7 Injektivitet, surjektivitet, bi
Page 35 and 36: Definition 24 Værdimængden Vm( f
Page 37 and 38: Eksempel De omvendte funktioner til
Page 39 and 40: En voksende funktion. En aftagende
Page 41 and 42: Endvidere er f hverken voksende ell
Page 43 and 44: f er aftagende i ] 13 ; [ f er voks
Page 45 and 46: Eksempel Betragt funktionen f med g
Page 47 and 48: Derfor gælder der om de to differe
Page 49 and 50: Opgaver 8.1 Bevis vha. sætning 34
Page 51 and 52: Sætning 40 (Middelværdisætningen
Page 53 and 54: 8.10 Funktionsundersøgelse Man er
Page 55 and 56: Grafen for f har altså asymptotern
Page 57 and 58: Opgaver 10.1 Undersøg nedenståend
Page 59 and 60: Værre er det, når man selv skal f
Page 61 and 62: Facitliste 3.2 a) 3 / 2 b) 1/2 c) (
Page 63 and 64: f) Dm( f ) = R\] − 3, 3 [ nulpunk

Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?