Matematikkens mysterier 8. Funktioner - KennethHansen.net

Sætning 21 (FS)
Perioden T for funktionen f med forskriften
f ( t) = a sin( bt + c)
er givet ved
T
= 2π
b
Bevis:
To på hinanden følgende bølgetoppe falder i punkterne
( t0 , a)
og ( t0 + T, a)
.
Dvs.
a = asin( bt0 + c)
og a = asin( b( t0
+ T) + c)
⇓
1= sin( bt0
+ c ) og 1= sin( bt0
+ bT + c )
Men ser vi på grafen for sinusfunktionen, så er afstanden mellem to på hinanden
følgende bølgetoppe lig 2π . Dette betyder, at differensen mellem indmaden i de to
udtryk er 2π :
( bt + bT + c) − ( bt + c)
= π
⇓
⇓
0 0 2
bT = 2π
T
= 2π
b
Eksempel
På næste side er vist grafen for en svingning. Hvad er mon forskriften?
For det første ses, at svingningerne går fra maksimummet 1,5 til minimummet -1,5.
Dette fortæller, at amplituden er a = 15 , .
Det ses endvidere på grafen , at de to første toppe efter at t er blevet positiv
forekommer for t-værdierne ca. 2,3 og 4,9. Perioden er altså
T = 4, 9 − 2, 3 = 2,
6
og af sætning 21 får vi
b = 2π
T
= 2π
2 6
= 2,
4
,
29