Norsk Formelsamling

Vedlegg til eksamen i SIE4025 Elektronfysikk Side 1 av 7
FORMELSAMLING - SIE4025 ELEKTRONFYSIKK
Elektronfysikk:
Fotonenergi:
E = hν
Heisenbergs usikkerhetsprinsipp:
∆x ⋅ ∆px
≥
h
2
∆E
⋅ ∆t
≥
h
2
Tilordning av kvantemekaniske operatorer:
x → x,
∂
p(
x)
→ − jh ,
∂x
E →
∂
jh
∂t
Schrödingerlikningen (1D):
2
h ∂
− ⋅
2m
2
Ψ(
x,
t)
+ V ( x)
Ψ(
x,
t)
=
2
∂x
∂Ψ(
x,
t)
jh
∂t
∂ψ
( x)
∂x
2m
2
h
Den stasjonære Schrödingerlikningen: + [ E −V
( x)
] ψ ( x)
0
2
=
Elektron bølgefunksjon på 1D gitter: ψ ( x)
U ( k , x)exp(
jk x)
k
=
x
x
Effektiv masse for båndelektroner/-hull:
m n , p
* =
h
2
2
d E(
k)
2
dk
Kinetisk e - -energi for parabolske bånd:
E kin
=
h
2
k
2
2m
*
Fermi-Diracs fordelingsfunksjon:
1
f ( E)
=
⎡E
− E
1+
exp ⎢
⎣ kT
F
⎤
⎥
⎦
Effektiv tilstandstetthet for ledningsbåndet:
N
C
⎛ 2πm
= 2
⎜
⎝ h
*
n
2
kT ⎞
⎟
⎠
3
2
Effektiv tilstandstetthet for valensbåndet:
N
V
⎛ 2πm
= 2⎜
⎝ h
*
p
2
kT ⎞
⎟
⎠
3
2
Likevektskons. av elektroner i ledn.båndet:
⎡ E − E
n = N exp c F
0 C ⎢−
⎣ kT
⎥ ⎦
⎤

Vedlegg til eksamen i SIE4025 Elektronfysikk Side 2 av 7
Likevektskons. av hull i valensbåndet:
p
0
⎡ E − E ⎤
= N exp F v
V ⎢−
⎥
⎣ kT ⎦
Intrinsikk ladningsbærerkonsentrasjon:
3
3
2
* * 4
i
( ( mnmp
)
n
⎛ 2πkT
⎞
T)
= 2⎜
2
⎟
⎝ h ⎠
⎛ E ⎞
⎜ −
g
exp
⎟
⎝ 2kT
⎠
Intrinsikt Ferminivå:
E
i
*
1
3 ⎛ m
p
= ( E + ) + ln⎜
V
EC
kT
*
2
4 ⎝ mn
⎞
⎟
⎠
Massevirkningsloven (termisk likevekt):
2
0p0
ni
n =
Likevektskons. elektroner, hull:
n
0
= n
i
⎛ E
F
− Ei
⎞
exp⎜
⎟,
p0
⎝ kT ⎠
⎛ Ei
− E
= ni
exp⎜
⎝ kT
F
⎟
⎠
⎞
Ikke-likevektsfenomen, ladningstransport, ladningsbæreroverskudd, injeksjon:
Poisson’s likning (1D):
2
d V dE ρ
+ −
= − = − , ρ = q(
N N p n)
2
D
−
A
+ −
dx dx ε
Lorentzkraften:
r r r r
F = q( E + v × B)
Motstand:
R =
ρL
wt
Hallfelt og -mobilitet (p-type halvl.):
E
H
= E =
y
J
x
qp
B
0
z
= R
H
J
x
B
z
,
σ
µ
p
= = σR
qp
0
H
Einstein-relasjonen:
D
µ
n,
p
n,
p
=
kT
q
E-felt relatert til intrinsikt Fermi-nivå:
dEi
E(
x)
= 1 ⋅
q dx

Vedlegg til eksamen i SIE4025 Elektronfysikk Side 3 av 7
Drift−diffusjonslikningen for elektroner:
Drift−diffusjonslikningen for hull:
J
J
n
p
( x)
= qµ
n(
x)
E(
x)
+ qD
n
( x)
= qµ
p(
x)
E(
x)
− qD
p
n
p
dn(
x)
dx
dp(
x)
dx
Kontinuitetslikningene:
∂ δp
1 ∂J
p δp
∂δn
∂J
n
= − ⋅ − , =
1 ⋅
∂t
q ∂x
τ ∂t
q ∂x
p
δn
−
τ
n
Diffusjonslikningene:
∂δp
∂t
= D
p
2
∂ δp
δp
− ,
2
∂x
τ
p
∂δn
∂t
= D
n
2
∂ δn
δn
−
2
∂x
τ
n
Diffusjonslengder:
L
n
=
D τ L =
n
n
p
D
p
τ
p
p-n diode:
Kontaktpotensial (abrupt overgang):
kT ⎛ N
A
N
V = ⎜
0
ln
2
q ⎝ ni
D
⎞
⎟
⎠
∆p
∆n
n p ⎛ qV ⎞
Overskudds-minoritetsbærerkons.: = = exp⎜
⎟ −1
p n ⎝ kT ⎠
n
p
(i deplesjonssonegrensene)
Overskudds-minoritetsbærerladning:
Q
p
= qAL ∆p
,
p
n
Q = −qAL
∆n
n
n
p
Idéell diodelikning:
I
⎡ D ⎤
p
pn
Dnn
p ⎡ ⎛ qV ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ qV ⎞ ⎤
= qA⎢
+ ⎥ ⋅ ⎢exp⎜
⎟ −1⎥
= I
0 ⎢exp⎜
⎟ −1⎥ ⎢⎣
L
p
L
n ⎥⎦
⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ kT ⎠ ⎦
Ladningskontrollikningen for p + -n diode:
Qp ( t)
dQ
p
( t)
i( t)
= + τ dt
p
Deplesjonssonebredde (W = x n0 +x p0 ):
=
2ε(
V
−V
) ⎛ N + N
⋅⎜
⎝
0
A D
W x
p
N
A
xn
q ⎜
,
0
=
0
N
A
N ⎟
D
⎞
⎟
⎠
N
D

Vedlegg til eksamen i SIE4025 Elektronfysikk Side 4 av 7
Deplesjonskapasitans (ac):
εA
C j
=
W
Diffusjonskapasitans og ac-konduktans:
qIτ p Cs
C s = , G s = =
kT τ
Fotostrøm i p-n diode: I = qAg ( L + L W )
op op p n
+
p
qI
kT
Felt-effekt transistorer (n-kanal):
JFET ”pinch-off”-spenning:
V = −V
(" pinch − off ") =
P
GD
qa
2
N
2ε
D
Maksimum kanalkonduktans:
G
0 =
2aZ
ρL
JFET I−V karakteristikk:
I
D
⎡
⎢V
⎢V
⎢⎣
3
3
2
2
=
D
G
G
G0V
P
P
P
2 ⎛ V +
⎜ −
3 ⎝ V
⎞
⎟
⎠
2 ⎛VD
−V
−
⎜
3 ⎝ V
P
⎞
⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎥⎦
JFET metningsstrøm:
I
D
3
⎡
⎤
⎢V
2 ⎛ ⎞ 2
=
G
V + + ⎥
⎢
⎜ −
G
1
( sat)
G ⎟
0V
P
V 3
⎥
P
⎢
⎝ VP
⎠ 3
⎣
⎥⎦
Transkonduktans og kanalkonduktans:
g
m
∂I
D
= ,
∂V
G
g
D
∂I
=
∂V
D
D
Ferminivå i uniform halvleder:
⎛ N
A
⎞
qφ
= − = ⎜ ⎟
F EF
Ei
kT ln
⎝ ni
⎠
(relativt til intrinsikt Ferminivå)
MOS deplesjonssonebredde:
W
=
2ε
s
qN
φ
A
s
Betingelse for sterk inversjon:
Maksimal deplesjonsladning:
φ
s
( inv)
= 2φ
Q
= −2
F
d
qN A
ε φ
s
F

Vedlegg til eksamen i SIE4025 Elektronfysikk Side 5 av 7
Elektrisk feltstyrke i MOS oksid:
E
i
Q
= −
ε
s
i
MOS terskelspenning:
V
T
Q
d
= VFB
− + 2φ
F
,
Ci
V
FB
= Φ
ms
Qi
−
C
i
MOSFET inversjonsladning:
n
i
−1
[ VG
−VFB
− 2φ
F
−Vx
− Ci
2qε
s
N
A
(2φ
F
Vx
)]
Q = −C
+
MOSFET I−V karakteristikk:
3 3
Z ⎧⎪⎛
V
2
D ⎞ 2 qε
sN
A ⎡
⎤⎫⎪
I 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 2
D
= µ
nCi ⎨⎜VG −VFB − φF − ⎟VD − ⋅ VD + φF − φF
⎬
L
2 3 C ⎢ ⎥
⎪⎩⎝ ⎠ i ⎣ ⎦⎪⎭
Forenklet MOSFET I−V karakteristikk:
I = µ C
D
n
i
Z ⎡
1
⎢( VG
−VT
) VD
− VD
L ⎣
2
2
⎥ ⎦
⎤
I
Z
2
( sat)
≈ µ C V ( sat)
, V ( sat)
≈ V
2L
Metningstrøm og -spenning:
D
n i
(
D
)
D
G T
−V
Bipolar transistor (p + -n-p):
Emittereffektivitet:
γ
iEp
W N
= ≈ 1 −
i + i L N
Epn
En
b
p
n
B
E
µ
µ
p
n
n
p
Base-transportfaktor:
B =
i
i
C
Ep
⎛
1 ⎜
W
≈ −
⎝ L
b
p
⎞
⎟
⎠
2
Felles-base strømforsterkning:
iC
α = = γB
i
E
Felles-emitter strømforsterkning:
β
i
=
i
C
B
α
=
1−α
τ
≈
τ
p
t

Vedlegg til eksamen i SIE4025 Elektronfysikk Side 6 av 7
Ebers-Moll likningene:
I
I
E
C
= I
= α
ES
N
⎡ ⎛ qV
⎢exp⎜
⎣ ⎝ kT
I
ES
EB
⎡ ⎛ qV
⎢exp⎜
⎣ ⎝ kT
⎞ ⎤
⎟ −1⎥
−α
I
⎠ ⎦
EB
I
CS
⎞ ⎤
⎟ −1⎥
− I
⎠ ⎦
CS
⎡ ⎛ qV
⎢exp⎜
⎣ ⎝ kT
CB
⎡ ⎛ qV
⎢exp⎜
⎣ ⎝ kT
CB
⎞ ⎤
⎟ −1⎥
⎠ ⎦
⎞ ⎤
⎟ −1⎥
⎠ ⎦
Modifiserte EM likninger:
”Turn-on” tid for kollektorstrømmen:
Lagringsforsinkelse ved ”turn-off”:
I
I
t
t
s
E
C
sd
= α I
= α
I
N
I
C
E
+ I
− I
EO
CO
⎡⎛ I
⎢
⎜ −
C
ln 1
⎢
⎣⎝
βI
⎡ ⎛ qV
⎢exp⎜
⎣ ⎝ kT
EB
⎡ ⎛ qV
⎢exp⎜
⎣ ⎝ kT
⎞
⎟
⎠
−1
= τ p
B
⎡ βI
= τ p ln ⎢
⎣ I
C
B
⎥ ⎦
⎤
⎤
⎥
⎥
⎦
CB
⎞ ⎤
⎟ −1⎥
⎠ ⎦
⎞ ⎤
⎟ −1⎥
⎠ ⎦
Sammenbruddsstrøm i normalt aktiv mode:
I
C
=
(α
N
I
E
⎡ ⎛ V
⎢1
−
⎜
⎢⎣
⎝ BV
+ I
BC
CBO
CO
)
n
⎞ ⎤
⎟ ⎥
⎠ ⎥⎦
ac-basestrøm p.g.a. lagret baseladning:
dveb
Cse
ib = Gseveb
+ Cse
, Gse
= =
dt τ
p
qI
B
kT
ac-kollektorstrøm p.g.a. lagret ladning:
i
c
= g v ,
m
eb
g
m
=
qI
B
β =
kT
C
τ
se
t
Base transitt-tid ved diffusjon:
τ
t
=
W
2
b
2D
p
”Cutoff”-frekvens:
f T
1
= svarer til β ( f
T)
= 1
2πτ
d