Eksamensopgaver med facitliste - Institut for Matematik og Datalogi

INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI
SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE
FACITLISTE for skriftlig eksamen
LINEÆR ALGEBRA (MM505)
lørdag d. 25. oktober 2008 kl. 10.00–14.00
Bemærk, at dette ikke er en standardbesvarelse, men alene en liste over resultater,
dog plus stikord til de spørgsmål, hvor der ikke umiddelbart er et facit.

Opgave 1
Betragt det lineære ligningssystem
hvor B og C er givne reelle tal.
y + 2z = 1
x + 4y + 3z = C
x + y + Bz = B
(a) Opstil den udvidede matriks for systemet og brug rækkeoperationer til at skaffe nuller
under diagonalen. De anvendte operationer bedes angivet.
SVAR Den udvidede matriks er
⎛ ⎞
0 1 2 1
⎝1 4 3 C⎠ .
1 1 B B
Den kan rækkereduceres til flere forskellige former, bl.a.
⎛
1 1 B B
⎞
⎝0 1 2 1 ⎠ .
0 0 B + 3 B + 3 − C
(b) For hvilke værdier af talparret (B, C) er systemet inkonsistent
SVAR Inkonsistens for (B, C) = (−3, C) med C ≠ 0.
(c) For hvilke værdier af talparret (B, C) har systemet præcis 1 løsning
SVAR Præcis 1 løsning for alle (B, C) med B ≠ −3.
(d) Bestem den fuldstændige løsning til systemet for alle værdier af talparret (B, C).
SVAR For B ≠ −3 er den entydige løsning
x = 1 + C − 5d, y = −1 + 2d, z = 1 − d, hvor d = C
B + 3 .
For (B, C) = (−3, 0) er der uendeligt mange løsninger nemlig
x = −4 + 5ζ, y = 1 − 2ζ, z = ζ, hvor ζ ∈ R.
2
Facitlisten fortsættes. . .

Opgave 2
⎛ ⎞
2 1 1
Lad B være matricen B = ⎝1 2 1⎠ .
1 1 2
(a) Vis, at egenværdierne for B er 1 og 4.
SVAR Determinanten af B − λI 3 udregnes til −λ 3 + 6λ 2 − 9λ + 4, som har rødderne 1, 1, 4
(med multiplicitet).
(b) Bestem en basis for hvert af egenrummene.
SVAR En basis for E(1) er f.eks. [−1 0 1] T , [−1 1 0] T .
Og en basis for E(4) er f.eks. [1 1 1] T .
(c) Løs begyndelsesværdiproblemet
x ′ (t) = 2x(t) + y(t) + z(t),
y ′ (t) = x(t) + 2y(t) + z(t),
z ′ (t) = x(t) + y(t) + 2z(t),
x(0) = 1,
y(0) = 2,
z(0) = 3.
SVAR x(t) = −e t + 2e 4t , y(t) = 2e 4t , z(t) = e t + 2e 4t .
(d) Bestem en ortogonal matriks Q og en diagonal matriks D med Q T BQ = D.
SVAR Matricerne kan f.eks være
⎛
− √ 2/2 √ 6/6 √ ⎞ ⎛ ⎞
3/3
Q = ⎝ 0 − √ 6/3 √ 1 0 0
√ √ √
3/3⎠ , D = ⎝0 1 0⎠ .
2/2 6/6 3/3 0 0 4
3
Facitlisten fortsættes. . .

Opgave 3
I denne opgave betragtes vektorrummet P 3 af polynomier af grad højst 2. Det udstyres
med et indre produkt defineret ved formlen
〈p(x), q(x)〉 = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1), p(x), q(x) ∈ P 3 .
(a) Bestem de tre indre produkter
〈1, x〉, 〈1, x 2 〉,
og de tre normer
||1||, ||x||.
SVAR 〈1, x〉 = 0, 〈1, x 2 〉 = 2, ||1|| = √ 3, ||x|| = √ 2.
Lad S = {p(x) ∈ P 3 | p(−1) = p(1) = 0}.
(b) Gør rede for, at S er et underrum af P 3 , og at 1 − x 2 er en ortonormal basis for S.
SVAR Polynomiet p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ligger i S hvis og kun hvis vektoren (a 0 , a 1 , a 2 ) T
løser ligningssystemet
a 0 − a 1 + a 2 = 0
a 0 + a 1 + a 2 = 0.
Da løsningsmængden her er {(α, 0, −α) T | α ∈ R}, ses det, at
S = {α − αx 2 | α ∈ R} = Span(1 − x 2 ).
Heraf ses, at S er et underrum, og at 1 − x 2 er en basis for S. At denne basis er
ortonormal ses deraf, at ||1 − x 2 || = 1.
(c) Bestem en ortonormal basis for det ortogonale komplement S ⊥ .
SVAR √ 2/2 · x og √ 2/2 · x 2 udgør en ortonomal basis for S ⊥ .
(d) Bestem den ortogonale projektion af polynomiet 1 + 2x på hvert af underrummene
S og S ⊥ .
SVAR De to projektioner er henholdsvis 1 − x 2 og x 2 + 2x.
4
Facitlisten fortsættes. . .

Opgave 4
Lad B være en 3 × 3 matriks, som opfylder matriksligningen
B 2 − 4B + 4I 3 = 0,
hvor I 3 og 0 er henholdsvis enhedsmatricen og nulmatricen i R 3×3 . Lad β være en egenværdi
for B.
(a) Gør rede for, at β opfylder ligningen
og bestem herfra værdien af β.
β 2 − 4β + 4 = 0,
SVAR Lad x være en egenvektor svarende til β. Da gælder
(β 2 − 4β + 4)x = (B 2 − 4B + 4I 3 )x = 0,
og da vektoren x ≠ 0, sluttes det, at skalaren β 2 − 4β + 4 er nul. Løsningen til denne
ligning er β = 2.
Lad nu b 1 ∈ R 3 være en vektor som ikke tilhører egenrummet E(β), og sæt
b 2 = Bb 1 − βb 1 .
(b) Vis, at b 2 er en egenvektor for B med egenværdi β.
SVAR Da b 1 ikke er en egenvektor for B, er b 2 ≠ 0. Bruger man ligningen B 2 = 4B − 4I 3 ,
β = 2, og definitionen på b 2 , fås
Bb 2 = B 2 b 1 − 2Bb 1 = 4Bb 1 − 4b 1 − 2Bb 1 = 2Bb 1 − 4b 1 = 2b 2 .
Altså er b 2 egenvektor for B med egenværdi 2.
Antag yderligere, at dim(E(β)) = 2, og lad b 3 være valgt så b 2 , b 3 er en basis for E(β).
(c) Vis, at F = [b 1 , b 2 , b 3 ] er en basis for R 3 .
SVAR Antag, at Σ 3 i=1α i b i = 0. Hvis α 1 ≠ 0, følger det, at b 1 ∈ Span(b 2 , b 3 ) = E(2), hvilket
er i modstrid med det givne. Altså er α 1 = 0. Men så er Σ 3 i=2α i b i = 0, og da de to
involverede vektorer er en basis for E(2) må α 2 = α 3 = 0. Alt i alt er det vist, at de
tre vektorer er lineært uafhængige, og da vi arbejder i R 3 betyder det, at de udgør
en basis.
(d) Bestem matricen for den lineære afbildning L B : R 3 → R 3 med hensyn til basen F ,
altså den matriks, som i forelæsningerne er betegnet [L B ] F F
⎛ ⎞
.
2 0 0
SVAR Matricen er ⎝1 2 0⎠ .
0 0 2
5