19/2 - Imada

MM502 forelæsnings slides
tirsdag d. 19. februar
1

Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler:
Definition (Egentlige dobbeltintegraler): Dobbeltintegralet ∫∫ f(x, y) dA
D
er egentligt, hvis begge betingelser nedenfor er opfyldt:
• Domænet D er begrænset (og “pænt”, f.eks. regulært).
• f(x, y) er begrænset på D (og f(x, y) er integrabel på D).
Betingelse 2 er automatisk opfyldt hvis f(x, y) er kontinuert og hvis D er afsluttet
(altså D indeholder alle sine randpunkter).
Definition (Uegentlige dobbeltintegraler): Dobbeltintegralet ∫∫ f(x, y) dA
D
er uegentligt, hvis mindst en af følgende betingelser er opfyldt:
• Domænet D er ubegrænset.
• f(x, y) er ubegrænset på D.
Theorem: Antag, at f(x, y) er en kontinuert og positiv funktion på et domæne
D. Vi tillader, at domænet D kan være ubegrænset eller at funktionen f(x, y)
kan være ubegrænset. Hvis D er et y-simpel, da gælder
∫ ∫
∫ b ∫ d(x)
f(x, y) dA = dx f(x, y) dy.
Hvis D er x-simpel, da gælder
∫ ∫
f(x, y) dA =
Bemærkninger:
D
D
a
∫ d
c
dy
c(x)
∫ b(y)
a(y)
f(x, y) dx.
• De nedre grænser a, a(y), c, c(x) kan være −∞, og de øvre grænser
b, b(y), d, d(x) kan være +∞.
• De to integraler på højresiderne vil (normalt) være uegentlige (enkelt)
integraler.
• Integralet kan antage værdien +∞.
Definition: Hvis f(x, y) er positiv, så siger vi, at
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er konvergent ⇐⇒
D
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er divergent ⇐⇒
D
2
D
D
f(x, y) dA < ∞,
f(x, y) dA = ∞.

Theorem (Tonelli): Hvis D er et domæne, som både er x-simpelt og y-simpelt,
og hvis f(x, y) er en kontinuert og positiv funktion på D, da er
∫ b
a
dx
∫ d(x)
c(x)
f(x, y) dy =
∫ d
c
dy
∫ b(y)
a(y)
f(x, y) dx.
Vi må altså ombytte integrationsrækkefølgen når f(x, y) er positiv.
Definition: Hvis f(x, y) er reel (ikke nødvendigvis positiv), så siger vi, at
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er konvergent ⇐⇒ |f(x, y)| dA < ∞
D
D
∫ ∫
(
⇐⇒ |f(x, y)| dA er konvergent )
D
Definition: Hvis f(x, y) er integrabel på domænet D, og hvis
0 < areal(D) < ∞, da sættes
∫ ∫
1
f =
f(x, y) dA.
areal(D)
Størrelsen f kaldes middelværdien for f (over D).
Theorem 3: Hvis f(x, y) er en kontinuert funktion defineret på domænet D,
og hvis D er sammenhængende, afsluttet og begrænset (og areal(D) > 0), da
findes (x 0 , y 0 ) ∈ D så
f = f(x 0 , y 0 ).
D
Med andre ord: middelværdien for f(x, y) antages i et punkt (x 0 , y 0 ) ∈ D.
3

Skift af variable til polære koordinater: Lad D være et område i (x, y)-
planen og lad R være det tilsvarende område i (r, θ)-planen under hensyn til
koordinatskiftet:
x = r cos(θ), y = r sin(θ).
Lad f(x, y) være en integrabel funktion på D. Da er
∫ ∫
D
∫ ∫
f(x, y) dxdy =
R
g(r, θ)r drdθ,
hvor
g(r, θ) = f(r cos(θ), r sin(θ)).
Tre trin:
• Skift område D (mht. rektangulære koordinater) ud med nyt område R
(mht. polære koordinater).
• Skift f(x, y) ud med g(r, θ) = f(r cos(θ), r sin(θ)).
• Skift dA = dxdy ud med rdrdθ.
4