2 - Institut for Matematik og Datalogi - Syddansk Universitet

Institut for Matematik og Datalogi 8. februar 2010
Syddansk Universitet, Odense
HJM
MM502 Calculus II og MM504
BioMat II — Ugeseddel 2
Forelæsningerne i uge 5: Udover de emner, der er omtalt på ugeseddel 1, nåede jeg også at snakke om:
— Gradienten af en funktion af 2 variable. Mere herom i uge 6 og i opgave A og B på denne ugeseddel.
Forelæsningerne i uge 6: Jeg agter at forelæse over stof fra Adams, afsnit 12.4, 12.7, 13.1 og 10.3. I skal
især lægge vægt på at forstå følgende:
— Laplaces ligning og bølgeligningen (eksempel 3 og 4, side 691–692). 1
— retningsafledet (= directional derivative) af en funktion af 2 variable (side 715–716).
— beregning af den retningsfledede ud fra gradienten og enhedsvektoren i den givne retning (side 716).
— gradientvektorens geometriske betydning (Theorem 6, side 715, og blå boks side 718).
— kritisk punkt (= stationært punkt), singulært punkt, randpunkt (alle i relation til en funktion f (x,y)) (side
743–744).
— lokalt (eller globalt) maksimum, lokalt (eller globalt) minimum (alle i relation til en funktion f (x,y)) (side
743–744).
— Theorem 1 og Theorem 2, side 744.
— Bemærkningen øverst side 748 om klassifikation af kritiske punkter.
— Krydsprodukt af vektorer i rummet - definition og egenskaber, side 578–579.
— 2 × 2 og 3 × 3 determinanter, side 580–582.
— trippelproduktet (= rumprodukt = scalar triple product), side 582–583.
Eksemplerne i Adams’ bog
I mine lister over, hvad man især skal lægge mærke til (og forstå) vil jeg kun
sjældent henvise til bestemte eksempler i bogen. Derfor denne generelle oplysning:
De eksempler, der omhandler vigtige begreber, er naturligvis selv vigtige!
Afleveringsopgaver uge 8:
Afsnit 12.6: opgave 6; Afsnit 12.7: opgave 5, 17;
Calculus II eksamen juni 2009, nr. 2 (= BioMat II eksamen juni 2009, nr 1).
Eksaminatorierne i uge 7:
Afsnit 12.6: opgave 3; Afsnit 12.7: opgaverne 3, 10, 11, 18, 21 (a)–(d); Afsnit 13.1: opgaverne 3, 26;
Calculus II eksamen, juni 2009, nr 1 (= BioMat II eksamen, juni 2009, nr. 2);
Denne ugeseddel, opgave A, B, C; Afsnit 10.3: opgaverne 1, 3, 5, 14.
1 Som eksempel på en løsning til bølgeligningen viser jeg en Maple animation “En kamel møder en negativ dromedar; men begge
overlever”. Den ligger på hjemmesiden under navnet KAMEL.

Hjemmelavede opgaver Det gennemregnede eksempel 4, side 718–719, minder om opgave A og B.
Opgave A I en sø er temperaturen givet ved funktionen
T = 20 − ln(1 + x 2 + 4y 2 )
(i Celsius grader i et passende koordinatsystem). En svømmer befinder sig i punktet med koordinater (10,10).
(a) Hvilken temperatur oplever svømmeren Og hvilken temperaturændring tror du hun helst vil opleve
(b) Hvilken retning skal svømmeren starte i for at ændre temperaturen hurtigst muligt
(c) Hvilken kurve skal svømmeren følge for hele tiden at ændre temperaturen hurtigst muligt
Opgave B Vi betragter et (geografisk) kort over en høj. På kortet anvender vi sædvanlige retvinklede koordinater
og vi antager at punktet med koordinater (x,y) befinder sig i højden
h(x,y) = 1075e (−x4 −2y 2 )/9
(målt i meter over havoverfladen, x og y kan tænkes målt i kilometer).
En mand står i punktet med koordinater (1,2) og lader sit vand. Det antages at dette vand — som alt andet
vand — følger den stejlest mulige kurve nedad.
(a) I hvilken retning (angivet på kortet) starter vandet sin tur ned ad bakken
(b) Hvilken kurve (angivet på kortet) følger vandet ned ad bakken
Opgave C Antag at høstudbyttet pr. hektar, U, på en given forsøgsmark afhænger af kvælstofkoncentrationen,
N, og fosforkoncentrationen, P, ved formlen
U = NPe −(N+P) , N > 0,P > 0.
Hvad sker der med udbyttet, når N → ∞ eller P → ∞
Hvad sker der med udbyttet, når N → 0 eller P → 0, mens den anden variable holdes konstant
Bestem den (N,P)-værdi, som maksimerer udbyttet.
Hvordan kan du være sikker på, at det punkt, du har fundet, er et maksimumspunkt
Om anvendelse af computer/lommeregner ved eksamen
Det er tilladt at anvende en medbragt computer eller lommeregner, men ikke printer.
Man må bruge computeren til at reducere regneudtryk, udføre differentiationer, bestemme integraler og løse
reelle ligningssystemer uden at dette medfører en lavere vurdering.
Besvares en del af en opgave derimod alene ved at anvende en mere avanceret facilitet (som f.eks. bestemmelse
af gradienter eller retningsafledede; bestemmelse og/eller klassifikation af kritiske punkter; bestemmelse af
tangentplan og/eller normallinie til en graf; beregning af dobbelt-, tripel-, eller kurveintegraler; bestemmelse
af feltlinier for et vektorfelt) vil den pågældende besvarelsesdel højst kunne vurderes som en “tilstrækkelig
præstation” i eksamensbekendtgørelsens forstand, svarende til karakteren 02.
Hans Jørgen Munkholm
2