uge 8

MM502+4 forelæsningsslides
uge 8, 2010
Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende
materiale udarbejdet af Mikael Rørdam
1

Egentlige og uegentlige dobbeltintegraler:
Definition (Egentlige dobbeltintegraler): Dobbeltintegralet ∫∫ f(x, y) dA
D
er egentligt, hvis begge betingelser nedenfor er opfyldt:
• Domænet D er begrænset (og “pænt”, f.eks. regulært).
• f(x, y) er begrænset på D (og f(x, y) er integrabel på D).
Betingelse 2 er automatisk opfyldt hvis f(x, y) er kontinuert og hvis D er afsluttet
(altså D indeholder alle sine randpunkter).
Definition (Uegentlige dobbeltintegraler): Dobbeltintegralet ∫∫ f(x, y) dA
D
er uegentligt, hvis mindst en af følgende betingelser er opfyldt:
• Domænet D er ubegrænset.
• f(x, y) er ubegrænset på D.
Theorem: Antag, at f(x, y) er en kontinuert og positiv funktion på et domæne
D. Vi tillader, at domænet D kan være ubegrænset eller at funktionen f(x, y)
kan være ubegrænset. Hvis D er et y-simpel, da gælder
∫ ∫
∫ b ∫ d(x)
f(x, y) dA = dx f(x, y) dy.
Hvis D er x-simpel, da gælder
∫ ∫
f(x, y) dA =
Bemærkninger:
D
D
a
∫ d
c
dy
c(x)
∫ b(y)
a(y)
f(x, y) dx.
• De nedre grænser a, a(y), c, c(x) kan være −∞, og de øvre grænser
b, b(y), d, d(x) kan være +∞.
• De to integraler på højresiderne vil (normalt) være uegentlige (enkelt)
integraler.
• Integralet kan antage værdien +∞.
Definition: Hvis f(x, y) er positiv, så siger vi, at
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er konvergent ⇐⇒
D
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er divergent ⇐⇒
D
2
D
D
f(x, y) dA < ∞,
f(x, y) dA = ∞.

Theorem (Tonelli): Hvis D er et domæne, som både er x-simpelt og y-simpelt,
og hvis f(x, y) er en kontinuert og positiv funktion på D, da er
∫ b
a
dx
∫ d(x)
c(x)
f(x, y) dy =
∫ d
c
dy
∫ b(y)
a(y)
f(x, y) dx.
Vi må altså ombytte integrationsrækkefølgen når f(x, y) er positiv.
Definition: Hvis f(x, y) er reel (ikke nødvendigvis positiv), så siger vi, at
∫ ∫
∫ ∫
def
f(x, y) dA er konvergent ⇐⇒ |f(x, y)| dA < ∞
D
D
∫ ∫
(
⇐⇒ |f(x, y)| dA er konvergent )
D
Definition: Hvis f(x, y) er integrabel på domænet D, og hvis
0 < areal(D) < ∞, da sættes
∫ ∫
1
f =
f(x, y) dA.
areal(D)
Størrelsen f kaldes middelværdien for f (over D).
Theorem 3: Hvis f(x, y) er en kontinuert funktion defineret på domænet D,
og hvis D er sammenhængende, afsluttet og begrænset (og areal(D) > 0), da
findes (x 0 , y 0 ) ∈ D så
f = f(x 0 , y 0 ).
D
Med andre ord: middelværdien for f(x, y) antages i et punkt (x 0 , y 0 ) ∈ D.
3

Skift af variable til polære koordinater: Lad D være et område i (x, y)-
planen og lad R være det tilsvarende område i (r, θ)-planen under hensyn til
koordinatskiftet:
x = r cos(θ), y = r sin(θ).
Lad f(x, y) være en integrabel funktion på D. Da er
∫ ∫
D
∫ ∫
f(x, y) dxdy =
R
g(r, θ)r drdθ,
hvor
g(r, θ) = f(r cos(θ), r sin(θ)).
Tre trin:
• Skift område D (mht. rektangulære koordinater) ud med nyt område R
(mht. polære koordinater).
• Skift f(x, y) ud med g(r, θ) = f(r cos(θ), r sin(θ)).
• Skift dA = dxdy ud med rdrdθ.
4

Generelt variabelskift: Lad D være et område i (x, y)-planen. Antag at
x = x(u, v), y = y(u, v)
er glatte funktioner, og at der er et område S i (u, v)-planen således, at der til
hvert (x, y) i D svarer netop et punkt (u, v) i S så x = x(u, v) og y = y(u, v). 1
Lad f(x, y) være en integrabel funktion på D. Da er
∫ ∫
D
∫ ∫
f(x, y) dxdy =
S
g(u, v)
∂(x, y)
∣∂(u, v) ∣ dudv,
hvor
og hvor
∣
∂(x, y) ∣∣∣∣ ∂x
∂(u, v) = ∂u
∂y
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∣ = ∂x ∂y
∂u ∂v − ∂x ∂y
∂v ∂u ,
g(u, v) = f(x(u, v), y(u, v)).
Fire trin:
• Find et smart koordinatskifte u = u(x, y) og v = v(x, y).
• Skift område D (mht. rektangulære koordinater) ud med nyt område S
(mht. nye koordinater (u, v)).
• Skift f(x, y) ud med g(u, v) = f(u(x, y), v(x, y)).
∣
• Skift dA = dxdy ud med ∣ dudv.
∣ ∂(x,y)
∂(u,v)
Hvis man istedet har givet
u = u(x, y),
v = v(x, y),
da kan vi benytte:
( ) −1
∂(x, y) ∂(u, v)
∂(u, v) = =
∂(x, y)
∣
∂u
∂x
∂v
∂x
∂v
∂y
∣
∂u −1
∂y
.
Højresiden vil være en funktion i (x, y), som man så må lave om til en funktion
i (u, v).
1 Undertiden kan der være en kurve i S, som svarer til et enkelt punkt i D (eller omvendt)
uden at det ødelægger formlen. F. eks giver alle polære koordinater (0, θ) anledning til samme
punkt i x − y planen, nemlig punktet (0, 0).
5

Egenskaber for trippel integralet:
(a)
(b)
∫∫∫
∫∫∫
B
B
f(x, y, z) dV = 0, hvis volumenet af B er nul.
1 dV = volumen(B).
(c) Hvis f(x, y, z) ≥ 0, da er ∫∫∫ f(x, y, z) dV “hypervolumenet” af det 4-
B
dimensionale område, som ligger over B og under den 3-dimensionale flade
v = f(x, y, z).
(e1)
(e2)
(f)
∫∫∫
B (f(x, y, z) + g(x, y, z)) dV = ∫∫∫ B f(x, y, z) dV + ∫∫∫ g(x, y, z) dV .
B
∫∫∫
B tf(x, y, z) dV = t ∫∫∫ f(x, y, z) dV .
B
∣ ∫∫∫ B f(x, y, z) dV ∣ ≤ |f(x, y, z)| dV .
∫∫∫B
(g)
∫∫∫B f(x, y, z) dV = ∑ k
∫∫∫
j=1 B j
f(x, y, z) dV , hvis B 1 , B 2 , . . . , B k er en
“inddeling” af B i k deldomæner, som højst overlapper hinanden i nogle
fladestykker eller kurver eller punkter. De må altså ikke have noget
egentlig rumfang til fælles.
Trippelintegraler ved iteration: Antag R er området i R 3 givet ved
a 1 ≤ x ≤ b 1 , a 2 (x) ≤ y ≤ b 2 (x), a 3 (x, y) ≤ z ≤ b 3 (x, y), (∗)
og at f(x, y, z) er kontinuert på R. Da er
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dV =
∫ b1
dx
∫ b2(x)
dy
∫ b3(x,y)
R
a 1 a 2(x) a 3(x,y)
f(x, y, z) dz.
Noget tilsvarende gælder hvis rækkefølgen af x, y, z i (∗) er byttet om.
6

Skift af variable i trippel integraler: Lad D være et område i det 3-
dimensionale (x, y, z)-rum. Antag at
x = x(u, v, w), y = y(u, v, w), z = z(u, v, w)
er glatte funktioner, og at der er et område S i (u, v, w)-rummet således, at
der til hvert (x, y, z) i D svarer netop et punkt (u, v, w) i S så x = x(u, v, w),
y = y(u, v, w) og z = z(u, v, w).
Lad f(x, y, z) være en integrabel funktion på D. Da er
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dxdydz = g(u, v, w)
∂(x, y, z)
∣∂(u, v, w) ∣ dudvdw,
hvor
og hvor
D
S
∣ ∣∣∣∣∣∣∣ ∂x
∂u
∂(x, y, z)
∂(u, v, w) = ∂y
∂u
∂z
∂u
∂x
∂v
∂y
∂v
∂z
∂v
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z
∂w
,
∣
g(u, v, w) = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)).
Skift af variable til cylinder koordinater: Lad R være et område i (x, y, z)-
rummet, og lad S være det tilsvarende område i (r, θ, z)-rummet under hensyn
til cylinder koordinatskiftet:
x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = z.
Lad f(x, y, z) være en integrabel funktion på R. Da er
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dxdydz = g(r, θ, z)r drdθdz,
hvor
R
g(r, θ, z) = f(r cos(θ), r sin(θ), z).
Skift af variable til sfæriske koordinater: Lad R være et område i (x, y, z)-
rummet, og lad S være det tilsvarende område i (r, θ, z)-rummet under hensyn
til det sfæriske koordinatskift:
x = ρ sin(φ) cos(θ), y = ρ sin(φ) sin(θ), z = ρ cos(φ).
Lad f(x, y, z) være en integrabel funktion på R. Da er
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
f(x, y, z) dxdydz = g(ρ, φ, θ)ρ 2 sin(φ) dρdφdθ,
hvor
R
g(ρ, φ, θ) = f(ρ sin(φ) cos(θ), ρ sin(φ) sin(θ), ρ cos(φ)).
NB: Variablen φ skal ligge i intervallet [0, π], mens variablen θ kan ligge i [0, 2π]
eller i [−π, π] afhængigt af, hvad der er mest praktisk. Endelig: ρ ≥ 0.
S
S
7